高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.1 集合的概念示范课课件ppt

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.1 集合的概念示范课课件ppt，文件包含§11第2课时集合的表示pptx、§11第2课时集合的表示docx等2份课件配套教学资源，其中PPT共58页， 欢迎下载使用。


第2课时　集合的表示
第一章　§1.1　集合的概念
学习目标
1.掌握集合的两种表示方法：列举法和描述法.
2.会用集合的两种表示方法表示一些简单的集合．
导语
同学们，上节课我们学习了集合的概念，还有一些特殊的集合，比如非负整数集、正整数集等，我们发现可以用自然语言描述一个集合，而语言正是我们之间相互联系的一种方式，同样的祝福又有着不同的表示方式，例如，我们中文说“祝你生日快乐”，英文为“Happy Birthday to you”等等，那么对于一个集合，会有哪些不同的表示方法呢？让我们一同进入今天的探究之旅．
内容索引
课时对点练
三、方程与集合
随堂演练

一
用列举法表示集合
问题1　用A表示“本班所有的男生”组成的集合，这是利用的哪种方法表示的集合？你能把集合A中的所有元素逐一列举出来吗？
提示　①这是用自然语言法表示的集合；②我们可以把所有男生的名字写出来，或者把所有男生的学号一一写出．
知识梳理
列举法——像这样把集合的所有元素 出来，并用花括号“{　 }”括起来表示集合的方法叫做 ．
一一列举
列举法
(1)元素间用“，”隔开．(2)集合中的元素是确定的，元素不重复，且无顺序．(3)对于元素个数较少时，把元素一一列举出来并用“{　 }”括起来即可．(4)对于元素个数较多时，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但必须把元素间的规律显示清楚，然后加省略号，比如正整数集可表示为{1,2,3,4,5…}．(5)这里集合的“{　 }”已包含所有的意思，比如{整数}，即代表整数集Z，而不能用{全体整数}，即不能出现“全体”“所有”等字眼．
注意点：
　　(教材第3页例1改编)用列举法表示下列集合：(1)小于10的所有正整数组成的集合；
设小于10的所有正整数组成的集合为A，那么A＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}．
(2)方程x2＋x＝0的所有实数根组成的集合；
设方程x2＋x＝0的所有实数根组成的集合为B，那么B＝{－1,0}．
(3)直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合．
将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0,1)，故交点组成的集合是{(0,1)}．
用列举法表示集合的3个步骤(1)求出集合的元素；(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；(3)用花括号括起来．提醒：二元方程组的解集，函数图象上的点构成的集合都是点的集合，一定要写成实数对的形式，元素与元素之间用“，”隔开．如{(2,3)，(5，－1)}．
反思感悟
　　　 用列举法表示下列给定的集合：(1)不大于10的非负偶数组成的集合A；
不大于10的非负偶数有0,2,4,6,8,10，所以A＝{0,2,4,6,8,10}．
(2)小于8的质数组成的集合B；
小于8的质数有2,3,5,7，所以B＝{2,3,5,7}．
(3)方程2x2－x－3＝0的实数根组成的集合C；
(4)一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合D.
所以一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的交点为(1,4)，所以D＝{(1,4)}．
用描述法表示集合

二
问题2　你能用列举法表示不等式x－7<3的解集吗？
提示　不等式x－7<3的解是x<10，因为满足x<10的实数有无数个，所以x－7<3的解集无法用列举法表示．但是，我们可以利用解集中元素的共同特征，即x是实数，且x<10，把解集表示为{x∈R|x<10}．
问题3　仿照上面的例子以及阅读课本，你能表示偶数集吗？
提示　{x∈Z|x＝2k，k∈Z}．
知识梳理
一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为 ，这种表示集合的方法称为描述法．
{x∈A|P(x)}
(1)写清该集合中元素的代表符号，如{x|x>1}不能写成{x>1}．(2)用简明、准确的语言进行描述，如方程、不等式、几何图形等．(3)不能出现未被说明的字母，如{x∈Z|x＝2m}中m未被说明，故此集合中的元素是不确定的．(4)所有描述的内容都要写在花括号内，如“{x∈Z|x＝2m}，m∈N＋”不符合要求，应将“m∈N＋”写进“{　}”中，即{x∈Z|x＝2m，m∈N＋}．
注意点：
(5)元素的取值(或变化)范围，从上下文的关系来看，若x∈R是明确的，则x∈R可省略不写，如集合D＝{x∈R|x<20}也可表示为D＝{x|x<20}．(6)多层描述时，应当准确使用“且”“或”等表示元素之间关系的词语，如{x|x<－1，或x>1}．(7)“{　}”有“所有”“全体”的含义，如所有实数组成的集合可以用描述法表示为{x|x是实数}，但如果写成{x|x是所有实数}、{x|x是全体实数}、{x|x是实数集}都是错误的，因为“{　}”本身既表示集合的意思，也表示了“所有”“全体”的意思，此处是初学者容易犯的错误，要注意领会．
注意点：
　　用描述法表示下列集合：(1)不等式2x－3<1的解组成的集合A；
不等式2x－3<1的解组成的集合为A，则集合A中的元素是数，设代表元素为x，则x满足2x－3<1，则A＝{x|2x－3<1}，即A＝{x|x<2}．
(2)C＝{2,4,6,8,10}；
设偶数为x，则x＝2n，n∈Z.但元素是2,4,6，8,10，所以x＝2n，n≤5，n∈N*.所以C＝{x|x＝2n，n≤5，n∈N*}．
(3)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合D.
平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正，即x<0，y>0，故第二象限内的点的集合为D＝{(x，y)|x<0，y>0}．
(1)用描述法表示集合时应弄清楚集合的属性，即它是数集、点集还是其他的类型，一般地，数集用一个字母代表其元素，点集用一个有序实数对代表其元素．(2)若描述部分出现代表元素以外的字母，则要对新字母说明其含义或指出其取值范围．
反思感悟
　　　 (教材第4页例2改编)试分别用描述法和列举法表示下列集合：(1)方程x2－5＝0的所有实数根组成的集合A；
(2)由小于8的所有自然数组成的集合B.
描述法表示为{x∈N|x<8}(形式不唯一)，列举法表示为{0,1,2,3,4,5,6,7}．
方程与集合

三
当a＝0时，原方程变为2x＋1＝0，此时x＝－ ，符合题意；当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0为一元二次方程，当Δ＝4－4a＝0，即a＝1时，原方程的解为x＝－1，符合题意．故当A中只有一个元素时，a的值为0或1.
已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}，若A中只有一个元素，求a的值．
延伸探究　1.在本例条件下，若A中至多有一个元素，求a的取值范围.
A中至多有一个元素，即A中有一个元素或没有元素.当A中只有一个元素时，由例题可知，a＝0或a＝1.当A中没有元素时，Δ＝4－4a<0，且a≠0，即a>1.故当A中至多有一个元素时，a的取值范围为{a|a＝0或a≥1}.
2.在本例条件下，是否存在实数a，使集合A与集合{1}相等？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.
∵A＝{1}，∴1∈A，∴a＋2＋1＝0，即a＝－3.又当a＝－3时，由－3x2＋2x＋1＝0，
故不存在实数a，使A＝{1}.
根据已知的集合求参数的关注点(1)若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键，如例3集合A中的元素就是所给方程的根，由此便把集合的元素个数问题转化为方程的根的个数问题.(2)a＝0这种情况极易被忽视，对于方程“ax2＋2x＋1＝0”有两种情况：一是a＝0，即它是一元一次方程；二是a≠0，即它是一元二次方程，也只有在这种情况下，才能用判别式Δ来解决问题.
反思感悟
　　　已知集合A＝{a＋3，(a＋1)2，a2＋2a＋2}，若1∈A，求实数a的值.
①若a＋3＝1，则a＝－2，此时A＝{1,1,2}，不符合集合中元素的互异性，舍去.②若(a＋1)2＝1，则a＝0或a＝－2.当a＝0时，A＝{3,1,2}，满足题意；当a＝－2时，由①知不符合条件，故舍去.③若a2＋2a＋2＝1，则a＝－1，此时A＝{2,0,1}，满足题意.综上所述，实数a的值为－1或0.
课堂小结
1.知识清单： (1)列举法. (2)描述法. (3)集合与方程、不等式的关系.2.方法归纳：分类讨论.3.常见误区：列举法与描述法的乱用；涉及x2的系数不确定时，忽略讨论方程是一次方程还是二次方程.
随堂演练

1.集合{x∈N*|x－2≤1}的另一种表示法是A.{0,1,2,3} B.{1,2,3}C.{0,1,2,3,4} D.{1,2,3,4}
√
1
2
3
4
因为x－2≤1，x∈N*，所以x≤3，x∈N*，从而x＝1,2,3.
1
2
3
4
√
3.下列说法中正确的是①0与{0}表示同一个集合；②由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}；③方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解组成的集合可表示为{1,2}；④集合{x|41
2
3
4
√
1
2
3
4
①中“0”不能表示集合，而“{0}”可以表示集合，故①错误；根据集合中元素的无序性可知②正确；根据集合中元素的互异性可知③正确；④不能用列举法表示，原因是集合中有无数个元素，不能一一列举.
4.用列举法表示集合D＝{(x，y)|y＝－x2＋8，x∈N，y∈N}为_______________________.
1
2
3
4
由已知得集合D为点集，结合元素的条件可知答案只有三组，列举可得答案.
{(0,8)，
(1,7)，(2,4)}
课时对点练

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1.已知集合M＝{x|x∈N}，则A.0∈M B.π∈MC. ∈M D.1∉M
√
由集合M＝{x|x∈N}知，0∈M，故A正确；π∉M，故B错误；　∉M，故C错误；1∈M，故D错误.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2.已知集合A＝{1,2}，B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈A}，则集合B中的元素个数为A.1 　　B.2　　 C.3　　 D.4
√
∵集合A＝{1,2}，B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈A}，∴B＝{2,3,4}，∴集合B中的元素个数为3.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3.把集合{x|x2－4x－5＝0}用列举法表示为A.{x＝－1，x＝5} B.{x|x＝－1或x＝5}C.{x2－4x－5＝0} D.{－1,5}
√
根据题意，解x2－4x－5＝0可得x＝－1或5，用列举法表示为{－1,5}.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
4.若1∈{x＋2，x2}，则实数x的值为A.－1 B.1C.1或－1 D.1或3
√
由1∈{x＋2，x2}，可得x2＝1或x＋2＝1，当x2＝1时，x＝±1.当x＝1时，x＋2＝3，满足要求；当x＝－1时，－1＋2＝1，不满足元素的互异性，舍去.当x＋2＝1时，x＝－1，舍去.∴x＝1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
5.下列集合中表示同一集合的是A.M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}B.M＝{2,3}，N＝{3,2}C.M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}D.M＝{2,3}，N＝{(2,3)}
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
选项A中的集合M是由点(3,2)组成的点集，集合N是由点(2,3)组成的点集，故集合M与N不是同一个集合；选项C中的集合M是由一次函数y＝1－x图象上的所有点组成的集合，集合N是由一次函数y＝1－x图象上的所有点的纵坐标组成的集合，即N＝{y|x＋y＝1}＝R，故集合M与N不是同一个集合；选项D中的集合M是数集，而集合N是点集，故集合M与N不是同一个集合；对于选项B，由集合中元素的无序性，可知M，N表示同一个集合.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
6.(多选)已知集合A＝{x∈N|x<6}，则下列关系式成立的是A.0∈A B.1.5∉AC.－1∉A D.6∈A
√
∵A＝{x∈N|x<6}＝{0,1,2,3,4,5}，∴6∉A，故D不成立，其余都成立.
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
7.集合{x|x＝2m－3，m∈N*，m<5}，用列举法表示为__________.
集合中的元素满足x＝2m－3，m∈N*，m<5，则m可取值为1,2,3,4，则满足条件的x值为－1,1,3,5.则集合用列举法表示为{－1,1,3,5}.
{－1,1,3,5}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
8.若集合A＝{x∈R|kx2＋4x＋4＝0}只有一个元素，则实数k的值为______.
集合A中只有一个元素，即方程kx2＋4x＋4＝0只有一个根.当k＝0时，方程为一元一次方程，只有一个根；当k≠0时，方程为一元二次方程，若只有一个根，则Δ＝16－16k＝0，即k＝1.所以实数k的值为0或1.
0或1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
9.用适当的方法表示下列集合：(1)方程x(x2＋2x＋1)＝0的解集；
{0，－1}.
(2)在自然数集内，小于1 000的奇数构成的集合；
{x|x＝2n＋1，且x<1 000，n∈N}.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(3)不等式x－2>6的解构成的集合；
{x|x>8}.
(4)大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合；
{1,2,3,4,5,6}.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解集用列举法表示为{(2，－1)}.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10.下列三个集合：①A＝{x|y＝x2＋1}；②B＝{y|y＝x2＋1}；③C＝{(x，y)|y＝x2＋1}.(1)它们是不是相同的集合？
它们是互不相同的集合.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(2)它们各自的含义分别是什么？
集合A＝{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，且x∈R；集合B＝{y|y＝x2＋1}的代表元素是y，满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1.集合C＝{(x，y)|y＝x2＋1}的代表元素是(x，y)，是抛物线y＝x2＋1上的点.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
11.由大于－3且小于11的偶数所组成的集合是A.{x|－3√
由题意可知，满足题设条件的只有选项D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
A.{2,3} B.{(2,3)}C.{x＝2，y＝3} D.(2,3)
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
13.已知A＝{a－2,2a2＋5a，12}且－3∈A，则由a的值构成的集合是
∵－3∈A，A＝{a－2,2a2＋5a，12}，
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
14.若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为可倒数集，则集合A＝{－1,1,2}______(填“是”或“不是”)可倒数集.试写出一个含三个元素的可倒数集______________________.
不是
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
15.对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或正奇数时，m※n＝m＋n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n＝mn，则在此定义下，集合M＝{(a，b)|a※b＝16}中的元素个数是A.18　　　 B.17　　　 C.16 　　　 D.15
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
因为1＋15＝16,2＋14＝16,3＋13＝16,4＋12＝16,5＋11＝16,6＋10＝16,7＋9＝16,8＋8＝16,9＋7＝16,10＋6＝16,11＋5＝16,12＋4＝16,13＋3＝16,14＋2＝16,15＋1＝16,1×16＝16,16×1＝16，集合M中的元素是有序数对(a，b)，所以集合M中的元素共有17个.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
所以A＝{1,7,9}，B＝{1,3,9}.所以集合A与B有2个相同的元素，集合A，B的相同元素组成的集合为{1,9}.