九年级上册21.3 实际问题与一元二次方程学案

专题21.3  一元二次方程与实际应用（一）（知识解读）

【直击考点】

 【学习目标】

1. 懂得运用一元二次方程解决有关变化率问题；
2. 懂得运用一元二次方程解决有关传播、分裂问题；
3. 懂得运用一元二次方程解决有关握手、比赛问题

【知识点梳理】

考点 1 变化率问题 ：

设基准数为a ，两次增长（或下降）后为 b；增长率（下降率）为 x，第一次增长（或下降）后 为；第二次增长（或下降）后为 ²．可列方程为 ²=b。

考点2 传染、分裂问题

有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人? 设每轮传染中平均一个人传染了x个人：

考点3 握手、比赛问题

握手问题：n个人见面，任意两个人都要握一次手，问总共握次手。赠卡问题：n个人相互之间送卡片，总共要送张卡片。

【典例分析】

【考点1变化率问题】

【例1】（2022春•沂源县校级月考）受益于国家支持新能源汽车发展等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高．据统计，2016年利润为2亿元，2018年利润为2.88亿元．

（1）求该企业从2016年到2018年利润的年平均增长率．

（2）若2019年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2019年的利润能否超过3.4亿元？

【变式1-1】（2021•东营）“杂交水稻之父”﹣﹣袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量700公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量1008公斤的目标．

（1）如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率；

（2）按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200公斤，请通过计算说明他们的目标能否实现．

【变式1-2】（2022•威宁县模拟）书籍是人类宝贵的精神财富，读书则是传承优秀文化的通道．我县为响应全民阅读活动，利用春节假期面向社会开放县图书馆．据统计，第一天进馆100人次，进馆人次逐天增加，第三天进馆121人次．若进馆人次的日平均增长率相同．

（1）求进馆人次的日平均增长率；

（2）因疫情防控要求限制，县图书馆每天接纳能力不得超过200人次，在进馆人次的日平均增长率不变的条件下，县图书馆能否接纳第四天的进馆人次，说明理由．

【变式1-3】（2022春•巴州区校级月考）为了满足社区居民强身健体的需要，政府准备采购若干套健身器材免费提供给社区，经过考察了解，飞跃公司有A，B两种型号的健身器材可供选择，已知飞跃公司2020年每套A型健身器材的售价为2.5万元，2020年每套B型健身器材的售价为2万元，2022年每套A型健身器材售价为1.6万元，每套A型，B型健身器材的年平均下降率相同．

（1）求2020年到2022年每套A型健身器材年平均下降率；

（2）2022年政府经过招标，决定年内采购并安装飞跃公司A，B两种型号的健身器材共80套，政府采购专项经费总计不超过112万元，并且采购A型器材费用不能少于B型器材的费用，请求出满足条件的采购方案．

【考点2 传染、分裂问题】

【例2】（2020秋•武汉期末）有5人患了流感，经过两轮传染后共有605人患流感，则第一轮后患流感的人数为（　　）

A．10 B．50 C．55 D．45

【变式2-1】（2021秋•滨城区期末）有两名流感病人，如果每轮传播中平均一个病人传染的人数相同，为了使两轮传播后，流感病人总数不超过288人，则每轮传播中平均一个病人传染的人数不能超过（　　）人．

A．11 B．10 C．9 D．8

【变式2-2】（2021•新民市开学）某学校有一名同学题了流感，经过两轮传染后共有121名同学得了流感，每轮传染中平均一名同学传染了几名同学？

【变式2-3】（2021秋•海淀区校级月考）2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有256人患新冠肺炎，求每轮传染中平均每个人传染了几个人？

【例3】（2021秋•舞阳县期中）某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干和小分支的总数是91，设每个枝干长出x小分支，列方程为（　　）

A．（1+x）2＝91 B．1+x+x2＝91 C．（1+x）x＝91 D．1+x+2x＝91

【变式3-1】（2021春•拱墅区校级月考）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的1个主干上长出x个枝干，每个枝干上再长出x个小分支．若在1个主干上的主干、枝干和小分支的数量之和是43个，则x等于（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7

【变式3-2】（2021秋•蓬江区期末）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是157，每个支干长出的小分支数目为（　　）

A．12 B．11 C．8 D．7

【变式3-3】（2019秋•萍乡期末）某树主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目小分支，主干、枝干和小分支总数共57根，则主干长出枝干的根数为（　　）

A．7 B．8 C．9 D．10

【考点3握手、比赛问题】

【例4】（2021秋•虎林市校级期末）2021年虎林市教育局组织开展了全市中学生篮球联赛，比赛采用单循环赛制（每两队之间进行一场比赛），共进行了66场比赛，则参加比赛的队伍数量是（　　）

A．10 B．11 C．12 D．13

【变式4-1】（2022•黑龙江模拟）某校八年级组织篮球赛，若每两班之间赛一场，共进行了28场，则该校八年级有（　　）个班级．

A．8 B．9 C．10 D．11

【变式4-2】（2020•河池）某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场，则参加此次比赛的球队数是（　　）

A．6 B．7 C．8 D．9

【变式4-3】（2021•南漳县模拟）参加一次绿色有机农产品交易会的每两家公司都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同，参加这次交易会的公司共有（　　）

A．9家 B．10家 C．10家或9家 D．19家

【例5】（2021秋•兰山区期末）一个小组若干人，新年互送贺卡一张，若全组共送贺卡90张，则这个小组共有（　　）

A．9人 B．10人 C．12人 D．15人

【变式5-1】（2021•宜州区模拟）某班学生毕业时，每一位同学都向全班其他同学送一张自己的相片作为纪念，全班共送了2550张相片，若设全班有x名学生，则可列方程为（　　）

A．x2﹣1＝2550 B．x（x﹣1）＝2550 

C．（x﹣1）2＝2550 D．x（x﹣1）＝5100

【变式5-2】（2020秋•红桥区期末）要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），共要比赛90场．设共有x个队参加比赛，则x满足的关系式为（　　）

A．x（x+1）＝90 B．x（x﹣1）＝90 

C．x（x+1）＝90 D．x（x﹣1）＝90

【变式5-3】（2021春•济宁期末）参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛72场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，所列方程为 　          　．

专题21.3  一元二次方程与实际应用（一）（知识解读）

【直击考点】

 【学习目标】

4. 懂得运用一元二次方程解决有关变化率问题；
5. 懂得运用一元二次方程解决有关传播、分裂问题；
6. 懂得运用一元二次方程解决有关握手、比赛问题

【知识点梳理】

考点 1 变化率问题 ：

设基准数为a ，两次增长（或下降）后为 b；增长率（下降率）为 x，第一次增长（或下降）后 为；第二次增长（或下降）后为 ²．可列方程为 ²=b。

考点2 传染、分裂问题

有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人? 设每轮传染中平均一个人传染了x个人：

考点3 握手、比赛问题

握手问题：n个人见面，任意两个人都要握一次手，问总共握次手。赠卡问题：n个人相互之间送卡片，总共要送张卡片。

【典例分析】

【考点1变化率问题】

【例1】（2022春•沂源县校级月考）受益于国家支持新能源汽车发展等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高．据统计，2016年利润为2亿元，2018年利润为2.88亿元．

（1）求该企业从2016年到2018年利润的年平均增长率．

（2）若2019年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2019年的利润能否超过3.4亿元？

【答案】（1） 20%（2）能超过3.4亿元

【解答】解：（1）设该企业从2016年到2018年利润的年平均增长率为x，

依题意得：2（1+x）2＝2.88，

解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．

答：该企业从2016年到2018年利润的年平均增长率为20%．

（2）2.88×（1+20%）＝3.456（亿元），

∵3.456亿元＞3.4亿元，

∴若2019年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2019年的利润能超过3.4亿元．

【变式1-1】（2021•东营）“杂交水稻之父”﹣﹣袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量700公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量1008公斤的目标．

（1）如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率；

（2）按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200公斤，请通过计算说明他们的目标能否实现．

【答案】（1）20%    （2）能实现

【解答】解：（1）设亩产量的平均增长率为x，

依题意得：700（1+x）2＝1008，

解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．

答：亩产量的平均增长率为20%．

（2）1008×（1+20%）＝1209.6（公斤）．

∵1209.6＞1200，

∴他们的目标能实现．

【变式1-2】（2022•威宁县模拟）书籍是人类宝贵的精神财富，读书则是传承优秀文化的通道．我县为响应全民阅读活动，利用春节假期面向社会开放县图书馆．据统计，第一天进馆100人次，进馆人次逐天增加，第三天进馆121人次．若进馆人次的日平均增长率相同．

（1）求进馆人次的日平均增长率；

（2）因疫情防控要求限制，县图书馆每天接纳能力不得超过200人次，在进馆人次的日平均增长率不变的条件下，县图书馆能否接纳第四天的进馆人次，说明理由．

【答案】（1）10%（2）能接纳第四天的进馆人次．

【解答】解：（1）设进馆人次的日平均增长率为x，

根据题得，100（1+x）2＝121，

解得x1＝0.1＝10%，x2＝﹣1.1（不符题意，舍去），

答：进馆人次的日平均增长率为10%；

（2）因为第四天的进馆人次为121×（1+0.1）＝133.1（人次），

而133.1＜200，

所以县图书馆能接纳第四天的进馆人次．

答：县图书馆能接纳第四天的进馆人次．

【变式1-3】（2022春•巴州区校级月考）为了满足社区居民强身健体的需要，政府准备采购若干套健身器材免费提供给社区，经过考察了解，飞跃公司有A，B两种型号的健身器材可供选择，已知飞跃公司2020年每套A型健身器材的售价为2.5万元，2020年每套B型健身器材的售价为2万元，2022年每套A型健身器材售价为1.6万元，每套A型，B型健身器材的年平均下降率相同．

（1）求2020年到2022年每套A型健身器材年平均下降率；

（2）2022年政府经过招标，决定年内采购并安装飞跃公司A，B两种型号的健身器材共80套，政府采购专项经费总计不超过112万元，并且采购A型器材费用不能少于B型器材的费用，请求出满足条件的采购方案．

【答案】（1）20% (2)6种购买方案

【解答】解：（1）设每套A型健身器材年平均下降率为x，

根据题意得：2.5（1﹣x）2＝1.6，

解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（舍去）．

答：每套A型健身器材年平均下降率为20%；

（2）2×（1﹣20%）2＝1.28（万元）．

设购买B型健身器材m套，则购买A型健身器材（80﹣m）套，

根据题意得：1.6（80﹣m）+1.28m≤112，

解得：m≤50．

又因为采购A型器材费用不能少于B型器材的费用，

所以1.6（80﹣m）≥1.28m，

解得m≥＝44．

故44≤m≤50．

因为m是正整数，

所以m的值为45，46，47，48，49，50，

则（80﹣m）的值为35，34，33，32，31，30，

所以共有6种购买方案：

方案一：购买A型健身器材35套，购买B型健身器材45套；

方案二：购买A型健身器材34套，购买B型健身器材46套；

方案三：购买A型健身器材33套，购买B型健身器材47套；

方案四：购买A型健身器材32套，购买B型健身器材48套；

方案五：购买A型健身器材31套，购买B型健身器材49套；

方案六：购买A型健身器材30套，购买B型健身器材50套

【考点2 传染、分裂问题】

【例2】（2020秋•武汉期末）有5人患了流感，经过两轮传染后共有605人患流感，则第一轮后患流感的人数为（　　）

A．10 B．50 C．55 D．45

【答案】C

【解答】解：设每轮传染中每人传染x人，

依题意，得：5+5x+x（5+5x）＝605，

整理，得：x2+2x﹣120＝0，

解得：x1＝10，x2＝﹣12（不合题意，舍去），

∴5+5x＝55．

故选：C．

【变式2-1】（2021秋•滨城区期末）有两名流感病人，如果每轮传播中平均一个病人传染的人数相同，为了使两轮传播后，流感病人总数不超过288人，则每轮传播中平均一个病人传染的人数不能超过（　　）人．

A．11 B．10 C．9 D．8

【答案】A

【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染x人，

由题意得，2+2x+（2+2x）x＝288，

解得：x1＝11，x2＝﹣13，

答：每轮传播中平均一个病人传染的人数不能超过11个人．

故选：A．

【变式2-2】（2021•新民市开学）某学校有一名同学题了流感，经过两轮传染后共有121名同学得了流感，每轮传染中平均一名同学传染了几名同学？

【答案】10

【解答】解：设平均一名同学传染了x名同学，

根据题意得，1+x+（1+x）x＝121，

解得，x1＝10，x2＝﹣12（舍去），

答：平均一名同学传染了10名同学

【变式2-3】（2021秋•海淀区校级月考）2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有256人患新冠肺炎，求每轮传染中平均每个人传染了几个人？

【答案】15个人

【解答】解：设每轮传染中平均每个人传染了x个人，则第一轮传染了x个人，第二轮传染了x（1+x）人，

依题意得：1+x+x（1+x）＝256，

解得：x1＝15，x2＝﹣17（不合题意，舍去）．

答：每轮传染中平均每个人传染了15个人．

【例3】（2021秋•舞阳县期中）某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干和小分支的总数是91，设每个枝干长出x小分支，列方程为（　　）

A．（1+x）2＝91 B．1+x+x2＝91 C．（1+x）x＝91 D．1+x+2x＝91

【答案】B

【解答】解：设每个枝干长出x个小分支，则主干上长出了x个枝干，

根据题意得：x2+x+1＝91．

故选：B．

【变式3-1】（2021春•拱墅区校级月考）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的1个主干上长出x个枝干，每个枝干上再长出x个小分支．若在1个主干上的主干、枝干和小分支的数量之和是43个，则x等于（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】C

【解答】解：依题意，得：1+x+x2＝43，

整理，得：x2+x﹣42＝0，

解得：x1＝6，x2＝﹣7（不合题意，舍去）．

故选：C．

【变式3-2】（2021秋•蓬江区期末）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是157，每个支干长出的小分支数目为（　　）

A．12 B．11 C．8 D．7

【答案】A

【解答】解：设每个支干长出的小分支的数目是x个，

根据题意列方程得：x2+x+1＝157，

即（x+13）（x﹣12）＝0，

解得：x＝12或x＝﹣13（不合题意，应舍去）；

∴x＝12．

故选：A．

【变式3-3】（2019秋•萍乡期末）某树主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目小分支，主干、枝干和小分支总数共57根，则主干长出枝干的根数为（　　）

A．7 B．8 C．9 D．10

【答案】A

【解答】解：设主干长出x根枝干，

依题意，得：1+x+x2＝57，

解得：x1＝7，x2＝﹣8（不合题意，舍去）．

故选：A．

【考点3握手、比赛问题】

【例4】（2021秋•虎林市校级期末）2021年虎林市教育局组织开展了全市中学生篮球联赛，比赛采用单循环赛制（每两队之间进行一场比赛），共进行了66场比赛，则参加比赛的队伍数量是（　　）

A．10 B．11 C．12 D．13

【答案】C

【解答】解：设参加比赛的队伍有x支，

依题意得：x（x﹣1）＝66，

整理得：x2﹣x﹣132＝0，

解得：x1＝12，x2＝﹣11（不合题意，舍去）．

故选：C．

【变式4-1】（2022•黑龙江模拟）某校八年级组织篮球赛，若每两班之间赛一场，共进行了28场，则该校八年级有（　　）个班级．

A．8 B．9 C．10 D．11

【答案】A

【解答】解：设该校八年级有x个班级，

依题意得：x（x﹣1）＝28，

整理得：x2﹣x﹣56＝0，

解得：x1＝8，x2＝﹣7（不合题意，舍去）．

故选：A．

【变式4-2】（2020•河池）某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场，则参加此次比赛的球队数是（　　）

A．6 B．7 C．8 D．9

【答案】D

【变式4-3】（2021•南漳县模拟）参加一次绿色有机农产品交易会的每两家公司都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同，参加这次交易会的公司共有（　　）

A．9家 B．10家 C．10家或9家 D．19家

【答案】B

【解答】解：设参加这次交易会的公司共有x家，

依题意得：x（x﹣1）＝45，

整理得：x2﹣x﹣90＝0，

解得：x1＝10，x2＝﹣9（不合题意，舍去），

∴参加这次交易会的公司共有10家．

故选：B．

【例5】（2021秋•兰山区期末）一个小组若干人，新年互送贺卡一张，若全组共送贺卡90张，则这个小组共有（　　）

A．9人 B．10人 C．12人 D．15人

【答案】B

【解答】解：设这个小组共有x人，则每人需送出（x﹣1）张贺卡，

依题意得：x（x﹣1）＝90，

整理得：x2﹣x﹣90＝0，

解得：x1＝10，x2＝﹣9（不合题意，舍去）．

故选：B．

【变式5-1】（2021•宜州区模拟）某班学生毕业时，每一位同学都向全班其他同学送一张自己的相片作为纪念，全班共送了2550张相片，若设全班有x名学生，则可列方程为（　　）

A．x2﹣1＝2550 B．x（x﹣1）＝2550 

C．（x﹣1）2＝2550 D．x（x﹣1）＝5100

【答案】B

【解答】解：∵每一位同学都向全班其他同学送一张自己的相片作为纪念，且全班有x名学生，

∴每一位同学需送出（x﹣1）张相片．

依题意得：x（x﹣1）＝2550．

故选：B．

【变式5-2】（2020秋•红桥区期末）要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），共要比赛90场．设共有x个队参加比赛，则x满足的关系式为（　　）

A．x（x+1）＝90 B．x（x﹣1）＝90 

C．x（x+1）＝90 D．x（x﹣1）＝90

【答案】D

【解答】解：设有x个队参赛，则

x（x﹣1）＝90．

故选：D

【变式5-3】（2021春•济宁期末）参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛72场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，所列方程为 　          　．

【答案】x（x﹣1）＝72．

【解答】解：设参加比赛的球队有x支，

依题意得：x（x﹣1）＝72．

故答案为：x（x﹣1）＝72．