高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.1 函数的概念及其表示课时作业

3.1.2 函数的表示法

一、函数的表示方法

1、解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系。

优点：（1）简明、全面概括了变量间的关系；（2）利用解析式可求任意函数值。

缺点：不够形象、只管，而且并不是所有函数都有解析式。

2、列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系。

优点：不需要计算可以直接看出与自变量对应的函数值；

缺点：仅能表示自变量取较少的有限值时的对应关系。

3、图像法：用图象表示两个变量之间的对应关系。

优点：能形象直观地表示函数的变化情况；

缺点：只能近似求出自变量的值所对应的函数值，而且有时误差较大。

二、函数解析式的四种求法

1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数等），可用待定系数法．

（1）确定所有函数问题含待定系数的一般解析式；

（2）根据恒等条件，列出一组含有待定系数的方程；

（3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。

2、换元法：主要用于解决已知的解析式，求函数的解析式的问题

（1）先令，注意分析的取值范围；

（2）反解出x，即用含的代数式表示x；

（3）将中的x度替换为的表示，可求得的解析式，从而求得。

3、配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式，

然后以x替代g(x)，便得的解析式．

4、方程组法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式。

例如：若条件是关于与的条件（或者与）的条件，

可把代为（或者把代为）得到第二个式子，与原式联立方程组，求出

三、分段函数

1．定义：在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．

2．性质：（1）分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；

各段函数的定义域的交集是空集．

（2）作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象．

题型一 待定系数法求解析式

【例1】已知是反比例函数，且，则的解析式为（    ）

A．        B．         C．        D．

【答案】B

【解析】设，

∵，，∴.故选：B.

【变式1-1】设为一次函数，且．若，则的解析式为（    ）

A．或        B．

C．                    D．

【答案】B

【解析】设，其中，则，

所以，，解得或.

当时，，此时，合乎题意；

当时，，此时，不合乎题意.

综上所述，.故选：B.

【变式1-2】已知是二次函数．且．则________．

【答案】

【解析】设，

则，

，

所以，又，

因此，解得，所以.

【变式1-3】已知函数，其中是x的正比例函数，是x的反比例函数，且，则（    ）

A．3        B．8        C．9        D．16

【答案】C

【解析】根据题意设，则，

因为，

所以，解得，

所以，

所以，故选：C

题型二 换元法求解析式

【例2】已知，则（    ）．

A．        B．        C．        D．

【答案】D

【解析】令，则，；

所以.故选：D.

【变式2-1】设函数，则的表达式为（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】B

【解析】令，则且，所以，，

因此，.故选：B.

【变式2-2】已知，则的解析式为（    ）

A．            B．

C．        D．

【答案】D

【解析】因为，所以令，则，

所以，

所以，

因为，所以，即，

所以.故选：D.

【变式2-3】设，，则（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】B

【解析】因为，所以

又因为，所以，

令，则，，

所以.故选：B.

题型三 配凑法求解析式

【例3】已知函数，则＝（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】A

【解析】由函数

得

∴．故选：A．

【变式3-1】若函数，且，则实数的值为（    ）

A．        B．或        C．        D．3

【答案】B

【解析】令（或），，

，，.故选：B

【变式3-2】已知，求的解析式.

【答案】

【解析】，

因为

所以.

【变式3-3】已知，则=_____.

【答案】或

【解析】，

或．

故答案为：或．

题型四 方程组法求解析式

【例4】已知，则（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】A

【解析】解：由，得

，

解得.故选：A.

【变式4-1】已知满足，求的解析式.

【答案】.

【解析】因为满足，则，

联立方程组解得，即为所求.

【变式4-2】已知函数满足，则等于（    ）

A．        B．3        C．        D．1

【答案】A

【解析】①，则②，

联立①②解得，

则,故选：A

【变式4-3】已知函数f(x)满足f(x)＋2f(3－x)＝x2，则f(x)的解析式为（    ）

A．f(x)＝x2－12x＋18        B．f(x)＝－4x＋6

C．f(x)＝6x＋9              D．f(x)＝2x＋3

【答案】B

【解析】用代替原方程中的得：

f(3－x)＋2f[3－(3－x)]＝f(3－x)＋2f(x)＝(3－x)2＝x2－6x＋9，

∴

消去得：－3f(x)＝－x2＋12x－18，

. 故选：B

题型五 求分段函数的解析式

【例5】已知函数，则（    ）

A．5        B．        C．        D．

【答案】A

【解析】因为

所以，故选：A

【变式5-1】设函数，则的值为（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】B

【解析】因为，

所以，

所以，故选：B

【变式5-2】已知函数，则（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】B

【解析】因为，

所以，，，故选：B．

【变式5-3】已知函数，若，则___________.

【答案】0

【解析】若，；

若，；

若，.

综上，.