2021学年第三章 函数概念与性质3.1 函数的概念及其表示获奖课件ppt

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3.1.1 函数的概念
客观世界中有各种各样的运动变化现象． 例如，天宫二号在发射过程中，离发射点的距离随时间的变化而变化；一个装满水的蓄水池在使用过程中，水面高度随时间的变化而不断降低；我国高速铁路营业里程逐年增加，已突破２万公里…… 所有这些都表现为变量间的对应关系，这种关系常常可用函数模型来描述， 并且通过研究函数模型就可以把握相应的运动变化规律．
在初中我们已经接触过函数的概念，知道函数是刻画变量之间对应关系的数学模型和工具.
在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应.那么就说y是x的函数，其中x叫做自变量.
初中所学的函数的概念:
然而，客观世界纷繁复杂，变量之间的函数模型远不止这些，复杂程度也不是初中的函数定义所能涵盖的.
问题１ 某“复兴号”高速列车加速到350km/h后保持匀速运行半小时．这段时间内，列车行进的路程S(单位：km)与运行时间t(单位：h)的关系可以表示为: S＝350t ①
t的变化范围:A1＝｛t｜0≤t≤0.5｝， S的变化范围:B１＝｛S｜0≤S≤175｝． 对于A１中任一t，按照①，B１中都有唯一确定的S和它对应.
这里S和t是两个变量，而且对于t的每一个确定的值，S都有唯一确定的值与之对应，所以S是t的函数．
问题2 某电气维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天．如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资，那么你认为该怎样确定一个工人每周的工资？
d的变化范围:A2＝{1, 2, 3, 4, 5, 6}， w的变化范围:B2＝{350, 700, 1050, 1400, 1750, 2100}． 对于A2中任一d，按照②，B2中都有唯一确定的w和它对应.
显然，工资w 是一周工作天数d 的函数，其对应关系是 w＝350d ②
问题3 图1是北京市2016年11月23日的空气质量指数变化图．如何根据该图确定这一天内任一时刻tｈ的空气质量指数的值I？
t的变化范围:A3＝{t｜0≤t≤24}， I的变化范围:B3＝{I｜0＜I＜150}． 对于A3中任一t，按照图1，B3中都有唯一确定的I和它对应.
问题4 国际上常用恩格尔系数r(r＝食物支出金额/总支出金额)反映一个地区人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高．表1是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况，从中可以看出，该省城镇居民的生活质量越来越高．
年份y的范围:A4＝{2006，2007，…，2015}， 系数r的范围:B4＝{r｜0＜r≤1}． 对于A4中任一y，按照表1，B4中都有唯一确定的r和它对应.
上述问题１～问题４中的函数有哪些不同点和共同特征？
共同特征： (１)都包含两个非空数集，用A，B来表示； (２)都有一个对应关系； (３)尽管对应关系表示方法不同，但它们都有如下特性：对于数集A中的任意一个数x，按照对应关系，在数集B中都有唯一确定的数y和它对应.
不同点：问题1和问题2是用解析式刻画变量之间的对应关系，问题3是用图象刻画变量之间的对应关系，问题4是用表格刻画变量之间的对应关系.
一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A 中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系 f ，在集合B中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称 f ：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作: y＝f(x)，x∈A ．
除解析式、图象、表格外，还有其他表示对应关系的方法．为了表示方便， 我们引进符号f 统一表示对应关系．
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)｜x∈A}叫做函数的值域. 值域是数集B的子集.
请你说出问题1～问题4中各函数的定义域和值域.
1.问题1与问题2抽象出的是同一个函数吗？为什么？
2.请你为函数解析式y＝x(10-x)构建一个问题情境.
3.集合A，B与对应关系f 如下图所示： f ：A→B是否为从集合A 到集合B的函数？如果是，那么定义域、值域与对应关系各是什么？
设a，b是两个实数，而且a1) 满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间， 表示为_______.
2) 满足不等式a3) 满足不等式a≤x这里的_________都叫做相应区间的端点.
[a，b），（a，b]
（1）{x|5≤x<6} （2）{x|x≥9} （3）{x|x≤-1}∩{x|-5≤x<2}（4）{x|x<-9}∪{x|9试用区间表示下列实数集:
1.已知集合A={x|0≤x≤4},B={y|0≤y≤2},下列 从A到B的各对应关系不是函数的是 .
核心素养 之 数据分析 + 逻辑推理
（3） （注意：（2）是函数，值域是B的真子集）
严格对照函数定义逐一判断. 值域可以是B，也可以是B的真子集.
2.已知A={1，2，3，k}, B={4，7，a4，a2+3a}， a∈N*，k∈N*，x∈A，y∈B， f: x→y=3x+1是从 定义域A到值域B的一个函数，则a+k= .
核心素养 之 逻辑推理 + 数据分析
1→4，2→7，3→10，若a4=10, 与a∈N*不符！故a2+3a=10,解得a=2；从而3k+1=a4=16, k=5. 所以a+k=7
本题中的对应关系决定了k对应的元素不能是4，7，10，故只能是16.
核心素养 之 直观想象 + 数据分析
由函数图像知f(3)=1, f(1)=2 .
4.已知两个函数f (x)和g(x)的定义如下表：
则方程g(f(x))＝x的解集为 .
g(f(1))＝2≠1 ; g(f(2))＝1≠2 ; g(f(3))＝3 .
5.下列可作为函数y= f (x)的图象的是（ ）
　Ａ　　　　　Ｂ　　　　　Ｃ　　　　　Ｄ
核心素养 之 直观想象 + 逻辑推理
选D； 只有D符合函数定义
一个自变量的值对应两个或多个因变量的值，都不符合函数定义.
核心素养 之 数学抽象 + 数学建模
第(2)题出现了复合函数值问题，求解时本着先内后外的顺序； 求分式函数值域，可数形结合； 求二次函数值域，可依据完全平方的非负性.
7. 下列函数中哪个与函数 y = x 相等( )
核心素养 之 数据分析
(1)变形后局部可用基本不等式； (2)与 (3)根据和或积的 结构特征，可先配凑，再用基本不等式.
A. B.
C. D.
核心素养 之 数据分析
a0要求a≠0; 分母不为零；开偶次方时被开方数非负；对于实际问题，自变量的值要使得实际问题有意义.
数学思想 之 数形结合 + 函数思想
1.要注意定义域对值域的影响；2. 分式函数图像可以由反比例函数的图像左右平移得到.
数学思想 之 分类讨论
选D 对照定义一一排查
在数轴上看，绝对值包含两个方面的信息，一是离原点的远近，二是在原点的非左侧.
一、本节课学习的新知识
二、本节课提升的核心素养
三、本节课训练的数学思想方法
基础作业： .
能力作业： .