北师大版高中数学必修第一册第八章数学建模活动(一)PPT课件

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第八章　数学建模活动(一)§1　走近数学建模§2　数学建模的主要步骤§3　数学建模活动的主要过程知识探究·素养培育探究点一走近数学建模[实际问题　哥尼斯堡七桥问题]普莱格尔河穿过美丽的哥尼斯堡城(现为俄罗斯的加里宁格勒).普莱格尔河有两个支流,在城市中心汇成大河,中间是岛区,在河上有七座桥,如图.岛上有古老的哥尼斯堡大学、知名的大教堂,居民经常到河岸和桥上散步.在18世纪初的一天,有人突发奇想:如何才能走过这七座桥,而每座桥都只能经过一次,最后又回到原来的出发点?人们开始沉迷于这个问题,在桥上来来回回不知走了多少次,却始终不得其解.这就是著名的哥尼斯堡七桥问题.[实际问题的数学表述]七桥问题引起了数学家欧拉的极大兴趣.他想:经过这么多人的努力都没有找到一次不重复走完七座桥的路径,会不会根本不存在这样的走法?首先,欧拉想到的是列举法,就是把所有的走法都一一列出来,再一个一个验证.但是,他很快发现这样做太麻烦了,因为对七座桥的不同走法就有5 000多种,并且这种方法不具有通用性.经过反复思考,欧拉想到:岛的形状、大小,以及桥的长短、宽窄并不影响结果,重要的是陆地、桥与岛这三者之间的位置关系.不妨把图中被河隔开的4块陆地看作4个点,连接陆地的7座桥看作7条线,就得到如图的图形.实际问题中的陆地、河流和桥梁景观就不见了,七桥问题就变成能否一笔画出此图形的问题.这就是欧拉对七桥问题建立起来的数学模型.[数学问题的解决]欧拉注意到,如果这样的图形能一笔画成,那么除去起点和终点外,其他的点都是“经过点”.“经过点”的特征是:只要从一条线进入这个点,就要从另一条线离开这个点.有进无出,只能是终点;有出无进,只能是起点.若以某一点为端点的线有偶数条,则称该点为偶点;否则称为奇点.显然“经过点”是偶点.如果起点和终点是同一个点,那么这个点也是偶点.一笔画定理:一个由点和线组成的图形能一笔画完,必须符合以下两个条件:(1)图形是连在一起的,即是连通图形;(2)图形中的奇点个数为0或2.[用数学结论解答原问题]在七桥问题中,四个点全是奇点,不能一笔画,即不可能一次无重复地走完七座桥.1741年,欧拉的相关论文发表在《圣彼得堡科学院通讯》上,开创了图论和拓扑学两门新的学科.欧拉对实际问题进行抽象概括,用数学的语言(模型)把实际问题转化为数学问题,又用数学的思想方法分析、解决了这个问题,这个过程就是数学建模.[用数学结论解答相关问题][例1] 如图是11个旅游景点的线路,要看完所有景点,请设计一条旅游线路.解:有两个奇点,在8和5这两个位置,旅游线路可以是8→9→10→2→11→4→3→2→1→8→7→6→5→10→4→5.探究点二实例探究　数学建模的主要步骤[提出问题]在一个十字路口,每次绿灯亮的时长为15 s,那么,每次绿灯亮时,在一条直行道路上能有多少辆汽车通过此十字路口?[建立模型]这个问题涉及车长、车距、车速、堵塞的干扰等多种因素.而不同型号车的车长是不同的,驾驶员的习惯不同也会使车距、车速不同,行人和非机动车的干扰因素复杂且不确定.面对这些不同和不确定,就需要作出假设.例如,虽然通过路口的车辆各种各样,但多数是小轿车,因此这次建模就只考虑小轿车的情况,它们的长度差距不大,可以假设车辆长度都相同.　　这是建模的重要环节——假设.经过对相关因素的分析,可以作出有利于建立模型、基本符合实际情况的几个假设:(1)通过路口的车辆长度都相等;(2)等待时,前后相邻两辆车的车距都相等;(3)绿灯亮后,汽车都是在静止状态下匀加速启动;(4)前一辆车启动后,下一辆车启动的延时时间相等;(5)车辆行驶秩序良好,不会发生堵塞.将车辆长度记作l,车距记作d,经过实际调查,取l=5 m,d=2 m较为合理.　　另据调查,一般的汽车按照十字路口的加速状态,10 s内可从静止加速到21 m/s,加速度记作a,计算可得a=2.1 m/s2.为了简化,这里取a=2 m/s2.汽车加速到最高限速后,便以这个最高限速行驶.　　问题中涉及的数据要建模者收集[求解模型]代入各个量的参数值,可以计算出绿灯亮至15 s时若干辆汽车的位置,如表.由表可见,绿灯亮至15 s时,第7辆车已经驶过停车线 16.0 m,而第8辆车还距停车线2.1 m,没有通过.因此,15 s的绿灯亮时最多可以通过7辆车.[检验结果]到十字路口实地调查,对结论做检验.若没有明显误差,就可以使用这个模型.否则,再修改假设,重新建模.方法总结数学建模的一般步骤(1)提出问题实际情境中的问题往往是模糊的和笼统的,原始的问题往往是一个希望得到优化的期待,或是某个不良现象的消失,这就需要透过现象,明确地提出问题.(2)建立模型在一定的知识积累的基础上,预测建立的数学模型,抓住主要因素,摒弃次要因素,做出适当简化和假设.在假设的基础上,用数学概念表示实际问题,用数学结构反映实际问题中各个量之间的关系.从不同角度、用不同知识表示同样的问题,就会得到不同的模型.(3)求解模型这个过程是求解数学问题,值得注意的是,如果目标是求值,一般不容易求得精确值,这就要根据需要求近似解.(4)检验结果用实际现象或数据检验求得的解是否符合实际.如果不符合实际情况,就要重新建模.[拓展升华](一)数学应用题的特点我们常把来源于客观世界,具有实际意义或实际背景,要通过数学建模的方法将问题转化为数学形式表示,从而获得解决的一类数学问题叫作数学应用题.数学应用题具有如下特点:第一,数学应用题的本身具有实际意义或实际背景.这里的实际是指生产实际、社会实际、生活实际等现实世界的各个方面的实际.如与课本知识密切联系的源于实际生活的应用题;与横向学科知识网络交汇点有联系的应用题;与现代科技发展、社会市场经济、环境保护、时事政治等有关的应用题等.第二,数学应用题的求解需要采用数学建模的方法,使所求问题数学化,即将问题转化成数学形式来表示后再求解.第三,数学应用题涉及的知识点多,是对综合运用数学知识和方法解决实际问题能力的检验,考查的是学生的综合能力,涉及的知识点一般在三个以上,如果某一知识点掌握不好,很难将问题正确解答.第四,数学应用题的命题没有固定的模式或类别.往往是一种新颖的实际背景,难于进行题型模式训练,用“题海战术”无法解决变化多端的实际问题.必须依靠真实的能力来解题,对综合能力的考查更具有真实性、有效性.因此它具有广阔的发展空间和潜力.(二)数学应用题如何建模建立数学模型是解答数学应用题的关键.建立数学模型可分为以下几个层次:第一层次:直接建模.根据题设条件,套用现成的数学公式、定理等数学模型,注解图为:将题设条件翻译成数学表示形式.应用题审题题设条件代入数学模型求解选定可直接运用的数学模型.第二层次:多重建模.对复杂的关系进行提炼加工,忽略次要因素,建立若干个数学模型方能解决问题.第三层次:假设建模.要进行分析、加工和作出假设,然后才能建立数学模型.如研究十字路口车流量问题,假设车流平稳,没有突发事件等才能建模.(三)建立数学模型应具备的能力从实际问题中建立数学模型,解决数学问题从而解决实际问题,这一全过程的关键是建立数学模型能力的强弱,直接关系到数学应用题的解题质量,同时也体现了综合能力.1.提高分析、理解、阅读能力阅读理解能力是数学建模的前提,数学应用题一般都创设一个新的背景,也针对问题本身使用一些专门术语,并给出即时定义.2.强化将文字语言叙述、翻译成数学符号语言的能力将数学应用题中所有表示数量关系的文字、图象语言翻译成数学符号语言,即数、式子、方程、不等式、函数等,这种译释能力是数学建模的基础性工作.例如:一种产品原来的成本为a元,在今后几年内,计划使成本平均每一年比上一年降低p%,经过五年后的成本为多少?将题中给出的文字翻译成符号语言,即成本y=a(1-p%)5.3.增强选择数学模型的能力选择数学模型是数学能力的反映.数学模型的建立有多种方法,怎样选择一个最佳的模型,体现数学能力的强弱.建立数学模型主要涉及方程、函数、不等式、数列通项公式、求和公式、曲线方程等类型.结合教学内容,以函数建模为例,以下为实际问题所选择的数学模型:一次函数:成本、利润、销售收入等.二次函数:优化问题、用料最省问题、造价最低、利润最大等.幂函数、指数函数、对数函数:细胞分裂、生物繁殖等.三角函数:测量、交通流量、力学问题等.4.加强数学运算能力数学应用题一般运算量较大、较复杂,且有近似计算.有的尽管思路正确、建模合理,但计算能力欠缺,就会前功尽弃.所以加强数学运算推理能力是使数学建模正确求解的关键所在,忽视运算能力,特别是计算能力的培养,只重视推理过程,不重视计算过程的做法是不可取的.利用数学建模解数学应用题对于多角度、多层次、多侧面思考问题,培养学生发散思维能力是很有益的,是提高学生素质,进行素质教育的一条有效途径.同时数学建模的应用也是科学实践,有利于实践能力的培养,是实施素质教育所必需的,需要引起教育工作者的足够重视.(四)数学建模解应用题举例[例2] 你是否注意到有些建筑物的窗户是双层的,即窗户上装两层玻璃且中间留有一定空隙,如图(1)所示,两层厚度为d的玻璃夹着一层厚度为l的空气.据说这样做是为了保暖,即减少室内向室外的热量流失.我们要建立一个模型来描述热量通过窗户的传导(即流失)过程,并将双层玻璃窗与用同样多材料做成的单层玻璃窗(如图(2),玻璃厚度为2d)的热量传导进行对比,对双层玻璃窗能够减少多少热量损失给出定量分析结果.模型假设:(1)热量的传播过程只有传导,没有对流.即假定窗户的密封性能很好,两层玻璃之间的空气是不流动的.(2)室内温度T1和室外温度T2保持不变,热传导过程已处于稳定状态,即沿热传导方向,单位时间通过单位面积的热量是常数.(3)玻璃材料均匀,热传导系数是常数.从有关资料可知,常用玻璃的热传导系数为k1=4×10-3～8×10-3J/cm·s·kW·h,不流通、干燥空气的热传导系数为k2=2.5×10-4 J/cm·s·kW·h.则保温效果最好的双层玻璃的型号是(　　)(A)A型 (B)B型 (C)C型 (D)D型探究点三数学建模活动的主要过程中学的“数学建模活动”是运用数学模型思想解决实际问题的综合实践活动,以课题研究形式开展,可以小组合作,也可以独立完成.课题研究的过程包括“选题、开题、做题、结题”四个环节.选题就是选定研究的问题,开题是进一步明确研究的问题和设计解决问题的方案,做题就是研究者(研究小组)建立数学模型、用数学解决实际问题的实践活动,结题是研究小组向老师和同学们报告研究成果、进行答辩的过程,一般来讲,结题会是结题的基本形式.一项研究完成之后,要写出结题报告.[数学建模活动举例][例3] 在商场中,我们经常可以看到同一种商品会有多种大小不同的型号,其价格也各不相同.对比型号和价格,我们很容易发现:当商品的“量”增加时,价格也会增加;但是价格的增加与“量”的增加是不成比例的,也就是说买的商品的“量”越多,商品的平均价格越低,有人认为这是商家的营销策略,买得越多越划算,这样顾客往往倾向于购买大包装的商品.大包装的商品真的是薄利多销吗?就这一问题通过调查、分析、研究,完成选题、开题报告.解:变式训练3-1:针对“甲市区道路交通流量随时间变化规律”这一选题进行分析、思考,完成其开题报告.解:备用例题[例1] 某工艺公司要对某种工艺品深加工,已知每个工艺品进价为20元,每个工艺品的加工费为n元,销售单价为x元.根据市场调查,须有n∈[3,6],x∈[26,32],x∈N,同时日销售量m(单位:个)与10-x成正比.当每个工艺品的销售单价为29元时,日销售量为1 000个.(1)写出日销售利润y(单位:元)与x的函数关系式;(2)当每个工艺品的加工费用为5元时,要使该公司的日销售利润为100万元,试确定销售单价x的值.(提示:函数y=10x-26与y=x-25的图象在[26,32]上有且只有一个公共点)解:(2)当n=5时,由y=(x-25)1032-x=100×104=106,整理得x-25=10x-26.因为函数y=10x-26与y=x-25的图象在[26,32]上有且只有一个公共点,且当x=26时,等式成立,所以x=26是方程x-25=10x-26唯一的根,所以销售单价为26元时,该公司的日销售利润为100万元.(1)把利润表示为年产量的函数;(2)年产量为多少时,企业所得利润最大?(3)年产量为多少时,企业才不亏本(不赔钱)?(1)写出y关于x的函数关系式,并指出这个函数的定义域;(2)求鱼群年增长量的最大值;(3)当鱼群的年增长量达到最大值时,求k的取值范围.点击进入 检测试题