高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换第3课时导学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换第3课时导学案，共12页。

1．能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式．
2．能灵活运用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明等，掌握公式的正向、逆向及变形应用．
两角和与差的正切公式
温馨提示：在应用两角和与差的正切公式时，只要tanα，tanβ，tan(α＋β)(或tan(α－β))中任一个的值不存在，就不能使用两角和(或差)的正切公式解决问题，应改用诱导公式或其他方法解题．如化简taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－β))，因为taneq \f(π,2)的值不存在，所以不能利用公式T(α－β)进行化简，应改用诱导公式来化简，即taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－β))＝eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－β)),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－β)))＝eq \f(csβ,sinβ).
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)tanα·tanβ，tanα＋tanβ，tan(α＋β)三者知二可表示或求出第三个．( )
(2)taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋\f(π,3)))能根据公式tan(α＋β)直接展开．( )
(3)存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tanα＋tanβ成立．( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√
题型一 正切公式的正用
【典例1】 (1)求值：tan(－75°)；
(2)已知csα＝eq \f(4,5)，α∈(0，π)，tan(α－β)＝eq \f(1,2)，求tanβ.
[思路导引] (1)75°＝45°＋30°，利用两角和的正切公式求解；(2)由已知可求得sinα的值，则可求得tanα，因为β＝α－(α－β)，所以tanβ＝tan[α－(α－β)]，再利用两角差的正切公式求解．
[解] (1)tan75°＝tan(45°＋30°)
＝eq \f(tan45°＋tan30°,1－tan45°tan30°)＝eq \f(1＋\f(\r(3),3),1－\f(\r(3),3))＝eq \f(3＋\r(3),3－\r(3))
＝eq \f(12＋6\r(3),6)＝2＋eq \r(3)，
tan(－75°)＝－tan75°＝－2－eq \r(3).
(2)∵csα＝eq \f(4,5)>0，α∈(0，π)，∴sinα>0.
∴sinα＝eq \r(1－cs2α)＝ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))2)＝eq \f(3,5)，
∴tanα＝eq \f(sinα,csα)＝eq \f(\f(3,5),\f(4,5))＝eq \f(3,4).
∴tanβ＝tan[α－(α－β)]
＝eq \f(tanα－tanα－β,1＋tanα·tanα－β)＝eq \f(\f(3,4)－\f(1,2),1＋\f(3,4)×\f(1,2))＝eq \f(2,11).
[变式] 本例(2)中，其他条件不变，求tan(2α－β)．
[解] tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]
＝eq \f(tanα＋tanα－β,1－tanα·tanα－β)＝eq \f(\f(3,4)＋\f(1,2),1－\f(3,4)×\f(1,2))＝2.
(1)利用公式T(α＋β)求角的步骤：
①计算待求角的正切值．
②缩小待求角的范围，特别注意隐含的信息．
③根据角的范围及三角函数值确定角．
(2)注意用已知角来表示未知角．
[针对训练]
1．已知tanα＝2，tanβ＝－eq \f(1,3)，其中0<α(1)tan(α－β)；
(2)α＋β的值．
[解] (1)因为tanα＝2，tanβ＝－eq \f(1,3)，
所以tan(α－β)＝eq \f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)＝eq \f(2＋\f(1,3),1－\f(2,3))＝7.
(2)因为tan(α＋β)＝eq \f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq \f(2－\f(1,3),1＋\f(2,3))＝1，
又因为0<α所以eq \f(π,2)<α＋β题型二 正切公式的逆用
【典例2】 求值：(1)eq \f(tan74°＋tan76°,1－tan74°tan76°)；
(2)eq \f(\r(3)－tan15°,1＋\r(3)tan15°).
[思路导引] (1)逆用两角和的正切公式；(2)将eq \r(3)换成tan60°，再逆用两角差的正切公式．
[解] (1)原式＝tan(74°＋76°)＝tan150°＝－eq \f(\r(3),3).
(2)原式＝eq \f(tan60°－tan15°,1＋tan60°tan15°)
＝tan(60°－15°)＝tan45°＝1.
化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用
当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”、“eq \r(3)”时，要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换，如“1＝taneq \f(π,4)”，“eq \r(3)＝taneq \f(π,3)”，这样可以构造出公式的形式，从而可以进行化简和求值．
[针对训练]
2．求值：(1)eq \f(cs75°－sin75°,cs75°＋sin75°)；
(2)eq \f(1－tan27°tan33°,tan27°＋tan33°).
[解] (1)原式＝eq \f(1－tan75°,1＋tan75°)
＝eq \f(tan45°－tan75°,1＋tan45°tan75°)＝tan(45°－75°)
＝tan(－30°)＝－tan30°＝－eq \f(\r(3),3).
(2)原式＝eq \f(1,tan27°＋33°)＝eq \f(1,tan60°)＝eq \f(\r(3),3).
题型三 正切公式的变形应用
【典例3】 (1)化简：tan23°＋tan37°＋eq \r(3)tan23°tan37°；
(2)若锐角α，β满足(1＋eq \r(3)tanα)(1＋eq \r(3)tanβ)＝4，求α＋β的值．
[思路导引] (1)利用23°＋37°＝60°及两角和的正切公式将tan(23°＋37°)展开变形即可求解；(2)将所给关系式的左边展开，逆用两角和的正切公式求出tan(α＋β)．
[解] (1)解法一：tan23°＋tan37°＋eq \r(3)tan23°tan37°
＝tan(23°＋37°)(1－tan23°tan37°)＋eq \r(3)tan23°tan37°
＝tan60°(1－tan23°tan37°)＋eq \r(3)tan23°tan37°＝eq \r(3).
解法二：∵tan(23°＋37°)＝eq \f(tan23°＋tan37°,1－tan23°tan37°)，
∴eq \r(3)＝eq \f(tan23°＋tan37°,1－tan23°tan37°)，
∴eq \r(3)－eq \r(3)tan23°tan37°＝tan23°＋tan37°，
∴tan23°＋tan37°＋eq \r(3)tan23°tan37°＝eq \r(3).
(2)∵(1＋eq \r(3)tanα)(1＋eq \r(3)tanβ)
＝1＋eq \r(3)(tanα＋tanβ)＋3tanαtanβ＝4，
∴tanα＋tanβ＝eq \r(3)(1－tanαtanβ)，
∴tan(α＋β)＝eq \f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq \r(3).
又∵α，β均为锐角，∴0°<α＋β<180°，
∴α＋β＝60°.
T(α±β)可变形为如下形式：
①tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)或②1∓tanαtanβ＝eq \f(tanα±tanβ,tanα±β).当α±β为特殊角时，常考虑使用变形①，遇到1与切的乘积的和(或差)时常用变形②.
[针对训练]
3．在△ABC中，tanA＋tanB＋eq \r(3)＝eq \r(3)tanAtanB，则C等于( )
A.eq \f(π,3) B.eq \f(2π,3) C.eq \f(π,6) D.eq \f(π,4)
[解析] 因为tan(A＋B)＝eq \f(tanA＋tanB,1－tanAtanB)，
故tan(A＋B)＋eq \r(3)＝eq \f(tanA＋tanB,1－tanAtanB)＋eq \r(3)
＝eq \f(tanA＋tanB＋\r(3)－\r(3)tanAtanB,1－tanAtanB)；
根据题意可知，tanA＋tanB＋eq \r(3)－eq \r(3)tanAtanB＝0，
故tan(A＋B)＋eq \r(3)＝0，因为C＝π－A－B，故tan(A＋B)＝－tanC，所以tanC＝eq \r(3)，因为在三角形中0[答案] A
课堂归纳小结
1.公式T(α±β)的适用范围
由正切函数的定义可知α、β、α＋β(或α－β)的终边不能落在y轴上，即不为kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)．
2．公式T(α±β)的逆用
一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换．
如taneq \f(π,4)＝1，taneq \f(π,6)＝eq \f(\r(3),3)，taneq \f(π,3)＝eq \r(3)等.
要特别注意taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝eq \f(1＋tanα,1－tanα)，taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝eq \f(1－tanα,1＋tanα).
3．公式T(α±β)的变形应用
只要见到tanα±tanβ，tanαtanβ时，要有灵活应用公式T(α±β)的意识，就不难想到解题思路.
1．若tanα＝3，tanβ＝eq \f(4,3)，则tan(α－β)等于( )
A.eq \f(1,3) B．－eq \f(1,3)
C．3 D．－3
[解析] tan(α－β)＝eq \f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)＝eq \f(1,3).
[答案] A
2．已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，sinα＝eq \f(3,5)，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝( )
A.eq \f(1,7) B．7
C．－eq \f(1,7) D．－7
[解析] sinα＝eq \f(3,5)⇒csα＝－eq \f(4,5)⇒tanα＝－eq \f(3,4).
∴taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(tanα＋tan\f(π,4),1－tanαtan\f(π,4))＝eq \f(－\f(3,4)＋1,1－－\f(3,4)×1)＝eq \f(1,7).
[答案] A
3.eq \f(1＋tan15°,1－tan15°)＝________.
[解析] eq \f(1＋tan15°,1－tan15°)＝eq \f(tan45°＋tan15°,1－tan45°·tan15°)＝tan60°＝eq \r(3).
[答案] eq \r(3)
4．tan19°＋tan26°＋tan19°tan26°＝________.
[解析] tan45°＝tan(19°＋26°)＝eq \f(tan19°＋tan26°,1－tan19°tan26°)＝1.
所以tan19°＋tan26°＝1－tan19°tan26°，
则tan19°＋tan26°＋tan19°tan26°
＝1－tan19°tan26°＋tan19°tan26°＝1.
[答案] 1
5．若eq \f(sinα＋csα,sinα－csα)＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.
[解析] ∵eq \f(sinα＋csα,sinα－csα)＝eq \f(tanα＋1,tanα－1)＝3，
∴tanα＝2.
又tan(α－β)＝2，
∴tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]
＝－tan[(α－β)＋α]
＝－eq \f(tanα－β＋tanα,1－tanα－β·tanα)＝eq \f(4,3).
[答案] eq \f(4,3)
课后作业(五十)
复习巩固
一、选择题
1．设sinα＝eq \f(3,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)<α<π))，tan(π－β)＝eq \f(1,2)，则tan(α－β)的值为( )
A．－eq \f(2,7) B．－eq \f(2,5) C．－eq \f(2,11) D．－eq \f(11,2)
[解析] ∵sinα＝eq \f(3,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)<α<π))，∴tanα＝－eq \f(3,4).
∵tan(π－β)＝eq \f(1,2)，∴tanβ＝－eq \f(1,2).
∴tan(α－β)＝eq \f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)＝－eq \f(2,11).
[答案] C
2.eq \f(tan10°＋tan50°＋tan120°,tan10°tan50°)的值等于( )
A．－1 B．1 C.eq \r(3) D．－eq \r(3)
[解析] 因为tan60°＝tan(10°＋50°)＝eq \f(tan10°＋tan50°,1－tan10°tan50°)，
所以tan10°＋tan50°＝tan60°－tan60°tan10°tan50°.
所以原式
＝eq \f(tan60°－tan60°tan10°tan50°＋tan120°,tan10°tan50°)
＝－eq \r(3).
[答案] D
3．已知tan(α＋β)＝eq \f(3,5)，taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝eq \f(1,4)，那么taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))等于( )
A.eq \f(13,18) B.eq \f(13,23) C.eq \f(7,23) D.eq \f(1,6)
[解析] taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(α＋β－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))))
＝eq \f(\f(3,5)－\f(1,4),1＋\f(3,5)×\f(1,4))＝eq \f(7,23).
[答案] C
4．若α＋β＝eq \f(3π,4)，则(1－tanα)(1－tanβ)的值为( )
A.eq \f(1,2) B．1 C.eq \f(3,2) D．2
[解析] ∵tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)
＝taneq \f(3π,4)(1－tanαtanβ)＝tanαtanβ－1，
∴(1－tanα)(1－tanβ)＝1＋tanαtanβ－(tanα＋tanβ)＝2.
[答案] D
5．已知tanα，tanβ是方程x2＋3eq \r(3)x＋4＝0的两根，且－eq \f(π,2)<αA.eq \f(π,3) B．－eq \f(2π,3)
C.eq \f(π,3)或－eq \f(2π,3) D．－eq \f(π,3)或eq \f(2π,3)
[解析] 由一元二次方程根与系数的关系得tanα＋tanβ＝－3eq \r(3)，tanα·tanβ＝4，∴tanα<0，tanβ<0.
∴tan(α＋β)＝eq \f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq \f(－3\r(3),1－4)＝eq \r(3).
又∵－eq \f(π,2)<α∴－π<α＋β<0，∴α＋β＝－eq \f(2π,3).
[答案] B
二、填空题
6.eq \f(1＋tan12°tan72°,tan12°－tan72°)＝________.
[解析] eq \f(1＋tan12°tan72°,tan12°－tan72°)＝－eq \f(1,tan72°－12°)＝－eq \f(\r(3),3).
[答案] －eq \f(\r(3),3)
7．tan70°＋tan50°－eq \r(3)tan50°tan70°＝__________.
[解析] ∵tan70°＋tan50°＝tan120°(1－tan50°·tan70°)＝－eq \r(3)＋eq \r(3)tan50°·tan70°，∴原式＝－eq \r(3)＋eq \r(3)tan50°·tan70°－eq \r(3)tan50°·tan70°＝－eq \r(3).
[答案] －eq \r(3)
8.如下图，在△ABC中，AD⊥BC，D为垂足，AD在△ABC的外部，且BD∶CD∶AD＝2∶3∶6，则tan∠BAC＝________.
[解析] 不妨设BD＝2，CD＝3，AD＝6，则tan∠ABD＝3，tan∠ACD＝2，又∵∠BAC＝∠ABD－∠ACD，∴tan∠BAC＝eq \f(tan∠ABD－tan∠ACD,1＋tan∠ABD·tan∠ACD)＝eq \f(3－2,1＋3×2)＝eq \f(1,7).
[答案] eq \f(1,7)
三、解答题
9．已知taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)＋α))＝eq \r(2)，taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,3)))＝2eq \r(2)，求：
(1)taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋β－\f(π,4)))的值；
(2)tan(α＋β)的值．
[解] (1)taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋β－\f(π,4)))＝taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,3)))))
＝eq \f(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))＋tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,3))),1－tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,3))))＝eq \f(\r(2)＋2\r(2),1－\r(2)×2\r(2))＝－eq \r(2).
(2)tan(α＋β)＝taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋β－\f(π,4)))＋\f(π,4)))
＝eq \f(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋β－\f(π,4)))＋tan\f(π,4),1－tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋β－\f(π,4)))tan\f(π,4))＝eq \f(－\r(2)＋1,1＋\r(2)×1)＝2eq \r(2)－3.
10．已知tan(α－β)＝eq \f(1,2)，tanβ＝－eq \f(1,7)，α，β∈(0，π)，求2α－β的值．
[解] tanα＝tan[(α－β)＋β]＝eq \f(tanα－β＋tanβ,1－tanα－βtanβ)＝eq \f(1,3)，
又α∈(0，π)，所以α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4))).
tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]
＝eq \f(tanα＋tanα－β,1－tanαtanα－β)＝eq \f(\f(1,3)＋\f(1,2),1－\f(1,3)×\f(1,2))＝1，
而tanβ＝－eq \f(1,7)，β∈(0，π)，所以β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，
所以2α－β∈(－π，0)，2α－β＝－eq \f(3π,4).
综合运用
11．已知tanα和taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，则a，b，c的关系是( )
A．b＝a＋c B．2b＝a＋c
C．c＝a＋b D．c＝ab
[解析] 由根与系数的关系得：
tanα＋taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝－eq \f(b,a)，tanαtaneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝eq \f(c,a).
taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(α＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))))＝eq \f(tanα＋tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α)),1－tanαtan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α)))
＝eq \f(－\f(b,a),1－\f(c,a))＝1，得c＝a＋b.
[答案] C
12．(1＋tan1°)(1＋tan2°)·…·(1＋tan44°)(1＋tan45°)的值为( )
A．222 B．223 C．224 D．225
[解析] ∵(1＋tan1°)(1＋tan44°)＝1＋tan1°＋tan44°＋tan1°tan44°
＝1＋tan(1°＋44°)(1－tan1°tan44°)＋tan1°·tan44°
＝1＋1－tan1°tan44°＋tan1°tan44°＝2，
同理(1＋tan2°)(1＋tan43°)＝(1＋tan3°)(1＋tan42°)
＝…＝(1＋tan22°)(1＋tan23°)＝2
又1＋tan45°＝2
∴原式＝223.故选B.
[答案] B
13．已知α为锐角，且tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝2，则α等于________．
[解析] 因为tan2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]
＝eq \f(tanα＋β＋tanα－β,1－tanα＋βtanα－β)＝eq \f(3＋2,1－3×2)＝－1.
又因为α为锐角，2α∈(0，π)．所以2α＝eq \f(3,4)π，α＝eq \f(3,8)π.
[答案] eq \f(3,8)π
14．如果tanα，tanβ是方程x2－3x－3＝0的两根，则eq \f(sinα＋β,csα－β)＝________.
[解析] eq \f(sinα＋β,csα－β)＝eq \f(sinαcsβ＋csαsinβ,csαcsβ＋sinαsinβ)
＝eq \f(tanα＋tanβ,1＋tanαtanβ)＝eq \f(3,1＋－3)＝－eq \f(3,2).
[答案] －eq \f(3,2)
15.如下图所示，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为eq \f(\r(2),10)，eq \f(2\r(5),5).
(1)求tan(α＋β)的值；
(2)求α＋2β的值．
[解] 由条件得csα＝eq \f(\r(2),10)，csβ＝eq \f(2\r(5),5).
∵α，β为锐角，∴sinα＝eq \r(1－cs2α)＝eq \f(7\r(2),10)，
sinβ＝eq \r(1－cs2β)＝eq \f(\r(5),5).
因此tanα＝eq \f(sinα,csα)＝7，tanβ＝eq \f(sinβ,csβ)＝eq \f(1,2).
(1)tan(α＋β)＝eq \f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq \f(7＋\f(1,2),1－7×\f(1,2))＝－3.
(2)∵tan2β＝tan(β＋β)＝eq \f(2tanβ,1－tan2β)＝eq \f(2×\f(1,2),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2)＝eq \f(4,3)，
∴tan(α＋2β)＝eq \f(tanα＋tan2β,1－tanαtan2β)＝eq \f(7＋\f(4,3),1－7×\f(4,3))＝－1，
又∵α，β为锐角，∴0<α＋2β公式
简记符号
使用条件
tan(α＋β)＝eq \f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)
T(α＋β)
α，β，α＋β≠kπ＋eq \f(π,2)
(k∈Z)
tan(α－β)＝eq \f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)
T(α－β)
α，β，α－β≠kπ＋eq \f(π,2)
(k∈Z)