苏科版八年级数学上学期期中常考精选30题-2022-2023学年八年级数学上学期期中期末考点大串讲（苏科版）

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苏科版八年级数学上学期期中常考精选30题 考试范围：第1章-第3章的内容，共30小题. 一、单选题（共8小题） 1．（2022·江西赣州·八年级期末）以下列长度的三条线段为边能组成直角三角形的是（　　） A．3，4，5 B．2，3，4 C．3，4，6 D．2，4，5 【答案】A 【分析】根据勾股定理逆定理即两短边的平方和等于最长边的平方逐一判断即可． 【详解】A．，能构成直角三角形，故本选项正确． B．，不能构成直角三角形，故本选项错误； C．，不能构成直角三角形，故本选项错误； D．，不能构成直角三角形，故本选项错误； 故选A． 【点睛】本题考查的是勾股定理逆定理，熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键． 2．（2020·湖北·公安县教学研究中心八年级期中）在以下节水、绿色食品、质量安全、可回收物等四个标志中，是轴对称图形的有（    ）个．                   A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】解：第一个图不是轴对称图形，不符合题意； 第二个图是轴对称图形，符合题意； 第三个图不是轴对称图形，不符合题意； 第四个图不是轴对称图形，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查轴对称图形的知识点，解题的关键是确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 3．（2021·四川·东坡区实验中学八年级期中）如图，△ABC≌△DEF，若∠A=132°，∠FED=15°，则∠C等于（     ） A．13° B．23° C．33° D．43° 【答案】C 【分析】根据△ABC≌△DEF，∠FED=15°，得∠CBA=15°，再根据三角形内角和即可得答案． 【详解】解：∵△ABC≌△DEF，∠FED=15°， ∴∠CBA=∠FED=15°， ∵∠A=132°， ∴∠C=180°-132°=15°=33°， 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和，解题的关键是掌握三角形全等的性质． 4．（2022·青海·大通回族土族自治县东峡民族中学八年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．若AB=15，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为（   ） A．150 B．200 C．225 D．无法计算 【答案】C 【分析】根据勾股定理列式求解，从而得出答案． 【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°， 由勾股定理得，， ∴正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为225， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，正方形的面积等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 5．（2022·全国·八年级专题练习）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，S△ABD＝15，则CD的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝CD，然后利用△ABD的面积列式计算即可得解． 【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB于E， ∵∠C＝90°，AD平分∠BAC， ∴DE＝CD， ∴S△ABD＝AB•DE＝×10•DE＝15， 解得：DE＝3， ∴CD＝3. 故选：B. 【点睛】本题考查了三角形的面积和角平分线的性质，能熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解此题的关键． 6．（2022·西藏昂仁县中学八年级期中）如图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面9米处折断，树的顶端落在离树杆底部12米处，那么这棵树折断之前的高度是（    ）   A．9米 B．12米 C．15米 D．24米 【答案】D 【分析】根据勾股定理，计算树的折断部分是15米，则折断前树的高度是15+9=24米． 【详解】解：如图，AB=9米，AC=12米， 根据勾股定理得BC==15（米）， 于是折断前树的高度是15+9=24（米）． 故选D． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练运用勾股定理进行计算，是基础知识，比较简单． 7．（2022·黑龙江·肇东市第十中学八年级期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BD于点D，DEAC交AB于点E，若AB=8，则DE的长度是（    ） A．6 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】分别延长AC、BD交于点F，根据角平分线的性质得到∠BAD=∠FAD，证明△BAD≌△FAD，根据全等三角形的性质得到BD=DF，根据平行线的性质得到BE=ED，EA=ED，进一步计算即可求解． 【详解】解：分别延长AC、BD交于点F， ∵AD平分∠BAC，AD⊥BD， ∴∠BAD=∠FAD，∠ADB=∠ADF=90°， 在△BAD和△FAD中，， ∴△BAD≌△FAD（ASA）， ∴∠ABD=∠F， ∵DEAC， ∴∠EDB=∠F，∠EDA=∠FAD， ∴∠ABD=∠EDB，∠EDA=∠EAD， ∴BE=ED，EA=ED， ∴BE=EA=ED， ∴DE=AB=×8=4， 故选：D． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、平行线的性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 8．（2021·山东·梁山县第二中学八年级阶段练习）如图，在长方形ABCD中，．延长BC到E，使，连接动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿向终点A运动，设点P运动的时间为t秒，存在这样的t，使△DCP和△DCE全等，则t的值为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】分两种情况进行讨论，根据题意列方程即可求得． 【详解】解：①当在上时， 由题意得， 要使，则需 ， 即当时，； ②当在上时，不存在使和全等； ③当在上时，由题意得， ，， 要使，则需， 即， ， 即当时，； 综上所述，当或时，和全等． 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定． 二、填空题（共8小题） 9．（2022·黑龙江大庆·七年级期末）琪琪画了一个等腰三角形，量得两条边长分别为12cm和5cm，那么它的周长为______． 【答案】29cm##29厘米 【分析】因为三角形为等腰三角形，应分两种情况：①12cm是底边时；②5cm是底边时分别求解． 【详解】解：应分两种情况： 当12cm是底边，5cm是腰时， 此时等腰三角形的三边长分别为：12cm，5cm，5cm， ∵， ∴此时不能构成三角形； 当5cm是底边，12cm是腰时， 等腰三角形的三边长分别为：12cm，12cm，5cm， 此时，满足三角形的任意两边之和大于第三边，能构成三角形， ∴三角形的周长为：12cm＋12cm＋5cm＝29cm， 综上可得三角形的周长为29cm． 故答案为：29cm． 【点睛】本题考查了三角形的三边之间的关系，等腰三角形的定义及分类讨论的思想，熟记三角形任意两边之和大于第三边是解题的关键． 10．（2022·山东泰安·七年级期末）如图，AC，BD相交于点O，∠A＝∠D，请补充一个条件，使△ACB≌△DBC，你补充的条件是______（填出一个即可）． 【答案】(答案不唯一) 【分析】本题要判定△ACB≌△DBC，已知∠A＝∠D，，则可以添加从而利用AAS判定其全等． 【详解】解：添加， ∵，∠A＝∠D， ∴△ACB≌△DBC．（AAS） 故答案是：(答案不唯一)． 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 11．（2022·北京一七一中八年级阶段练习）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，过点C作平行于AB的直线交DE的延长线于点F．若DE＝FE，AB＝5，CF＝3，则BD的长是________． 【答案】2 【分析】先根据平行线的性质可得，再根据定理证出，然后根据全等三角形的性质可得，最后根据线段和差即可得． 【详解】解：， ， 在和中，， ， ， ， ， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形全等的判定与性质，正确找出两个全等三角形是解题关键． 12．（2022·湖北·谷城县教学研究室八年级期末）如图，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C均在格点上（即小正方形的项点上），则图中的度数为___________． 【答案】90°##90度 【分析】先利用勾股定理求出AB2，BC2，AC2，再利用勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，即可解答． 【详解】解：由题意得：AB2=22+42=20， CB2=22+12=5， AC2=32+42=25， ∴AB2+BC2=AC2， ∴△ABC是直角三角形， ∴∠ABC=90°， 故答案为：90°． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及勾股定理是解题的关键． 13．（2022·广东惠州·七年级期末）把一副直角三角尺如图摆放，点与点重合，边与边都在直线上，将向右平移得，当边经过点时，_______． 【答案】75 【分析】利用平移可得，然后利用三角形内角和定理进行计算即可． 【详解】由题意得：，， ∴， 故答案为：75． 【点睛】本题主要考查了生活中的平移，掌握图形平移前后全等是解决此题的关键． 14．（2022·江西吉安·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，，E为CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F．若，，当______时，点B在线段AF的垂直平分线上． 【答案】4 【分析】通过求证△FEC≌△AED来证明CF=AD；若点B在线段AF的垂直平分线上，则应有AB=BF因为AB=8，CF=AD=2，所以BC=BF-CF=6-2=4时有AB=BF． 【详解】解：∵ADBC， ∴∠DAE=∠CFE，∠D=∠ECF， ∵E为CD的中点， ∴DE=CE， 在△ADE与△FCE中， ， ∴△ADE≅△FCE(AAS)， ∴CF=AD； 连接BE， ∵BE垂直平分AF， ∴AB=BF， ∵AD=CF， ∵AD=2，AB=6， ∴BC=BF-CF， =AB-AD， =6-2， =4， ∴当BC为4时，点B在线段AF的垂直平分线上． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． 15．（2022·山西吕梁·八年级期中）如图，在正方形网格中，点A，B，C，D，E是格点，则∠ABD＋∠CBE的度数为_____________．    【答案】45° 【分析】取网格点M、N、F，连接AM、AN、BM、MF、BN，根据网格线可得到∠ABD+∠CBE=∠MAB，再根据勾股定理的逆定理证明△ABM是直角三角形，且AM=BM，即可得解． 【详解】取网格点M、N、F，连接AM、AN、BM、MF、BN，如图， 根据网格线可知NB=1=MF，AN=3，AF=2， 由网格图可知∠CBE=∠FAM，∠ABD=∠NAB， 则∠ABD+∠CBE=∠MAB， 在Rt△ANB中，有， 同理可求得：， ∵， ∴△ABM是直角三角形，且AM=BM， ∴∠MAB=45°， 即：∠ABD+∠CBE=45°， 故答案为：45°． 【点睛】本题考查了勾股定理即勾股定理的逆定理、等腰直角三角形等知识，求得∠ABD+∠CBE=∠MAB是解答本题的关键． 16．（2022·河南·漯河市第三中学九年级期末）如图，已知等边△ABC的边长为4，过AB边上一点P作PN⊥AC于点N，Q为BC延长线上一点，取CQ=PA，连接PQ交AC于M，则MN的长为______． 【答案】2 【分析】过P作PFBC交AC于F，得出等边三角形APF，推出AP=PF=QC，根据等腰三角形性质求出NF=AN，证△PFM≌△QCM，推出FM=CM，推出MN=AC即可． 【详解】解：过P作PFBC交AC于F，如图所示： ∵PFBC，△ABC是等边三角形， ∴∠PFM=∠QCM，∠APF=∠B=60°，∠AFP=∠ACB=60°，∠A=60°， ∴△APF是等边三角形， ∴AP=PF=AF， ∵PN⊥AC， ∴AN=NF， ∵AP=PF，AP=CQ， ∴PF=CQ， 在△PFM和△QCM中， ， ∴△PFM≌△QCM（AAS）， ∴FM=CM， ∵AN=NF， ∴NF+FM=AN+CM， ∴AN+CM=MN=AC， ∵AC=4， ∴MN=2， 故答案为：2． 【点睛】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用；熟练掌握等边三角形的性质与判定，证明三角形全等是解决问题的关键． 三、解答题（共14小题） 17．（2021·重庆·巴川初级中学校八年级期中）如图，在△ABC中，，BE平分∠ABC，交AC于点E，过点E作ED⊥AB于点． (1)求证：△BCE≌△BDE； (2)若，CE=1，求AE的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【分析】（1）先根据角平分线的性质可得，再根据定理即可得证； （2）先根据直角三角形的性质、角平分线的定义可得，则，再根据等腰三角形的判定可得，然后根据含30度角的直角三角形的性质可得，由此即可得． （1） 证明：平分，，， ， 在和中，， ． （2） 解：， ， 平分， ， ， ， 又在中，， ， ． 【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定、角平分线的性质、等腰三角形的判定、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形全等的判定和等腰三角形的判定是解题关键． 18．（2022·全国·八年级课时练习）如图，已知△ABC≌△DEF，点B，E，C，F在同一直线上． (1)若∠BED＝130°，∠D＝70°，求∠ACB的度数； (2)若2BE＝EC，EC＝6，求BF的长． 【答案】(1)60° (2)12 【分析】（1）根据三角形的外角的性质求出∠F，再根据全等三角形的对应角相等解答； （2）根据题意求出BE、BC，再根据全等三角形的性质解答． （1） 解：∵∠BED＝130°，∠D＝70°， ∴∠F＝∠BED－∠D＝60°， ∵ABC≌DEF， ∴∠ACB＝∠F＝60°； （2） ∵2BE＝EC，EC＝6， ∴BE＝3， ∴BC＝BE＋EC＝9， ∵ABC≌DEF， ∴EF＝BC＝9， ∴BF＝EF＋BE＝12． 【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键． 19．（2022·新疆乌鲁木齐·八年级阶段练习）用一条长41cm的细绳围成一个三角形，已知此三角形的第一条边为xcm，第二条边是第一条边的3倍少4cm． (1)请用含x的式子表示第三条边的长度． (2)若此三角形恰好是一个等腰三角形，求这个等腰三角形的三边长． 【答案】(1)cm (2)7cm，17cm，17cm 【分析】（1）依据三角形的第一条边为，第二条边是第一条边的3倍少，即可用含的式子表示第三条边的长度． （2）依据三角形恰好是一个等腰三角形，分三种情况讨论，即可得到这个等腰三角形的三边长． （1） 解：∵三角形的第一条边长为xcm，第二条边长比第一条边长的3倍少4cm， ∴第二条边长为cm． ∴第三条边长为cm． （2） 解：若x＝3x-4，则x＝2，此时三边长分别为2cm，2cm和37cm， 根据三角形三边关系可知，2，2，37不能组成三角形； 若x＝45-4x，则x＝9，此时三边长分别为9cm，9cm和23cm， 根据三角形三边关系可知，9，9，23不能组成三角形； 若3x-4＝45-4x，则x＝7，此时三边长分别为7cm，17cm，17cm， 根据三角形三边关系可知，7，17，17可以组成三角形． ∴这个等腰三角形的三边长分别为7cm，17cm，17cm． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，解题的关键是根据三角形的三边关系进行判断． 20．（2022·重庆市巴渝学校八年级期中）如图，在中，，于点． (1)若，求的度数； (2)若点在边上，交的延长线于点，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出∠C＝36°，进而利用直角三角形的内角和解答即可； （2）根据平行线的性质和等腰三角形的性质判定解答． （1） 解：∵BA＝BC， ∴∠C＝∠A＝36°， ∵BF⊥AC于点F， ∴∠BFC＝90°， ∴∠FBC＝90°−36°＝54°； （2） ∵BA＝BC，BF⊥AC于点F， ∴∠ABF＝∠FBC， ∵DEBC， ∴∠E＝∠FBC， ∴∠E＝∠ABF， ∴DB＝DE． 【点睛】此题主要考查了平行线的性质和等腰三角形的性质，解本题的关键是根据等腰三角形的性质得出∠C＝36°解答． 21．（2022·安徽安庆·八年级期末）在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，其中AB＝BC，由于某种原因，由C到B的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点D（A、D、B在同一条直线上），并新修一条路CD，测得CA＝750米，CD＝600米，AD＝450米． (1)问CD是否为从村庄C到河边最近的路？请通过计算加以说明； (2)求原来的路线BC的长． 【答案】(1)是从村庄到河边最近的路，理由见解析 (2)米 【分析】（1）结合已知条件根据勾股定理的逆定理、垂直的定义、垂线段最短即可得解； （2）设米，则米、米，根据勾股定理列出关于的方程求解即可． （1） 解：结论：是从村庄到河边最近的路． 理由： ∵在中，米，米，米， ∴，即， ∴是直角三角形， ∴． ∴． ∴是从村庄到河边最近的路． （2） 设米，则米，米， ∵在中，由勾股定理得：． ∴． ∴． 答：原来的路线的长为米． 【点睛】本题考查了勾股定理以及其逆定理、垂直的定义、垂线段最短、利用方程求线段长等知识点，熟练掌握相关知识点是解决问题的关键． 22．（2021·福建·莆田第七中学八年级期中）（1）〖问题背景〗如图1，B、E、M三点共线，∠DEF＝∠B＝∠M，DE＝EF，求证：△DBE≌△EMF； （2）〖变式运用〗如图2，B、E、C三点共线，△DEF为等边三角形，∠B＝60°，∠C＝30°，求证：EC＝BD＋BE.   【答案】（1）见详解 （2）见详解 【分析】（1）根据∠DEM=∠B+∠BDE，∠B=∠DEF，可得∠BDE=∠MEF，利用AAS即可证明； （2）延长DB至N点，使得BE=BN，连接EN，根据BE=BN，可得∠BNE=∠BEN，即有∠BNE=∠BEN=30°，进而得∠C=∠BNE，根据∠DEF+∠CEF=∠DBE+∠BDE；根据△DEF是等边三角形，可得DE=EF，∠DEF=60°，即有∠CEF=∠BDE，利用AAS即可证明，则有EC=DN，即可得EC=BD+BE． 【详解】（1）证明：∵B、E、M三点共线， ∴∠DEM=∠B+∠BDE， ∴∠DEF+∠MEF=∠B+∠BDE， ∵∠B=∠DEF=∠M， ∴∠BDE=∠MEF， ∵DE=EF，∠B=∠M， ∴； （2）证明：延长DB至N点，使得BE=BN，连接EN，如图， ∵BE=BN，∴∠BNE=∠BEN， ∵∠BNE+∠BEN=∠DBE=60°，∴∠BNE=∠BEN=30°， ∵∠C=30°，∴∠C=∠BNE， ∵B、E、C三点共线， ∴∠DEC=∠DBE+∠BDE， ∴∠DEF+∠CEF=∠DBE+∠BDE， ∵△DEF是等边三角形， ∴DE=EF，∠DEF=60°， ∵∠DBE=60°， ∴∠DBE=60°=∠DEF， ∴∠CEF=∠BDE， ∵∠C=∠BNE，DE=EF， ∴， ∴EC=DN， ∵BE=BN，DN=BN+BD， ∴EC=BD+BE． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定及其性质，构造辅助线BN是解答本题的关键． 23．（2022·上海·八年级开学考试）（1）如图1，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB．过D作EFBC交AB于E，交AC于F，请说明EF＝BE＋CF的理由． （2）如图2，BD平分∠ABC，CD是△ABC中∠ACB的外角平分线，若仍然过点D作EFBC交AB于E，交AC于F，第（1）题的结论还成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，你能否找到EF与BE、CF之间类似的数量关系？ 【答案】（1）见解析；（2）不成立,EF＝BE﹣CF． 【分析】（1）利用角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质证明BE＝ED，CF＝FD即可； （2）利用角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质证明BE＝DE，DF＝CF即可． 【详解】（1）∵在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB， ∴∠EBD＝∠DBC，∠DCB＝∠FCD． 又∵EFBC交AB于E，交AC于F， ∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB ∴∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠FCD， ∴BE＝ED，CF＝FD， ∴EF＝ED+DF＝BE+CF． 即：EF＝BE+CF． （2）不成立．EF＝BE﹣CF．理由如下： ∵BD平分∠ABC，CD是△ABC中∠ACB的外角平分线， ∠EBD＝∠DBC，∠FCD＝∠DCG， ∵EFBC交AB于E，交AC于F， ∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCG， ∴∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠FCD， ∴BE＝DE，DF＝CF， ∴EF＝ED﹣DF＝BE﹣CF． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形判定与性质等问题，解题的关键是上述知识点的综合应用． 24．（2022·辽宁铁岭·八年级期末）如图，在中，，，，若动点P从点A出发，沿着三角形的三边，先运动到点C，再运动到点B，最后运动回到点A，，设点P的运动时间为ts． (1)当t为何值时，点P恰好在AB的垂直平分线上？ (2)当t为何值时，点P在BC上，且恰好在的角平分线上？ 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）点P恰好在AB垂直平分线上，利用垂直平分线的性质分类讨论，当点在上或点在上，画出图像，将线段用含t的代数式表示出来，运用勾股定理或者线段的和差建立方程，求出t的值； （2）点P在BC上，且恰好在的角平分线上，利用角平分线的性质画出图象，将线段用含t的代数式表示出来，运用勾股定理建立方程，求出t的值即可． （1）∵点P恰好在AB的垂直平分线上，点在上或点在上，当点在上，连接，∵，，∴∵∴∴,∴∴；当点在上，∴，∵,∴；综上所述：或． （2）若点在上，且恰好在的角平分线上，过点作于点，∵AB平分，∴∴△ACP≌△AFP∴AF=AC=8∴，在Rt△BFP中，∴∴∴当时，点在上，且恰好在的角平分线上． 【点睛】本题考查三角形中的动点问题，还考查了垂直平分线和角平分线的性质，在动点问题中用代数式表示线段并列出方程是本题的关键． 25．（2021·江西·崇仁县第二中学八年级阶段练习）在由6个大小相同的小正方形组成的方格中： (1)如图（1），A，B，C是三个格点（即小正方形的顶点），判断AB与BC的关系，并说明理由； (2)如图（2），连接三格和两格的对角线，求∠α+∠β的度数（要求：画出示意图并给出证明）． 【答案】(1)AB⊥BC且AB＝BC，理由见解析 (2)∠α+∠β＝45°，图跟证明见解析 【分析】（1）如图（1），根据勾股定理，判断出，即可推得△ABC是直角三角形，据此判断出AB与BC的关系，并说明理由即可． （2）如图（2），根据勾股定理，判断出，即可推得△ABC是等腰直角三角形，据此求出∠α+∠β的度数是多少即可． （1） 如图，连接AC， 由勾股定理得，， ， ， ∴，AB＝BC， ∴△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°， ∴AB⊥BC， 综上所述，AB与BC的关系为：AB⊥BC且AB＝BC； （2） ∠α+∠β＝45°． 证明如下：如图， 由勾股定理得，， ， ， ∴， ∴△ABC是直角三角形， ∵AB＝BC， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴∠α+∠β＝45°． 【点睛】此题主要考查了作图-应用与设计作图，以及勾股定理的应用，要熟练掌握． 26．（2021·湖北·公安县教学研究中心八年级阶段练习）如图（1），AB＝8 cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝6 cm．点P在线段AB上以2 cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）． (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由； (2)如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为x cm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当t=1时，△ACP与△BPQ是全等，理由见解析 (2)存在当x=2，t=1或x=3，t=2时，△ACP与△BPQ全等． 【分析】（1）利用SAS证得△ACP≌△BPQ，得出∠ACP=∠BPQ，进一步得出∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°得出结论即可； （2）由△ACP≌△BPQ，分两种情况：①AC=BP，AP=BQ，②AC=BQ，AP=BP，建立方程组求得答案即可． （1） 解：△ACP≌△BPQ， 证明：∵AC⊥AB，BD⊥AB， ∴∠A=∠B=90°， ∵t=1， ∴AP=BQ=2， ∴BP=6， ∴BP=AC， 在△ACP和△BPQ中， ， ∴△ACP≌△BPQ； （2） 解：存在x的值，使得△ACP与△BPQ全等， ①若△ACP≌△BPQ， 则AC=BP，AP=BQ，可得：6=8-2t，2t=xt， 解得：x=2，t=1； ②若△ACP≌△BQP， 则AC=BQ，AP=BP，可得：6=xt，2t=8-2t， 解得：x=3，t=2； 综上，存在当x=2，t=1或x=3，t=2时，△ACP与△BPQ全等． 【点睛】本题是三角形综合题，考查的是三角形的面积，全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、注意分类讨论思想的灵活运用是解题的关键． 27．（2022·江苏·八年级专题练习）如图Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，沿AB的垂线DE折叠△ABC, （1）如图①，若点A落在点B处，求AD的长； （2）如图②，若点A落在AB的延长线的点F处，AD折叠后与CB交点G，且CG＝BG，求AD的长． 【答案】（1）；（2） 【分详】（1）由勾股定理求出AB的长度，设AD＝x，则CD＝8－x，由折叠可知DB＝AD＝x，在Rt△DCB中， CD2＋BC2＝DB2，列式计算求出x的值即可； （2）过点B作BH⊥BC交DF于点H，由全等三角形的判定得△DGC≌△HBG，由全等三角形的性质得DC＝BH，∠CBH＝∠DCB，由平行线的判定得AC//BH及∠A＝∠HBF，由折叠知∠A＝∠F，得∠HBF＝∠F，HB＝HF．设CD＝y，则AD＝DF＝8－y，HF＝y，在Rt△DCG中， CD2＋GC2＝DG2，列式计算即可求出AD的长 【详解】解：（1）∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6， ∴AB＝10． 设AD＝x，则CD＝8－x，由折叠可知DB＝AD＝x． 在Rt△DCB中， CD2＋BC2＝DB2，(8－x) 2＋62＝x2， 解得x＝，AD的长为； （2）过点B作BH⊥BC交DF于点H． 在△DGC与△HBG中， ∵∠DCB＝∠HBG，∠DGC＝∠BGH，CG＝BG， ∴△DGC≌△HBG． ∴DC＝BH，DG＝GH，∠CBH＝∠DCB， ∴ AC//BH． ∴∠A＝∠HBF． 由折叠可知∠A＝∠F， ∴∠HBF＝∠F． ∴HB＝HF． 设CD＝y，则AD＝DF＝8－y，HF＝y， ∴DG＝DH＝(8－y－y) ＝4－y， 在Rt△DCG中， CD2＋GC2＝DG2，y2＋32＝(4－y) 2， 解得y＝， ∴AD=8－y＝，即AD的长为． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，折叠的性质，勾股定理，利用勾股定理列出方程是本题的关键． 28．（2022·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校七年级期中）已知△ABC中，∠A＝60°，∠ACB＝36°，D为BC边延长线上一点，BM平分∠ABC，E为射线BM上一点． (1)如图，连接CE． ①若CEAB，求∠BEC的度数； ②若CE平分∠ACD，求∠BEC的度数． (2)若直线CE垂直于△ABC的一边，请直接写出∠BEC的度数． 【答案】(1)① 42°；② 30°； (2)∠BEC的度数为48°或132°或12°． 【分析】（1）①根据三角形的内角和得到∠ABC=84°，由角平分线的定义得到∠ABE=∠ABC=42°，根据平行线的性质即可得到结论； ②根据邻补角的定义得到∠ACD=180°-∠ACB=144°，根据角平分线的定义得到∠CBE=∠ABC=42°，∠ECD=∠ACD=72°，根据三角形的外角的性质即可得到结论； （2）①如图1，当CE⊥BC时，②如图2，当CE⊥AB于F时，③如图3，当CE⊥AC时，根据垂直的定义和三角形的内角和即可得到结论． （1） ）①∵∠A=60°，∠ACB=36°， ∴∠ABC=84°， ∵BM平分∠ABC， ∴∠ABE=∠ABC=42°， ∵CEAB， ∴∠BEC=∠ABE=42°； ②∵∠A=60°，∠ACB=36°， ∴∠ABC=84°，∠ACD=180°-∠ACB=144°， ∵BM平分∠ABC，CE平分∠ACD， ∴∠CBE=∠ABC=42°，∠ECD=∠ACD=72°， ∴∠BEC=∠ECD-∠CBE=30°； （2） ①如图1，当CE⊥BC时， ∵∠CBE=42°， ∴∠BEC=48°； ②如图2，当CE⊥AB于F时， ∵∠ABE=42°， ∴∠BEC=90°+42°=132°， ③如图3，当CE⊥AC时， ∵∠CBE=42°，∠ACB=36°， ∴∠BEC=180°-42°-36°-90°=12°． 综上可得：∠BEC的度数为48°或132°或12°． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂直的定义，三角形的内角和，三角形的外角的性质，正确的画出图形辅助解决问题是解题的关键． 29．（2021·重庆市渝北区实验中学校八年级期中）在中，是中点，分别为射线上一点，且满足 　 (1)如图1，若，且分别在线段上，，求线段的长度； (2)如图2，连接并延长至点，使，过点作于点，当点在线段的延长线上，点在延长线上时，求证： 【答案】(1)2 (2)见解析 【分析】（1）连接AE，可证△ABC是等腰直角三角形，进一步可得AE=CE，∠C=∠EAG=45°，根据已知条件，可得∠CEH=∠AEG，即可证明△CEH≌△AEG（ASA），从而求出AG； （2）作EI⊥AB于I，在BG上截取IJ=BI，连接EJ，可知EI是线段BJ的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质易证△ECH≌△EJG（AAS），可得CH=GJ，再证明△BFE≌△BIE（AAS），可得BF=BI，即可得证． （1） 解：连接AE，如图所示： ∵∠B=45°，AB=AC， ∴∠B=∠C=45°， ∴∠CAB=180°-∠B-∠C=90°， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∵E为BC的中点， ∴AE=CE，AE⊥BC，∠CAE=∠BAE=45°， ∴∠C=∠BAE， ∵∠CAB+∠GEH=180°， ∴∠GEH=∠AEC=90°， ∴∠CEH=∠AEG， 在△CEH和△AEG中， ∴△CEH≌△AEG（ASA）， ∴AG=CH=2； （2） 证明：作EI⊥AB于I，在BG上截取IJ=BI，连接EJ，如图所示： 则EI是线段BJ的垂直平分线， ∴EJ=BE， ∵E是BC的中点， ∴BE=EC， ∴EJ=EC， ∵∠GEH+∠BAC=180°，∠GAH+∠BAC=180°， ∴∠GEH=∠GAH， ∴∠JGE=∠CHE， ∵EJ=EB，AB=AC， ∴∠EJB=∠ABC=∠ACB， ∴∠EJG=∠ECH， ∴△ECH≌△EJG（AAS）， ∴CH=JG， ∵AC=AB，点E是BC的中点， ∴AE⊥BC，又DE=AE， ∴BD=AB， ∴∠ABE=∠DBE， ∵EF⊥BD，EI⊥AB， ∴∠BIE=∠BFE=90°， ∵BE=BE， ∴△BFE≌△BIE（AAS）， ∴BF=BI， ∴2BF+CH=BG． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，涉及等腰三角形的性质，线段垂直平分线等，构造全等三角形是解题的关键． 30．（2022·黑龙江大庆·八年级期末）如图△ABC为等边三角形，直线aAB，D为直线BC上任一动点，将一60°角的顶点置于点D处，它的一边始终经过点A，另一边与直线a交于点E． (1)若D恰好在BC的中点上(如图1) ①求证CD=CE； ②求证：△ADE是等边三角形； (2)若D为直线BC上任一点(如图2）其他条件不变，“△ADE是等边三角形”的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)成立，理由见解析 【分析】（1）①利用等边三角形的性质得到BD=CD， AD⊥BC，进一步求出∠EDC=30°，然后根据三角形内角和定理推出∠DOC=90°，再根据三角形的外角性质可求出∠DEC=30°，从而得出∠EDC=∠DEC，再根据“等角对等边”即可证明结论； ②由SAS证明△ABD≌△ACE得出AD=AE，然后根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”可判断出△ADE是等边三角形的结论； （1）在AC上取点F，使CF=CD，连结DF，先证得△ADF≌△EDC得出AD=ED，再运用已证的结论“∠ADE=60°”和根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”可证明出△ADE是等边三角形的结论． （1） ①证明：∵aAB，且△ABC为等边三角形， ∴∠ACE=∠BAC=∠ABD=60°，AB=AC， ∵D是BC中点，即BD=CD， ∴AD⊥BC， ∴∠ADC=90°， ∵∠ADE=60°， ∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=90°-60°=30°， ∴∠DOC=180°-∠EDC-∠ACB=90°， ∴∠DEC=∠DOC-∠ACE=90°-60°=30°， ∴∠EDC=∠DEC， ∴CD=CE； ②∵BD=CD，CD=CE， ∴BD=CE， 在△ABD和△ACE中， ∵， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴AD=AE， 又∵∠ADE=60°， ∴△ADE是等边三角形； （2） 解：“△ADE是等边三角形”的结论仍然成立．证明如下： 在AC上取点F，使CF=CD，连结DF，如图2所示： ， ∵∠ACB=60°， ∴△DCF是等边三角形， ∴DF=CD， ∵∠ADF+∠FDE=∠EDC+∠FDE=60°， ∴∠ADF=∠EDC， ∵∠DAF+∠ADE=∠DEC+∠ACE，∠ACE=∠ADE=60°， ∴∠DAF=∠DEC， ∴△ADF≌△EDC（AAS）， ∴AD=ED， 又∵∠ADE=60°， ∴△ADE是等边三角形． 【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、三角形的外角性质、平行线的性质．解题关键是注意熟练掌握及熟练等边三角形的判定定理与性质定理、全等三角形的判定与性质．