【培优分级练】人教版数学九年级上册 24.1《圆的有关性质》培优三阶练（含解析）

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24.1圆的有关性质 课后培优练 培优第一阶——基础过关练 一、单选题 1．下列语句不正确的有（        ）个． ①直径是弦；②优弧一定大于劣弧；③长度相等的弧是等弧；④半圆是弧． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】 解：①直径是弦，①正确； ②在同圆或等圆中，优弧大于劣弧，②错误； ③在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，③错误； ④半圆是弧，④正确； 故不正确的有个． 故选：B． 2．下列说法：（1）长度相等的弧是等弧；（2）相等的圆周角所对的弧相等；（3）劣弧一定比优弧短；（4）直径是圆中最长的弦．其中正确的有（        ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】 解：（1）长度相等的弧不一定是等弧，弧的度数必须相同，故错误； （2）同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故错误； （3）同圆或等圆中劣弧一定比优弧短，故错误； （4）直径是圆中最长的弦，正确， 综上所述，四个说法中正确的只有1个， 故选：A． 3．一个圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB＝16m，半径OA＝10m，则高度CD的长为（　　 ） A．2m B．4m C．6m D．8m 【答案】B 【详解】 ∵CD垂直平分AB， ∴AD＝＝8m ∴OD＝＝6m ∴CD＝OC﹣OD＝10﹣6＝4m 故选：B． 4．如图，在⊙O中，弦AB，AC互相垂直，D，E分别为AB，AC的中点，则四边形OEAD是（           ） A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】B 【详解】 D，E分别为AB，AC的中点， ， ， 四边形OEAD是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形)． 5．如图，AB是⊙O的弦，点C是的中点，OC交AB于点D．若，⊙O的半径为5，则（        ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】 解：如图，连接OA，OB， ∵C是的中点， ∴=， ∴∠AOC=∠BOC， 又∵OA=OB=5，AB=8， ∴OC⊥AB，AD=BD=AB=4（等腰三角形的三线合一）， 在Rt△AOD中 由勾股定理得：OD=， ∴CD=OC-OD=5-3=2． 故选：B． 6．如图，点是⊙O的圆心，点、、在⊙O上，，则的度数是（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 解：在⊙O中， ∠ACB＝∠AOB， ∠AOB＝48°， ∴∠ACB＝24°， 故选：B． 二、填空题 7．如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果C是中弦AB的中点，CD经过圆心O交于点D，并且，，则的半径长为______m． 【答案】 【详解】 解：如图，连接， 是中的弦的中点，且， ，， 设的半径长为，则， ， ， 在中，，即， 解得， 即的半径长为， 故答案为：． 8．如图，在中，，，以为圆心，为半径的圆交于点，交于点．求弧所对的圆心角的度数_____． 【答案】 【详解】 解：连接CD，如图所示： ∵∠ACB=90°，∠B=36°， ∴∠A=90°-∠B=54°， ∵CA=CD， ∴∠CDA=∠A=54°， ∴∠ACD=180°-54°-54°=72°， ∴∠DCE=90°-∠ACD=18°， 故答案为：18°． 9．如图，在⊙O中，点A，B，C是⊙O上的点，∠AOB=40°，则∠C的度数为_____． 【答案】20° 【详解】 解：∵∠AOB＝40°，∠C∠AOB， ∴∠C40°＝20°． 故答案为：20°． 10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠ADC=130°，连接AC，则∠BAC的度数为___________． 【答案】40° 【详解】 解：∵四边形ABCD内接与⊙O，∠ADC=130°， ∴∠B=180°-∠ADC=180°-130°=50°， ∵AB为直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠CAB=90°-∠B=90°-50°=40°， 故答案为：40°． 三、解答题 11．如图，已知为的直径，，为上两点，，连接，过点作，垂足为点，求证：． 【答案】见解析 【详解】 解：连接DO并延长交⊙O于G，连接DC，DB，延长DE交⊙O于F， ∵AB为⊙O的直径， ∴DE=DF，， ∵， ∴DG⊥AC，∠C=∠B，， ∵∠1+∠C=90°，∠2+∠B=90°， ∴∠1=∠2， ∴， ∴， ∴AC=DF， ∴DE=AC． 12．如图，在⊙O中，＝，∠BOC＝120°．求证：△ABC是等边三角形． 【答案】见解析 【详解】 证明：∵＝， ∴AB=AC， ∵∠BOC＝120°． ∴， ∴△ABC是等边三角形． 13．已知：如图，中，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，连接DE，若．求证：． 【答案】见解析 【详解】 连接，如图， AB为直径的⊙O， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ． 培优第二阶——拓展培优练 一、单选题 1．如图，的半径为，圆心的坐标为，是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点若点、关于原点对称，则长的最小值为（        ）      A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 解：∵PA⊥PB，∴∠APB=90°， ∵OA=OB，∴AB=2OP， 若要使AB取得最小值，则OP需取最小值， 连接OM，交于N，当点P位于点N时，OP取得最小值， 过点M作MQ⊥x轴于点Q， 则OQ=6，MQ=8， ∴OM=10， 又∵MN=4， ∴ON=6，∴AB=2ON=12， 故选：C． 2．已知⊙O的直径CD＝100cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝96cm，则AC的长为（        ） A．36cm或64cm B．60cm或80cm C．80cm D．60cm 【答案】B 【详解】 解：连接AC，AO， ∵⊙O的直径CD＝100cm，AB⊥CD，AB＝96cm， ∴AM＝AB＝×96＝48（cm），OD＝OC＝50（cm）， 如图1，∵OA＝50cm，AM＝48cm，CD⊥AB， ∴OM＝＝＝14（cm）， ∴CM＝OC+OM＝50+14＝64（cm）， ∴AC＝＝＝80（cm）； 如图2，同理可得，OM＝14cm， ∵OC＝50cm， ∴MC＝＝36（cm）， 在Rt△AMC中，AC＝＝60（cm）； 综上所述，AC的长为80cm或60cm， 故选：B． 3．如图，在半圆中，直径，是半圆上一点，将弧沿弦折叠交于，点是弧的中点．连接，则的最小值为（        ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 解：把弧AEC的圆补全为⊙F，可知点F与点O关于AC对称，半径为2， ∴∠FCA=∠ACO， ∵OA=OC， ∴∠ACO=∠CAO， ∴∠FCA=∠CAO， ∴CF∥AB， ∵是弧的中点， ∴FE⊥AB， ∴∠F=∠BGE=90°， ∵FC=FE=2， ∴EC=， ∵OE≥EC-OC 即OE≥-2， 的最小值为， 故选：D． 4．如图，中，，，．点为内一点，且满足．当的长度最小时，的面积是（      ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【详解】 解： 取中点O，并以O为圆心，长为半径画圆 由题意知：当B、P、O三点共线时，BP最短 点P是BO的中点 在中， 是等边三角形 在中， ． 5．如图，AB为⊙O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙OO于点F，若AC=12，AE=3，则⊙O的直径长为（　　　） A．10 B．13 C．15 D．16 【答案】C 【详解】 解：如图，连接OF， ∵DE⊥AB，AB为⊙O的直径， ∴. ∵D是弧AC的中点， ∴， ∴， ∴AC=DF=12， ∴EF=6， 设OA=x， ∵OF2=OE2+EF2， ∴x2=（x-3）2+62， 解得：x=7.5， ∴⊙O的直径长为15， 故选：C. 6．如图，点D在半圆O上，半径OB＝，AD＝10，点C在弧BD上移动，连接AC，H是AC上一点，∠DHC＝90°，连接BH，点C在移动的过程中，BH的最小值是（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【详解】 解：如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM． ∵∠DHC=90°， ∴∠AHD＝90°， ∴点H在以M为圆心，MD为半径的⊙M上， ∴当M、H、B共线时，BH的值最小， ∵AB是直径， ∴∠ADB＝90°， ∴BD＝＝12， ∴BM＝＝＝13， ∴BH的最小值为BM﹣MH＝13﹣5＝8． 故选：C． 二、填空题 7．如图，在△ABC中，，，，，则AD的长的最大值为______． 【答案】 【详解】 方法1：以AB为直角边在AB的上方作等腰直角△EAB，且EA=AB，连接 DE，如图， 则∠ABE=45°，由勾股定理得． ∵，， ∴∠CBD=45°=∠ABE，， ∴∠BED+∠EBC=∠EBC+∠ABE，即∠EBD=∠ABC． ∵， ∴△BED∽△BAC， ∴∠EDB=∠ACB=60°．　 ∵， ∴点D的运动轨迹是以BE为弦且圆周角为60°的弧，当AD垂直平分线段BE时，AD最长，设此时AD与BE交于点O； 当AD最长时，△BDE是等边三角形，边长为， 则， ∵AD⊥BE，∠ABE=45°， ∴∠ABE=∠OAB=45°， ∴OA=OB． 由勾股定理得：， ∴． 故答案为：． 方法2：如图，作DE⊥AC的延长线于点E， ∵∠ACB＝60°，DC⊥BC， ∴∠DCE=30°， 设CD=CB=x，AC=y，则DE=x，，， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵， ∴， ∴，且当时，等号成立， ∴ ， 当时，AD有最大值， 且， ∵， ∴△ABC为等边三角形， ∴当时，， 又， ∴． 故答案为：． 8．如图，正方形的边长为10，点G是边的中点，点E是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接．当最小时，的长是_____________． 【答案】 【详解】 解：①分析所求线段端点：是定点、是动点；②动点的轨迹：正方形的边长为10，点E是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接，则，因此动点轨迹是以为圆心，为半径的圆周上，如图所示： ③最值模型为点圆模型；④最小值对应的线段为；⑤求线段长，连接，如图所示： 在中，，正方形的边长为10，点G是边的中点，则，根据勾股定理可得， 当三点共线时，最小为， 接下来，求的长：连接，如图所示 根据翻折可知，设，则根据等面积法可知，即整理得，解得， 故答案为：． 9．如图，在半径为3的中，B是劣弧AC的中点，连接AB并延长到D，使，连接AC、BC、CD，如果，那么CD等于______． 【答案】 【详解】 解：如图，连OA，OB， ∵B是弧AC的中点，AB＝BC＝BD， ∴△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°， 由垂径定理知，OB⊥AC，点E是AC的中点， 设,则, 由勾股定理知，， ， ∴, ∵AB＝2，AO＝BO=3， ∴, 解得， ，即 ∵∠AEB＝∠ACD＝90°， ∴BE∥CD， ∵点B是AD的中点，所以BE是△ACD的中位线，所以CD＝2BE＝ ． 故答案为： 10．在⊙O中，AB是直径，AB＝2，C是上一点，D、E分别是、的中点，M是弦DE的中点，则CM的取值范围是__________________． 【答案】1﹣≤CM＜ 【详解】 解：如图，连接OD、OC， ∵AB为直径， ∴∠AOC+∠BOC＝180°， ∵D、E分别是、的中点， ∴∠AOD＝∠COD，∠COE＝∠BOE， ∴∠DOC+∠COE＝（∠AOC+∠BOC）＝90°， ∴△ODE为等腰直角三角形， ∴DE＝OD＝， ∵M是弦DE的中点， ∴OM＝DE＝， ∵C点在弧DE上，∴0≤∠COM＜45°， △OMC中，OM，OC的长度确定，∴∠COM越大，CM越长， ∴O、C、M共线时CM最小，C在点A或点B时CM最长； ∴CM≥1﹣， 当C点在A点或B点时，CM＝， ∴CM的取值范围是1﹣≤CM＜． 三、解答题 11．如图，是的直径，点、是上的点，且，分别与、相交于点、． （1）求证：点为的中点； （2）若，，求的长； （3）若的半径为，，点是线段上任意一点，试求出的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）2；（3） 【详解】 （1）∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵OD∥BC， ∴∠OFA＝90°， ∴OF⊥AC， ∴＝，即点D为的中点； （2）解：∵OF⊥AC， ∴AF＝CF， 而OA＝OB， ∴OF为△ACB的中位线， ∴OF＝BC＝3， ∴DF＝OD﹣OF＝5﹣3＝2； （3）解：作C点关于AB的对称点C′，C′D交AB于P，连接OC，如图， ∵PC＝PC′， ∴PD+PC＝PD+PC′＝DC′， ∴此时PC+PD的值最小， ∵＝， ∴∠COD＝∠AOD＝80°， ∴∠BOC＝20°， ∵点C和点C′关于AB对称， ∴∠C′OB＝20°， ∴∠DOC′＝120°， 作OH⊥DC′于H，如图， 则∠ODH＝30°，则C′H＝DH， 在Rt△OHD中，OH＝OD＝， ∴DH＝OH＝， ∴DC′＝2DH＝， ∴PC+PD的最小值为． 12．已知的直径，弦与弦交于点E．且，垂足为点F． （1）如图1，如果，求弦的长； （2）如图2，如果E为弦的中点，求 【答案】（1）；（2） 【详解】 如图 ，连接OC， 又， 即， ， 则； 如图2，连接， 为直径， ， ， ， 又是的中位线， 设，则 解得：， 则 13．几何模型： 条件：如图1，A、B是直线l同侧的两个定点． 问题：在直线l上确定一点P，使的值最小， 方法：作点B关于直线l的对称点，连接交l于点P，则的值最小． 直接应用： (1)如图2，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且，N是AC上一动点，则的最小值为______． 变式练习： (2)如图3，点A是半圆上（半径为1）的三等分点，B是的中点，P是直径MN上一动点，求的最小值． 深化拓展： (3)如图4，在锐角中，，，的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，求的最小值． (4)如图5，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使．（要求：保留作图痕迹，并简述作法．） 【答案】(1)10；(2)的最小值为；(3)的最小值为4；(4)见解析 【解析】 (1)解：连接BN， ∵四边形ABCD为正方形，AC是对角线为对称轴， ∴BN=DN， ∴DN+NM=BN+NM≥BM ∴当B、N、M三点共线时DN+NM最短=BM， ∵DM=2，DC=BC=8， ∴CM=DC-DM=8-2=6， 在Rt△BCM中，BM=， ∴DN+NM最小=10； 故答案为10； (2)解：作点B关于NM的对称点B′，连接PB′，OB′， 则PB=PB′， ∴PA+PB=PA+PB′≥AB′， ∴当A、P、B′，三点共线时PA+PB最小=AB′ ∵点A是半圆上（半径为1）的三等分点， ∴的度数为60°， ∵B是的中点， ∴的度数为30°， ∴的度数为60°+30°=90°， ∴∠AOB′=90°， ∵OA=OB′=1， ∴AB′=， ∴PA+PB最小=； (3)解：作BE⊥AC于E，作点N关于AD的对称点N′，连接MN′ ∵AD平分∠CAB，点N在AB上， ∴点N′在AC上， MN=MN′，， ∴当点M，N′在BE上时最小=BE， ∵∠CAB=45°，BE⊥AC ∴∠EBA=180°-90°-45°=45°=∠CAB， ∴AE=BE， ∴△AEB为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴最小=4； (4)作点B关于AC对称点B′，作射线DB′交AC与P，连接BP， ∵点B与点B′关于AC对称， ∴PB=PB′， ∵PE⊥BB′∴PE平分∠BPB′， ∴∠APB=∠APD． 培优第三阶——中考沙场点兵 一、单选题 1．（2022·青海·中考真题）如图所示，，，以点A为圆心，AB长为半径画弧交x轴负半轴于点C，则点C的坐标为（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 解：∵， ∴OA=， ∵，以点A为圆心，AB长为半径画弧交x轴负半轴于点C， ∴， ∴， ∵点C为x轴负半轴上的点， ∴C， 故选：C． 2．（2022·山东泰安·中考真题）如图，四边形为矩形，，．点P是线段上一动点，点M为线段上一点．，则的最小值为（        ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 设AD的中点为O，以O点为圆心，AO为半径画圆 ∵四边形为矩形 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴点M在O点为圆心，以AO为半径的园上 连接OB交圆O与点N ∵点B为圆O外一点 ∴当直线BM过圆心O时，BM最短 ∵， ∴ ∴ ∵ 故选：D． 3．（2022·四川泸州·中考真题）如图，是的直径，垂直于弦于点，的延长线交于点．若，，则的长是（        ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】C 【详解】 设OD=x，则OE=OA=DE-OD=4-x． ∵是的直径，垂直于弦于点， ∴ ∴OD是△ABC的中位线 ∴BC=2OD ∵ ∴，解得 ∴BC=2OD=2x=2 故选：C 4．（2022·山东聊城·中考真题）如图，AB，CD是的弦，延长AB，CD相交于点P．已知，，则的度数是（        ） A．30° B．25° C．20° D．10° 【答案】C 【详解】 解：如图，连接OB，OD，AC， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∴的度数20°． 故选：C． 5．（2022·甘肃兰州·中考真题）如图，内接于，CD是的直径，，则（        ） A．70° B．60° C．50° D．40° 【答案】C 【详解】 解：∵CD是⊙O的直径， ∴∠CAD＝90°， ∴∠ACD+∠D＝90°， ∵∠ACD＝40°， ∴∠ADC＝∠B＝50°． 故选：C． 6．（2022·辽宁锦州·中考真题）如图，线段是半圆O的直径。分别以点A和点O为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线，交半圆O于点C，交于点E，连接，，若，则的长是（        ） A． B．4 C．6 D． 【答案】A 【详解】 解：根据作图知CE垂直平分AC， ∴，， ∴， ∴， 即， ∵线段AB是半圆O的直径， ∴， 在中，根据勾股定理得， ， 故选A． 二、填空题 7．（2022·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴正半轴上，以点为圆心，长为半径作弧，交轴正半轴于点，则点的坐标为__________． 【答案】 【详解】 解：如图，连接， 点的坐标为， ， 由同圆半径相等得：， 是等腰三角形， ， （等腰三角形的三线合一）， 又点位于轴正半轴， 点的坐标为， 故答案为：． 8．（2022·湖北荆州·中考真题）如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高AB＝20cm，底面直径BC＝12cm，球的最高点到瓶底面的距离为32cm，则球的半径为______cm（玻璃瓶厚度忽略不计）． 【答案】7.5 【详解】 如下图所示，设球的半径为rcm， 则OG=EG-r=EF-GF-r=EF-AB-r=32-20-r=（12-r）cm， ∵EG过圆心，且垂直于AD， ∴G为AD的中点， 则AG=0.5AD=0.5×12=6cm， 在中，由勾股定理可得， ， 即， 解方程得r=7.5， 则球的半径为7.5cm． 9．（2022·四川雅安·中考真题）如图，∠DCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，若∠DCE＝72°，那么∠BOD的度数为 _____． 【答案】 【详解】 解：∠DCE＝72°， 四边形ABCD是⊙O内接四边形， 故答案为： 10．（2022·黑龙江·中考真题）如图，在中，AB是的弦，的半径为3cm，C为上一点，，则AB的长为________cm． 【答案】 【详解】 解：连接OA、OB，过点O作OD⊥AB于点D， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题 11．（2022·湖北宜昌·中考真题）石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1），隋代建造的赵州桥距今约有1400年历史，是我国古代石拱桥的代表．如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为．桥的跨度（弧所对的弦长），设所在圆的圆心为，半径，垂足为．拱高（弧的中点到弦的距离）．连接． (1)直接判断与的数量关系； (2)求这座石拱桥主桥拱的半径（精确到）． 【答案】(1)；(2)这座石拱桥主桥拱半径约为 【解析】 (1)解：∵半径， ∴． 故答案为：． (2)设主桥拱半径为，由题意可知，， ∴，， 在中，由勾股定理，得， 即， 解得， ∴， 因此，这座石拱桥主桥拱半径约为． 12．（2022·江苏盐城·中考真题）证明：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧． 【答案】见解析 【详解】 已知：如图，是的直径，是的弦，，垂足为． 求证：，，． 证明：如图，连接、． 因为 ，， 所以，． 所以，． 所以． 13．（2022·山东泰安·中考真题）问题探究 （1）在中，，分别是与的平分线． ①若，，如图，试证明； ②将①中的条件“”去掉，其他条件不变，如图，问①中的结论是否成立？并说明理由． 迁移运用 （2）若四边形是圆的内接四边形，且，，如图，试探究线段，，之间的等量关系，并证明． 【答案】（1）①见解析；②结论成立，见解析；（2），见解析 【详解】 （1）①，， ． 又、分别是、的平分线． 点D、E分别是、的中点． ，． ． ②结论成立，理由如下： 设与交于点F， 由条件，得，． 又 ． ． ． ∴． 在上截取． 由∵BF=BF， ∴． ． ． 又∵CF=CF， ∴． ∴． （2），理由如下： ∵四边形是圆内接四边形， ∴． ∵， ∴，， ∴． ∴． 作点B关于的对称点E，连结，，的延长线与的延长线交于点M，与交于点F， ∴，． ∴． ∴ ∴ ∴ ∵AE、DC分别是、的角平分线 由②得．