【考点全掌握】人教版数学八年级上册-第十一章-三角形-单元过关检测02-同步考点（知识清单+例题讲解+课后练习）

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2022—2023学年八年级上学期第一单元过关检测（2）
一、选择题（本题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑）
1．（4分）已知有两条长度分别是3和7的木棍，需要再找一条木棍组成三角形，现有3、4、5、6、7、8、9、10可供选择，能组成三角形的木棍有（　　）条．
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】根据“三角形任意两边之和大于第三边”进行分析解答．
【解答】解：设第三条边的长度为a，
由题意，知7﹣3＜a＜7+3，即4＜a＜10．
所以长度为5、6、7、8、9的木棍符合题意，共有5条木棍合适．
故选：A．
2．（4分）如图，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，以增加使用梯子时的安全性，这样做蕴含的道理是（　　）
A．三角形具有稳定性
B．三角形内角和等于180°
C．两点之间线段最短
D．同位角相等，两直线平行拉杆
【分析】根据三角形具有稳定性解答即可．
【解答】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，以增加使用梯子时的安全性，这样做的道理是三角形具有稳定性．
故选：A．
3．（4分）一副三角尺如图摆放，则α的大小为（　　）

A．105° B．120° C．135° D．150°
【分析】由题意可得∠ABC＝45°，∠1＝30°，∠C＝90°，则可求得∠2＝15°，利用三角形的外角性质即可求∠α的度数．
【解答】解：如图，

由题意得：∠ABC＝45°，∠1＝30°，∠C＝90°，
∴∠2＝∠ABC﹣∠1＝15°，
∴∠α＝∠2+∠C＝105°．
故选：A．
4．（4分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，将△ADE沿DE折叠至△FDE位置，点A的对应点为F．若∠A＝15°，∠BDF＝120°，则∠DEF的度数为（　　）

A．135° B．130° C．125° D．120°
【分析】由折叠的性质可得∠ADE＝∠FDE，∠AED＝∠FED，由邻补角定义可解得∠ADF＝60°，继而解得，再由三角形内角和180°解得∠DEA＝135°，最后由折叠的性质解答即可．
【解答】解：由题意得，∠ADE＝∠FDE，∠AED＝∠FED，
∵∠BDF＝120°，
∴∠ADF＝180°﹣120°＝60°，
∴，
∴∠DEA＝180°﹣∠A﹣∠ADE＝180°﹣15°﹣30°＝135°，
∵△ADE沿DE折叠至△FDE位置，
∴∠DEF＝∠DEA＝135°，
故选：A．

5．（4分）△ABC的两边是方程组的解，第三边长为整数，符合条件的三角形有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】首先求出x，y的值，再根据三角形三边关系：①任意两边之和大于第三边；②任意两边之差小于第三边，即可得出第三边的取值范围，即可得出答案．
【解答】解：方程组的解为：，
∵△ABC的两边是方程组的解，第三边长为整数，
∴2＜第三边长＜6，
∴第三边长可以为：3，4，5．
∴这样的三角形有3个．
故选：B．
6．（4分）如图所示，考古学家发现在地下A处有一座古墓，古墓上方是煤气管道，为了不影响管道，准备在B和C处开工挖出“V”字形通道，如果∠DBA＝120°，∠ECA＝125°，则∠A的度数是（　　）

A．65° B．80° C．85° D．90°
【分析】根据邻补角的定义求得△ABC的两个内角∠ABC、∠ACB的度数；然后利用△ABC的内角和是180°来求∠A的度数即可．
【解答】解：∵∠DBA＝120°，∠ECA＝125°，
∴∠ABC＝180°﹣∠DBA＝60°，∠ACB＝180°﹣∠ECA＝55°，
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣60°﹣55°＝65°，即∠A＝65°．
故选：A．
7．（4分）在第24届北京冬季奥林匹克运动会上，花样滑冰运动因其是力与美的结合而吸引着不少人的关注，运动员通过冰刀在冰面上划出图形，并表演跳跃、旋转等高难度动作，某位运动员就在冰面上滑出了如图所示的几何图形，请利用所学知识计算出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为（　　）

A．360° B．270° C．240° D．180°
【分析】连接BC，根据三角形的内角和等于180°，可得∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，根据“8字形”的熟练关系可得∠E+∠D＝∠EBC+∠DCB，然后即可得解．
【解答】解：如图，连接AD，

则∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
根据“8字形”数量关系，∠E+∠D＝∠EBC+∠DCB，
所以，∠A+∠ABE+∠ACD+∠D+∠E＝180°．
故选：D．
8．（4分）小聪利用最近学习的数学知识，给同伴出了这样一道题：假如从点A出发，沿直线走6米后向左转θ，接着沿直线前进6米后，再向左转θ……如此下去，当他第一次回到A点时，发现自己走了72米，θ的度数为（　　）

A．30° B．36° C．60° D．72°
【分析】小聪第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个正多边形．计算这个正多边形的边数和外角即可．
【解答】解：∵第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个正多边形，
∴多边形的边数为：72÷6＝12．
根据多边形的外角和为360°，
∴他每次转过的角度θ＝360°÷12＝30°．
故选：A．
9．（4分）如图1所示，将长为6的矩形纸片沿虚线折成3个矩形，其中左右两侧矩形的宽相等，若要将其围成如图2所示的三棱柱形物体，则图中a的值可以是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】本题实际上是长为6的线段围成一个等腰三角形．求腰长的取值范围．
【解答】解：长为6的线段围成等腰三角形的腰长为a．则底边长为6﹣2a．
由题意得，．
解得＜a＜3．
所给选项中分别为：1，2，3，4．
∴只有2符合上面不等式组的解集．
∴a只能取2．
故选：B．
10.（4分）如图，螳螂亦称刀螂，无脊椎动物，属肉食性昆虫．在螳螂的示意图中，AB∥DE，△ABC是等腰三角形，∠ABC＝124°，∠CDE＝72°，则∠ACD的度数为（　　）

A．16° B．28° C．44° D．45°
【分析】延长ED，交AC于F，根据等腰三角形的性质得出∠A＝∠ACB＝28°，根据平行线的性质得出∠CFD＝∠A＝28°，由三角形外角的性质即可求得∠ACD的度数．
【解答】解：延长ED，交AC于F，
∵△ABC是等腰三角形，∠ABC＝124°，
∴∠A＝∠ACB＝28°，
∵AB∥DE，
∴∠CFD＝∠A＝28°，
∵∠CDE＝∠CFD+∠ACD＝72°，
∴∠ACD＝72°﹣28°＝44°，
故选：C．

11．（4分）如图，在三角形ABC中，AH⊥BC，BF平分∠ABC，BE⊥BF，EF∥BC，以下四个结论：①AH⊥EF；②∠ABF＝∠EFB；③AC∥BE；④∠E＝∠ABE．其中正确的结论有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】根据平行线的性质、角平分线的定义、余角的性质等来判断即可．
【解答】解：∵AH⊥BC，EF∥BC，
∴AH⊥EF，故①正确；
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF，
∵EF∥BC，
∴∠EFB＝∠CBF，
∴∠ABF＝∠EFB，故②正确；
∵BE⊥BF，而AC与BF不一定垂直，
∴BE∥AC不一定成立，故③错误；
∵BE⊥BF，
∴∠E和∠EFB互余，∠ABE和∠ABF互余，而∠EFB＝∠ABF，
∴∠E＝∠ABE，故④正确．
故选：B．
12．（4分）如图，在△ABC中，以点B为圆心，AB为半径画弧交BC于点D，以点C为圆心，AC为半径画弧交BC于点E，连接AE，AD．设∠ACB＝α，∠EAD＝β，则∠B的度数为（　　）

A．2β﹣α B．α﹣β C．2α﹣β D．α+β
【分析】根据等腰三角形的性质得出∠BAD＝∠BDA，∠CAE＝∠CEA，根据三角形内角和定理求出∠CAE＝∠CEA＝（180°﹣∠ACB）＝90，求出∠CAD＝∠CAE﹣∠DAE＝90°﹣﹣β，根据三角形外角性质得出∠BAD＝∠BDA＝∠C+∠CAD＝90°+﹣β，再根据三角形内角和定理求出∠B即可．
【解答】解：∵以点B为圆心，AB为半径画弧交BC于点D，以点C为圆心，AC为半径画弧交BC于点E，
∴AB＝BD，AC＝CE，
∴∠BAD＝∠BDA，∠CAE＝∠CEA，
∵∠ACB＝α，
∴∠CAE＝∠CEA＝（180°﹣∠ACB）＝90，
∵∠DAE＝β，
∴∠CAD＝∠CAE﹣∠DAE＝（90°﹣）﹣β＝90°﹣﹣β，
∴∠BAD＝∠BDA＝∠C+∠CAD＝α+（90°﹣﹣β）＝90°+﹣β，
∴∠B＝180°﹣∠BAD﹣∠BDA
＝180°﹣（90°+﹣β）﹣（90°+﹣β）
＝180°﹣90°﹣+β﹣90°﹣+β
＝2β﹣α，
故选：A．
二、填空题（本题共4个小题，每小题4分，共16分，答题请用黑色墨水笔或签字笔直接答在答题卡相应的位置上）
13．（4分）已知a，b，c是△ABC的三边长，满足|a﹣7|+（b﹣2）2＝0，c为奇数，则△ABC的周长为 　 　．
【分析】根据在三角形中任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边；可求第三边长的范围，再根据奇数的定义得出答案．
【解答】解：∵|a﹣7|+（b﹣2）2＝0，
∴a﹣7＝0，b﹣2＝0，
解得：a＝7，b＝2，
由三角形三边关系定理得：7﹣2＜c＜7+2，即5＜c＜9，
又∵c为奇数，
∴c＝7，
∴△ABC的周长为7+2+7＝16．
故答案为：16．
14．（4分）如图，四边形ABCD的两个外角∠CBE，∠CDF的平分线交于点G．若∠A＝52°，∠DGB＝28°，则∠DCB的度数是 　 　．

【分析】连接AC，BD，由三角形外角定义可得∠FDC＝∠DAC+∠DCA，∠CBE＝∠BAC+∠BCA，再由DG平分∠FDC，BG平分∠CBE，可得∠CBG+∠CDG＝（∠DAB+∠DCB），在△BDG中，根据三角形内角和定理可得∠G+∠CDG+∠CBE+∠CDB+∠DBC＝180°，将式子进行等量代换即可求解．
【解答】解：连接AC，BD，
∴∠FDC＝∠DAC+∠DCA，∠CBG＝∠BAC+∠BCA，
∵DG平分∠FDC，BG平分∠CBE，
∴∠CBG+∠CDG＝（∠DAB+∠DCB），
在△BDG中，∠G+∠CDG+∠CBG+∠CDB+∠DBC＝180°，
∴∠G+（∠DAB+∠DCB）+∠CDB+∠DBC＝180°，
∴∠G+（∠DAB+∠DCB）+（180°﹣∠DCB）＝180°，
∵∠A＝52°，∠DGB＝28°，
∴28°+×52°+×∠DCB+180°﹣∠DCB＝180°，
∴∠DCB＝108°；
故答案为：108°．

15．（4分）如图，多边形ABCDEF和多边形ABGH分别为正六边形和正方形，连接CG，则∠CBG＝　 　°．

【分析】根据多边形的内角和定理求出正六边形的内角∠ABC的度数，根据∠ABC+∠ABG+∠CBG＝360°即可得出答案．
【解答】解：正六边形的内角∠ABC＝（6﹣2）×180°÷6＝120°，
正方形的内角∠ABG＝90°，
∵∠ABC+∠ABG+∠CBG＝360°，
∴∠CBG＝360°﹣120°﹣90°＝150°．
故答案为：150．
16．（4分）已知△ABC中，∠A＝α．在图1中∠B、∠C的平分线交于点O1，则可计算得∠BO1C＝90°+α；在图2中，设∠B、∠C的两条三等分角线分别对应交于O2、O3，则∠BO3C＝　 　．

【分析】首先根据三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB＝180°﹣α，再由三等分角线可得∠CBO3+∠BCO3＝（∠ABC+∠ACB）＝120°﹣α，由三角形内角和定理即可求得∠BO3C．
【解答】解：∵∠A＝α，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣α，
∵∠B、∠C的两条三等分角线分别对应交于O2、O3，
∴∠CBO3+∠BCO3＝（∠ABC+∠ACB）＝120°﹣α，
∴∠BO3C＝180°﹣（∠CBO3+∠BCO3）＝60°+α，
故答案为：60°+α．
三、解答题（本题共8个小题，共86分，答题请用黑色墨水笔或签字笔直接答在答题卡相应的位置上，解答时应写出必要的文字说明、证明步骤或演算步骤.）
17．（8分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ABD的周长比△ADC的周长多1，AB与AC的和为11．
（1）求AB、AC的长；
（2）求BC边的取值范围．

【分析】（1）根据三角形中线的定义，BD＝CD．所以△ABD和△ADC的周长之差也就是AB与AC的差，然后联立关于AB、AC的二元一次方程组，利用加减消元法求解即可．
（2）根据三角形三边关系解答即可．
【解答】解：（1）∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
∴△ABD的周长﹣△ADC的周长＝（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC＝1，
即AB﹣AC＝2①，
又AB+AC＝11②，
①+②得．2AB＝12，
解得AB＝6，
②﹣①得，2AC＝10，
解得AC＝5，
∴AB和AC的长分别为：AB＝6，AC＝5；
（2）∵AB＝6，AC＝5，
∴1＜BC＜11．
18．（8分）如图，已知△ABC，延长BC至点D，连接AD，E是AD上一点．已知∠B＝45°，∠CAE＝∠D，∠DCE＝∠BAC．
（1）求∠ACE的度数：
（2）若∠BAC＝25°，求∠CED的度数．

【分析】（1）根据三角形外角性质得到∠ACE+∠DCE＝∠B+∠BAC，然后利用∠DCE＝∠BAC得到∠ACE＝∠B；
（2）先计算出∠ACD＝70°，再利用三角形内角和定理得到∠D+∠CAE+∠ACD＝180°，加上∠CAE＝∠D，则可计算出∠D＝55°，然后根据三角形内角和定理计算出∠CED的度数．
【解答】解：（1）∵∠ACD＝∠B+∠BAC，
即∠ACE+∠DCE＝∠B+∠BAC，
而∠B＝45°，∠DCE＝∠BAC．
∴∠ACE＝∠B＝45°；
（2）∵∠DCE＝∠BAC＝25°，∠ACE＝45°，
∴∠ACD＝25°+45°＝70°，
∵∠D+∠CAE+∠ACD＝180°，
∴∠CAE+∠ACD＝180°﹣70°＝110°，
∵∠CAE＝∠D，
∴∠D＝×110°＝55°，
∴∠CED＝180°﹣25°﹣55°＝100°．
19．（10分）在△ABC中，D是BC边上一点，且∠CDA＝∠CAB，MN是经过点D的一条直线．
（1）直线MN⊥AC，垂足为点E，在图1中画出直线MN．若∠CAB＝70°，∠DAB＝20°，求∠CAD，∠CDE的度数；
（2）直线MN∥AB交AC边于点F，在图2中画出直线MN，求证：∠CDF＝∠CAD．（提示：三角形内角和等于180°）

【分析】（1）利用角的和差定义，三角形内角和定理求解即可；
（2）利用平行线的性质证明即可．
【解答】（1）解：如图1中，
∵∠CAB＝70°，∠DAB＝20°，
∴∠CAD＝∠CAB﹣∠DAB＝70°﹣20°＝50°，
∵DE⊥AC，
∴∠AED＝90°，
∴∠ADE＝90°﹣50°＝40°，
∵∠ADC＝∠CAB＝70°，
∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝70°﹣40°＝30°；
（2）证明：
∵MN∥AB，
∴∠ADF＝∠DAB，
∵∠ADC＝∠CAB，
∴∠CDF＝∠CAD．
20．（10分）已知a，b，c是△ABC的三边长．
（1）若a，b，c满足（a﹣b）2+|b﹣c|＝0，试判断△ABC的形状；
（2）化简：|b﹣c﹣a|+|a﹣b+c|﹣|a﹣b﹣c|．
【分析】（1）根据非负数的性质，可得出a＝b＝c，进而得出结论；
（2）利用三角形的三边关系得到b﹣c﹣a＜0，a﹣b+c＞0，a﹣b﹣c＜0，然后去绝对值符号后化简即可．
【解答】解：（1）∵（a﹣b）2+|b﹣c|＝0，
∴a﹣b＝0且b﹣c＝0，
∴a＝b＝c，
∴△ABC为等边三角形；
（2）∵a，b，c是△ABC的三边长，
∴b﹣c﹣a＜0，a﹣b+c＞0，a﹣b﹣c＜0，
∴原式＝﹣b+c+a+a﹣b+c+a﹣b﹣c＝3a﹣3b+c．
21．（12分）如图，在三角形ABC中，CD⊥AB于D，点E是AD上一点，FE⊥AB于E交AC于点H，点G是BC延长线上一点，连接FG，∠ACD+∠F＝180°．
（1）求证：AC∥FG；
（2）若∠A＝45°，∠BCD：∠ACD＝2：3，求∠BCD的度数．

【分析】（1）根据平行线的性质和判定即可解答；
（2）根据直角三角形即可解答．
【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，FE⊥AB，
∴∠AEH＝∠ADC＝90°，
∴EF∥DC，
∴∠ACD+∠CHE＝180°，
∵∠ACD+∠F＝180°，
∴∠F＝∠CHE，
∴AC∥FG；
（2）解：∵∠BCD：∠ACD＝2：3，
设∠BCD＝2x，∠ACD＝3x，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴∠A+∠ACD＝90°，
即45°+3x＝90°，
解得x＝15°，
∴∠BCD＝30°．
22．（12分）（1）如图（1）所示，△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，求证：∠BOC＝90°+∠A；
（2）如图（2）所示，∠ABC，∠ACD的平分线交于点O，求证：∠BOC＝∠A；
（3）如图（3）所示，∠CBD，∠BCE的平分线交于点O，请直接写出∠BOC与∠A的关系．

【分析】（1）依据角平分线的定义，即可得出∠OBC+∠OCB＝90°﹣∠A，再根据三角形内角和定理即可得到结论；
（2）依据∠OCD是△BCO的外角，可得∠O＝∠2﹣∠1，再根据∠ACD是△ABC的外角，可得∠A＝∠ACD﹣∠ABC，进而得到∠O＝∠BAC；
（3）根据角平分线的定义，即可得出∠2＝（∠A+∠ABC）、∠1＝（∠A+∠ACB），再根据三角形内角和定理即可得出结论．
【解答】证明：（1）∵在△ABC中，OB、OC分别是∠ABC、∠ACB的平分线，
∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB，
∴∠1+∠2＝（∠ABC+∠ACB）
＝（180°﹣∠A）
＝×（180°﹣x°）
＝90°﹣∠A，
∴∠BOC＝180°﹣（∠1+∠2）
＝180°﹣（90°﹣∠A）
＝90°+∠A；
（2）∵∠OCD是△BCO的外角，
∴∠O＝∠2﹣∠1，
又∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACD，
∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACD，
∴∠O＝（∠ACD﹣∠ABC），
∵∠A＝∠ACD﹣∠ABC，
∴∠O＝∠BAC；
（3）∵BO、CO为△ABC中∠ABC、∠ACB外角的平分线，
∴∠2＝∠BCE，∠1＝∠DBC，
∵∠BCE＝∠A+∠ABC，∠DBC＝∠A+∠ACB，
∴∠2＝（∠A+∠ABC）、∠1＝（∠A+∠ACB），
由三角形内角和定理得，
∠BDC＝180°﹣∠1﹣∠2
＝180°﹣[∠A+（∠A+∠ABC+∠ACB）]
＝180°﹣（∠A+180°）
＝90°﹣∠A．
23．（12分）（1）如图1，在∠BAC内部有一点P，连结BP，CP．求证：∠BPC＝∠1+∠BAC+∠2；
（2）如图2，在五角星中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝　 　；并证明你的结论；
（3）如图3，如果在∠BAC内部有两个向上突起的角，请你根据前面的结论猜想∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠BAC之间有什么等量关系，直接写出结论．

【分析】（1）连接AP并延长，再根据三角形内角与外角的性质即可求出∠BPC＝∠1+∠A+∠2；
（2）先把五角星五个“角”归结到一个三角形中，再根据三角形内角和定理解答即可；
（3）分别连接AP、AD、AG并延长，再根据三角形外角的性质解答即可．
【解答】解：如图，

（1）如图1，连接AP并延长，则∠3＝∠2+∠BAP，∠4＝∠1+∠PAC，
故∠BPC＝∠1+∠A+∠2；
（2）如图2，利用（1）中的结论，可得∠1＝∠A+∠C+∠D，
∵∠2＝∠B+∠E，
∵∠1+∠2＝180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．
故答案为：180°；
（3）∠4+∠5＝∠1+∠2+∠3+∠BAC，
如图3，连接AP、AD、AG并延长，
同（1）由三角形内角与外角的性质可求出∠4+∠5＝∠1+∠2+∠3+∠BAC．
24．（14分）如图1，在三角形ABC中，∠ABC＝90°，直线a与边AC、AB分别交于D、E两点，直线b与边BC、AC分别交于F、G两点，且a∥b．
（1）若∠AED＝44°，求∠BFG的度数；
（2）如图2，P为边AB上一点，连结PF，若∠PFG+∠BFG＝180°，请你探索∠PFG与∠AED的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，若∠DEB＝m，延长AB交直线b于点Q，在射线DC上有一动点P，连结PE、PQ，请直接写出∠PEQ、∠EPQ、PQF的数量关系（用含m的式子表示）．


【分析】（1）延长AB，结合平行线性质和外角定理即可．
（2）延长AB，结合平行线性质、外角定理和三角形内角和即可．
（3）结合题意画出图形，分类讨论即可．
【解答】解：延长AB交b于Q点，

∴∠AED＝∠Q＝44°，∠ABC＝∠QBF＝90°，
∴∠BFG＝∠Q+∠QBF＝44°+90°＝134°．
（2）延长AB交b于Q点，

∵∠BFG+∠QFB＝180°，
∴∠QFB＝∠PFG，
在Rt△QFB中∠QFB+∠Q＝90°，
∴∠PFG+∠Q＝90°，
又∵∠AED＝∠Q，
∴∠PFG+∠AED＝90°，
（3）①当点P在DC的延长线上时，如图，

在△QEP中，
∠PEQ+∠EPQ+∠EQP＝180°，
∠EQP＝∠EQF+∠PQF，
∠EQF＝180°﹣m，
∴∠PEQ+∠EPQ+∠EQF+∠PQF＝180°，
∴∠PEQ+∠EPQ+（180°﹣m）+∠PQF＝180°，
∴∠PEQ+∠EPQ+∠PQF＝m．
②当点P在DC上时，如图，

同理可得，PEQ+∠EPQ﹣∠PQF＝m．
综上，∠PEQ，∠EPQ，∠PQF的数量关系为：
∠PEQ+∠EPQ+∠PQF＝m或PEQ+∠EPQ﹣∠PQF＝m．