高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质教案

5.4.3　正切函数的性质与图象

正切函数的图象与性质

1．在下列函数中同时满足：①在上递增；②以2π为周期；③是奇函数的是(　　)

A．y＝tan x　　 B．y＝cos x

C．y＝tan   D．y＝－tan x

C　[A，D的周期为π，B中函数在上递减，故选C.]

2．函数y＝tan的定义域为________．

　[因为2x－≠kπ＋，k∈Z，

所以x≠＋，k∈Z

所以函数y＝tan的定义域为

.]

3．函数y＝tan 3x的最小正周期是________．

　[函数y＝tan 3x的最小正周期是.]

4．函数y＝tan的单调增区间是________．

，k∈Z　[令kπ－＜x－＜kπ＋，k∈Z

得kπ－＜x＜kπ＋，k∈Z

即函数y＝tan的单调增区间是

，k∈Z.]

有关正切函数的定义域、值域问题

【例1】　(1)函数y＝的值域是(　　)

A．(－1,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

C．(－∞，1)   D．(－1，＋∞)

(2)函数y＝3tan的定义域为________．

(3)函数y＝＋lg(1－tan x)的定义域为________．

[思路点拨]　求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时要充分利用三角函数的图象或三角函数线．

(1)B　(2)

(3)　[(1)当－＜x＜0时，－1＜tan x＜0，∴≤－1；

当0＜x＜时，0＜tan x＜1，∴≥1.

即当x∈∪时，函数y＝的值域是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．

(2)要使函数有意义应满足－≠kπ＋，k∈Z，得x≠－4kπ－，k∈Z，

所以函数的定义域为.

(3)要使函数y＝＋lg(1－tan x)有意义，则

即－1≤tan x<1.

在上满足上述不等式的x的取值范围是.

又因为y＝tan x的周期为π，所以所求x的定义域为.]

1．求正切函数定义域的方法

(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义即x≠＋kπ，k∈Z.

(2)求正切型函数y＝Atan(ωx＋φ)(A≠0，ω＞0)的定义域时，要将“ωx＋φ”视为一个“整体”．令ωx＋φ≠kπ＋，k∈Z，解得x.

2．解形如tan x＞a的不等式的步骤

提醒：求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件．

1．函数y＝logtan的定义域是(　　)

A.

B.

C.

D.

B　[由题意tan＞0，

即tan＜0，

∴kπ－＜x－＜kπ，

∴kπ－＜x＜kπ＋，k∈Z，故选B.]

2．求函数y＝tan2＋tan＋1的定义域和值域．

[解]　由3x＋≠kπ＋，k∈Z，得x≠＋(k∈Z)，所以函数的定义域为.

设t＝tan，

则t∈R，y＝t2＋t＋1＝2＋≥，

所以原函数的值域是.

正切函数奇偶性、周期性和图象的对称性

【例2】　(1)函数f(x)＝tan的周期为________．

(2)已知函数y＝tan，则该函数图象的对称中心坐标为________．

(3)判断下列函数的奇偶性：

①y＝3xtan 2x－2x4；②y＝cos＋tan x.

[思路点拨]　(1)形如y＝Atan(ωx＋φ)(Aω≠0)的周期T＝，也可以用定义法求周期．

(2)形如y＝Atan(ωx＋φ)(Aω≠0)的对称中心横坐标可由ωx＋φ＝，k∈Z求出．

(3)先求定义域看是否关于原点对称，若对称再判断f(－x)与f(x)的关系．

(1)　(2)，k∈Z　[(1)法一：(定义法)

∵tan＝tan，

即tan＝tan，

∴f(x)＝tan的周期是.

法二：(公式法)

f(x)＝tan的周期T＝.

(2)由x－＝(k∈Z)得x＝＋(k∈Z)，所以图象的对称中心坐标为，k∈Z.]

(3)①定义域为，关于原点对称，

又f(－x)＝3(－x)tan 2(－x)－2(－x)4＝3xtan 2x－2x4＝f(x)，所以它是偶函数．

②定义域为，关于原点对称，

y＝cos＋tan x＝sin x＋tan x，

又f(－x)＝sin(－x)＋tan(－x)＝－sin x－tan x

＝－f(x)，所以它是奇函数．

1．函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)周期的求解方法：

(1)定义法．

(2)公式法：对于函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期T＝.

(3)观察法(或图象法)：观察函数的图象，看自变量间隔多少，函数值重复出现．

2．判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法：

先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；若其关于原点对称，再看f(－x)与f(x)的关系．

提醒：y＝tan x，x≠kπ＋，k∈Z的对称中心坐标为，k∈Z.

3．判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)＝；

(2)f(x)＝tan＋tan.

[解]　(1)由

得f(x)的定义域为

，

不关于原点对称，

所以函数f(x)既不是偶函数，也不是奇函数．

(2)函数定义域为

，

关于原点对称，

又f(－x)＝tan＋tan

＝－tan－tan

＝－f(x)，

所以函数f(x)是奇函数．

正切函数单调性的应用

[探究问题]

1．正切函数y＝tan x在其定义域内是否为增函数？

提示：不是．正切函数的图象被直线x＝kπ＋(k∈Z)隔开，所以它的单调区间只在(k∈Z)内，而不能说它在定义域内是增函数．假设x1＝，x2＝π，x1<x2，但tan x1＝tan x2.

2．如果让你比较tan与tan的大小，你应该怎样做？

提示：先根据正切函数的周期性把两角化到同一单调区间内，再由正切函数的单调性进行比较．

【例3】　(1)tan 1，tan 2，tan 3，tan 4从小到大的排列顺序为________．

(2)求函数y＝3tan的单调区间．

[思路点拨]　(1)利用y＝tan x在上为增函数比较大小，注意tan 1＝tan(π＋1)．

(2)先将原函数化为y＝－3tan，再由－＋kπ＜2x－＜＋kπ，k∈Z，求出单调减区间．

(1)tan 2＜tan 3＜tan 4＜tan 1　[(1)y＝tan x在区间上是单调增函数，且tan 1＝tan(π＋1)，

又＜2＜3＜4＜π＋1＜，

所以tan 2＜tan 3＜tan 4＜tan 1.]

(2)y＝3tan＝－3tan，

由－＋kπ＜2x－＜＋kπ，k∈Z得，

－＋π＜x＜＋π，k∈Z，

所以y＝3tan的减区间为－＋π，＋π，k∈Z.

1．求函数y＝Atan(ωx＋φ)(A＞0，ω≠0，且A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法

(1)若ω＞0，由于y＝tan x在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kπ－＜ωx＋φ＜kπ＋，k∈Z，解得x的范围即可．

(2)若ω＜0，可利用诱导公式先把y＝Atan(ωx＋φ)转化为y＝Atan[－(－ωx－φ)]＝－Atan(－ωx－φ)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可．

2．运用正切函数单调性比较大小的步骤

(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．

(2)运用单调性比较大小关系．

提醒：y＝Atan(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)只有增区间；y＝Atan(ωx＋φ)(A＜0，ω＞0)只有减区间．

1．利用单位圆中的正切线作正切函数的图象，作图较为准确，但画图时较繁，我们常用“三点两线”法作正切曲线的简图．

2．正切函数与正弦函数、余弦函数的性质比较．

1．思考辨析

(1)正切函数的定义域和值域都是R.(　　)

(2)正切函数图象是中心对称图形，有无数个对称中心．(　　)

(3)正切函数图象有无数条对称轴，其对称轴是x＝kπ±，k∈Z.(　　)

(4)正切函数是增函数．(　　)

[提示]　由正切函数图象可知(1)×，(2)√，(3)×，(4)×.

[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×

2．若tan x≥1，则(　　)

A．2kπ－＜x＜2kπ(k∈Z)

B．x≤(2k＋1)π(k∈Z)

C．kπ－＜x≤kπ(k∈Z)

D．kπ＋≤x＜kπ＋(k∈Z)

D　[因为tan x≥1＝tan.

所以＋kπ≤x＜＋kπ，k∈Z.]

3．求函数y＝tan(π－x)，x∈的值域为________．

(－，1)　[y＝tan(π－x)＝－tan x，

在上为减函数，

所以值域为(－，1)．]

4．求函数y＝tan的定义域、最小正周期、单调区间及其图象的对称中心．

[解]　①由－≠kπ＋，k∈Z，得x≠2kπ＋，k∈Z，∴函数的定义域为.

②T＝＝2π，

∴函数的最小正周期为2π.

③由kπ－＜－＜kπ＋，k∈Z，得2kπ－＜x＜2kπ＋，k∈Z，

∴函数的单调递增区间为， k∈Z.

④由－＝，k∈Z，得x＝kπ＋，k∈Z，

∴函数图象的对称中心是，k∈Z.