23版新高考一轮分层练案(一)　集合

一轮分层练案(一)　集合

A级——基础达标

1．设集合A＝，下列集合中，不是A的子集的是(　　)

A．{x|－1<x<1}    B．{x|1<x<3}

C．{x|1<x<2}    D．∅

【答案】B　依题意得，A＝{x|－1<x<log27}，

因为2＝log24<log27<log28＝3，故选B.

2．已知集合A＝{x∈N＋|x2－3x－4<0}，则集合A的真子集有(　　)

A．7个    B．8个

C．15个    D．16个

【答案】A　∵集合A＝{x∈N＋|x2－3x－4<0}＝{x∈N＋|－1<x<4}＝{1，2，3}，

∴集合A中共有3个元素，

∴真子集有23－1＝7(个).

3．已知集合M＝，N＝{y|y＝lg x}，则M∩N＝(　　)

A．∅    B．{(4，0)，(3，0)}

C．[－3，3]    D．[－4，4]

【答案】D　由题意可得M＝{x|－4≤x≤4}，N＝{y|y∈R}，所以M∩N＝[－4，4].故选D.

4．调查了100名携带药品出国的旅游者，其中75人带有感冒药，80人带有胃药，那么对于既带感冒药又带胃药的人数统计中，下列说法正确的是(　　)

A．最多人数是55    B．最少人数是55

C．最少人数是75    D．最多人数是80

【答案】B　设100名携带药品出国的旅游者组成全集I，其中带感冒药的人组成集合A，带胃药的人组成集合B.

又设所携带药品既非感冒药又非胃药的人数为x，则x∈[0，20]，以上两种药都带的人数为y.

根据题意列出Venn图，如图所示，由图可知，x＋75＋80－y＝100.

∴y＝55＋x.∵0≤x≤20，

∴55≤y≤75，故最少人数是55.故选B.

5.若全集U＝R，集合A＝{x|y＝lg (6－x)}，B＝{x|2x>1}，则图中阴影部分表示的集合是(　　)

A．(2，3)    B．(－1，0]

C．[0，6)     D.(－∞，0]

【答案】D　A＝{x|y＝lg (6－x)}＝{x|x<6}，B＝{x|2x>1}＝{x|x>0}，阴影部分表示的集合是(∁UB)∩A＝(－∞，0]∩(－∞，6)＝(－∞，0].故选D.

6．(多选)已知集合M⊆{4，7，8}，且M中至多有一个偶数，则这样的集合M可以为(　　)

A．{4，7}    B．∅

C．{4，7，8}    D．{7}

【答案】ABD　由题意，M＝∅，{7}，{4，7}，{7，8}，{4}，{8}，共6个，对照选项，A、B、D均可．故选A、B、D.

7．(多选)已知集合A＝{2，3，4}，集合A∪B＝{1，2，3，4，5}，则集合B可能为(　　)

A．{1，2，5}    B．{2，3，5}

C．{0，1，5}    D．{1，2，3，4，5}

【答案】AD　集合A＝{2，3，4}，集合A∪B＝{1，2，3，4，5}，所以集合B中必有元素1和5，且有元素2，3，4中的0个，1个，2个或3个都可以，A、D符合，B、C不符合．

8．(多选)已知集合M＝{y|y＝x－|x|，x∈R}，N＝，则下列选项错误的是(　　)

A．M＝N    B．N⊆M

C．M＝∁RN    D．∁RNM

【答案】ABD　由题意得M＝{y|y≤0}，N＝{y|y>0}，∴∁RN＝{y|y≤0}，∴M＝∁RN.故C正确，A、B、D不符合．

9．设集合M＝{y|y＝2cos x，x∈[0，5]}，N＝{x|y＝log2(x－1)}，则M∩N＝________．

解析：∵M＝{y|y＝2cos x，x∈[0，5]}＝{y|－2≤y≤2}，N＝{x|y＝log2(x－1)}＝{x|x>1}，

∴M∩N＝{y|－2≤y≤2}∩{x|x>1}＝{x|1<x≤2}．

【答案】{x|1<x≤2}

10．已知集合A＝{1，3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，若B⊆A，求实数a的值．

解：因为B⊆A，所以必有a2－a＋1＝3或a2－a＋1＝a.

①若a2－a＋1＝3，则a2－a－2＝0，解得a＝－1或a＝2.

当a＝－1时，A＝{1，3，－1}，B＝{1，3}，满足条件；

当a＝2时，A＝{1，3，2}，B＝{1，3}，满足条件．

②若a2－a＋1＝a，则a2－2a＋1＝0，解得a＝1，

此时集合A＝{1，3，1}，不满足集合中元素的互异性，所以a＝1应舍去．

综上，a＝－1或a＝2.

B级——综合应用

11．已知全集U＝{x∈N|－1≤x≤9}，集合A＝{0，1，3，4}，集合B＝{y|y＝2x，x∈A}，则(∁UA)∩(∁UB)＝(　　)

A．{5，7}

B．{－1，5，7，9}

C．{5，7，9}

D．{－1，1，2，3，4，5，6，7，8，9}

【答案】C　法一：因为U＝{x∈N|－1≤x≤9}，所以U＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}．因为集合A＝{0，1，3，4}，集合B＝{y|y＝2x，x∈A}，所以B＝{0，2，6，8}．所以∁UA＝{2，5，6，7，8，9}，∁UB＝{1，3，4，5，7，9}，所以(∁UA)∩(∁UB)＝{5，7，9}．故选C.

法二：因为U＝{x∈N|－1≤x≤9}，所以U＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}．因为集合A＝{0，1，3，4}，集合B＝{y|y＝2x，x∈A}，所以B＝{0，2，6，8}．所以A∪B＝{0，1，2，3，4，6，8}，所以(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)＝{5，7，9}．故选C.

12．(多选)设S为复数集C的非空子集．若对任意x，y∈S，都有x＋y，x－y，xy∈S，则称S为封闭集．下列命题中是真命题的有(　　)

A．集合S＝{a＋bi|a，b为整数，i为虚数单位}为封闭集

B．若S为封闭集，则一定有0∈S

C．封闭集一定是无限集

D．若S为封闭集，则满足S⊆T⊆C的任意集合T也是封闭集

【答案】AB　两个复数的和、差、积仍是复数，且运算后的实部、虚部仍为整数，

所以集合S＝{a＋bi|a，b为整数，i为虚数单位}为封闭集，A正确；

当S为封闭集时，因为x－y∈S，取x＝y，得0∈S，B正确；

对于集合S＝{0}，显然满足所有条件，但S是有限集，C错误；

取S＝{0}，T＝{0，1}，满足S⊆T⊆C，但由于0－1＝－1 不属于T，故T不是封闭集，D错误．

13．已知集合A＝{x|x2＋x＝0，x∈R}，则集合A中的元素为________；若集合B满足B⊆A，则集合B的个数是________．

解析：解方程x2＋x＝0得x＝－1或x＝0，所以集合A＝{x|x2＋x＝0，x∈R}＝{－1，0}，故集合A中的元素为－1，0.因为集合B满足B⊆A，所以集合B的个数为22＝4.

【答案】－1，0　4

14．已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝________，n＝________．

解析：A＝{x∈R||x＋2|<3}＝{x∈R|－5<x<1}，

由A∩B＝(－1，n)，可知m<1，

则B＝{x|m<x<2}，画出数轴，可得m＝－1，n＝1.

【答案】－1　1

15．设常数a∈R，集合A＝{x|(x－1)(x－a)≥0}，B＝{x|x≥a－1}，若A∪B＝R，求a的取值范围．

解：当a>1时，A＝(－∞，1]∪[a，＋∞)，B＝[a－1，＋∞)，当且仅当a－1≤1时，A∪B＝R，故1<a≤2；

当a＝1时，A＝R，B＝{x|x≥0}，A∪B＝R，满足题意；

当a<1时，A＝(－∞，a]∪[1，＋∞)，B＝[a－1，＋∞)，

又∵a－1<a，∴A∪B＝R，故a<1满足题意，综上知a∈(－∞，2].

C级——迁移创新

16．当两个集合有公共元素，且互不为对方的子集时，我们称这两个集合“相交”．对于集合M＝{x|ax2－1＝0，a>0}，N＝，若M与N“相交”，求实数a的值．

解：M＝，

由＝，得a＝4，由＝1，得a＝1.

当a＝4时，M＝，此时M⊆N，不合题意；

当a＝1时，M＝{－1，1}，满足题意．