2022-2023学年辽宁省沈阳市和平区南昌中学八年级（上）期中数学试卷(解析版)

2022-2023学年辽宁省沈阳市和平区南昌中学八年级（上）期中数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列实数是无理数的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 点在平面直角坐标系的(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3. 下列各组数据中，能够成为直角三角形三条边长的一组数据是(    )

A. ，， B. ，，
C.  D. ，，

4. 式子在实数范围内有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形，，，的边长分别是，，，，则最大正方形的面积是(    )
    

A.  B.  C.  D.

6. 估计与最接近的整数是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 有一个如图所示的上底面是敞口的长方体透明玻璃鱼缸，其长，高，宽在顶点处有一块面包屑，一只蚂蚁想从鱼缸外的点沿鱼缸侧面吃面包屑，蚂蚁爬行的最短路线长是．(    )

A.  B.
C.  D.

8. 如图是某学校的部分平面示意图，在同一平面直角坐标系中，若体育馆的坐标为，科技馆的坐标为，则教学楼的坐标为(    )

A.
B.
C.
D.

9. 如图，数轴上点表示的数为，点表示的数是过点作，且，以点为圆心，的长为半径作弧，弧与数轴的交点表示的数为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 若点，关于轴对称，则(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共7小题，共26.0分）

11. 的立方根是______．
12. 已知等腰的两边长分别为和，则等腰的周长是______．
13. 如图，课间，小聪拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心掉到两墙之间，，，从三角板的刻度可知，小聪很快就知道了砌墙砖块的厚度每块砖的厚度相等为______．

14. 已知是的边上的高，若，，，则的长为______．
15. 如图，在，，在外，，，连接若，，则______．

16. 已知在平面直角坐标系中，点，，，分别连接，，，则周长的最小值是______．
17. 按要求填空：
    填表：

根据你发现规律填空：
已知：，则           ，           ；
已知：，，则           ．

三、解答题（本大题共8小题，共74.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18. 本小题分
    计算：
    ；
    ．
19. 本小题分
    计算：
    ；
    ．
20. 本小题分
    如图，中，是边上的一点，若，，，．
    求证：；
    求的面积．

21. 本小题分
    如图，某小区有两个喷泉，，两个喷泉的距离长为现要为喷泉铺设供水管道，，供水点在小路上，供水点到的距离的长为，的长为．
    求供水点到喷泉，需要铺设的管道总长；
    求喷泉到小路的最短距离．

22. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，的顶点，在轴上，点的坐标，，．
    求点和点坐标．
    点在轴正半轴上，当是等腰三角形时，直接写出点坐标．

23. 本小题分
    在的网格中建立如图所示的直角坐标系，规定在网格内包括边界横，纵坐标都是整数的点称为格点，已知的三个顶点都是格点，直线经过点且平行轴，直线经过点且平行轴．
    直接写出的三个顶点的坐标；
    与关于轴对称，，，的对应点分别是，，，直接写出的三个顶点的坐标；
    点是格点，且以点，，，为顶点的四边形是轴对称图形，直接写出所有符合条件的点坐标；
    点是直线上的点，点是直线上的点，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，直接写出所有符合条件的点坐标．
     
24. 本小题分
    已知和都是等腰直角三角形，，，，．
    如图，点为上一点，为外一点．
    求证：≌；
    若，，求；
    如图，当点，，在一条直线上时，，，直接写出的长．
25. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，点，轴于点，轴于点，点是轴正半轴上动点，连接即，将折叠得到，点与点对应，折痕为．
    填空：______，______，______．
    如图，的边与分别与交于点，，．
    求证：；
    求的长；
    连接，当是以为直角顶点的直角三角形时，直接写出点坐标．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．是无理数，故本选项符合题意；
B.，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
C.是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
D.是有限小数，属于有理数，故本选项不符合题意．
故选：．
根据无理数是无限不循环小数，可得答案．
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，每两个之间依次多个等形式．
 

2.【答案】 

【解析】解：点的横坐标是负数，纵坐标是正数，满足点在第二象限的条件，
点在平面直角坐标系的第二象限．
故选B．
根据第二象限内点的坐标特点：横坐标是负数，纵坐标是正数，进行解答即可．
本题主要考查平面直角坐标系中各象限内点的坐标的符号．第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，即三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；
B、，即三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、，即三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；
D、，即三角形是直角三角形，故本选项符合题意；
故选：．
先根据三角形的三边关系定理看看能否组成三角形，再根据勾股定理的逆定理逐个判断即可．
本题考查了三角形的三边关系定理和勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，即时，二次根式有意义．
故选：．
根据二次根式的性质，被开方数大于等于，解不等式即可．
主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
能够发现正方形，，，的边长正好是两个直角三角形的四条直角边，根据勾股定理最终能够证明正方形，，，的面积和即是最大正方形的面积．
根据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够导出正方形，，，的面积和即为最大正方形的面积．
【解答】
解：

根据勾股定理的几何意义，可得、的面积和为，、的面积和为，，
即．
故选：．  

6.【答案】 

【解析】解：因为，，，
所以，即，
又因为，且，
所以，
所以，
则，
所以与最接近的整数是，
故选：．
 

7.【答案】 

【解析】解：把长方体玻璃鱼缸侧面展开在平面上，蚂蚁爬行的最短路线长是线段的长，

，

．
故选：．
把长方体玻璃鱼缸侧面展开在平面上，蚂蚁爬行的最短路线长是线段的长，求出线段的长即可．
本题考查最短路径问题，关键是掌握两点之间线段最短，从而可找到最短路径．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图所示：图书馆的坐标为．
故选：．
直接利用已知点坐标得出原点位置，进而得出答案．
此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
，
到原点的距离是．
点所表示的数是．
故选：．
首先在直角三角形中，利用勾股定理可以求出线段的长度，然后根据即可求出的长度，接着可以求出数轴上点所表示的数．
本题考查实数与数轴，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理．
 

10.【答案】 

【解析】解：根据题意：
，，
所以，．
故选：．
关于轴对称，所以两个点的纵坐标是相反数，横坐标相等．
本题考查两点关于，轴的对称问题，掌握基本点即可作答．
 

11.【答案】 

【解析】根据算术平方根的定义先求出，再根据立方根的定义即可得出答案．
解：因为，
所以的立方根是；
故答案为．

此题主要考查了立方根的定义，求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．
 

12.【答案】 

【解析】解：分两种情况：
当等腰的腰长为，底边长为时，
，
不能组成三角形；
当等腰的腰长为，底边长为时，
等腰的周长；
综上所述：等腰的周长是，
故答案为：．
分两种情况：当等腰的腰长为，底边长为时，当等腰的腰长为，底边长为时，然后分别进行计算即可解答．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分两种情况进行计算是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：连接，
设砌墙砖块的厚度为，
则，则，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，，
在中，
，
，
解得；负数舍去．
故答案为：．
首先证明≌，进而利用勾股定理，在中，，求出即可．
此题主要考查了勾股定理的应用以及全等三角形的判定与性质，得出，是解题关键．
 

14.【答案】或 

【解析】解：分两种情况：
当是锐角三角形，如图，
，
，
，，
，
，
，
，
；
当是钝角三角形，如图，
同理得：，，
；
综上所述，的长为或．
故答案为：或．
分两种情况：
当是锐角三角形，如图，
当是钝角三角形，如图，
分别根据勾股定理计算和即可．
本题考查了三角形的高、勾股定理的应用，在直角三角形中常利用勾股定理计算线段的长，要熟练掌握．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
是直角三角形，
，，
，
故答案为：
根据直角三角形的判定和勾股定理解答即可．
此题考查勾股定理，关键是根据勾股定理得出．
 

16.【答案】 

【解析】解：作点关于直线线的对称点，连接，与直线交于点．
则，
即的最小值为，
周长的最小值为．
，

，
，
，
周长的最小值是．
故答案为：．
作点关于直线线的对称点，连接，与直线交于点则，即的最小值为，所以周长的最小值为．
本题考查了利用轴对称变换作图，坐标与图形性质，勾股定理，轴对称确定最短路线问题；熟记最短距离的确定方法是解题的关键．
 

17.【答案】，，，；
；； 

【解析】

【分析】

此题考查了算术平方根，属于基础题，解答本题的关键是熟练算术平方根的定义．
根据算术平方根的定义直接求解即可；
根据算术平方根的定义先找出规律，再进行求解即可．
【解答】
解：，，，；
故答案为：，，，；
，
，；
，
，则；
故答案为：，，．

18.【答案】解：

；



． 

【解析】先化简，再算二次根式的加减法即可；
先化简，再算括号里的加减法，最后算除法即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

19.【答案】解：原式

；
原式

． 

【解析】先算零指数幂和负整数指数幂，去绝对值，再化为最简二次根式，最后合并；
用平方差公式和完全平方公式展开，化为最简二次根式，再合并即可．
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握化为最简二次根式和合并同类二次根式的方法．
 

20.【答案】证明：在中，，，，
，
为直角三角形，
；
解：． 

【解析】在三角形中，利用勾股定理的逆定理判断得到为直角三角形，即垂直于；
由求出的长，即可求出三角形面积．
此题考查了勾股定理、勾股定理逆定理，以及三角形面积求法，熟练掌握勾股定理逆定理是解本题的关键．
 

21.【答案】解：在中，，
，
，
在中，，
，
供水点到喷泉，需要铺设的管道总长；
，，，
，
是直角三角形，
，
喷泉到小路的最短距离是． 

【解析】根据勾股定理解答即可；
根据勾股定理的逆定理和垂线段解答即可．
此题考查勾股定理的应用，关键是根据勾股定理、逆定理和垂线段解答．
 

22.【答案】解：过点作轴于点，则，
，
是等腰三角形，
，
，
，
，，
，，
，，
，
．
设，则，，
当时，，
解得：，
点，
当时，，
解得：，或，
点，或，
当时，，
解得：，或，
点，或，
综上所述，点的坐标为或或或，或 

【解析】过点作轴于点，先由得到是等腰三角形，进而得到，然后结合求得的长和的长，然后得到点的坐标和点的坐标；
设点的坐标为，然后利用两点间的距离公式分类求解．
本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理，解题的关键利用分类讨论思想结合等腰三角形的性质列出方程．
 

23.【答案】解：如图，，，；
如图中，即为所求．，，；
如图中，或；
如图中，满足条件的点，或．
 

【解析】根据点的位置写出坐标即可；
利用轴对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
根据轴对称图形的定义，画出图形即可；
根据等腰直角三角形的定义，画出图形即可．
本题考查作图坐标与图形的变化，等腰直角三角形的性质，轴对称图形等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题．
 

24.【答案】证明：，
，
在和中，
，
≌；

解：如图中，

，，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
，
；

如图中，

同法可证≌，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
． 

【解析】根据证明即可；
证明，利用勾股定理求解即可；
证明，利用勾股定理求解即可．
本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

25.【答案】     

【解析】解：点，轴于点，轴于点，
，，，
，
故答案为：，，；
如图，连接，

，
，
将折叠得到，
，，，
，
又，，
≌，
；
解：设，则，
，
≌，
，
，
，
，
，
；
解：是以为直角顶点的直角三角形，
点在直线上，
如图，当点在线段时，

将折叠得到，
，，
，
，
，
，
，
点，
当点在线段的延长线上时，同理可求，
，
，
，
，
点，
综上所述：点坐标为或
由题意可直接求解；
由“”可证≌，可得；
由勾股定理可求解；
分两种情况讨论，由折叠的性质和勾股定理可求解．
本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．