高考数学一轮复习配套课件 第六章 第一节 数列的概念与简单表示法

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·最新考纲· 1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．2．了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．
·考向预测·考情分析：数列通项公式的求解，前n项和Sn与数列的项an之间的关系的应用，数列的性质与应用仍是高考考查的热点，题型以选择与填空题为主，有时也会出现在解答题中．学科素养：通过求数列的通项公式及数列函数性质的应用考查逻辑推理、数学运算的核心素养．
一、必记3个知识点1．数列的有关概念
[提醒]　数列是一种特殊的函数，在研究数列问题时，既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性．
[提醒]　(1)并不是所有的数列都有通项公式；(2)同一个数列的通项公式在形式上未必唯一．
三、必练4类基础题(一)判断正误1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．(　　)(2)1，1，1，1，…，不能构成一个数列．(　　)(3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．(　　)(4)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对∀n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.(　　)
(三)易错易混4．(忽视项数为整数的情况)数列{an}中，an＝－n2＋11n(n∈N*)，则此数列最大项的值是________．
5．(忽视n＝1的特殊情况)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则an＝__________________________．
(四)走进高考6．[全国卷Ⅰ]记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn＝2an＋1，则S6＝________．
考点一　数列的有关概念及通项公式　[基础性] 1．已知数列的通项公式为an＝n2－8n＋15，则3(　　)A.不是数列{an}中的项B．只是数列{an}中的第2项C．只是数列{an}中的第6项D．是数列{an}中的第2项或第6项
解析：令an＝3，即n2－8n＋15＝3，解得n＝2或6，故3是数列{an}中的第2项或第6项．故选D.
3．已知数列{an}为5，55，555，5 555，…，则这个数列的一个通项公式是an＝________．
考点二　由an与Sn的关系求通项an　[综合性][例1]　(1)设Sn为数列{an}的前n项和，若2Sn＝3an－3，则a4＝(　　) A．27　 　B．81　 　C．93　 　D．243
解析：(1)根据2Sn＝3an－3，可得2Sn＋1＝3an＋1－3，两式相减得2an＋1＝3an＋1－3an，即an＋1＝3an，当n＝1时，2S1＝3a1－3，解得a1＝3，所以数列{an}是以3为首项，3为公比的等比数列，所以a4＝a1q3＝34＝81.故选B.
(3)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n＋1，则an＝____________________．
反思感悟　1．已知Sn求an的三个步骤(1)先利用a1＝S1求出a1；(2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式；(3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写．2．Sn与an关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求，将问题向两个不同的方向转化．(1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式．(2)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．
【对点训练】1．[2022·孝感模拟]已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2＋1，n∈N*，则a5－a1＝(　　)A．13 B．14C．15 D．16
解析：∵Sn＝2n2＋1，n∈N*∴a1＝S1＝2×12＋1＝3，a5＝S5－S4＝(2×52＋1)－(2×42＋1)＝18，则a5－a1＝18－3＝15，故选C.
2．[2022·辽宁省实验中学模拟]设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2(an－1)，则an＝(　　)A．2n B．2n－1C．2n D．2n－1
解析：当n＝1时，a1＝S1＝2(a1－1)，可得a1＝2；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，∴an＝2an－1，∴数列{an}为等比数列，公比为2，首项为2，∴通项公式为an＝2n，故选C.
3．设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，则an＝____________________． 
考点三　由数列的递推公式求通项公式　[创新性] 角度1　形如an＋1＝an＋f(n)，求an.(累加法)[例2]　设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，求数列{an}的通项公式．
角度3　形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1)，求an.(构造法)[例4]　已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2，求数列{an}的通项公式．
4．[2022·衡水检测]设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1－2Sn＝1，n∈N*，则数列{an}的通项公式为_________________．
an＝2n－1，n∈N*
解析：因为Sn＋1－2Sn＝1，所以Sn＋1＝2Sn＋1.因此Sn＋1＋1＝2(Sn＋1)，因为a1＝S1＝1，S1＋1＝2，所以{Sn＋1}是首项为2，公比为2的等比数列．所以Sn＋1＝2n，Sn＝2n－1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1，a1＝1也满足此式，所以an＝2n－1，n∈N*.
反思感悟　解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．
角度2　数列的单调性[例7]　已知等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，且an＝2n＋λ，若数列{Sn}(n≥7，n∈N*)为递增数列，则实数λ的取值范围为___________．
解析：当n≥7时，数列{Sn}为递增数列，设Sn＋1＞Sn，即Sn＋1－Sn＝an＋1＞0，∴an＋1＝2(n＋1)＋λ＞0，则λ＞－2n－2.又∵n≥7，∴－2n－2≤－16，即λ＞－16.
反思感悟　解决数列的单调性问题的3种方法
【对点训练】1．[2022·广元联考]已知数列{an}，若an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，则称数列{an}为“凸数列”．已知数列{bn}为“凸数列”，且b1＝1，b2＝－2，则{bn}的前2022项的和为(　　)A.0　　　B．1　　　C．－5　　　D．－1
解析：∵bn＋2＝bn＋1－bn，b1＝1，b2＝－2，∴b3＝b2－b1＝－2－1＝－3，b4＝b3－b2＝－1，b5＝b4－b3＝－1－(－3)＝2，b6＝b5－b4＝2－(－1)＝3，b7＝b6－b5＝3－2＝1.∴{bn}是周期为6的周期数列，且S6＝1－2－3－1＋2＋3＝0.∴S2022＝S337×6＝0.
[例]　[2020·全国卷Ⅱ]北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)(　　) A．3 699块 B．3 474块C．3 402块 D．3 339块
名师点评　“美”是景与情的交融，破解此类以数学之美为背景的数列题的关键：一是能够构建数学模型，如本题，根据已知条件和图形构建出等差数列模型；二是会用公式，如本题，会利用等差数列的前n项和公式，即可快速求出结果．
[变式训练]　[2022·云南西南联考]一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一，一百零八塔，因塔群的塔数而得名，塔群随山势凿石分阶而建，由下而上逐层增高，依山势自上而下各层的塔数分别为1，3，3，5，5，7，…，若该数列从第5项开始成等差数列，则该塔群共有(　　) A．10层　　B．11层 C．12层　　D．13层