23版新教材苏教版必修第一册课后习题练第2章测评

第2章测评

(时间:120分钟　满分:150分)

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.(2021广西钦州高二期末)下列语句能作为命题的是 (　　)

A.3比5大 B.太阳和月亮

C.高二年级的学生 D.x2+y2=0

答案A

解析根据命题定义:能判断真假的陈述句,A正确,B,C不是陈述句,D不能判断真假.故选A.

2.下列全称量词命题中是假命题的是(　　)

A.每一个末位是0的整数都是5的倍数

B.线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等

C.对任意负数x,x的平方是正数

D.梯形的对角线相等

答案D

解析每一个末位是0的整数都是10的倍数,而10是5的倍数,所以A为真命题;根据线段垂直平分线的定义可知B为真命题;负数的平方为正数,故C为真命题;等腰梯形的对角线相等,故D为假命题.故选D.

3.(2021江苏南通高二期末)命题“∃x>1,x2≥1”的否定是(　　)

A.∃x≤1,x2≥1 B.∃x≤1,x2<1

C.∀x≤1,x2≥1 D.∀x>1,x2<1

答案D

解析因为存在量词命题的否定是全称量词命题,所以命题“∃x>1,x2≥1”的否定是“∀x>1,x2<1”.故选D.

4.(2020天津,2)设a∈R,则“a>1”是“a2>a”的(　　)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分又不必要条件

答案A

解析若a>1,则a2>a成立.若a2>a,则a>1或a<0.∴“a>1”是“a2>a”的充分不必要条件.故选A.

5.(2021上海松江高一期末)要证明命题“所有实数的平方都是正数”是假命题,只需(　　)

A.证明所有实数的平方都不是正数

B.证明平方是正数的实数有无限多个

C.至少找到一个实数,其平方是正数

D.至少找到一个实数,其平方不是正数

答案D

解析命题“所有实数的平方都是正数”是全称量词命题,若其为假命题,那么命题的否定是真命题,所以只需“至少找到一个实数,其平方不是正数”.故选D.

6.(2021广东肇庆高二期末)若命题“∃x∈[-1,2],-x2+2≥a”是假命题,则实数a的取值范围是(　　)

A.(2,+∞) B.[2,+∞)

C.(-2,+∞) D.[-2,+∞)

答案A

解析若命题“∃x∈[-1,2],-x2+2≥a”是假命题,则命题“∀x∈[-1,2],-x2+2<a”是真命题,当x=0时,(-x2+2)max=2,所以a>2.故选A.

7.(2021四川凉山彝族自治州高二期末)若条件p:|x-1|≤1,条件q:x≤a,p是q的充分条件,但不是必要条件,则a的取值范围是(　　)

A.[2,+∞) B.(-∞,2]

C.[-2,+∞) D.(-∞,-2]

答案A

解析p:|x-1|≤1,解得0≤x≤2,设A={x|0≤x≤2},B={x|x≤a},p是q的充分条件,但不是必要条件,则A是B的真子集,则a≥2.故选A.

8.(2021福建福州高一期末)“关于x的不等式x2-3mx+4≥0的解集为R”的一个必要不充分条件是(　　)

A.-≤m≤ B.-2<m≤

C.-<m≤ D.-≤m<0

答案B

解析由关于x的不等式x2-3mx+4≥0的解集为R,可得Δ=(-3m)2-4×4≤0,解得-≤m≤,根据是必要条件,但不是充分条件的概念可知B项正确.故选B.

二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.

9.(2021江苏南京高二期末)对下列命题的否定说法正确的是(　　)

A.p:∀x∈R,x>0,命题p的否定:∃x∈R,x≤0

B.p:∃x∈R,x2≤-1;命题p的否定:∃x∈R,x2>-1

C.p:任意x<2,x<1;命题p的否定:存在x<2,x≥1

D.p:∀x∈R,使x2+1≠0;命题p的否定:∃x∈R,x2+1=0

答案ACD

解析p:∀x∈R,x>0;命题p的否定:∃x∈R,x≤0,A正确;p:∃x∈R,x2≤-1;命题p的否定:∀x∈R,x2>-1,B错误;p:任意x<2,x<1;命题p的否定:存在x<2,x≥1,C正确;p:∀x∈R,使x2+1≠0;命题p的否定:∃x∈R,x2+1=0,D正确.故选ACD.

10.(2020江苏昆山中学高一期中)设全集为U,下列选项是B⊆A的充要条件的有(　　)

A.A∪B=A B.A∩B=A

C.(∁UA)⊆(∁UB) D.A∪(∁UB)=U

答案ACD

解析如

Venn图所示,选项A中,若A∪B=A,则B⊆A;反过来,若B⊆A,则A∪B=A.故互为充要条件.选项C中,若(∁UA)⊆(∁UB),则B⊆A;反过来,若B⊆A,则(∁UA)⊆(∁UB).故互为充要条件.选项D中,若A∪(∁UB)=U,则(∁UA)⊆(∁UB),故B⊆A;反过来,若B⊆A,则(∁UA)⊆(∁UB),故A∪(∁UB).故互为充要条件.选项B中,如下Venn图,若A∩B=A,则A⊆B,推不出B⊆A.故错误.故选ACD.

11.(2020山东日照五莲高一期中)一元二次方程ax2+4x+3=0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是(　　)

A.a<0 B.a<-2

C.a<-1 D.a<1

答案BC

解析若方程ax2+4x+3=0(a≠0)有一个正根和一个负根,则解得a<0,则充分不必要条件应为(-∞,0)的真子集,故选BC.

12.(2021福建福州高一期末)命题“∀x∈R,x2-ax+1≥0”为真命题的一个必要不充分条件可以是(　　)

A.-2≤a≤2 B.a≥-2

C.a≤2 D.-2<a<2

答案BC

解析由命题“∀x∈R,x2-ax+1≥0”为真命题,可得Δ=(-a)2-4≤0,解得-2≤a≤2,对于A,-2≤a≤2是命题为真的充要条件;对于B,由a≥-2不能推出-2≤a≤2,反之成立,所以a≥-2是命题为真的一个必要不充分条件;对于C,a≤2不能推出-2≤a≤2,反之成立,所以a≤2也是命题为真的一个必要不充分条件;对于D,-2<a<2能推出-2≤a≤2,反之不成立,-2<a<2是命题为真的一个充分不必要条件.故选BC.

三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.(2021广西百色高二期末)若命题p:“∀x∈R,x2-2mx+1≥0”,则命题p的否定是　　　　　　　. 

答案∃x∈R,x2-2mx+1<0

解析由命题p:“∀x∈R,x2-2mx+1≥0”,则命题p的否定为:∃x∈R,x2-2mx+1<0.

14.(2021河南信阳高二期末)已知p:x<m,q:-1≤x≤3,若p是q的必要不充分条件,则m的值可能为　　　(填一个满足条件的值即可). 

答案4(答案不唯一,只需填大于3的数即可)

解析∵p是q的必要不充分条件,∴m>3,故m的值可能为4.

15.(2021安徽宣城高一期末)若命题“∃x∈R,x2-2x+a≤0”是假命题,则实数a的取值范围是　　　　　. 

答案(1,+∞)

解析因为“∃x∈R,x2-2x+a≤0”是假命题,所以∀x∈R,x2-2x+a>0恒成立.所以4-4a<0,解得a>1.

16.(2021江苏高二期末)设α:x≤-5或x>1,β:x≤-2m-3或x≥-2m+1,m∈R,α是β的充分条件,但不是必要条件,则实数m的取值范围是　　　　　. 

答案[0,1]

解析∵α是β的充分条件,但不是必要条件,

∴(等号不能同时成立)解得0≤m≤1.

四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)(2020云南镇雄第四中学高一月考)写出下列命题的否定,并判断其真假:

(1)∀x∈R,x2+x+1>0;

(2)∃x∈R,x2-x+1=0.

解(1)∃x∈R,x2+x+1≤0,假命题.

(2)∀x∈R,x2-x+1≠0,真命题.

18.(12分)(2020广东清远清新凤霞中学高一期中)已知集合A={x|-2≤x≤3},B={x|x<-1或x>2},C={x|x>a}.

(1)求A∩B和A∪B;

(2)若p:x∈C是q:x∈B的充分条件,求a的取值范围.

解(1)A∩B={x|-2≤x<-1或2<x≤3},A∪B=R.

(2)若p:x∈C是q:x∈B的充分条件,则C⊆B,

所以a≥2,a的取值范围是[2,+∞).

19.(12分)(2020重庆彭水第一中学高一期中)已知命题“∃x∈R,不等式x2-2x-m≤0”是假命题.

(1)求实数m的取值集合A;

(2)若q:-4<m-a<4是集合A的充分条件,但不是必要条件,求实数a的取值范围.

解(1)因为命题“∃x∈R,不等式x2-2x-m≤0”是假命题,所以命题的否定“∀x∈R,不等式x2-2x-m>0”是真命题,即Δ=4+4m<0,解得m<-1,

故集合A={m|m<-1}.

(2)因为-4<m-a<4,即a-4<m<a+4,

所以q:a-4<m<a+4.

因为q:a-4<m<a+4是集合A的充分条件,但不是必要条件,令集合B={m|a-4<m<a+4},集合B是集合A的真子集,即4+a≤-1,解得a≤-5,故实数a的取值范围是(-∞,-5].

20.(12分)(2021安徽泗县第一中学高二开学考试)已知p:实数x满足a<x<4a(其中a>0),q:实数x满足2<x<5.

(1)若a=1,且p与q都为真命题,求实数x的取值范围;

(2)若p是q的必要条件,但不是充分条件,求实数a的取值范围.

解(1)当a=1时,p:实数x满足1<x<4,q:实数x满足2<x<5,因为p与q都为真命题,所以解得2<x<4,即x的取值范围为(2,4).

(2)令A={x|a<x<4a,a>0},B={x|2<x<5},

因为p是q的必要条件,但不是充分条件,所以B⫋A,所以解得≤a≤2,

所以实数a的取值范围是,2.

21.(12分)(2020江苏扬州江都大桥高级中学高一月考)已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},

(1)若命题p:∀x∈B,x∈A是真命题,求m的取值范围;

(2)命题q:∃x∈A,x∈B是真命题,求m的取值范围.

解(1)因为命题p:∀x∈B,x∈A是真命题,所以B⊆A,

当B=⌀时,m+1>2m-1,解得m<2;

当B≠⌀时,解得2≤m≤3.

综上,m的取值范围为(-∞,3].

(2)因为q:∃x∈A,x∈B是真命题,所以A∩B≠⌀,

所以B≠⌀,即m≥2,所以m+1≥3,

所以A∩B≠⌀只需满足m+1≤5即可,即m≤4.

故m的取值范围为[2,4].

22.(12分)(2020江苏南通高二期中)已知命题p:关于x的方程x2-(3m-2)x+2m2-m-3=0有两个大于1的实数根.

(1)若命题p为真命题,求实数m的取值范围;

(2)命题q:3-a<m<3+a,是否存在实数a使得p是q的必要条件,但不是充分条件,若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,说明理由.

解(1)由x2-(3m-2)x+2m2-m-3=0得[x-(m+1)][x-(2m-3)]=0,所以x=m+1或x=2m-3.

因为命题p为真命题,所以m+1>1且2m-3>1,解得m>2.

故实数m的取值范围为(2,+∞).

(2)存在.设集合A={m|m>2},集合B={m|3-a<m<3+a},因为p是q的必要条件,但不是充分条件,所以B⫋A.

当B=⌀时,3-a≥3+a,解得a≤0;

当B≠⌀时,解得0<a≤1.

综上所述,存在a∈(-∞,1]满足条件.