高中数学苏教版 (2019)必修 第一册6.1 幂函数同步测试题

第6章幂函数、指数函数和对数函数

6.1　幂函数

课后篇巩固提升

必备知识基础练

1.(多选)下列函数是幂函数的有(　　)

A.y= B.y=2x2

C.y=x2+x D.y=x0(x≠0)

答案AD

解析因为y==x-2,所以是幂函数;y=2x2由于出现系数2,因此不是幂函数;y=x2+x是两项和的形式,不是幂函数;y=x0(x≠0)是幂函数.

2.已知幂函数图象经过点(2,8),则该幂函数的解析式是 (　　)

A.y=3x B.y=

C.y=x3 D.y=

答案C

解析设幂函数为y=xα,因为图象经过点(2,8),所以y=2α=8,解得α=3,函数的解析式为y=x3.

3.下列幂函数在区间(0,+∞)上是减函数的是(　　)

A.y=x B.y=x2

C.y=x3 D.y=x-1

答案D

解析y=x,y=x2,y=x3在区间(0,+∞)上是增函数,y=x-1在区间(0,+∞)上是减函数,故选D.

4.如图所示,给出四个幂函数的图象,则图象与函数的大致对应是(　　)

A.①y=,②y=x2,③y=,④y=x-1

B.①y=x3,②y=x2,③y=,④y=x-1

C.①y=x2,②y=x3,③y=,④y=x-1

D.①y=x3,②y=,③y=x2,④y=x-1

答案B

解析对于图①,函数图象关于原点对称,为奇函数,且在(0,+∞)上为增函数,故只有y=x3符合;对于图②,函数图象关于y轴对称,为偶函数,且在(0,+∞)上为增函数,故只有y=x2符合;对于图③,函数的定义域为[0,+∞),且为增函数,故y=符合;对于图④,函数的定义域为{x|x≠0},且为奇函数,并且在(0,+∞)上为减函数,故y=x-1符合.故选B.

5.设幂函数f(x)=kxα的图象经过点(4,2),则k+α=　　　　　　. 

答案

解析由题意得k=1,2=4α⇒α=,∴k+α=.

6.已知点(a,8)在幂函数f(x)=(a-1)xb的图象上,若f(m)+f(1-3m)<0,则实数m的取值范围为　　　　　　　　　. 

答案

解析因为f(x)=(a-1)xb为幂函数,

所以a-1=1,解得a=2,

所以f(x)=xb.又(2,8)在f(x)上,代入解得b=3,

所以f(x)=x3,为奇函数.

因为f(m)+f(1-3m)<0,

所以f(m)<-f(1-3m)=f(3m-1).

因为f(x)=x3在R上为增函数,

所以m<3m-1,解得m>,

故实数m的取值范围为.

7.已知幂函数f(x)=(2m2-6m+5)xm+1为奇函数,则实数m=　　　　　. 

答案2

解析∵f(x)为幂函数,∴2m2-6m+5=1,解得m=2或m=1;

当m=1时,f(x)=x2,不是奇函数,不满足题意;

当m=2时,f(x)=x3,是奇函数,满足题意.

综上所述,m=2.

8.如图,幂函数y=(m∈N)的图象关于y轴对称,且与x轴、y轴均无交点,求此函数的解析式.

解由题意,得3m-7<0,∴m<.

∵m∈N,∴m=0,1或2.

∵幂函数的图象关于y轴对称,

∴3m-7为偶数.

∵m=0时,3m-7=-7,

m=1时,3m-7=-4,

m=2时,3m-7=-1.

故当m=1时,y=x-4符合题意,即解析式为y=.

关键能力提升练

9.如图所示,曲线C1与C2分别是函数y=xm和y=xn在第一象限内的图象,则下列结论正确的是(　　)

A.n<m<0 B.m<n<0

C.n>m>0 D.m>n>0

答案A

解析由图象可知,两函数在第一象限内为减函数,故m<0,n<0.又在(0,1)内,曲线C1更贴近x轴,故m>n,故选A.

10.(2020江苏镇江高一月考)已知幂函数f(x)=(m2-3m-3)xm在区间(0,+∞)上是增函数,则实数m的值是(　　)

A.-1或4 B.4

C.-1 D.1或4

答案B

解析幂函数f(x)=(m2-3m-3)xm在(0,+∞)上是增函数,则解得m=4.

11.若幂函数f(x)=q(q∈R,p∈Z)在(0,+∞)上是增函数,且在定义域上是偶函数,则p+q=(　　)

A.0 B.1 C.2 D.3

答案C

解析因为f(x)=q(q∈R,p∈Z)是幂函数,所以q=1.又f(x)=(p∈Z)在(0,+∞)上是增函数,所以-p2+2p+3>0,解得-1<p<3,因为p∈Z,所以p=0或1或2,当p=0时,f(x)=x3,易知f(x)=x3是奇函数,不满足题意,舍去;当p=1时,f(x)=x4,因为f(x)=x4是偶函数,满足题意;当p=2时,f(x)=x3是奇函数,不满足题意,舍去.所以p+q=2.故选C.

12.(2021安徽宿州高一期中)已知幂函数f(x)=(m2-4m+4)(m∈R),对任意x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0,则f(-3),f(-1),f(π)的大小关系是(　　)

A.f(π)<f(-3)<f(-1)

B.f(-1)<f(-3)<f(π)

C.f(-3)<f(-1)<f(π)

D.f(-3)<f(π)<f(-1)

答案A

解析对任意x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,都有(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]<0,即f(x)在(0,+∞)上是减函数,又f(x)是幂函数,知解得m=1或m=3(舍去),∴f(x)=x-6,f(x)是偶函数,

∴f(-1)=f(1),f(-3)=f(3),而f(1)>f(3)>f(π),即f(-1)>f(-3)>f(π).

13.(多选)已知幂函数f(x)的图象经过点(4,2),则下列命题正确的是(　　)

A.f(x)是偶函数

B.f(x)在定义域上是增函数

C.f(x)的值域为[0,+∞)

D.f(x)在定义域内有最大值

答案BC

解析设f(x)=xα,则4α=2,解得α=,∴f(x)=,∵f(x)的定义域为[0,+∞),不关于原点对称,故A错误;可得f(x)在定义域上是增函数,故B正确;值域为[0,+∞),故C正确;f(x)在定义域内没有最大值,故D错误.

14.(多选)已知函数y=(p,q是互质的整数)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上是增函数,则(　　)

A.p为奇数,q为偶数 B.pq<0

C.p为偶数,q为奇数 D.pq>0

答案AD

解析由函数y=的图象关于y轴对称知:函数y=为偶函数,故q为偶数,p为奇数,又y=在(0,+∞)上是增函数,∴pq>0.

15.(多选)函数f(x)=xα,x∈(-1,0)∪(0,1),若不等式f(x)>|x|成立,则α的取值可以为(　　)

A.0 B.2 C.1 D.-2

答案AD

解析因为x∈(-1,0)∪(0,1),所以0<|x|<1.

要使f(x)=xα>|x|成立,xα在(-1,0)∪(0,1)上应恒大于0,

所以α=1显然是不成立的.

当α=0时,f(x)=1>|x|;

当α=2时,f(x)=x2=|x|2<|x|;

当α=-2时,f(x)=x-2=|x|-2>1>|x|.

综上,α的可能取值为0或-2.

16.为了保证信息的安全传输,有一种密钥密码系统,其加密、解密原理为:发送方由明文到密文(加密),接收方由密文到明文(解密).现在加密密钥为y=xα(α为常数),如“4”通过加密后得到密文“2”.若接收方接到密文“3”,则解密后得到的明文是　　　. 

答案9

解析由题目可知加密密钥y=xα(α是常数)是一个幂函数模型,所以要想求得解密后得到的明文,就必须先求出α的值.由题意得2=4α,解得α=,则y=,由=3,得x=9.

17.函数f(x)=的单调区间为　　　　　　　　　　　;由f(x)的单调性得f(-π)　　　　　f(填“>”“=”或“<”). 

答案减区间(-2,+∞),增区间(-∞,-2)　>

解析因为f(x)==1+=1+(x+2)-2,所以其图象可由幂函数y=x-2的图象向左平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度得到,如图所示.

所以f(x)在(-2,+∞)上是减函数,在(-∞,-2)上是增函数,且图象关于直线x=-2对称.

又因为-2-(-π)=π-2,--(-2)=2-,所以π-2<2-,

故-π距离对称轴更近,

所以f(-π)>f.

18.(2021山西怀仁第一中学云东校区高一月考)已知幂函数f(x)=(m∈N*).

(1)试确定该函数的定义域,并指明该函数在其定义域上的单调性;

(2)若函数还经过(2,),试确定m的值,并求满足f(2-a)>f(a-1)的实数a的取值范围.

解(1)∵m∈N*,∴m2+m=m(m+1)为偶数.令m2+m=2k,k∈N*,则f(x)=,

∴定义域为[0,+∞),在[0,+∞)上f(x)为增函数.

(2)∵,

∴m2+m=2,解得m=1或m=-2(舍去),

∴f(x)=,由(1)知f(x)在定义域[0,+∞)上为增函数.

∴f(2-a)>f(a-1)等价于2-a>a-1≥0,解得1≤a<,∴a的取值范围是.

19.已知幂函数f(x)=(-2m2+m+2)xm+1为偶函数.

(1)求f(x)的解析式;

(2)若函数y=f(x)-2(a-1)x+1在区间(2,3)上为单调函数,求实数a的取值范围.

解(1)由f(x)为幂函数知-2m2+m+2=1,

即2m2-m-1=0,得m=1或m=-,

当m=1时,f(x)=x2,符合题意;

当m=-时,f(x)=,为非奇非偶函数,不合题意,舍去.

∴f(x)=x2.

(2)由(1)得y=f(x)-2(a-1)x+1=x2-2(a-1)x+1,即函数的对称轴为直线x=a-1,

由题意知函数在(2,3)上为单调函数,

∴对称轴a-1≤2或a-1≥3,即a≤3或a≥4,a的取值范围是(-∞,3]∪[4,+∞).

学科素养创新练

20.已知幂函数f(x)=(k2+k-1)x(2-k)(1+k),且f(2)<f(3).

(1)求实数k的值,并写出相应的函数f(x)的解析式;

(2)对于(1)中的函数f(x),试判断是否存在正数m,使函数g(x)=1-f(x)+2mx,在区间[0,1]上的最大值为5,若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.

解(1)∵f(x)是幂函数,故k2+k-1=1,

∴k=-2或k=1.

当k=1时,f(x)=x2,满足f(2)<f(3),

当k=-2时,f(x)=x-4,不满足f(2)<f(3),

∴f(x)=x2.

(2)∵g(x)=1-f(x)+2mx=-x2+2mx+1,

∵g(x)开口方向向下,对称轴为直线x=m(m>0),

①当0<m<1时,g(x)在区间[0,m]上为增函数,在区间[m,1]上为减函数,

∴g(x)max=g(m)=m2+1=5,∴m=±2,均不符合题意,舍去.

②当m≥1时,g(x)在区间[0,1]上是增函数,

∴g(x)max=g(1)=2m=5,∴m=,符合题意.

综上所述,m=.