【期末全复习】人教版(2019)数学必修1-高一上学期期末：专题02 一元二次函数、方程与不等式（知识梳理）

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专题02 一元二次函数、方程与不等式（知识梳理）
知识网络

重难点突破
知识点一 等式的性质与不等式的性质
(1)对称性：a＞b⇔b＜a.
(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c.
(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c.
(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc.
(5)加法法则：a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d.
(6)乘法法则：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd.
(7)乘方法则：a＞b＞0⇒an＞bn＞0(n∈N，n≥2)．
例1．（1）、（2014·四川·高考真题（文））若则一定有
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
本题主要考查不等关系．已知,所以，所以，故．故选
（2）、（2020·吉化第一高级中学校高二期末（理））已知，那么下列不等式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由不等式的性质可知，若，则： ，，， .故选：C.
（3）、（2021·福建省同安第一中学高一月考）若、、为实数，则下列命题正确的是
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【分析】
利用等式的性质或特殊值法来判断各选项中不等式的正误.
【详解】
对于A选项，若，则，故A不成立；
对于B选项，，在不等式同时乘以，得，
另一方面在不等式两边同时乘以，得，，故B成立；
对于选项C，在两边同时除以，可得，所以C不成立；
对于选项D，令，，则有，，，所以D不成立.
故选B.
【点睛】
本题考查不等式正误的判断，常用的判断方法有：不等式的基本性质、特殊值法以及比较法，在实际操作中，可结合不等式结构合理选择相应的方法进行判断，考查推理能力，属于基础题.
【变式训练1-1】、（2021·广东·人大附中深圳学校高二期中）（多选题）下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】BC
【分析】
由不等式的性质对合选项一一进行判断可得答案.
【详解】
解：A项，若，取，可得，故A不正确；
B项, 若,可得：，故，故B正确；
C项，若可得，由可得：，故C正确；
C项，举反例，虽然，但是，故D不正确；
故选：BC.
【点睛】
本题主要考查利用不等式的性质比较大小，属于基础题型.
【变式训练1-2】、（2020·全国·高一单元测试）下列不等式中，正确的是
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】A
【分析】
根据不等式的性质和带特殊值逐一排除．
【详解】
若，则,故B错，
设,则，所以C、D错，故选A
【点睛】
本题考查不等式的性质，注意正负号的应用．
【变式训练1-3】、（2021·重庆·万州纯阳中学校高一月考）（多选题）已知且，则下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】
由不等式的性质即可判断.
【详解】
由不等式的性质容易判断AD正确；
对B，若b=0，不等式不成立，错误；
对C，若c=0，不等式不成立，错误.
故选：AD.
知识点二 基本不等式
1、基本不等式(或)均值不等式

2、基本不等式的变形与拓展
(1)若,则；
(2)若,则（当且仅当时取“=”）．
(3)若,则；
(4)若,则（当且仅当时取“=”）；
(5)若,则（当且仅当时取“=”）．
(6)若,则（当且仅当时取“=”）；若,则（当且仅当时取“=”）；若,则,即或（当且仅当时取“=”）．
(7)若,则（当且仅当时取“=”）；若,则,即或（当且仅当时取“=”）．
(8)一个重要的不等式链：．
★经典题型突破1 基本不等式的应用
例1、（1）（2020·尤溪县第五中学高一期末）已知，函数的最小值是（ ）
A．4 B．5 C．8 D．6
【答案】A
【解析】由题意可得，满足运用基本不等式的条件——一正，二定，三相等，所以，故选A
（2）、（2020·吉林省长春市实验中学高一月考（理））已知，，，则的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，，，所以有，
当且仅当时取等号，故本题选D.
（3）．（2019·天津·高考真题（文）） 设，，，则的最小值为__________.
【答案】.
【分析】
把分子展开化为，再利用基本不等式求最值．
【详解】
由，得，得
，
等号当且仅当，即时成立．
故所求的最小值为．
【点睛】
使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立．
【变式训练1-1】、（2020·湖南桃江·高二期末）当时，的最小值为______.
【答案】
【分析】
将所求代数式变形为，然后利用基本不等式可求得所求代数式的最小值.
【详解】
，，由基本不等式得.
当且仅当时，等号成立.
因此，的最小值为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查利用基本不等式求代数式的最值，考查计算能力，属于基础题.
【变式训练1-2】、5．（2020·黑龙江·大兴安岭实验中学高一月考）若函数在处取最小值，则等于（ ）
A．3 B． C． D．4
【答案】A
【分析】
将函数的解析式配凑为，再利用基本不等式求出该函数的最小值，利用等号成立得出相应的值，可得出的值.
【详解】
当时，，则
，
当且仅当时，即当时，等号成立，因此，，故选A.
【点睛】
本题考查基本不等式等号成立的条件，利用基本不等式要对代数式进行配凑，注意“一正、二定、三相等”这三个条件的应用，考查计算能力，属于中等题.
★经典题型突破2 “1”的妙用
例3、（1）．（2019·全国高一课时练习）正实数，满足，则的( )
A．最小值为 B．最大值为
C．最小值为3 D．最大值为3
【答案】A
【解析】，
所以的最小值为，
故选:A.
（2）．（2012·浙江·高考真题（文））若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是
A． B． C．5 D．6
【答案】C
【详解】
由已知可得，则，所以的最小值，应选答案C．
【变式训练3-1】、（2021·河北·石家庄一中高一月考）设，，若，则的最小值为__________．
【答案】16
【分析】
把乘以得到，后用均值定理
【详解】
解：，且且
∴
当且仅当取等号，
又，即，时取等号，故所求最小值为16．
故答案为：16
【点睛】
考查均值定理的应用，基础题
【变式训练3-2】、（2021·全国·高一单元测试）已知正数、满足，则的最小值为
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由得，再将代数式与相乘，利用基本不等式可求出
的最小值．
【详解】
，所以，，
则，
所以，，
当且仅当，即当时，等号成立，
因此，的最小值为，
故选．
【点睛】
本题考查利用基本不等式求最值，对代数式进行合理配凑，是解决本题的关键，属于中等题．
★经典题型突破3 综合应用
例4．（2020·江苏·新沂市棋盘中学高三月考）（多选题）设正实数a，b满足a+b＝1，则（ ）
A．有最小值4 B．有最大值
C．+有最大值 D．a2+b2有最小值
【答案】ABCD
【分析】
由正实数，满足，可得，则，根据判断A；开平方判断B；利用判断C；利用判断D．
【详解】
正实数，满足，即有，可得，
即有，即有时，取得最小值4，无最大值，A正确；
由可得，可得时，有最大值，B正确；
由，可得时，取得最大值，C正确；
由可得，则，当时，取得最小值，D正确．
故选：ABCD．
【点睛】
利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.
【变式训练4-1】、（2021·河北·衡水第一中学高三月考（理））（多选题）设，，且，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为 B．的最小值为2
C．的最小值为 D．
【答案】BCD
【分析】
根据，，且，利用“1”的代换变形，再利用基本不等式逐项求解判断.
【详解】
因为，，且，
A，当且仅当，即时，取等号，故错误；
B. ，当且仅当，即时，取等号，故正确；
C. ，当且仅当，即时，取等号，故正确；
D. ，
，

，故正确；
故选：BCD
【点睛】
方法点睛：（1）利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或乘积为定值，主要有两种思路：①对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解．②条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值．
（2）有些题目虽然不具备直接用基本不等式求最值的条件，但可以通过添项、分离常数、平方等手段使之能运用基本不等式．常用的方法还有：拆项法、变系数法、凑因子法、分离常数法、换元法、整体代换法等．
例5．（2019·全国·高考真题（文））已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：
（1）；
（2）．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）利用将所证不等式可变为证明：，利用基本不等式可证得，从而得到结论；（2）利用基本不等式可得，再次利用基本不等式可将式转化为，在取等条件一致的情况下，可得结论.
【详解】
（1）

当且仅当时取等号
，即：
（2），当且仅当时取等号
又，，（当且仅当时等号同时成立）

又
【点睛】
本题考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生对于基本不等式的变形和应用能力，需要注意的是在利用基本不等式时需注意取等条件能否成立.
【变式训练5-1】、（2017·全国·高考真题（理））已知，，，证明：
(1)；
(2).
【答案】(1) 见解析(2) 见解析
【分析】
（1）由柯西不等式即可证明，
（2）由a3+b3＝2转化为ab，再由均值不等式可得：ab≤，即可得到（a+b）3≤2，问题得以证明．
【详解】
证明：（1）由柯西不等式得： 当且仅当ab5＝ba5，即a＝b＝1时取等号；
（2）∵a3+b3＝2，
∴（a+b）（a2﹣ab+b2）＝2，
∴（a+b）[（a+b）2﹣3ab]＝2，
∴（a+b）3﹣3ab（a+b）＝2，
∴ab，由均值不等式可得：ab≤
∴（a+b）3﹣2，
∴（a+b）3≤2，
∴a+b≤2，当且仅当a＝b＝1时等号成立．
【点睛】
本题考查了不等式的证明，掌握柯西不等式和均值不等式是关键，属于中档题．
知识点三 二次函数与一元二次方程、不等式
1.一元二次不等式的概念
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．
2.三个“二次”的关系
设y＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac
判别式
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
解不等式y＞0或y＜0的步骤
求方程y＝0的解
有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2)
有两个相等的实数根x1＝x2＝－
没有
实数根
函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象



不等式解集
y＞0
{x|x＜x1_或x＞x2}

R
y＜0
{x|x1＜x＜x2}
∅
∅
3.（1）不等式的解集为R(或恒成立)的条件
不等式
ax2＋bx＋c>0
ax2＋bx＋c<0
a＝0
b＝0，c>0
b＝0，c<0
a≠0


(2)有关不等式恒成立求参数的取值范围的方法
设二次函数
y＝ax2＋bx＋c
若ax2＋bx＋c≤k恒成立⇔ymax≤k

例6.(1)、（2019·全国·高考真题（理））已知集合，则=
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．
【详解】
由题意得，，则
．故选C．
【点睛】
不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．
（2）．（2021·全国·高一单元测试）若不等式的解集是，则不等式的解集是.
A． B． C．[-2，3] D．[-3，2]
【答案】D
【分析】
先由题意求出，再代入不等式，求解，即可得出结果.
【详解】
因为不等式的解集是，
所以，解得，
所以不等式可化为，即，
解得.
故选D
【点睛】
本题主要考查一元二次不等式的解法，熟记三个二次之间的关系即可，属于基础题型.
【变式训练6-1】、（2018·全国·高考真题（理））已知集合，则
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
分析：首先利用一元二次不等式的解法，求出的解集，从而求得集合A，之后根据集合补集中元素的特征，求得结果.
详解：解不等式得，
所以，
所以可以求得，故选B.
点睛：该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题，在解题的过程中，需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果.
【变式训练6-2】、（2021·广东·肇庆市实验中学高一期中）已知不等式的解集是，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据不等式的解集可得不等式对应的方程的解，从而可求出的值，故不等式即为，从而可求其解，从而得到正确的选项．
【详解】
∵不等式的解集是，
∴是方程的两根，
∴，解得.
∴不等式为，
解得，
∴不等式的解集为.
故选：A.
【点睛】
本题考查一元二次不等式的解、三个二次的关系，这个关系是：不等式对应的解的端点是对应方程的根，是二次函数的图像与轴交点的横坐标.本题属于基础题．

例7．（1）、（2021·广东·深圳实验学校高一月考）已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
将不等式化为，讨论、和时，分别求出不等式成立时的取值范围即可
【详解】
时，不等式可化为；
当时，不等式为，满足题意；
当时，不等式化为，则，当且仅当时取等号，
所以，即；
当时，恒成立；
综上所述，实数的取值范围是
答案选A
【点睛】
本题考查不等式与对应的函数的关系问题，含参不等式分类讨论是求解时常用方法
（2）．（2021·四川省南充市白塔中学高一月考）函数的定义域为，则实数的取值范围为______．
【答案】
【分析】
函数的定义域为，等价于恒成立，然后分和两种情况讨论求解即可得答案
【详解】
函数的定义域为，等价于恒成立，
当时，显然成立；
当时，由，得．
综上，实数的取值范围为．
故答案为：
【变式训练7-1】、（2021·甘肃·天水市第一中学高一月考）对，不等式恒成立，则a的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】A
【分析】
对讨论，结合二次函数的图象与性质，解不等式即可得到的取值范围.
【详解】
不等式对一切恒成立，
当，即时，恒成立，满足题意；
当时，要使不等式恒成立，
需，即有，
解得.
综上可得，的取值范围为.
故选：A.
【变式训练7-2】、（2021·江苏·苏州市第五中学校高一月考）已知函数的定义域为，则的取值范围为_______ .
【答案】
【分析】
由题意可知，不等式对任意的恒成立，分和两种情况讨论，结合题意得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】
由于函数的定义域为，不等式对任意的恒成立，
当时，恒成立，即符合题意；
当时，则，得，解得.
综上，的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】
本题考查利用函数的定义域求参数的取值范围，同时也考查了一元二次不等式恒成立，考查计算能力，属于中等题.
例8．（2020·宁夏·吴忠中学高二月考（理））已知函数
（1）解关于的不等式；
（2）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（Ⅰ）答案不唯一，具体见解析.（Ⅱ）
【分析】
（Ⅰ）将原不等式化为，分类讨论可得不等式的解.
（Ⅱ）若则；若，则参变分离后可得在恒成立，利用基本不等式可求的最小值，从而可得的取值范围.
【详解】
（Ⅰ） 即，
，（ⅰ）当时，不等式解集为；
（ⅱ）当时，不等式解集为；
（ⅲ）当时，不等式解集为，
综上所述，（ⅰ）当时，不等式解集为；
（ⅱ）当时，不等式解集为；
（ⅲ）当时，不等式解集为 .
（Ⅱ）对任意的恒成立，即恒成立，即对任意的，恒成立.
①时，不等式为恒成立，此时；
②当时，，
， ， ，
当且仅当时，即，时取“”, .
综上 .
【点睛】
含参数的一元二次不等式，其一般的解法是：先考虑对应的二次函数的开口方向，再考虑其判别式的符号，其次在判别式于零的条件下比较两根的大小，最后根据不等号的方向和开口方向得到不等式的解．含参数的不等式的恒成立问题，优先考虑参变分离，把恒成立问题转化为不含参数的新函数的最值问题，后者可用函数的单调性或基本不等式来求.
例9．（2020·江苏·吴县中学高二月考）已知关于的不等式恒成立
(1)当时成立，求实数的取值范围;
(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】(1) （2）
【分析】
（1）分析可知一元二次不等式大于零恒成立等价于恒成立
（2）是的充分不必要条件可得p是q的真子集，再进行分类讨论即可
【详解】
（1）由题可知实数m的取值范围是
（2），设，
p是q的充分不必要条件，A是B的真子集
① 由（1）知，时，B=R，符合题意；
② 时，，符合题意
③时，，符合题意
④时，设,的对称轴为直线，由A是B的真子集得，
综上所述：
【点睛】复杂的二次函数问题，需要判断函数值域的情况下，需要进行分类讨论，根据对称轴、单调性及特殊点进行判断
例10．（2021·福建·福清西山学校高一月考）设函数
（1）若对一切实数x，恒成立，求m的取值范围；
（2）若对于，恒成立，求m的取值范围：
【答案】（1）.（2）
【分析】
（1）对进行分类讨论，利用判别式进行求解；
（2）利用参数分离得到对恒成立，利用二次函数的性质求得的值域即可.
【详解】
（1）对恒成立，
若，显然成立，
若，则，解得.
所以，.
（2）对于，恒成立，即
对恒成立
对恒成立
∴对恒成立，
即求在的最小值，
的对称轴为，
，，，
可得即.
【点睛】
本题考查一元二次函数的图象与性质、不等式恒成立问题，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意参变分离法的应用.