【期末全复习】人教版(2019)数学必修1-高一上学期期末：专题03 函数的概念与性质（知识梳理）

专题03   函数的概念与性质（知识梳理）

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重难点突破

知识点一  函数的概念与分段函数

1．函数与映射的相关概念

(1)函数与映射的概念

注意：判断一个对应关系是否是函数关系，就看这个对应关系是否满足函数定义中“定义域内的任意一个自变量的值都有唯一确定的函数值”这个核心点．

(2)函数的定义域、值域

在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．

(3)构成函数的三要素

函数的三要素为定义域、值域、对应关系.

(4)函数的表示方法

函数的表示方法有三种：解析法、列表法、图象法.

①解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域；

②列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；

③图象法：注意定义域对图象的影响.

例1.（1）．（2021·湖北·孝昌县第一高级中学高一期中）因为疫情原因，某校实行凭证入校，凡是不带出入证者一律不准进校园，某学生早上上学，早上他骑自行车从家里出发离开家不久，发现出入证忘在家里了，于是回到家取上出入证，然后改为乘坐出租车以更快的速度赶往学校，令x（单位：分钟）表示离开家的时间，y（单位：千米）表示离开家的距离，其中等待红绿灯及在家取出入证的时间忽略不计，下列图象中与上述事件吻合最好的是（    ）

A． B．

C． D．

（2）．（2021·全国·）设集合，，那么如图5-1-1所示的4个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的是（    ）

A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．③④

【变式训练1-1】、（2021·湖南省岳阳县第一中学高一期中）下列各图中，可表示函数y=的图象的是（    ）

A． B．

C． D．

【变式训练1-2】、（2021·天津市第一百中学）若函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能是（    ）．

A． B．

C． D．

例2．（1）、（2021·江苏阜宁·高一期中）下列各组函数表示同一个函数的是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

（2）．（2021·陕西·西安高级中学高一月考）下列各组函数中，表示同一函数的是（    ）

A．和 B．和

C．和 D．和

【变式训练2-1】、（2021·安徽·合肥市第六中学高一期中）下列各组函数中，与表示同一函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【变式训练2-2】、（2021·云南·昆明八中高一期中）以下四组函数中，表示同一函数的是（    ）

A． B．

C． D．

知识点二  函数的三要素

1．函数的定义域

函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数定义域的要求为：

(1)分式函数中分母不等于零.

(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.

(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.

(4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}.

(5)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sinx，y＝cosx的定义域均为R.

(6)y＝logax(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞).

(7)y＝tanx的定义域为.

2．函数的解析式

(1)函数的解析式是表示函数的一种方式，对于不是y＝f(x)的形式，可根据题目的条件转化为该形式.

(2)求函数的解析式时，一定要注意函数定义域的变化，特别是利用换元法(或配凑法)求出的解析式，不注明定义域往往导致错误.

3．函数的值域

函数的值域就是函数值构成的集合，熟练掌握以下四种常见初等函数的值域：

(1)一次函数y＝kx＋b(k为常数且k≠0)的值域为R.

(2)反比例函数(k为常数且k≠0)的值域为(−∞，0)∪(0，＋∞)．

(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数且a≠0)，

当a>0时，二次函数的值域为；

当a<0时，二次函数的值域为.

求二次函数的值域时，应掌握配方法：.

(4)y＝sinx的值域为[−1,1]．

★经典题型突破1 求函数的定义域

例3．（1）（2021·福建·厦门市海沧中学高一期中）函数的定义域为（    ）

A． B． C． D．

（2）．（2020·天津市南开区南大奥宇培训学校高三月考）若函数y=f(x)的定义域是[0，3]，则函数g(x)=的定义域是（    ）

A．[0，1) B．(0，1) C．[0，1] D．[0，1)∪(1，9]

【变式训练3-1】、（2021·海南·琼山中学高一月考）函数的定义域为（    ）

A． B．

C． D．

【变式训练3-2】、（2021·安徽·合肥市第六中学高一期中）函数的定义域为，则的定义域是（    ）

A． B． C． D．

★经典题型突破2 求函数的解析式

例4．（1）、（2021·湖南·高三月考）已知函数满足，则（    ）

A．的最小值为2 B．，

C．的最大值为2 D．，

（2）．（2021·甘肃·兰州五十九中高一期中）若，则有（    ）

A． B．

C． D．

【变式训练4-1】、（2020·江西省崇义中学高一期中）若函数满足，则的解析式是__________

【变式训练4-2】、（2021·全国·高一课时练习）已知，则______．

例5．（2021·全国·高一课时练习）（1）已知，求的解析式；

（2）已知，求函数的解析式；

（3）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式；

（4）已知，求函数的解析式；

（5）已知是上的函数，，并且对任意的实数x，y都有，求函数的解析式．

【变式训练5-1】、（2022·全国·高三专题练习）根据下列条件，求函数的解析式：

（1）已知f(＋1)＝x＋2；

（2）若f(x)对于任意实数x恒有2f(x)－f(－x)＝3x＋1；

（3）已知f(0)＝1，对任意的实数x，y都有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)．

★经典题型突破3 求函数的值域

例6．（1）、（2019·东台创新高级中学高三月考）函数的值域是 _____.

（2）．（2021·辽宁·沈阳市第一中学高一期中）当时，则函数的值域为______．

（3）．（2021·四川省绵阳江油中学高一月考）函数的最小值_______．

【变式训练6-1】、（成都七中2020年高一上期半期考试）已知函数，，若在

区间上的最大值为3，则_______．

【变式训练6-2】、（2021·天津益中学校高一期中）函数在区间的最大值是______．

【变式训练6-3】、（2021·浙江杭州·高一期中）函数的值域是___________.

【变式训练6-4】、（2021·浙江·高一期中）定义，设函数，则的最大值为______

知识点三  函数的单调性

1、函数的单调性

(1)单调函数的定义

 (2)单调区间的定义

如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．

2、函数的最值

注意：（1）函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在；

（2）若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最值，若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值.

3、函数单调性的常用结论

（1）若均为区间A上的增(减)函数，则也是区间A上的增(减)函数；

（2）若，则与的单调性相同；若，则与的单调性相反；

（3）函数在公共定义域内与，的单调性相反；

（4）函数在公共定义域内与的单调性相同；

（5）奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反；

（6）一些重要函数的单调性：

①的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减；

②（，）的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减．

例7.（1）、（蓉城名校联盟2020年高一期中联考）下列函数在上为增函数的是（   ） 

A． B． C． D．

（2）．（2021·河北·石家庄市第四中学高一期中）已知是定义在上的减函数，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

（3）．（2021·湖北·孝昌县第一高级中学高一期中）函数的单调递增区间是（    ）

A．（，1] B．[1，） C．[1，4] D．[2，1]

（4）．（2021·辽宁实验中学高一期中）（多选题）下列命题，其中正确的命题是（    ）

A．函数在上是增函数

B．函数在上是减函数

C．函数的单调区间是

D．已知在上是增函数，若，则有

【变式训练7-1】、（2021·北京师大附中高一期中）下列函数中，在区间（0，＋∞）上不是单调函数的是（    ）

A．y＝ B．  C．  D．

【变式训练7-2】、（蓉城名校联盟2020年高一期中联考）已知函数满足对于任意的，都有成立，则实数的取值范围是（   ） 

A． B． C． D．

【变式训练7-3】、（2021·四川·遂宁中学高一月考）下列四个函数中，在上为增函数的是（    ）

A． B． C． D．

【变式训练7-4】、（2021·江苏·高一期中）（多选题）已知函数，则（    ）

A．函数f(x)的定义域为R

B．函数f(x)的增区间为

C．函数f(x)的值域为

D．关于a的不等式的解集为

例8、（河南省金太阳2020年高一期中联考）已知函数.

（1）当时，判断函数在上的单调性，并用定义法加以证明.

（2）已知二次函数满足，.若不等式恒成立，求的取值范围.

知识点四  函数的奇偶性

1．函数奇偶性的定义及图象特点

（1）判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或，则函数为偶函数；如果或，则函数为奇函数．

（2）由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x，也在定义域内（即定义域关于原点对称）．

（3）若奇函数的定义域包括，则．

（4）若函数是偶函数，则．

（5）定义在上的任意函数都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和．

（6）若函数的定义域关于原点对称，则为偶函数，为奇函数，为偶函数．

（7）掌握一些重要类型的奇偶函数：

①函数为偶函数，函数为奇函数．

②函数（且）为奇函数．

③函数（且）为奇函数．

④函数（且）为奇函数．

例9.（1）、（成都七中2020年高一上期半期考试）下列函数是偶函数的为（   ）

 A．  B． 

 C． D．

（2）．（2021·四川·射洪中学高一月考）已知函数在上为偶函数，若任意且都有，且，则的解集为（    ）

A． B．

C． D．

（3）．（2021·重庆·字水中学高一月考）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则函数的解析式为__________.

【变式训练9-1】、（2021·河北·邢台一中高一月考）下列函数中，既是奇函数，又在其定义域上是减函数的是（    ）

A． B． C． D．

【变式训练9-2】、（2021·河南商丘·高一月考）已知为奇函数，且当时，，则在区间上（    ）

A．单调递增且最大值为2 B．单调递增且最小值为2

C．单调递减且最大值为-2 D．单调递减且最小值为-2

【变式训练9-3】、（2021·内蒙古·乌兰浩特一中高一期中）已知是定义在上的偶函数，当时，，则当时，______．

例10．（福建省三明市四地四校2022-2023学年高一上学期期中考试联考协作卷数学试题）已知函数是定义在上的奇函数，且.

（1）确定函数的解析式；

（2）用定义证明在上是增函数.

【变式训练10-1】、（2021·福建·厦门市海沧中学高一期中）已知函数是定义在R上的偶函数，当≥0时，有.

（1）求函数的解析式；

（2）判断函数在上的单调性，并用定义证明.

例11．（2021·湖北·孝昌县第一高级中学高一期中）已知函数的定义域为，且对任意，都有.

（1）求的值；

（2）证明：为奇函数；

（3）若在定义域上单调递减，且，求a的取值范围.

【变式训练11-1】、（2021·北京师大附中高一期中）已知函数在上有意义，且对任意满足．

（1）求的值，判断的奇偶性并证明你的结论；

（2）若时，，判断在的单调性，并说明理由．

（3）在（2）的条件下，请在以下两个问题中任选一个作答：（如果两问都做，按①得分计入总分）

①若，请问是否存在实数，使得恒成立，若存在，给出实数的一个取值；若不存在，请说明理由．

②记表示两数中的较大值，若对于任意，，求实数的取值范围？