高中数学北师大版 (2019)必修 第一册4.1 函数的奇偶性巩固练习

第7讲 函数的奇偶性 期末大总结

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第一部分：必会知识结构导图

第二部分：考点梳理知识方法技巧大总结

第三部分：必会技能常考题型及思想方法大归纳

必会题型一：函数奇偶性的定义与判断

必会题型二：利用奇偶性求值及范围

必会题型三：由奇偶性求函数解析式

必会题型四：抽象函数的奇偶性

必会题型五：奇偶性与单调性综合

第一部分：知识结构导图速看

第二部分：考点梳理知识方法技巧大总结

1．函数的奇偶性

(1)奇函数：图像关于原点对称的函数叫奇函数，

f(x)为奇函数⇔f(－x)＝－f(x) [或f(－x)＋f(x)＝0]；

(2)偶函数：图像关于y轴对称的函数叫偶函数，

f(x)为偶函数⇔f(－x)＝f(x) [或f(－x)－(x)＝0]．

2．函数对称性

(1)若函数y＝f(x)对x∈R满足f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)则函数关于直线x＝a对称；

注意：若对x∈R满足f(a＋x)＝f(b－x)，则函数关于直线x＝对称

[注x＝＝]．

(2)若函数y＝f(x)对x∈R满足f(a＋x)＝－f(a－x)或f(x)＝－f(2a－x)则函数关于点(a，0)对称；

注意：若对x∈R满足f(a＋x)＝－f(b－x)，则函数关于点(，0)对称

[注x＝＝]．

3．奇偶性的判断方法

(1)定义法：函数的定义域关于原点对称的情况下满足f(－x)＝±f(x)或f(－x)±f(x)＝0或＝±1(f(x)≠0)之一函数有奇偶性．

(2)图像法：函数图象关于原点(y轴)⇔函数为奇(偶)函数

(3)分析法：定义域关于原点对称时，

奇×偶＝奇；奇×奇＝偶；偶×偶＝偶；奇±奇＝奇；偶±偶＝偶；

(4)复合函数F(x)＝f[g(x)]的奇偶性(有偶则偶，无偶为奇)：

①若g(x)为偶函数，f(x)为偶函数，则F(x)为偶函数；

②若g(x)为奇函数，f(x)为奇函数，则F(x)为奇函数；

③若g(x)为奇函数，f(x)为偶函数，则F(x)为偶函数；

④若g(x)为偶函数，f(x)为奇函数，则F(x)为偶函数．

[名师点睛]分段函数的奇偶性可根据定义分区间讨论也可根据函数图象的对称性加以判断．

4．函数奇偶性的特性

(1)定义域含零的奇函数，必过原点[即f(0)＝0]；

(2)若f(x)是偶函数，f(x)＝f(－x)＝f(|x|)；

(3)奇函数在y轴两侧相对称的区间单调性相同，偶函数在y轴两侧相对称的区间单调性相反；

(4)在原点对称的区间内，奇函数的最大值M与最小值N之和为零．

第三部分：必会技能常考题型及思想方法大归纳

必会题型一：函数奇偶性的定义与判断

1．(2022·北京·北二外附属中学高一期中)下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是(    )

A． B．

C． D．

2．(2022·广东·福田外国语高中高一期中)下列函数是偶函数且在上单调递增的函数是(    )

A． B． C． D．

3．(2022·浙江·镇海中学高一期中)下列判断正确的是(    )

A．函数既是奇函数又是偶函数 B．函数是非奇非偶函数

C．函数是偶函数 D．函数是奇函数

4．已知函数.

(1)若函数，判断的奇偶性并加以证明；

(2)当时，先用定义法证明函数在上单调递增；

(3)若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围

必会题型二：利用奇偶性求值及范围

1．定义在上的偶函数，满足，且在上单调递减，则的解集为(    )

A．或 B．或

C．或 D．或

2．(2022·吉林·四平市第一高级中学高三阶段练习)已知函数是定义在上的奇函数，若当时，，则满足的的取值范围为(    )

A． B． C． D．

3．(2022·江苏·常州田家炳高中高一期中)已知是定义在上的偶函数，则__________．

4．(2022·辽宁·渤海大学附属高级中学高一期中)已知函数是定义在上的奇函数，且．

(1)求的解析式；

(2)判断函数在上的单调性，并证明．

必会题型三：由奇偶性求函数解析式

1．(2022·甘肃·玉门油田第一中学高一期中)已知定义在上的奇函数，当时，，那么当时，的解析式为(    )

A． B． C． D．

2．(2020·河南·鹤壁市鹤山区高级中学高一阶段练习)若定义在R上的偶函数和奇函数满足，则(    )

A．11 B．6 C．10 D．12

3．(2022·黑龙江·虎林市高级中学高一期中)已知定义在上的奇函数，当时，，则的值为_________．

4．(2022·上海·复旦附中高一期中)函数是定义在R上的奇函数，且，，则__________．

必会题型四：抽象函数的奇偶性

1．[多选](2022·江苏省响水中学高一期中)定义在上的函数满足，当时，，则函数满足(    )

A． B．是奇函数

C．在上有最大值 D．的解集为

2．(2022·海南·海口中学高一期中)已知函数的定义域为，且满足：，，，则(    )

A． B．

C．为偶函数 D．为奇函数

3．[多选](2022·浙江台州·模拟预测)已知定义在上的函数，满足：，，，则(    )

A．函数一定为非奇非偶函数

B．函数可能为奇函数又是偶函数

C．当时，，则在上单调递增

D．当时，，则在上单调递减

4．(2022·辽宁·凤城市第一中学高一期中)定义在上的函数满足：，，，且当时，．

(1)判断函数的奇偶性并证明；

(2)判断函数的单调性并证明；

(3)若对任意的，存在，使得不等式成立，求实数的取值范围．

必会题型五：奇偶性与单调性综合

1．[多选](2021·浙江·高一期中)已知函数，则下列描述一定正确的是(    )

A．为奇函数 

B．为偶函数

C．在R上是增函数 

D．的解集为

2．已知定义在的函数是奇函数，且对任意两个不相等的实数，都有．则满足的的取值范围是(    )

A． B． C． D．

3．(2022·山东泰安·高三期中)函数的部分图象大致为(    )

A． B．

C． D．

4．定义在上的奇函数满足，且函数在上单调递减，则不等式的解集为__________．

5．(2022·北京市第十七中学高一期中)已知函数是定义在上的奇函数，且．

(1)确定函数的解析式；

(2)用定义证明在上是增函数；

(3)解不等式

6．(2022·河北·石家庄二中高一阶段练习)已知函数是定义在上的奇函数，且．

(1)求m，n的值；

(2)判断在上的单调性，并用定义证明；

(3)设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数k的取值范围．