高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质教案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质教案，共6页。教案主要包含了典例解析，巩固练习1，巩固练习2，巩固练习3，巩固练习4，设计意图，课堂小结，课后练习等内容，欢迎下载使用。

课程基本信息
学科
数学
年级
高一年级
学期
秋季
课题
正弦函数、余弦函数的性质
教科书
书 名：普通高中教科书数学必修第一册
出版社：人民教育出版社 出版日期：2019年6月
教学目标
通过正弦曲线、余弦曲线探究正弦函数、余弦函数的周期性、奇偶性、单调性和最值。
能应用正弦曲线、余弦曲线的周期性、奇偶性、单调性求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acs(ωx＋φ)的最小正周期，单调区间及最值。
3. 借助正弦函数、余弦函数图象研究性质，渗透类比、数形结合的思想方法，提升直观想象、数学推理的核心素养。
教学内容
教学重点：
通过正弦曲线、余弦曲线探究正弦函数、余弦函数的周期性、奇偶性、单调性和最值。
教学难点：
能应用正弦曲线、余弦曲线的周期性、奇偶性、单调性求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acs(ωx＋φ)的最小正周期，单调区间及最值。
教学过程
【创设问题情景，提出问题】
教师活动：前面我们已经学习了正弦函数，余弦函数的图象。类比以往对函数性质的研究，你认为应研究正弦函数、余弦函数的哪些性质？观察它们的图象，你能发现它们具有哪些性质？
学生活动：根据研究函数的经验，我们要研究正弦函数、余弦函数的单调性、奇偶性、最大（小）值。
教师评价：非常正确，另外，三角函数是刻画“周而复始”现象的数学模型，与此对应的性质是特别而重要的。下面让我们一起研究三角函数的性质。
【新知教学——知识点一周期性】
【周期函数、周期、最小正周期的定义】
展示正弦函数的图象，让学生观察“周而复始”的规律。
学生观察发现每隔2π个单位长度，就出现坐标相同的点。
教师活动：图象上横坐标每隔2π个单位长度，就出现纵坐标相同的点。这就是正弦函数值具有的“周而复始”的变化规律。且从诱导公式sinx+2kπ=sinx（k∈Z）中得到反映，即自变量x的值增加2π整数倍时所对应的函数值，与x所对应的函数值相等。提出周期函数的概念：一般地，对于函数fx ,如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有fx+T=fx，那么函数fx就叫做周期函数。非零常数T叫做这个函数的周期。
教师提出问题：y＝sin x(x∈R)，y＝cs x(x∈R)的周期是多少？
学生回答：2π，4π，6π...
教师总结，给出定义：周期函数的周期不止一个。例如，2π，4π，6π…以及－２π，－４π，－６π，…都是正弦函数的周期．事实上 ∀k∈Z，且 k ≠０，常数2k π都是它的周期。如果在周期函数fx的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做fx的最小正周期。(提示，今后高中阶段所涉及的周期，如果不加特别说明，一般指函数的最小正周期)
【正弦函数、余弦函数的周期性，最小正周期】
教师活动：根据上述定义，我们有：正弦函数是周期函数，2k π（k∈Z且k≠０）都是它的周期，最小正周期是２π。类似地，余弦函数也是周期函数， 2k π（k∈Z且k≠０）都是它的周期，最小正周期是２π。
【典例解析】
求下列三角函数的周期：
(1) y＝3sinx，x∈R； (2)y＝cs 2x，x∈R； （3）y=2sin12x−π6,x∈R;
师生共同思考，分析问题：通常可以利用三角函数的周期性，通过代数变形，得出等式fx+T=fx而求出相应的周期．对于（２），应从余弦函数的周期性出发，通过代数变形得出cs2(x+T)=cs2x，x∈R；对于（３），应从正弦函数的周期性出发，通过代数变形得出sin12(x+T)−π6=sin12x−π6, x∈R；从而解决问题。
【思考1】
例２的解答过程，你能发现这些函数的周期与解析式中哪些量有关吗？
探究观察得到（p202-303）：y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acs(ωx＋φ)（A，ω，φ为常数，且A≠0，φ＞0）函数的周期仅与自变量的系数有关。求证过程，得到T=2πω。
【巩固练习1】
求下列函数的周期，并借助信息技术画出下列函数的图象进行验证。
y=sin34x (x∈R) （2）y=cs 4x(x∈R)
上述计算，得出结果，应用信息技术对增加数学直观性。
【小结1】计算函数周期的三种方法：定义法，公式法，图象法。
【新知教学——知识点二奇偶性】
【正弦函数、余弦函数奇偶性探究】
观察正弦曲线和余弦曲线，可以看到正弦曲线关于原点O对称。余弦曲线关于 x 轴对称。 这个事实，也可由诱导公式sin−x=−sinx；cs−x=csx得到。
所以正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。
【思考2】
知道一个函数具有周期性和奇偶性，对研究它的图象与性质有什么帮助？
答：如果一个函数的周期为T，即f(x＋T)= f(x),那么这个函数的图象我们只需要画出一个周期的图象，其余图象可由这个函数的一个周期图象平移即可得到,同样研究一个周期图象的性质就可得到函数的性质。
如果一个函数是奇函数（偶函数），那么图象关于原点对称(y轴对称)，画出x> 0或x<0时的图象对称可得到整个函数的图象，性质可由图象得到。
【巩固练习2】
判断下列函数奇偶性：y=x+sinx（应用诱导公式3）奇函数
【总结2】
判断函数奇偶性应把握好的两个方面：
1.一看函数的定义域是否关于原点对称；二看f(x)与f(－x)的关系。
2.对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断。
【新知教学——知识点三单调性及最值】
【正弦函数、余弦函数的单调性、单调区间探究】
由于之前提到对于周期函数，如果把握了它的一个周期的情况，就掌握了整个函数的情况。正弦函数是周期函数，观察图像，先研究在[-,]上的单调性。观察正弦函数图象，可以看到：，当 x 由-π2 增大到π2时，曲线逐渐上升，sinx的值由-1增大到1；当x 由π2增大到3π2时，曲线逐渐下降，sinx的值由1减小到-1。
sinx的值的变化情况如下表格：
即，正弦函数y=sinx在区间[−π2,π2]上单调递增，在区间[π2,3π2]上单调递减。由于周期性得：正弦函数在每一个闭区间[−π2+2kπ,π2+2kπ](k∈Z)上都单调递增，其值从-1增大到1；在每一个闭区间[π2+2kπ,3π2+2kπ](k∈Z)上都单调递减，其值从1减小到-1.
类似地，观察余弦函数在一个周期区间(如[−π ,π])上函数值的变化规律,完成下表。
由此可得，y=csx,x∈[-π,π],在区间[-π,0]上单调递增，其值从-1增大到1；在区间[0,π]上单调递减，其值从1减小到-1。
由余弦函数的周期性可得，余弦函数在每一个闭区间[(2k-1)π,2kπ] (k∈Z)上都单调递增，其值从-1 增大到1；在每一个闭区间[2kπ,(2k+1)π] (k∈Z)上都单调递减，其值从1减小到-1.
【巩固练习3】
求函数y=sin(12x+π3), x ∈［－2π,2π］的单调递增区间。
【小结3】
函数名
单调增区间
单调减区间
y=sinx,x∈R
[−π2+2kπ, π2+2kπ](k∈Z)
[π2+2kπ, 3π2+2kπ](k∈Z)
y=csx,x∈R
[(2k-1)π, 2kπ](k∈Z)
[2kπ,(2k+1)π](k∈Z)
【正弦函数、余弦函数的最大(小)值探究】
从上述对正弦函数、余弦函数的单调性的讨论中得到：
正弦函数当且仅当 x=π2+2kπ,(k∈Z) 时取得最大值1，当且仅当x=−π2+2kπ,(k∈Z) 时取得最小值-1。
余弦函数当且仅当 x=2kπ,(k∈Z)时取得最大值1，当且仅当 x=(2k+1)π,(k∈Z)时取得最小值-1。
【巩固练习4】
求 y=csx+1,x∈R的最大值，最小值，并写出取最大值、最小值时自变量x的集合。
【设计意图】
通过对正弦函数图像的分析，归纳总结周期性、奇偶性、单调性和最值，发展学生，直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养；
【课堂小结】
正弦函数、余弦函数的周期性，最小正周期，求函数的周期。
正弦函数、余弦函数的奇偶性，正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。
正弦函数、余弦函数的单调区间，最大值、最小值，见下表：
函数名
y=sinx,x∈R
y=csx,x∈R
单调增区间
[−π2+2kπ, π2+2kπ](k∈Z)
[(2k-1)π, 2kπ](k∈Z)
单调减区间
[π2+2kπ, 3π2+2kπ](k∈Z)
[2kπ,(2k+1)π](k∈Z)
最大值
1
1
最小值
-1
-1
【设计意图】
学生根据课堂学习，自主总结知识要点，及运用的思想方法。注意总结自己在学习中的易错点
【课后练习】
见作业练习。