高中数学5.5 三角恒等变换精练

这是一份高中数学5.5 三角恒等变换精练，共5页。试卷主要包含了 eq \r) 的值等于等内容，欢迎下载使用。

A．－ eq \f(\r(10),5) B． eq \f(\r(10),5) C．－ eq \f(\r(15),5) D． eq \f(\r(15),5)
2．已知cs 2α＝ eq \f(1,2) ，其中α∈(－ eq \f(π,4) ，0)，则sin α的值为( )
A． eq \f(1,2) B．－ eq \f(1,2) C． eq \f(\r(3),2) D．－ eq \f(\r(3),2)
3. eq \r(\f(1＋cs 260°,2)) 的值等于( )
A．sin 40° B．cs 40°
C．cs 130° D．±cs 50°
4．函数f(x)＝sin x－2cs x的最大值为( )
A．1 B． eq \r(3) C． eq \r(5) D．3
5．(多选)已知函数f(x)＝sin (2x＋ eq \f(π,4) )＋cs (2x＋ eq \f(π,4) )，则f(x)( )
A．为偶函数
B．在区间(0， eq \f(π,2) )单调递减
C．最大值为2
D．为奇函数
6．函数f(x)＝ eq \r(3) sin eq \f(x,2) －cs eq \f(x,2) 的最小正周期为________．
7．若sin θ＝ eq \f(3,5) ， eq \f(5π,2) ＜θ＜3π，那么sin eq \f(θ,2) ＝________.
8．求证： eq \f(1＋sin α,1－2sin2\f(α,2)) ＝ eq \f(1＋tan\f(α,2),1－tan \f(α,2)) .
9.若α∈(0， eq \f(π,2) )， eq \f(sin α,2－cs α) ＝tan eq \f(α,2) ，则tan α＝( )
A． eq \f(\r(3),3) B． eq \r(3) C． eq \f(\r(3),4) D． eq \f(\r(6),2)
10．(多选)已知4cs (α＋ eq \f(π,4) )＝cs 2α，则( )
A．sin α＋cs α＝ eq \f(\r(2),2) B．α＝kπ＋ eq \f(π,4) (k∈Z)
C．tan 4α＝0 D．tan α＝1
11．函数f(x)＝cs x＋ eq \r(2) sin x的最大值为________，记函数取到最大值时的x＝θ，则cs (θ－ eq \f(π,6) )＝________．
12．已知函数f(x)＝2sin eq \f(x,2) cs eq \f(x,2) －2 eq \r(3) sin2 eq \f(x,2) ＋ eq \r(3) ，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期和最大值；
(2)设g(x)＝f( eq \f(x,2) ＋ eq \f(x,6) )，求函数g(x)的单调区间．
[培优生]
13.
北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形(如图所示).如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，则cs2θ＝________．
课时作业(四十五) 简单的三角恒等变换
1．解析：∵ eq \f(π,2) ＜α＜π，∴ eq \f(π,4) ＜ eq \f(α,2) ＜ eq \f(π,2) ，∵cs α＝－ eq \f(1,5) ，∴sin eq \f(α,2) ＝ eq \r(\f(1－cs α,2)) ＝ eq \f(\r(15),5) .
答案：D
2．解析：由cs 2α＝1－2sin2α，cs2α＝ eq \f(1,2)
所以sin α＝± eq \r(\f(1－cs 2α,2)) ＝± eq \f(1,2) .
∵α∈(－ eq \f(π,4) ，0)，∴sin α＝－ eq \f(1,2) .
答案：B
3．解析： eq \r(\f(1＋cs 260°,2)) ＝ eq \r(\f(1＋2cs2130°－1,2)) ＝ eq \r(cs2130°) ＝|cs130°|，
所以 eq \r(\f(1＋cs 260°,2)) ＝－cs 130°＝sin 40°.
答案：A
4．解析：f(x)＝sin x－2cs x＝ eq \r(5) ( eq \f(\r(5),5) sin x－ eq \f(2\r(5),5) cs x)＝ eq \r(5) sin (x－θ)(其中tan θ＝2)，
所以当sin (x－θ)＝1时，f(x)取最大值 eq \r(5) .
答案：C
5．解析：f(x)＝ eq \r(2) sin (2x＋ eq \f(π,4) ＋ eq \f(π,4) )＝ eq \r(2) sin (2x＋ eq \f(π,2) )＝ eq \r(2) cs 2x，
所以f(x)是偶函数，A正确，D错误．
2kπ≤2x≤2kπ＋π⇒kπ≤x≤kπ＋ eq \f(π,2) ，k∈Z，当k＝0时，减区间为[0， eq \f(π,2) ]，所以B正确．
f(x)最大值为 eq \r(2) ，C错误．
答案：AB
6．解析：f(x)＝ eq \r(3) sin eq \f(x,2) －cs eq \f(x,2) ＝2sin ( eq \f(x,2) － eq \f(π,6) )，
所以函数的最小正周期为 eq \f(2π,\f(1,2)) ＝4π.
答案：4π
7．解析：若sin θ＝ eq \f(3,5) ， eq \f(5π,2) ＜θ＜3π，
∴ eq \f(θ,2) ∈( eq \f(5π,4) ， eq \f(3π,2) )，cs θ＝－ eq \r(1－sin2θ) ＝－ eq \f(4,5) ，
那么sin eq \f(θ,2) ＝－ eq \r(\f(1－cs θ,2)) ＝－ eq \f(3\r(10),10) .
答案：－ eq \f(3\r(10),10)
8．证明：左式 eq \f(1＋sin α,1－2sin2\f(α,2)) ＝ eq \f(sin2\f(α,2)＋cs2\f(α,2)＋2sin\f(α,2)cs \f(α,2),cs2\f(α,2)－sin2\f(α,2)) ＝ eq \f(tan2\f(α,2)＋1＋2tan\f(α,2),1－tan2\f(α,2))
＝ eq \f(（1＋tan\f(α,2)）2,（1＋tan \f(α,2)）（1－tan \f(α,2)）) ＝ eq \f(1＋tan \f(α,2),1－tan \f(α,2)) ，即得证 eq \f(1＋sin α,1－2sin2\f(α,2)) ＝ eq \f(1＋tan\f(α,2),1－tan \f(α,2)) .
9．解析：因为tan eq \f(α,2) ＝ eq \f(sin α,2－cs α) ，所以 eq \f(sin \f(α,2),cs \f(α,2)) ＝ eq \f(2sin \f(α,2)cs \f(α,2),2－cs α) ，
又因为α∈(0， eq \f(π,2) )，sin eq \f(α,2) ≠0，所以2－cs α＝2cs2 eq \f(α,2) ，即2－csα＝1＋cs α，
所以cs α＝ eq \f(1,2) ，又因为α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))) ，
所以α＝ eq \f(π,3) ，tan α＝ eq \r(3) .
答案：B
10．解析：依题意4cs (α＋ eq \f(π,4) )＝cs 2α，
4(cs αcs eq \f(π,4) －sin αsin eq \f(π,4) )＝cs2α－sin2α，
2 eq \r(2) (csα－sin α)＝cs2α－sin2α，
(csα＋sin α)(cs α－sin α)－2 eq \r(2) (cs α－sin α)＝0，
(cs α＋sin α－2 eq \r(2) )(cs α－sin α)＝0，
所以cs α＋sin α－2 eq \r(2) ＝0或cs α－sin α＝0，
eq \r(2) sin (α＋ eq \f(π,4) )＝2 eq \r(2) ，或sin α＝cs α，
sin (α＋ eq \f(π,4) )＝2(舍去)，或tan α＝1，
所以α＝kπ＋ eq \f(π,4) (k∈Z)，
4α＝4kπ＋π(k∈Z)，tan 4α＝tan (4kπ＋π)＝tan π＝0.
所以A选项错误，BCD选项正确．
答案：BCD
11．解析：∵f(x)＝cs x＋ eq \r(2) sin x＝ eq \r(3) sin (x＋φ)，cs φ＝ eq \f(\r(6),3) ，sin φ＝ eq \f(\r(3),3) ，
∴f(x)max＝ eq \r(3) ，
此时，x＋φ＝2kπ＋ eq \f(π,2) ，k∈Z，
即x＝2kπ＋ eq \f(π,2) －φ，k∈Z，
∴θ＝2kπ＋ eq \f(π,2) －φ，k∈Z，
∴cs θ＝sin φ＝ eq \f(\r(3),3) ，sin θ＝cs φ＝ eq \f(\r(6),3) ，
cs (θ－ eq \f(π,6) )＝cs θcs eq \f(π,6) ＋sin θsin eq \f(π,6) ＝ eq \f(1,2) ＋ eq \f(\r(6),6) ＝ eq \f(3＋\r(6),6) .
答案： eq \r(3) eq \f(3＋\r(6),6)
12．解析：(1)∵f(x)＝sin x－ eq \r(3) (1－cs x)＋ eq \r(3) ＝sin x＋ eq \r(3) cs x＝2sin (x＋ eq \f(π,3) ).
所以，f(x)的最小正周期T＝2π.
当sin (x＋ eq \f(π,3) )＝1时，f(x)取得最大值2.
(2)由(1)知f(x)＝2sin (x＋ eq \f(π,3) )，
又g(x)＝f( eq \f(x,2) ＋ eq \f(π,6) )＝2sin ( eq \f(x,2) ＋ eq \f(π,2) )＝2cs eq \f(x,2) ，
由2kπ－π＜ eq \f(x,2) ＜2kπ(k∈Z)，解得4kπ－2π所以，函数g(x)的单调增区间为(4kπ－2π，4kπ)(k∈Z).
由2kπ＜ eq \f(x,2) <2kπ＋π(k∈Z)，解得4kπ＜x＜4kπ＋2π(k∈Z).
所以，函数g(x)的单调减区间为(4kπ，4kπ＋2π)(k∈Z).
13．解析：由题意5cs θ－5sin θ＝1，θ∈(0， eq \f(π,4) )，
所以cs θ－sin θ＝ eq \f(1,5) ，
又(cs θ＋sin θ)2＋(cs θ－sin θ)2＝2
所以cs θ＋sin θ＝ eq \f(7,5) ，
所以cs 2θ＝cs2θ－sin2θ＝(csθ＋sin θ)(cs θ－sin θ)＝ eq \f(7,25) .
答案： eq \f(7,25)
练 基 础
提 能 力