高中数学北师大版 (2019)必修 第一册1.1 利用函数性质判定方程解的存在性学案

第五章　函数应用

§1　方程解的存在性及方程的近似解

第1课时　利用函数性质判定方程解的存在性

课前篇·自主梳理知识

【主题】　函数的零点

1．函数零点

使得f(x0)＝0的数x0称为方程f(x)＝0的解，也称为函数f(x)的________．f(x)的零点就是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的________．

2．零点存在定理

若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续的曲线，并且在区间端点的函数值一正一负，即________，则在开区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即在区间(a，b)内相应的方程f(x)＝0至少有一个解．所以f(a)·f(b)<0是方程f(x)＝0在区间(a，b)内有解的充分条件而非必要条件．

这里说“在区间(a，b)内，方程f(x)＝0至少有一个解”，只说明了方程f(x)＝0解的存在，并不能判断具体有多少个解．

当f(a)·f(b)>0时，方程f(x)＝0也可能有解，如上图．所以f(a)·f(b)<0是方程f(x)＝0在区间(a，b)内有解的充分条件而非必要条件．

答案：1.零点　横坐标　2.f(a)·f(b)<0

[自我检测]

1．思维辨析(对的打“√”，错的打“”)

(1)函数y＝f(x)的零点是一个坐标点．(　　)

(2)若函数y＝f(x)的图象是连续不断的，且f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内有且只有一个零点．(　　)

(3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)·f(b)<0.(　　)

答案：

(1)　解析：函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的解，是一个实数．

(2)　解析：若函数y＝f(x)是图象是连续不断的，且f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点．

(3)　解析：若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有f(a)·f(b)<0，则能判断出零点的存在性；反之函数有零点，f(a)·f(b)不一定小于0，如f(x)＝x2在区间[－1,1]上有零点x＝0，此时f(－1)·f(1)>0.

2．函数y＝x2－5x＋6的零点是(　　)

A．2,3        B．－2，－3

C．1,6        D．－1，－6

答案：A　

解析：由x2－5x＋6＝0得x＝2或3，所以y＝x2－5x＋6的零点是2,3.

3．函数f(x)＝x3＋x－1的零点所在的区间是(　　)

A．    B．

C．    D．

答案：C　

解析：因为f·f(1)＝－×1＝－<0，且函数f(x)在R上连续，所以函数f(x)＝x3＋x－1的零点所在区间是.

4．函数y＝x－的零点是________．

答案：±1　

解析：令y＝x－＝＝0，解得x＝±1.

课堂篇·重难要点突破

研习1  　函数的零点与方程的根

[典例1]　(1)求下列函数的零点：

①f(x)＝x3＋1；

②f(x)＝.

(2)若函数f(x)＝x2＋x－a的一个零点是－3，求实数a的值，并求函数f(x)其余的零点．

(1)解：①∵f(x)＝x3＋1＝(x＋1)(x2－x＋1)，

令(x＋1)(x2－x＋1)＝0，解得x＝－1，

故函数的零点是－1.

②∵f(x)＝＝，

令＝0，解得x＝－1.

故函数的零点是－1.

(2)解：由题意知f(－3)＝0，

即(－3)2－3－a＝0，解得a＝6.

所以f(x)＝x2＋x－6.

解方程x2＋x－6＝0，得x＝－3或x＝2.

所以函数f(x)其余的零点是2.

[延伸探究]　本例(2)条件变为函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，求g(x)＝x2＋ax＋b的零点．

[审题路线图]由f(x)的零点求a，b的关系(值)⇒求g(x)的零点．

解：因为函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2,3，

所以x＝2和x＝3是方程x2－ax－b＝0的两个根，

由根与系数的关系可得：2＋3＝－(－a)，2×3＝－b.

所以a＝5，b＝－6，则g(x)＝x2＋5x－6，

令x2＋5x－6＝0，解得x1＝1，x2＝－6.

故函数g(x)＝x2＋5x－6的零点是1，－6.

函数零点的求法

(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根，若存在实数根，则函数存在零点，否则函数不存在零点．

(2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．

[练习1]求下列函数的零点：

(1)f(x)＝2x－1；

(2)f(x)＝2x2＋4x＋2；

(3)f(x)＝x3－2x2－3x.

解：(1)令f(x)＝0，

即2x－1＝0,2x＝1，

∴x＝0，∴f(x)有一个零点0.

(2)令f(x)＝0，

即2x2＋4x＋2＝0，x2＋2x＋1＝0，

∴x＝－1，∴f(x)有一个零点－1.

(3)令f(x)＝0，即x3－2x2－3x＝0，

x(x2－2x－3)＝0，

x(x－3)(x＋1)＝0，

∴x1＝－1，x2＝0，x3＝3，

∴f(x)有三个零点，分别是－1,0,3.

研习2 　判断函数零点所在的区间

[典例2]　函数f(x)＝log3x＋x－3零点所在大致区间是(　　)

A．(1,2)            B．(2,3)    

C．(3,4)            D．(4,5)

[审题路线图]函数零点满足的条件⇒判断．

答案：B

[延伸探究]　本例条件变为“已知函数f(x)＝logax＋x－b(a>0，且a≠1)”．当2<a<3<b<4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N＋，求n的值．

解：因为2<a<3<b<4，

当x＝2时，f(2)＝loga2＋2－b<0；

当x＝3时，f(3)＝loga3＋3－b>0.

所以f(x)的零点x0在区间(2,3)内，

所以n＝2.

确定函数零点所在区间的方法

确定函数的零点、方程的根所在的区间时，通常转化为判断区间两端点对应的函数值的符号是否相反．

[练习2]若x0是方程x＝x的解，则x0属于区间(　　)

A．    B．

C．    D．

答案：C

研习3   函数零点的个数

[典例3]　(2020·郑州高一检测)已知函数f(x)＝|x2－2x|－a.

(1)当a＝0时，画出函数f(x)的简图，并指出f(x)的单调区间；

(2)若函数f(x)有4个零点，求a的取值范围．

[审题路线图]画出函数y＝|x2－2x|的图象⇒分析图象与直线y＝a的交点个数．

解：(1)当a＝0时，函数f(x)＝|x2－2x|＝|x(x－2)|的图象如图所示：

由函数的图象可得f(x)的单调递增区间为[0,1]，[2，＋∞)；单调递减区间为(－∞，0]，[1,2]．

(2)若函数f(x)有4个零点，则方程|x2－2x|＝a有4个不等实根，即函数y＝|x2－2x|的图象和直线y＝a有4个交点，结合(1)中函数的图象可得{a|0<a<1}．

[延伸探究]　(1)将本例条件“4个零点”改为“2个零点”，其他条件不变，求a的取值范围．

(2)将本例函数改为f(x)＝|2x－1|－a，试讨论函数f(x)零点的个数．

(1)解：若函数f(x)有2个零点，则方程|x2－2x|＝a有2个不等实根，即函数y＝|x2－2x|的图象与直线y＝a有2个交点．结合原例(1)图象知{a|a＝0，或a>1}．

(2)解：

函数f(x)＝|2x－1|－a零点的个数可转化为方程|2x－1|＝a实根的个数，即函数y＝|2x－1|的图象与直线y＝a公共点个数，由图象可知，

当a＝0，或a≥1时，f(x)只有1个零点，

当0<a<1时，f(x)有2个零点，

当a<0时，f(x)无零点．

确定函数零点个数的方法

(1)分解因式法：可转化为一元n次方程根的个数问题，一般采用分解因式法来解决．

(2)判别式法：可转化为一元二次方程根的个数问题，通常用判别式法来判断根的个数．

(3)图象法：指数函数和对数函数零点个数问题一般用图象法来解决．

(4)单调性法：常规方法不易判断时，可利用函数的单调性来判断函数零点的个数．

[练习3]判断下列函数的零点个数：

(1)f(x)＝x2－7x＋12；

(2)f(x)＝x2－.

解：(1)由f(x)＝0，即x2－7x＋12＝0，得

Δ＝49－4×12＝1＞0，

∴方程x2－7x＋12＝0有两个不相等的实数根3,4，

∴函数f(x)有两个零点，分别是3,4.

(2)解法一：由x2－＝0得x2＝.

令h(x)＝x2(x≠0)，g(x)＝.

在同一坐标系中画出h(x)和g(x)的图象，如图所示，由图象可知两图象只有一个交点，故函数f(x)＝x2－只有一个零点．

解法二：令f(x)＝0，

即x2－＝0，

∵x≠0，∴x3－1＝0，

∴(x－1)(x2＋x＋1)＝0，

∴x＝1，或x2＋x＋1＝0.

∵方程x2＋x＋1＝0的根的判别式Δ＝12－4＝－3＜0，

∴方程x2＋x＋1＝0无实数根．

∴函数f(x)只有一个零点1.

研习4  函数零点性质的应用

[典例4]　已知函数f(x)＝ax2－bx＋1，若b＝a＋2，且函数f(x)在(－2,1)上恰有一个零点，求a的取值范围．

解：当a＝0时，令f(x)＝0，得x＝，符合题意．

当a≠0时，∵b＝a＋2，

∴f(x)＝ax2－(a＋2)x＋1，Δ＝(a＋2)2－4a>0，

函数f(x)＝ax2－bx＋1必有两个零点，

又函数f(x)在(－2,1)上恰有一个零点，

故f(－2)·f(1)<0，

即(6a＋5)(－1)<0，∴6a＋5>0，∴a>－，

又∵a≠0，∴a>－，且a≠0.

综上，实数a的取值范围是.

方程的根与函数的零点之间紧密相连，要灵活处理它们之间的关系并能灵活运用．当二次函数解析式中含有参数时，要注意讨论各种情况，不要遗漏．

[练习4]已知当m∈R时，函数f(x)＝m(x2－1)＋x－a(a∈Z)恒有零点，求a的值．

解：(1)当m＝0时，令f(x)＝x－a＝0，得x＝a，恒有解，

此时a∈R，且a∈Z，∴a∈Z.

(2)当m≠0时，令f(x)＝0，

即mx2＋x－m－a＝0恒有解，

∴Δ1＝1－4m(－m－a)≥0恒成立，

即4m2＋4am＋1≥0恒成立，

令g(m)＝4m2＋4am＋1，

∴g(m)≥0恒成立．

∴Δ2＝16a2－16≤0，即－1≤a≤1.

∵a∈Z，∴a＝－1,0,1.

综上，当m＝0时，a∈Z；当m≠0时，a＝－1,0,1.

课后篇·演练提升方案

1．若已知f(a)<0，f(b)>0，则下列说法中正确的是(　　)

A．f(x)在(a，b)上必有且只有一个零点

B．f(x)在(a，b)上必有正奇数个零点

C．f(x)在(a，b)上必有正偶数个零点

D．f(x)在(a，b)上可能有正偶数个零点，也可能有正奇数个零点，还可能没有零点

答案：D　

解析：若f(x)不连续则可能没有零点，若f(x)在该区间有二重零点，则可能有正偶数个零点．也可能有正奇数个零点．故应选D．

2．已知x＝－1是函数f(x)＝＋b(a≠0)的一个零点，则函数g(x)＝ax2－bx的零点是(　　)

A．－1或1      B．0或－1

C．1或0        D．2或1

答案：C　

解析：∵x＝－1是函数f(x)＝＋b(a≠0)的一个零点，∴－a＋b＝0，∴a＝b.

∴g(x)＝ax2－ax＝ax(x－1)(a≠0)，

令g(x)＝0，得x＝0或x＝1.

故应选C．

3．函数f(x)＝log2x＋2x－1的零点必落在区间(　　)

A．    B．

C．    D．

答案：C　

解析：由f(x)＝log2x＋2x－1在(0，＋∞)上单调递增，且f＝log2＋－1＝－，f＝log2＋2×－1＝－，f＝log2＋2×－1＝－1，f(1)＝log21＋2－1＝1，f(2)＝log22＋2×2－1＝4，f·f(1)<0，得零点必落在区间.

4．若函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，则实数a的取值范围为(　　)

A．a<1        B．a>1

C．a≤1        D．a≥1

答案：B　

解析：∵f(x)无零点，∴Δ＝4－4a<0，∴a>1.故应选B．

5．已知函数f(x)＝3x－x2，问：方程f(x)＝0在区间[－1，0]内有没有实数解？为什么？

解：∵f(－1)＝3－1－(－1)2＝－1<0，

f(0)＝30－0＝1>0，

根据f(x)＝3x－x2，知f(x)为连续函数，而连续函数在零点(不是二重零点)两侧函数值异号，

∴由f(－1)<0，f(0)>0知，在[－1,0]上f(x)必有一零点，

即f(x)＝3x－x2＝0在[－1,0]内必有一实数解．

[误区警示]　盲目使用零点存在定理致误

[示例]　若函数f(x)＝x2－2ax＋2在区间[0,4]上至少有一个零点，求实数a的取值范围．

[错解]　因函数f(x)＝x2－2ax＋2在区间[0,4]上至少有一个零点，所以f(0)·f(4)＜0，即2(18－8a)＜0，解得a＞.所以a的取值范围是.

[错因分析]　对函数零点存在定理理解不深刻，错误地认为函数零点存在定理的反面也正确．

连续函数f(x)在闭区间[a，b]上，若满足f(a)·f(b)＜0，则在区间(a，b)内至少有一个零点，反之就不一定成立．

[正解]　因为函数f(x)＝x2－2ax＋2在区间[0,4]上至少有一个零点，

①如图，当函数在该区间内只有一个零点时，

由图知f(0)·f(4)＜0，或Δ＝4a2－8＝0，

即2(18－8a)＜0，或a2＝2，

解得a＞，或a＝(－舍去)；

②当函数在该区间内有两个不同零点时，

必须满足即

解得＜a≤.

综上所述，a的取值范围是{a|a≥}．