高中数学北师大版 (2019)必修 第一册2.2 用函数模型解决实际问题同步练习题

课时作业(二十八)　实际问题中的函数模型

1．某地区的绿化面积平均每年比上一年增长10.4%，若按此速度，经过x年后的绿化面积与现在的绿化面积之比为y，则y＝f(x)的大致图象为(　　)

答案：D　

解析：设现有绿化面积为1，则y＝(1＋10.4%)x＝1.104x为指数函数．

故应选D.

2．某人若以每股17.25元购进股票一万股，一年后以每股18.96元销售，该银行月利率为0.8%，按月计复利，为获取最大利润，某人应将钱[(1＋0.8%)12≈1.100 34](　　)

A．全部购股票

B．全部存入银行

C．部分购股票，部分存银行

D．购股票或存银行均一样

答案：B　

解析：买股票利润：x＝(18.96－17.25)×10 000，存银行利润：y＝17.25×10 000×(1＋0.8%)12－17.25×10 000，计算得x<y.

故应选B.

3．某种产品成本原来为m元，现通过某种措施使成本每年比上年降低p%，则成本y与年数x的函数关系式是(　　)

A．y＝mx(1－p%)  B．y＝(1－m·p%)x

C．y＝m(1－p%)x  D．y＝(m－m·p%)x

答案：C　

解析：一年后成本y1＝m(1－p%)；

二年后成本y2＝y1(1－p%)＝m(1－p%)2；

三年后成本y3＝y2(1－p%)＝m(1－p%)3；

……

∴x年后成本y＝m(1－p%)x.

故应选C.

4. 如图所示，向放在水槽底部的烧杯注水(流量一定)，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中水面上升高度h与注水时间t之间的函数关系大致是下列图象中的(　　)

答案：B　

解析：开始一段时间，水槽底部没有水，烧杯满了之后，水槽中水面上升先快后慢，与B图象相吻合．

5．今有一组数据如下：

现准备了如下四个函数，最接近这组数据的函数是(　　)

A．v＝log2t   B．v＝logt

C．v＝   D．v＝2t－2

答案：C　

解析：将t的5个数值代入这四个函数，大体估算一下，很容易发现v＝的函数比较接近表中v的5个数值．

6．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y＝3 000＋20x－0.1x2(0<x<240，x∈N＋)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是________．

答案：150台　

解析：∵销售收入为25x，

∴纯利润t＝25x－y＝0.1x2＋5x－3 000≥0，

即(x＋200)(x－150)≥0，

∴x≥150.

7．某工厂生产某种产品的固定成本为2 000万元，每生产一单位产品，成本增加10万元，又知总收入K是产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元．

答案：2 500　

解析：总利润L(Q)＝40Q－Q2－10Q－2 000＝－Q2＋30Q－2 000，

当Q＝－＝300时，L(Q)最大．

L(Q)max＝－×3002＋30×300－2 000＝2 500(万元)．

8．据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b,2016年产生的垃圾量为a吨，由此预测该区2021年的垃圾量应为________吨．

答案：a(1＋b)5　

解析：下一年的垃圾量为a(1＋b)吨，从2016年开始经过5年到2021年时该区的垃圾量应为a(1＋b)5吨．

9．某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元．已知总收益满足函数：R(x)＝其中x是仪器的月产量．

(1)将利润表示为月产量的函数f(x)；

(2)当月产量为何值时，公司获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)

解：(1)月产量为x台，则总成本为20 000＋100x，从而f(x)＝

(2)当0≤x≤400时，f(x)＝－(x－300)2＋25 000，

∴当x＝300时，有最大值25 000；

当x>400时，f(x)＝60 000－100x是减函数，

又f(400)＝20 000<25 000，

∴当x＝300时，f(x)的最大值为25 000元．

综上知，当月产量为300台时，公司获利润最大．最大利润为25 000元．

10．已知桶1与桶2通过水管相连，如图所示．开始时桶1中有a L水，t min后剩余的水符合指数衰减函数y1＝ae－nt，那么桶2中的水就是y2＝a－ae－nt，假定5 min后，桶1中的水与桶2中的水相等，那么再过多长时间桶1中的水只有 L?

解：由题意，得

ae－5n＝a－ae－5n，即e－5n＝.①

设再过t min后桶1中的水有L，

则ae－n(t＋5)＝，e－n(t＋5)＝.②

将①平方，得e－10n＝，③

比较②③得－n(t＋5)＝－10n，

∴t＝5.

即再过5 min后桶1中的水只有L.

11．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，下面的二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润S(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和S与t之间的关系)．

根据图象提供的信息解答下列问题：

(1)由已知图象上的三点坐标，求累积利润S(万元)与时间t(月)之间的函数关系式；

(2)求截止到第几个月末公司累积利润可达到30万元；

(3)求第八个月公司所获利润是多少万元．

解：(1)由二次函数图象，设S与t的函数关系式为S＝at2＋bt＋c.

由题意，得

解得a＝，b＝－2，c＝0，

∴所求函数关系式为S＝t2－2t.

(2)把S＝30代入函数关系式，得30＝t2－2t，

解得t1＝10，t2＝－6(舍去)，

所以截止到第10个月末公司累积利润可达到30万元．

(3)把t＝7代入函数关系式，得

S＝×72－2×7＝10.5(万元)，

把t＝8代入函数关系式，得

S＝×82－2×8＝16(万元)，

则第八个月获得的利润为16－10.5＝5.5(万元)，

∴第八个月公司所获利润是5.5万元．

12．某家庭今年一月份、二月份和三月份煤气用量和支付费用见下表．

该市煤气收费的方法是：

煤气费＝基本费＋超额费＋保险费．

若每月用量不超过最低限度A m3，只付基本费3元和每户每月的定额保险C元；若用气量超过A m3，超过部分每立方米付B元．又知保险费C不超过5元，求A，B，C的值．

解：设煤气用量为x(m3)，支付费用为y(元)，根据题设条件得y与x的函数关系式为

y＝

由0<C≤5有C＋3≤8.

从表格中看此家庭第二、第三月份的费用均大于8元，故用气量25 m3，35 m3均大于最低限度A m3，

将x＝25，x＝35分别代入②，得

④－③得B＝0.5，代入③得，

A＝2C＋3.⑤

再分析一月份的用气量是否超过最 低限度，不妨设A<4，将x＝4代入②，得

3＋0.5[4－(3＋2C)]＋C＝4，

3．5－C＋C＝4,3.5＝4矛盾.

∴A≥4，一月份付款方式选①.

∴3＋C＝4，即C＝1，代入⑤得A＝5.

∴A＝5，B＝0.5，C＝1.