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数学7.1 实际问题中导数的意义完整版ppt课件
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这是一份数学7.1 实际问题中导数的意义完整版ppt课件，文件包含§771实际问题中导数的意义课件pptx、§771实际问题中导数的意义教案docx等2份课件配套教学资源，其中PPT共54页， 欢迎下载使用。
1.了解导数在实际问题中的意义.2.能用导数解释一些实际问题.
低碳生活(lw carbn living)，就是指在生活中要尽力减少所消耗的能量，特别是二氧化碳的排放量，从而减少对大气的污染，减缓生态恶化.低碳生活节能环保，势在必行.现实生活中，当汽车行驶路程一定时，我们希望汽油的使用效率最高，即每千米路程的汽油消耗最少或每升汽油能使汽车行驶的路程最长.如何使汽油的使用效率最高？
一、导数在物理学中的应用
二、导数在经济活动中的应用
三、导数在生活中的应用
例1 物体作自由落体运动，其方程为s(t)＝ (其中位移单位：m，时间单位：s，g＝9.8 m/s2).(1)计算当t从2 s变到4 s时位移s关于时间t的平均变化率，并解释它的意义；
解 当t从2 s变到4 s时，位移s从s(2)变到s(4)，此时，位移s关于时间t的平均变化率为
它表示物体从2 s到4 s这段时间平均每秒下落29.4 m.
(2)求s′(2)，并解释它的意义.
解 ∵s′(t)＝gt，∴s′(2)＝2g＝19.6(m/s).它表示物体在t＝2 s时的瞬时速度为19.6 m/s.
反思感悟 在物理学中：(1)瞬时速度：物体在某一时刻的速度称为瞬时速度，它是位移s关于时间t的导数；速度v关于时间t的导数是加速度.(2)功与功率：通常称力在单位时间内做的功为功率，它是功W关于时间t的导数.(3)线密度：单位长度的物质质量称为线密度，它是质量关于长度的导数.
跟踪训练1 某人拉一车前行，他所做的功(单位：J)是时间t(单位：s)的函数，其函数关系式为W(t)＝t3－2t＋1.(1)求t从1 s变到3 s时，功W关于时间t的平均变化率，并解释其意义；
解 当t从1 s变到3 s时，功W从W(1)＝1－2＋1＝0(J)变到W(3)＝33－2×3＋1＝22(J)，
它表示从t＝1 s到t＝3 s这段时间内，这个人平均每秒做功11 J.
(2)求W′(1)，W′(2)，解释它们的意义.
解 因为W′(t)＝3t2－2，所以W′(1)＝3－2＝1(J/s)，W′(2)＝3×22－2＝10(J/s)，W′(1)，W′(2)分别表示t＝1 s和t＝2 s时，这个人每秒做的功为1 J和10 J.
例2 某机械厂生产某种机器配件的最大生产能力为每日100件，假设日产品的总成本C(元)与日产量x(件)的函数关系为C(x)＝ ＋60x＋2 050.求当日产量由10件提高到20件时，总成本的平均改变量，并说明其实际意义.
解 当x从10件提高到20件时，总成本C从C(10)＝2 675元变到C(20)＝3 350元.
其表示日产量从10件提高到20件时平均每件产品的总成本的改变量.
延伸探究 若本例的条件不变，求当日产量为75件时的边际成本，并说明其实际意义.
它指的是当日产量为75件时，每多生产一件产品，需增加成本97.5元.
反思感悟 在生活和生产及科研中经常遇到的成本问题、用料问题、效率问题和利润等问题，在讨论其改变量时常用导数解决.
跟踪训练2 东方机械厂生产一种木材旋切机械，已知生产总利润c元与生产量x台之间的关系式为c(x)＝－2x2＋7 000x＋600.(1)求产量为1 000台的总利润与平均利润；
解 产量为1 000台时的总利润为c(1 000)＝－2×1 0002＋7 000×1 000＋600＝5 000 600(元)，
解 当产量由1 000台提高到1 500台时，总利润的平均改变量为
(2)求产量由1 000台提高到1 500台时，总利润的平均改变量；
解 ∵c′(x)＝(－2x2＋7 000x＋600)′＝－4x＋7 000，∴c′(1 000)＝－4×1 000＋7 000＝3 000(元/台).c′(1 500)＝－4×1 500＋7 000＝1 000(元/台).c′(1 000)＝3 000表示当产量为1 000台时，每多生产一台机械可多获利3 000元.c′(1 500)＝1 000表示当产量为1 500台时，每多生产一台机械可多获利1 000元.
(3)求c′(1 000)与c′(1 500)，并说明它们的实际意义.
例3 某年高考，某考生在参加数学科考试时，其解答完的题目数量y(单位：道)与所用时间x(单位：分钟)近似地满足函数关系y＝f(x)＝(1)求x从0分钟变化到36分钟时，y关于x的平均变化率，并解释它的实际意义；
解 x从0分钟变化到36分钟时，
(2)求f′(64)，f′(100)，并解释它们的实际意义.
反思感悟 解决实际问题的一般步骤(1)审题：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，找出问题的主要关系.(2)建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型.(3)解模：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数学方法求解.(4)对结果进行验证评估，定性、定量分析，作出正确的判断，确定其答案.
跟踪训练3 一名工人上班后开始连续工作，生产的产品数量y(单位：g)是工作时间x(单位：h)的函数，设这个函数表示为y＝f(x)＝(1)求x从1 h变到4 h时，y关于时间x的平均变化率，并解释它的实际意义；
(2)求f′(1)，f′(4)，并解释它的实际意义.
1.知识清单：(1)导数在物理学中的应用.(2)导数在经济活动中的应用.(3)导数在生活中的应用.2.方法归纳：数学建模.3.常见误区：忽略实际问题的定义域.
1.某人拉动一个物体前进，他所做的功W是时间t的函数W＝W(t)，则W′(t0)表示A.t＝t0时做的功B.t＝t0时的速度C.t＝t0时的位移D.t＝t0时的功率
2.在一次降雨过程中，降雨量y是时间t的函数，用y＝f(t)表示，则f′(10)表示A.t＝10时的降雨强度 B.t＝10时的降雨量C.t＝10时的时间 D.t＝10时的温度
解析 f′(t)表示t时刻的降雨强度.故选A.
3.如果物体做直线运动的方程为s(t)＝2(1－t)2，则其在t＝4时的瞬时速度为A.12 B.－12 C.4 D.－4
解析 s′(t)＝－4(1－t)，∴s′(4)＝－4(1－4)＝12.
4.某汽车的路程函数是s＝2t3－ (g＝10 m/s2)，则当t＝2 s时，汽车的加速度是_____m/s2.
解析 ∵v(t)＝s′(t)＝6t2－gt，a(t)＝v′(t)＝12t－g，∴a(2)＝12×2－10＝14(m/s2).
1.炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝ －x2＋8(0≤x≤5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是A.8 B. C.－1 D.－8
解析 原油温度的瞬时变化率为f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5)，所以当x＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.
2.(多选)下列四个命题是假命题的是A.曲线y＝x3在原点处没有切线B.若函数f(x)＝ ，则f′(0)＝0C.加速度是动点位移函数s(t)对时间t的导数D.函数y＝x5的导函数的值恒非负
解析 A中，y′＝3x2，x＝0时，y′＝0，∴y＝x3在原点处的切线为y＝0；B中，f(x)在x＝0处导数不存在；C中，s(t)对时间t的导数为瞬时速度；D中，y′＝5x4≥0，∴命题A，B，C为假命题，D为真命题.
3.某公司的盈利y(元)和时间x(天)的函数关系是y＝f(x)，假设f′(x)>0恒成立，且f′(10)＝10，f′(20)＝1，则这些数据说明第20天与第10天比较A.公司已经亏损B.公司的盈利在增加，但增加的幅度变小C.公司在亏损且亏损幅度变小D.公司的盈利在增加，且增加的幅度变大
解析 因为导数的含义是变化率，f′(10)>f′(20)>0，所以公司的盈利在增加，且增加的幅度变小.
4.细杆AB的长为20 cm，M为细杆AB上的一点，AM段的质量与A到M的距离的平方成正比，当AM＝2 cm时，AM的质量为8 g，那么当AM＝x cm时，M处的细杆线密度ρ(x)为A.2x B.3x C.4x D.5x
解析 设m(x)＝kx2，当AM＝2时，m(2)＝k·22＝8，∴k＝2.∴m(x)＝2x2.∴ρ(x)＝m′(x)＝4x.
5.某汽车的紧急刹车在遇到特别情况时需在2 s内完成刹车，其位移s(单位：m)关于时间t(单位：s)的函数为s(t)＝ －4t2＋20t＋15，则s′(1)的实际意义为A.汽车刹车后1 s内的位移B.汽车刹车后1 s内的平均速度C.汽车刹车后1 s时的瞬时速度D.汽车刹车后1 s时的位移
解析 由导数的实际意义知，位移关于时间的瞬时变化率为该时刻的瞬时速度.
6.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是
7.人体血液中药物的质量浓度c＝f(t)(单位：mg/mL)随时间t(单位：min)变化，且f′(2)＝0.3，则f′(2)表示_______________________________________________________________.
服药后2 min时血液中药物的质量浓度以每分钟0.3 mg/mL的速度增加
8.如图，水波的半径以50 cm/s的速度向外扩张，当半径为250 cm时，一水波面的圆面积的膨胀率是________.
解析 ∵面积S＝πr2，半径r＝50t，∴S＝2 500πt2.令r＝50t＝250，∴t＝5，又S′＝5 000πt，∴当t＝5时的膨胀率为5 000π×5＝25 000π.
9.某企业每天的产品均能售出，售价为490元/吨，其每天成本C与每天产量q之间的函数为C(q)＝2 000＋450q＋0.02q2.(1)写出收入函数；
解 设收入函数为R(q)，利润函数为L(q).收入函数为R(q)＝490q.
解 利润函数为L(q)＝R(q)－C(q)＝490q－(2 000＋450q＋0.02q2)＝－2 000＋40q－0.02q2.
(3)求利润函数的导数，并说明其经济意义.
解 利润函数的导数为L′(q)＝(－2 000＋40q－0.02q2)′＝40－0.04q.利润函数的导数称为边际利润，其经济意义为当产量达到q时，再增加单位产量后利润的改变量.
10.某厂生产某种产品x件的总成本c(x)＝120＋ (元).(1)当x从200变到220时，总成本c关于产量x的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？
解 当x从200变到220时，总成本c从c(200)＝540元变到c(220)＝626元.
它表示产量从x＝200件变化到x＝220件时，平均每件的成本为4.3元.
(2)求c′(200)，并解释它代表什么实际意义？
它指的是当产量为200件时，每多生产一件产品，需增加4.1元成本.
11.如图，设有定圆C和定点O，当l从l0开始在平面上绕O匀速旋转(旋转角度不超过90°)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，则它的图象大致是
解析 由于是匀速旋转，所以阴影部分的面积在开始和最后时段缓慢增加，而中间时段相对增速较快.选项A表示面积的增速是常数，与实际不符；选项B表示最后时段面积的增速较快，也与实际不符；选项C表示开始时段和最后时段面积的增速比中间时段快，与实际不符；选项D表示开始和最后时段面积的增速缓慢，中间时段增速较快.符合实际.
12.设球的半径关于时间t的函数为R(t)，若球的体积V以均匀速度C增长，则球的表面积的增长速度与球半径A.成正比，比例系数为CB.成正比，比例系数为2CC.成反比，比例系数为CD.成反比，比例系数为2C
球的体积增长速度为V′＝4πR2(t)·R′(t)，球的表面积增长速度为S′＝2·4πR(t)·R′(t)＝∴球的表面积的增长速度与球半径成反比，比例系数为2C.
13.一个质量为2 kg的物体做直线运动，设运动距离s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，并且物体的动能Ek＝ ，则物体开始运动后第5 s时的动能为______J.
解析 由s(t)＝t2＋t＋1，得v＝s′(t)＝2t＋1.则物体开始运动后第5 s时的瞬时速度v＝s′(5)＝11，
14.假设某国家在20年间的平均通货膨胀率为5%，物价p(单位：元)与时间t(单位：年)有如下函数关系：p(t)＝p0(1＋5%)t，其中p0为t＝0时的物价，假定某种商品的p0＝1，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是______元/年(精确到0.01).
解析 ∵p0＝1，∴p(t)＝(1＋5%)t＝1.05t.在第10个年头，这种商品价格上涨的速度，即为函数的导函数在t＝10时的函数值.∵p′(t)＝(1.05t)′＝1.05t·ln 1.05，∴p′(10)＝1.0510×ln 1.05≈0.08(元/年).∴在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨.
15.水以20 m3/min的速度流入一圆锥形容器，设容器深30 m，上底直径为12 m，试求当水深10 m时，水面上升的速度为__________.
解析 设容器中水的体积在t min时为V，水深为h，
16.一个电路中，流过的电荷量Q(单位：C)关于时间t(单位：s)的函数为Q(t)＝3t2－ln t.(1)求当t从1变到2时，电荷量Q关于时间t的平均变化率，并解释它的实际意义；
解 当t从1变到2时，电荷量从Q(1)变到Q(2)，此时电荷量Q关于时间t的平均变化率为
它表示从t＝1 s到t＝2 s这段时间内，平均每秒经过该电路的电荷量为8.31 C，也就是这段时间内电路的平均电流为8.31 A.
(2)求Q′(2)，并解释它的实际意义.
它的实际意义是在t＝2 s这一时刻经过该电路的电荷量为11.5 C，也就是这一时刻电路的电流为11.5 A.
1.了解导数在实际问题中的意义.2.能用导数解释一些实际问题.
低碳生活(lw carbn living)，就是指在生活中要尽力减少所消耗的能量，特别是二氧化碳的排放量，从而减少对大气的污染，减缓生态恶化.低碳生活节能环保，势在必行.现实生活中，当汽车行驶路程一定时，我们希望汽油的使用效率最高，即每千米路程的汽油消耗最少或每升汽油能使汽车行驶的路程最长.如何使汽油的使用效率最高？
一、导数在物理学中的应用
二、导数在经济活动中的应用
三、导数在生活中的应用
例1 物体作自由落体运动，其方程为s(t)＝ (其中位移单位：m，时间单位：s，g＝9.8 m/s2).(1)计算当t从2 s变到4 s时位移s关于时间t的平均变化率，并解释它的意义；
解 当t从2 s变到4 s时，位移s从s(2)变到s(4)，此时，位移s关于时间t的平均变化率为
它表示物体从2 s到4 s这段时间平均每秒下落29.4 m.
(2)求s′(2)，并解释它的意义.
解 ∵s′(t)＝gt，∴s′(2)＝2g＝19.6(m/s).它表示物体在t＝2 s时的瞬时速度为19.6 m/s.
反思感悟 在物理学中：(1)瞬时速度：物体在某一时刻的速度称为瞬时速度，它是位移s关于时间t的导数；速度v关于时间t的导数是加速度.(2)功与功率：通常称力在单位时间内做的功为功率，它是功W关于时间t的导数.(3)线密度：单位长度的物质质量称为线密度，它是质量关于长度的导数.
跟踪训练1 某人拉一车前行，他所做的功(单位：J)是时间t(单位：s)的函数，其函数关系式为W(t)＝t3－2t＋1.(1)求t从1 s变到3 s时，功W关于时间t的平均变化率，并解释其意义；
解 当t从1 s变到3 s时，功W从W(1)＝1－2＋1＝0(J)变到W(3)＝33－2×3＋1＝22(J)，
它表示从t＝1 s到t＝3 s这段时间内，这个人平均每秒做功11 J.
(2)求W′(1)，W′(2)，解释它们的意义.
解 因为W′(t)＝3t2－2，所以W′(1)＝3－2＝1(J/s)，W′(2)＝3×22－2＝10(J/s)，W′(1)，W′(2)分别表示t＝1 s和t＝2 s时，这个人每秒做的功为1 J和10 J.
例2 某机械厂生产某种机器配件的最大生产能力为每日100件，假设日产品的总成本C(元)与日产量x(件)的函数关系为C(x)＝ ＋60x＋2 050.求当日产量由10件提高到20件时，总成本的平均改变量，并说明其实际意义.
解 当x从10件提高到20件时，总成本C从C(10)＝2 675元变到C(20)＝3 350元.
其表示日产量从10件提高到20件时平均每件产品的总成本的改变量.
延伸探究 若本例的条件不变，求当日产量为75件时的边际成本，并说明其实际意义.
它指的是当日产量为75件时，每多生产一件产品，需增加成本97.5元.
反思感悟 在生活和生产及科研中经常遇到的成本问题、用料问题、效率问题和利润等问题，在讨论其改变量时常用导数解决.
跟踪训练2 东方机械厂生产一种木材旋切机械，已知生产总利润c元与生产量x台之间的关系式为c(x)＝－2x2＋7 000x＋600.(1)求产量为1 000台的总利润与平均利润；
解 产量为1 000台时的总利润为c(1 000)＝－2×1 0002＋7 000×1 000＋600＝5 000 600(元)，
解 当产量由1 000台提高到1 500台时，总利润的平均改变量为
(2)求产量由1 000台提高到1 500台时，总利润的平均改变量；
解 ∵c′(x)＝(－2x2＋7 000x＋600)′＝－4x＋7 000，∴c′(1 000)＝－4×1 000＋7 000＝3 000(元/台).c′(1 500)＝－4×1 500＋7 000＝1 000(元/台).c′(1 000)＝3 000表示当产量为1 000台时，每多生产一台机械可多获利3 000元.c′(1 500)＝1 000表示当产量为1 500台时，每多生产一台机械可多获利1 000元.
(3)求c′(1 000)与c′(1 500)，并说明它们的实际意义.
例3 某年高考，某考生在参加数学科考试时，其解答完的题目数量y(单位：道)与所用时间x(单位：分钟)近似地满足函数关系y＝f(x)＝(1)求x从0分钟变化到36分钟时，y关于x的平均变化率，并解释它的实际意义；
解 x从0分钟变化到36分钟时，
(2)求f′(64)，f′(100)，并解释它们的实际意义.
反思感悟 解决实际问题的一般步骤(1)审题：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，找出问题的主要关系.(2)建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型.(3)解模：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数学方法求解.(4)对结果进行验证评估，定性、定量分析，作出正确的判断，确定其答案.
跟踪训练3 一名工人上班后开始连续工作，生产的产品数量y(单位：g)是工作时间x(单位：h)的函数，设这个函数表示为y＝f(x)＝(1)求x从1 h变到4 h时，y关于时间x的平均变化率，并解释它的实际意义；
(2)求f′(1)，f′(4)，并解释它的实际意义.
1.知识清单：(1)导数在物理学中的应用.(2)导数在经济活动中的应用.(3)导数在生活中的应用.2.方法归纳：数学建模.3.常见误区：忽略实际问题的定义域.
1.某人拉动一个物体前进，他所做的功W是时间t的函数W＝W(t)，则W′(t0)表示A.t＝t0时做的功B.t＝t0时的速度C.t＝t0时的位移D.t＝t0时的功率
2.在一次降雨过程中，降雨量y是时间t的函数，用y＝f(t)表示，则f′(10)表示A.t＝10时的降雨强度 B.t＝10时的降雨量C.t＝10时的时间 D.t＝10时的温度
解析 f′(t)表示t时刻的降雨强度.故选A.
3.如果物体做直线运动的方程为s(t)＝2(1－t)2，则其在t＝4时的瞬时速度为A.12 B.－12 C.4 D.－4
解析 s′(t)＝－4(1－t)，∴s′(4)＝－4(1－4)＝12.
4.某汽车的路程函数是s＝2t3－ (g＝10 m/s2)，则当t＝2 s时，汽车的加速度是_____m/s2.
解析 ∵v(t)＝s′(t)＝6t2－gt，a(t)＝v′(t)＝12t－g，∴a(2)＝12×2－10＝14(m/s2).
1.炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝ －x2＋8(0≤x≤5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是A.8 B. C.－1 D.－8
解析 原油温度的瞬时变化率为f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5)，所以当x＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.
2.(多选)下列四个命题是假命题的是A.曲线y＝x3在原点处没有切线B.若函数f(x)＝ ，则f′(0)＝0C.加速度是动点位移函数s(t)对时间t的导数D.函数y＝x5的导函数的值恒非负
解析 A中，y′＝3x2，x＝0时，y′＝0，∴y＝x3在原点处的切线为y＝0；B中，f(x)在x＝0处导数不存在；C中，s(t)对时间t的导数为瞬时速度；D中，y′＝5x4≥0，∴命题A，B，C为假命题，D为真命题.
3.某公司的盈利y(元)和时间x(天)的函数关系是y＝f(x)，假设f′(x)>0恒成立，且f′(10)＝10，f′(20)＝1，则这些数据说明第20天与第10天比较A.公司已经亏损B.公司的盈利在增加，但增加的幅度变小C.公司在亏损且亏损幅度变小D.公司的盈利在增加，且增加的幅度变大
解析 因为导数的含义是变化率，f′(10)>f′(20)>0，所以公司的盈利在增加，且增加的幅度变小.
4.细杆AB的长为20 cm，M为细杆AB上的一点，AM段的质量与A到M的距离的平方成正比，当AM＝2 cm时，AM的质量为8 g，那么当AM＝x cm时，M处的细杆线密度ρ(x)为A.2x B.3x C.4x D.5x
解析 设m(x)＝kx2，当AM＝2时，m(2)＝k·22＝8，∴k＝2.∴m(x)＝2x2.∴ρ(x)＝m′(x)＝4x.
5.某汽车的紧急刹车在遇到特别情况时需在2 s内完成刹车，其位移s(单位：m)关于时间t(单位：s)的函数为s(t)＝ －4t2＋20t＋15，则s′(1)的实际意义为A.汽车刹车后1 s内的位移B.汽车刹车后1 s内的平均速度C.汽车刹车后1 s时的瞬时速度D.汽车刹车后1 s时的位移
解析 由导数的实际意义知，位移关于时间的瞬时变化率为该时刻的瞬时速度.
6.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是
7.人体血液中药物的质量浓度c＝f(t)(单位：mg/mL)随时间t(单位：min)变化，且f′(2)＝0.3，则f′(2)表示_______________________________________________________________.
服药后2 min时血液中药物的质量浓度以每分钟0.3 mg/mL的速度增加
8.如图，水波的半径以50 cm/s的速度向外扩张，当半径为250 cm时，一水波面的圆面积的膨胀率是________.
解析 ∵面积S＝πr2，半径r＝50t，∴S＝2 500πt2.令r＝50t＝250，∴t＝5，又S′＝5 000πt，∴当t＝5时的膨胀率为5 000π×5＝25 000π.
9.某企业每天的产品均能售出，售价为490元/吨，其每天成本C与每天产量q之间的函数为C(q)＝2 000＋450q＋0.02q2.(1)写出收入函数；
解 设收入函数为R(q)，利润函数为L(q).收入函数为R(q)＝490q.
解 利润函数为L(q)＝R(q)－C(q)＝490q－(2 000＋450q＋0.02q2)＝－2 000＋40q－0.02q2.
(3)求利润函数的导数，并说明其经济意义.
解 利润函数的导数为L′(q)＝(－2 000＋40q－0.02q2)′＝40－0.04q.利润函数的导数称为边际利润，其经济意义为当产量达到q时，再增加单位产量后利润的改变量.
10.某厂生产某种产品x件的总成本c(x)＝120＋ (元).(1)当x从200变到220时，总成本c关于产量x的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？
解 当x从200变到220时，总成本c从c(200)＝540元变到c(220)＝626元.
它表示产量从x＝200件变化到x＝220件时，平均每件的成本为4.3元.
(2)求c′(200)，并解释它代表什么实际意义？
它指的是当产量为200件时，每多生产一件产品，需增加4.1元成本.
11.如图，设有定圆C和定点O，当l从l0开始在平面上绕O匀速旋转(旋转角度不超过90°)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，则它的图象大致是
解析 由于是匀速旋转，所以阴影部分的面积在开始和最后时段缓慢增加，而中间时段相对增速较快.选项A表示面积的增速是常数，与实际不符；选项B表示最后时段面积的增速较快，也与实际不符；选项C表示开始时段和最后时段面积的增速比中间时段快，与实际不符；选项D表示开始和最后时段面积的增速缓慢，中间时段增速较快.符合实际.
12.设球的半径关于时间t的函数为R(t)，若球的体积V以均匀速度C增长，则球的表面积的增长速度与球半径A.成正比，比例系数为CB.成正比，比例系数为2CC.成反比，比例系数为CD.成反比，比例系数为2C
球的体积增长速度为V′＝4πR2(t)·R′(t)，球的表面积增长速度为S′＝2·4πR(t)·R′(t)＝∴球的表面积的增长速度与球半径成反比，比例系数为2C.
13.一个质量为2 kg的物体做直线运动，设运动距离s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，并且物体的动能Ek＝ ，则物体开始运动后第5 s时的动能为______J.
解析 由s(t)＝t2＋t＋1，得v＝s′(t)＝2t＋1.则物体开始运动后第5 s时的瞬时速度v＝s′(5)＝11，
14.假设某国家在20年间的平均通货膨胀率为5%，物价p(单位：元)与时间t(单位：年)有如下函数关系：p(t)＝p0(1＋5%)t，其中p0为t＝0时的物价，假定某种商品的p0＝1，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是______元/年(精确到0.01).
解析 ∵p0＝1，∴p(t)＝(1＋5%)t＝1.05t.在第10个年头，这种商品价格上涨的速度，即为函数的导函数在t＝10时的函数值.∵p′(t)＝(1.05t)′＝1.05t·ln 1.05，∴p′(10)＝1.0510×ln 1.05≈0.08(元/年).∴在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨.
15.水以20 m3/min的速度流入一圆锥形容器，设容器深30 m，上底直径为12 m，试求当水深10 m时，水面上升的速度为__________.
解析 设容器中水的体积在t min时为V，水深为h，
16.一个电路中，流过的电荷量Q(单位：C)关于时间t(单位：s)的函数为Q(t)＝3t2－ln t.(1)求当t从1变到2时，电荷量Q关于时间t的平均变化率，并解释它的实际意义；
解 当t从1变到2时，电荷量从Q(1)变到Q(2)，此时电荷量Q关于时间t的平均变化率为
它表示从t＝1 s到t＝2 s这段时间内，平均每秒经过该电路的电荷量为8.31 C，也就是这段时间内电路的平均电流为8.31 A.
(2)求Q′(2)，并解释它的实际意义.
它的实际意义是在t＝2 s这一时刻经过该电路的电荷量为11.5 C，也就是这一时刻电路的电流为11.5 A.
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