2023年陕西省宝鸡市高三第二次质量检测 数学（理）试题及答案

2023年宝鸡市高考模拟检测（二）

数学（理科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷解答题又分必考题和选考题两部分，选考题为二选一.考生作答时，将所有答案写在答题卡上，在本试卷上答题无效.本试卷满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1. 答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.

2. 选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，书写要工整、笔迹清楚，将答案书写在答题卡规定的位置上.

3. 所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效.

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.

1. 设集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 设，为复数，则下列说法正确的为（    ）

A. 若，则

B. 若，则，互为共轭复数

C. 若，为虚数单位，则为纯虚数

D. 若，则

3. 直线l：与曲线C：的交点个数为（    ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 无法确定

4. 我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明，弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），记大正方形和小正方形的面积分别为和，若，则直角三角形的勾（较短的直角边）与股（较长的直角边）的比值为（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 设a，，则“”是“”的（    ）

A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件

6. 中，，，D为BC的中点，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 已知抛物线C：的焦点为F，为C上一动点，曲线C在点M处的切线交y轴于N点，若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 已知函数，则（    ）

A. 在单调递减，在单调递增 B. 在单调递减

C. 的图像关于直线对称 D. 有最小值，但无最大值

9.设m，，曲线C：，则下列说法正确的为（    ）

A. 曲线C表示双曲线的概率为 B. 曲线C表示椭圆的概率为

C. 曲线C表示圆的概率为 D. 曲线C表示两条直线的概率为

10. 点在不等式组表示的平面区域上，则xy的最大值为（    ）

A.  B. 2 C.  D. 3

11. 四棱锥中，底面ABCD为边长为4的正方形，，，Q为正方形ABCD内一动点且满足，若，则三棱锥的体积的最小值为（    ）

A. 3 B.  C.  D. 2

12. 已知正实数x，y，z满足，给出下列4个命题：

①  ②x，y，z的方程有且只有一组解

③x，y，z可能构成等差数列  ④x，y，z不可能构成等比数列

其中所有真命题的个数为（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分.

13. 若a，b，c，d为实数，且，定义函数，现将的图像先向左平移个单位，再向上平移个单位后得到函数的图像，则的解析式为______.

14. 已知非零向量，，满足且，则的取值范围是______.

15. 若函数无极值点，则实数a的取值范围是______.

16. 如图，已知正四面体EFGH和正四棱锥的所有棱长都相等，现将正四面体EFGH的侧面EGH与正四棱锥的侧面PAB重合（P，E重合；A，H重合；B，G重合）后拼接成一个新的几何体，对于新几何体，下列说法正确的有______

①

②PF与BC异面

③新几何体为三棱柱

④新几何体的6个顶点不可能在同一个球面上

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分

17.（本小题12分）

某市作为常住人口超2000万的超大城市，注册青年志愿者人数超114万，志愿服务时长超268万小时.2022年6月，该市22个市级部门联合启动了2022年市青年志愿服务项目大赛，项目大赛申报期间，共收到331个主体的416个志愿服务项目，覆盖文明实践、社区治理与邻里守望、环境保护等13大领域.已知某领域共有50支志愿队伍申报，主管部门组织专家对志愿者申报队伍选行评审打分，并将专家评分（单位：分）分成6组：，，…，，得到如图所示的频率分布直方图.

（1）求图中m的值；

（2）从评分不低于80分的队伍中随机选取3支队伍，该3支队伍中评分不低于90分的队伍数为X，求随机变量X的分布列和期望.

18.（本小题12分）

如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，，，E为棱PD上一点.

（1）求证：无论点E在棱PD的任何位置，都有成立；

（2）若E为PD中点，求二面角的余弦值.

19.（本小题12分）

已知函数，等比数列的前n项和为，数列的首项为c，且前n项和满足.

（1）求数列和的通项公式；

（2）若数列前n项和为，求使的最小正整数n.

20.（本小题12分）

已知椭圆：，F为左焦点，A为上顶点，为右顶点，若，抛物线的顶点在坐标原点，焦点为F.

（1）求的标准方程；

（2）是否存在过F点的直线，与和交点分别是P，Q和M，N，使得？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由（为面积）.

21.（本小题12分）

已知函数，且在内有两个极值点，（）.

（1）求实数a的取值范围；

（2）求证：.

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑.按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分.

22.（选修4-4：坐标系与参数方程）（10分）

在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）.以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为.

（1）求曲线C的普通方程及直线l的直角坐标方程；

（2）已知点，若直线l与曲线C交于P，Q两点，求.

23.（选修4-5：不等式选讲）（10分）

已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若二次函数与函数的图象恒有公共点，求实数m的取值范围.

2023年宝鸡市高考模拟检测（二）

数学（理科）答案

一、选择题：

二、填空题：

13.      14.     15.     16. ①③④

解答题答案

17. 解：（Ⅰ）由，解得.

（Ⅱ）由题意知不低于80分的队伍有支，

不低于90分的队伍有支.

随机变量X的可能取值为0，1，2.

∵，，，

∴X的分布列为

.

18.（1）证明：因为平面ABCD，平面ABCD，

所以，

因为，，AD，平面PAD，

所以平面PAD，

因为E为棱PD上一点，

所以平面PAD，

所以.

（2）解：因为平面ABCD，，

所以DA，DC，DP两两垂直，如图，建立空间直角坐标系，

因为，，

所以，，，，

所以，，

设平面AEC的一个法向量为，

则，即，令得，

因为，，，PD，平面PCD，

所以平面PCD.

所以平面PCE的一个法向量为，

所以，

因为二面角为钝二面角，

所以二面角的余弦值为：.

19. 解：（Ⅰ）∵，

等比数列的前n项和为，

∴，，

，

数列是等比数列，应有，解得，.

∴首项，

∴等比数列的通项公式为.

∵，

又，，∴；

∴数列构成一个首项为1，公差为1的等差数列，

∴，

∴，当时，，

当时，，

又时也适合上式，

∴的通项公式.

（Ⅱ），

∴

，

由，得，得，

故满足的最小正整数为337.

20. 解：（1）依题意可知，即，

由右顶点为，得，解得，

所以的标准方程为.

（2）依题意可知的方程为，假设存在符合题意的直线，

设直线方程为，，，，，

联立方程组，得，

由韦达定理得，，

则，

联立方程组，得，

由韦达定理得，，

所以，若，

则，即，解得，

所以存在符合题意的直线方程为或.

21. 解：（1），因为在内有两个极值点，

所以在内有两个零点，即方程有两个正实根，

即有两个正实根，

令，，

当时，，所以在上单调递减，

当时，，所以在上单调递增，

又，画出函数的图象如图所示，

由方程有两个根，得.

（2）证明：在内有两个极值点，，由（1）可知，

，则，

要证，只需，

进一步化为，

从而得，所以，

设，可知t的取值范围是，则只需证，

令，则，

所以在上单调递增，从而，

因此.

22. 解：（1）因为（t为参数），

所以，

所以曲线C的普通方程为，

因为，

所以，

因为，，

所以直线l的直角坐标方程为.

（2）由（1）可得直线l的参数方程（s为参数），

所以，

整理得，

设，，

则，，

所以.

23. 解：（1）由题设知：；

①当时，得，，解得；

②当时，得，，恒成立；

③当时，得，，解得；

所以不等式的解集为：；

（2）由二次函数，

该函数在取得最大值，

因为，

所以在处取得最小值2，

所以要使二次函数与函数的图象恒有公共点，

只需，即.