高中数学北师大版 (2019)必修 第一册2.1 函数概念学案

§2　函数

2.1　函数概念

1．函数的定义是什么？

2．函数的自变量、定义域是如何定义的？

3．函数的值域是如何定义的？

知识点1　函数的有关概念

(1)有人认为“y＝f(x)”表示的是“y等于f与x的乘积”，这种看法对吗？

(2)f(x)与f(a)有何区别与联系？

[提示]　(1)这种看法不对．符号y＝f(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量，它是关系所施加的对象；f是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；y是自变量的函数，当x允许取某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值．y＝f(x)仅仅是函数符号，不表示“y等于f与x的乘积”．在研究函数时，除用符号f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数．

(2)f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当x＝a时，函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值，如一次函数f(x)＝3x＋4，当x＝8时，f(8)＝3×8＋4＝28是一个常数．

1.下图中能表示函数关系的是________(填序号)．

　               ①　　　　②　　　　③　　　　④

①②④　[由于③中的2与1和3同时对应，故③不是函数．]

2.函数f(x)＝的定义域是________．

{x|x<4}　[由4－x>0，解得x<4，所以原函数的定义域为{x|x<4}．]

3.已知f(x)＝x2＋1，则f(－1)＝________.

2　[∵f(x)＝x2＋1，

∴f(－1)＝(－1)2＋1＝2.]

知识点2　同一个函数

一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域．如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数．

(1)函数有定义域、对应关系和值域三要素，为什么判断两个函数是否是同一个函数，只看定义域和对应关系？

(2)定义域和值域分别相同的两个函数是同一个函数吗？

[提示]　(1)由函数的定义域和对应关系可以求出函数的值域，所以判断两个函数是否是同一个函数，只看定义域和对应关系即可．

(2)不一定，如果对应关系不同，这两个函数一定不是同一个函数．

4.给出下列三组函数，其中表示同一个函数的是______(填序号)．

①f(x)＝x，g(x)＝；

②f(x)＝2x＋1，g(x)＝2x－1；

③f(x)＝x，g(x)＝.

③　[①中f(x)＝x与g(x)＝的定义域不同；②中f(x)＝2x＋1，g(x)＝2x－1的对应关系不同．]

类型1　函数的概念

【例1】　判断下列对应是否为集合A到集合B的函数．

(1)A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x|；

(2)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2；

(3)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝；

(4)A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{0}，f：x→y＝0.

[解]　(1)A中的元素0在B中没有对应元素，故不是集合A到集合B的函数．

(2)对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关系f：x→y＝x2在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与其对应，故是集合A到集合B的函数．

(3)集合A中的负整数没有平方根，在集合B中没有对应的元素，故不是集合A到集合B的函数．

(4)对于集合A中任意一个实数x，按照对应关系f：x→y＝0在集合B中都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A到集合B的函数．

1．判断对应关系是否为函数的2个条件

(1)A，B必须是非空数集．

(2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应．

对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系．

2．根据图形判断是否为函数的方法

(1)任取一条垂直于x轴的直线l.

(2)在定义域内平行移动直线l.

(3)若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．

3．在两个函数中，只有当定义域、对应关系都相同时，两函数才相同．值域相同，只是前两个要素相同的必然结果．

1．下列各组函数是同一函数的是(　　)

①f(x)＝与g(x)＝x；

②f(x)＝x与g(x)＝；

③f(x)＝x0与g(x)＝；

④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1.

A．①② B．①③

C．③④ D．①④

C　[①f(x)＝|x|，g(x)＝x，对应关系不同，故f(x)与g(x)不是同一函数；

②f(x)＝x，g(x)＝＝|x|，对应关系不同，故f(x)与g(x)不是同一函数；

③f(x)＝x0＝1(x≠0)，g(x)＝＝1(x≠0)，对应关系与定义域均相同，故是同一函数；

④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1，对应关系和定义域均相同，故是同一函数．]

类型2　求函数的定义域

【例2】　求下列函数的定义域．

(1)y＝3－x；

(2)y＝2－；

(3)y＝.

[解]　(1)函数y＝3－x的定义域为R.

(2)由得0≤x≤，

所以函数y＝2－的定义域为.

(3)由于00无意义，故x＋1≠0，即x≠－1.又x＋2>0，即x>－2，所以x>－2且x≠－1.

所以函数y＝的定义域为{x|x>－2且x≠－1}．

求函数定义域的常用方法

(1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零．

(2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零．

(3)若f(x)是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合．

(4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集．

(5)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义．

2．求下列函数的定义域：

(1)y＝2＋；

(2)y＝·；

(3)y＝(x－1)0＋.

[解]　(1)当且仅当x－2≠0，即x≠2时，函数y＝2＋有意义，所以这个函数的定义域为{x|x≠2}．

(2)为使函数有意义，自变量x的取值必须满足解得1≤x≤3，所以这个函数的定义域为{x|1≤x≤3}．

(3)为使函数有意义，自变量x的取值必须满足解得x>－1，且x≠1，

所以这个函数的定义域为{x|x>－1，且x≠1}．

类型3　求函数值和值域

【例3】　(1)已知f(x)＝(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)，则f(2)＝________，f(g(2))＝________.

(2)求下列函数的值域：

①y＝x＋1；

②y＝x2－2x＋3，x∈[0,3)；

③y＝；

④y＝2x－.

(1)　　[(1)∵f(x)＝，

∴f(2)＝＝.

又∵g(x)＝x2＋2，∴g(2)＝22＋2＝6，

∴f(g(2))＝f(6)＝＝.

(2)①(观察法)因为x∈R，所以x＋1∈R，即函数值域是R.

②(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0,3)，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[2,6)．

③(分离常数法)y＝＝＝3－.

∵≠0，∴y≠3，

∴y＝的值域为(－∞，3)∪(3，＋∞)．

④(换元法)设t＝，则t≥0且x＝t2＋1，所以y＝2(t2＋1)－t＝22＋，由t≥0，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为.]

1．函数求值的方法

(1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值；

(2)求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则．

2．求函数值域常用的4种方法

(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；

(2)配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域；

(3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域；

(4)换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f(x)＝ax＋b＋(其中a，b，c，d为常数，且a≠0)型的函数常用换元法．

3．已知函数f(x)＝－1，且f(a)＝3，则a＝________.

16　[因为f(x)＝－1，

所以f(a)＝－1.

又因为f(a)＝3，

所以－1＝3，a＝16.]

4．求下列函数的值域：

(1)y＝＋1；(2)y＝.

[解]　(1)因为≥0，所以＋1≥1，即所求函数的值域为[1，＋∞)．

(2)因为y＝＝－1＋，

又函数的定义域为R，所以x2＋1≥1，

所以0<≤2，则y∈(－1,1]．

所以所求函数的值域为(－1,1].

1．对于函数f：A→B，若a∈A，则下列说法错误的是(　　)

A．f(a)∈B

B．f(a)有且只有一个

C．若f(a)＝f(b)，则a＝b

D．若a＝b，则f(a)＝f(b)

[答案]　C

2．某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程．下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是

(　　)

　               A　　　　　B　　　　C　　　　D

D　[由题意可知，一开始速度较快，后来速度变慢，所以开始曲线比较陡峭，后来曲线比较平缓，又纵轴表示离校的距离，所以开始时距离最大，最后距离为0.]

3．函数y＝＋的定义域为(　　)

A．{x|x≤1} B．{x|x≥0}

C．{x|x≥1，或x≤0} D．{x|0≤x≤1}

D　[由题意可知解得0≤x≤1.]

4．(一题两空)函数y＝的定义域是________，值域是________．

[答案]　　

5．已知函数f＝.若f(m)＝2，则m的值为________．

－3　[由f＝2，得＝2，解得m＝－3.]