新高考数学三轮冲刺“小题速练”02（2份打包，教师版+原卷版）

2021届高三数学“小题速练”2

答案解析

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】由题意，集合，，

则.

故选：A.

2. 已知为虚数单位，，复数，则（  ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】由题意，复数，得，

所以，故选B．

3. 命题“”的否定是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】命题“”的否定是，.

故选C

4. 已知向量，若，则（    ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

【答案】C

【解析】

由题意，向量，可得，

因为，可得，解得.

故选：C.

5. 二项式的展开式中项的系数为10，则（　　）

A. 8 B. 6 C. 5 D. 10

【答案】C

【解析】由二项式的展开式的通项得：令 ，得，则 ，所以，解得，

故选C．

6. 已知，，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】，，，

所以，

故选：A.

7. 已知圆关于直线对称，则圆C中以为中点的弦长为（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】D

【解析】依题意可知直线过圆心，即，．

故．

圆方程配方得，与圆心距离为1，故弦长为．

故选D．

8. 用一个体积为的球形铁质原材料切割成为正三棱柱的工业用零配件，则该零配件体积的最大值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】如图所示，正三棱柱内接于球的直观图，为底面的中心，因为．

设底面边长，则，

，

等号成立当且仅当，故选D.

二、多项选择题（每小题5分，共20分）

9. 下列命题正确的是（    ）

A. 若角（），则

B. 任意的向量，若，则

C. 已知数列的前项和（为常数），则为等差数列的充要条件是

D. 函数的定义域为，若对任意，都有，则函数的图像关于直线对称

【答案】BC

【解析】对于A选项：当时，，当时，，不满足，故A不正确；

对于B选项：设的夹角为，则，所以，所以或，所以，故B正确；

对于C：验证必要性：当n=1时，；当n≥2时，；

由于，所以当n≥2时，是公差为2a等差数列.

要使是等差数列，则，解得c= 0.即{an }是等差数列的必要条件是：c= 0.

验证充分性：当c=0时，.

当n=1时，；当n≥2时，，显然当n=1时也满足上式，

所以，进而可得，所以等差数列.

所以为等差数列的充要条件是成立，故C正确；

对于D选项：设函数，满足其定义域为，且对任意，都有

，满足，

而，则函数的图像关于直线对称，故D不正确，

故选：BC.

10. （多选题）函数（，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）

A.

B. 若把函数的图像向左平移个单位，则所得函数是奇函数

C. 若把的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数在上是增函数

D. ，若恒成立，则的最小值为

【答案】ABD

【解析】】如图所示：，所以，

，

，，即，

（），（），

，，，故A正确；

把的图像向左平移个单位，

则所得函数，是奇函数，故B正确；

把的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，

得到的函数，，，

在上不单调递增，故C错误；

由可得，恒成立，

令，，则，

 ，，

，，

的最小值为，故D正确.

故选：ABD.

11. 若，为正实数，则的充要条件为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】BD

【解析】因为，故A选项错误；

因为，为正实数，所以，故B选项正确；

取，则，，即不成立，故C选项错误；

因为，当时，，所以在上单调递增，

即，故D正确.

故选：BD

12. （多选题）已知函数，函数，下列选项正确的是（    ）

A. 点是函数的零点

B. ，使

C. 函数的值域为

D. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是

【答案】BC

【解析】对于选项A，0是函数的零点，零点不是一个点，所以A错误.

对于选项B，当时，，可得，

当时，单调递减；

当时，单调递增；

所以，当时， ，

当时，，

当时，单调递减；

当时，单调递增；

图像  

所以，当时， ，综上可得，选项B正确；

对于选项C，，选项C正确.

对于选项D，关于的方程有两个不相等的实数根

关于的方程有两个不相等的实数根

关于的方程有一个非零的实数根

函数与有一个交点，且，

当时，，当变化时，，变化情况如下：

极大值，极小值，当时，

当变化时，，的变化情况如下：

极小值，

                图像

综上可得，或，

的取值范围是，D不正确.

故选：BC

三、填空题（每小题5分，共20分）

13. 在等差数列中，若，，则_________.

【答案】

【解析】因为，故，

故答案为：8.

14. 化简：  ________.

【答案】－1

【解析】

原式)(

.故答案为

15. 2020年是全面建成小康社会目标实现之年，是脱贫攻坚收官之年根据中央对“精准扶贫”的要求，某市决定派5名党员和3名医护人员到三个不同的扶贫村进行调研，要求每个扶贫村至少派党员和医护人员各1名，则所有不同的分派方案种数为________________.（用数字作答）．

【答案】900

【解析】由题意分两步完成：第一步：将5名党员分派到三个不同的扶贫村，第二步，将3名医护人员分派到三个不同的扶贫村.

第一步：因为党员有5人，先分成3个组进行分派，分组情况有两种，第一种按人数是1，1，3分组有种不同情况，第二种按人数是2，2，1分组有种不同情况，再将分好的组分派到不同的扶贫村共有种不同分派方式；

第二步：将3名医护人员分派到3个不同扶贫村，共有种不同情况.

所以所有的不同分派方案有种.

故答案为：900.

16. 已知函数有两个不同的极值点，，则的取值范围是_____；若不等式有解，则的取值范围是______.

【答案】    (1).     (2).

【解析】由题可得（），因为函数有两个不同的极值点，，所以方程有两个不相等的正实数根，

于是有解得.

若不等式有解，所以

因为

.

设，

，故在上单调递增，故，

所以，所以的取值范围是.