中考数学优化探究一轮复习(理数) 第8章 第2节 两直线的位置关系课件PPT
展开两条直线平行时,不要忘记它们的斜率有可能不存在的情况;两条直线垂直时,不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况.
1.已知过点A(-2,m)和B(m,4)的直线与直线2x+y-1=0平行,则实数m的值为( )A.0 B.-8C.2 D.10
2.已知P(-2,m),Q(m,4),且直线PQ垂直于直线x+y+1=0,则m=( )A.1 B.2C.3 D.4
3.(易错题)直线2x+(m+1)y+4=0与直线mx+3y-2=0平行,则m=( )A.2 B.-3C.2或-3 D.3
运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的x,y的系数分别相等这一条件,盲目套用公式导致出错.
题型一 两直线的位置关系
1.(2021·济南模拟)“m=3”是“直线l1:2(m+1)x+(m-3)y+7-5m=0与直线l2:(m-3)x+2y-5=0垂直”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析:由l1⊥l2得,2(m+1)(m-3)+2(m-3)=0,解得m=3或m=-2.所以m=3是l1⊥l2的充分不必要条件.
2.(2021·衡水中学一调)直线l1:(3+a)x+4y=5-3a和直线l2:2x+(5+a)y=8平行,则a=( )A.-7或-1 B.-7C.7或1 D.-1
两直线位置关系的三种判断方法
2.过点P(3,-1)引直线,使点A(2,-3),B(4,5)到它的距离相等,则这条直线的方程为( )A.x=3 B.4x-y-13=0C.4x+y+13=0 D.x=3或4x-y-13=0
4.(2021·广州模拟)已知点P(4,a)到直线4x-3y-1=0的距离不大于3,则a的取值范围是( )A.[0,10] B.(0,10)C.[0,5] D.[5,10]
距离问题的常见题型及解题策略(1)求两点间的距离.关键是确定两点的坐标,然后代入公式即可,一般用来判断三角形的形状等.(2)解决与点到直线的距离有关的问题.应熟记点到直线的距离公式,若已知点到直线的距离求直线方程,一般考虑待定斜率法,此时必须讨论斜率是否存在.
(3)求两条平行线间的距离.要先将直线方程中x,y的对应项系数转化成相等的形式,再利用距离公式求解.也可以转化成点到直线的距离问题.
对称问题是高考常考内容之一,也是考查转化能力的一种常见题型.常见的命题角度有:(1)点关于点对称;(2)点关于线对称;(3)线关于线对称.
考法(一) 点关于点对称[例1] 过点P(0,1)作直线l使它被直线l1:2x+y-8=0和l2:x-3y+10=0截得的线段被点P平分,则直线l的方程为_________.
[解析] 设l1与l的交点为A(a,8-2a),则由题意知,点A关于点P的对称点B(-a,2a-6)在l2上,把B点坐标代入l2的方程得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4,即点A(4,0)在直线l上,所以由两点式得直线l的方程为:x+4y-4=0.[答案] x+4y-4=0
考法(二) 点关于线对称[例2] (2021·长沙一调)已知入射光线经过点M(-3,4),被直线l:x-y+3=0反射,反射光线经过点N(2,6),则反射光线所在直线的方程为_________.
[答案] 6x-y-6=0
解决点关于直线对称的问题要把握两点,点M与点N关于直线l对称,则线段MN的中点在直线l上,直线l与直线MN垂直.
考法(三) 线关于线对称[例3] 已知直线l:x-y-1=0,l1:2x-y-2=0.若直线l2与l1关于l对称,则l2的方程是( )A.x-2y+1=0 B.x-2y-1=0C.x+y-1=0 D.x+2y-1=0
线关于线的对称的求解方法(1)若直线与对称轴平行,则在直线上取一点,求出该点关于轴的对称点,然后用点斜式求解.(2)若直线与对称轴相交,则先求出交点,然后再取直线上一点,求该点关于轴对称的对称点,最后由两点式求解.
[对点训练]已知直线l:2x-3y+1=0,点A(-1,-2).求:(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标;(2)直线m:3x-2y-6=0关于直线l的对称直线m′的方程;(3)直线l关于点A(-1,-2)对称的直线l′的方程.
两直线位置关系应用中的核心素养
数学运算——直线系方程的应用1.平行直线系由于两直线平行,它们的斜率相等或它们的斜率都不存在,因此两直线平行时,它们的一次项系数与常数项有必然的联系.[例1] 求与直线3x+4y+5=0平行且过点(2,3)的直线l的方程.
[解析] 依题意,设所求直线方程为3x+4y+C1=0(C1≠5),因为直线过点(2,3),所以3×2+4×3+C1=0,解得C1=-18.因此,所求直线方程为3x+4y-18=0.
先设与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程为Ax+By+C1=0(C1≠C),再由其他条件求C1.
2.垂直直线系由于直线A1x+B1y+C1=0与A2x+B2y+C2=0垂直的充要条件为A1A2+B1B2=0,因此,当两直线垂直时,它们的一次项系数有必然的联系,可以考虑用直线系方程求解.[例2] 求经过A(2,4),且与直线2x+y-1=0垂直的直线l的方程.[解析] 因为所求直线与直线2x+y-1=0垂直,所以设该直线方程为x-2y+C1=0,又直线过点A(2,4),所以有2-2×4+C1=0,解得C1=6,所以所求直线方程为x-2y+6=0.
先设与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程为Bx-Ay+C1=0,再由其他条件求出C1.
3.过直线交点的直线系[例3] 过直线x+2y+1=0与直线2x-y+1=0的交点,且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为_________.
[答案] x-3y=0或5x+5y+4=0
过直线l1:A1x+B1y+C1=0与直线l2:A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ为参数),其中不包括直线l2.
4.过定点的直线系[例4] 直线(m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0(m为常数)恒过定点的坐标为_________.
1.过定点(x0,y0)的直线系方程为y-y0=k(x-x0)(k为直线的斜率)或A(x-x0)+B(y-y0)=0(A、B不同时为0).2.求直线系过定点问题的常用方法恒等式法:将直线方程化为参数的恒等式形式,利用参数取值的任意性,得关于x,y的方程组求出定点坐标.特殊直线法:给出任意两个参数值,得到两条直线,求其交点即为定点.
[题组突破]1.与直线x-2y+3=0平行,且与两坐标轴围成的三角形的面积为4的直线方程是_________.
答案:x-2y±4=0
2.直线mx+y-m-1=0(m为参数)经过定点的坐标为_________.
得x=1,y=1.故直线mx+y-m-1=0过定点(1,1).法二:(特殊直线法)取m=0,得y=1,①取m=1,得x+y-2=0,②由①②得x=1,y=1.故直线mx+y-m-1=0过定点(1,1).答案:(1,1)
3.过直线x-2y+4=0和直线x+y-2=0的交点,且与直线3x-4y+5=0垂直的直线方程为_________.
答案:4x+3y-6=0
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