高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册6.2.1导数与函数的单调性完整版ppt课件
展开1.掌握导数与函数单调性之间的关系，会利用导数研究函数的单调性.2.会利用导数判断函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间.3.掌握求函数单调区间的步骤.核心素养：数学抽象、数学运算、逻辑推理
在必修第一册中，我们通过图象直观，利用不等式、方程等知识，研究了函数的单调性、周期性、奇偶性以及最大（小）值等性质.在本章前两节中，我们学习了导数的概念和运算，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，它定量地刻画了函数的局部变化.能否利用导数更加精确地研究函数的性质呢？本节我们就来讨论这个问题.
我们先来研究前面学习过的高台跳水问题.
观察：观察下面一些函数的图象，探讨函数的单调性与导数的正负的关系. （1） （2） （3） （4）
（2） （3）
一般地，（1）如果在区间（a，b）内，f ′（x）>0，则曲线y＝f（x）在区间（a，b）对应的那一段上每一点处切线的斜率都大于0，曲线呈上升状态，因此f（x）在（a，b）上是增函数，如图所示；（2）如果在区间（a，b）内，f ′（x）<0，则曲线y＝f（x）在区间（a，b）对应的那一段上每一点处切线的斜率都小于0，曲线呈下降状态，因此f（x）在（a，b）上是减函数，如图所示.
利用上述性质，我们可以求出函数的单调区间.
如果不用导数的方法，直接运用单调性的定义，你如何求解本题？运算过程麻烦吗？你有什么体会？
总结求函数的单调区间，就是解不等式f ′（x）>0或f ′（x）<0，不等式的解集就是所求的单调区间，求解步骤如下：（1）求函数f（x）的定义域；（2）求出f ′（x）；（3）解不等式f ′（x）>0可得函数f（x）的单调递增区间，解不等式f ′（x）<0可得函数f（x）的单调递减区间.
（1） （2）
一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较“平缓”.
总结：函数的变化快慢与导数的关系
例1 已知函数f（x）的图像如图所示，下列四个图像中f ′（x）（其中f ′（x）是函数f（x）的导函数）的图像大致是（ ）
A B C D
解析：由题中函数图像可知，函数在（-∞，0）上先单调递减再单调递增，最后单调递减，在（0，+∞）上单调递增，则其导函数在（-∞，0）上，由左往右先小于零，再大于零，最后小于零，故排除A，B；在（0，+∞）上大于零，故排除C，故选D.答案：D
方法技巧函数图像的辨识可以从以下几个方面入手（1）从函数的定义域，判断图像在左右位置；从函数的值域，判断图像的上下位置.（2）从函数的单调性，判断图像的变化趋势.（3）从函数的奇偶性，判断图像的对称性.（4）从函数的特殊点入手，排除不符合要求的图像.总之，利用上述方法排除、筛选选项.规律总结原函数与导函数图像问题的解读（1）函数图像的单调性可以通过导数的正负来分析判断，即符号为正，图像上升，符号为负，图像下降，看导函数图像时，主要是看图像在x轴上方还是下方，即关心导数的正负，而不是其单调性.解决问题时，一定要分清是函数图像还是导函数图像.（2）记忆口诀：“原函数看增减，导函数看正负”.
类题通法利用导数求函数的单调区间的方法求可导函数f（x）的单调区间一般有两种方法：一种是解不等式法；另一种是列表法.（1）用解不等式法求单调区间的步骤：①确定函数f（x）的定义域；②求导函数f ′（x）；③解不等式f ′（x）>0（或f ′（x）<0），并写出解集；④根据③的结果确定函数f（x）的单调区间.（2）用列表法求单调区间的步骤：①确定函数f（x）的定义域；②求导函数f ′（x）；③解方程f ′（x）＝0；④列表；⑤得出结论.
例3 设g（x）＝ln x-ax2+（a-2）x，a<0，试讨论函数g（x）的单调性.
类题通法利用导数研究含参函数f（x）的单调区间的一般步骤（1）确定函数f（x）的定义域；（2）求导数f ′（x）； （3）分析参数对区间端点、最高次项的系数的影响，以及不等式解集的端点与定义域的关系，恰当确定参数的不同范围，并进行分类讨论；（4）在不同的参数范围内，解不等式f ′（x）>0和f ′（x）<0，确定函数f（x）的单调区间.
类题通法已知函数的单调性求参数取值范围的解题思路（1）可导函数在区间（a，b）上单调，实际上就是在该区间上f ′（x）≥0（或f ′（x）≤0）恒成立，得到关于参数的不等式，从而转化为求函数的最值问题，求出参数的取值范围，注意检验等号成立时导数是否在（a，b）上恒为0. （2）如函数在某个区间上恒增或恒减问题，导函数不方便分离参数，且为二次函数时，可以借助二次函数的性质对问题进行研究.方法一：直接分类讨论函数的最值；方法二：可以借助函数的图像研究.
A B C D
A. B. C. D.
知识清单：单调性与导函数；利用导数研究函数图象与单调性的关系；利用导数判断函数的单调性；利用导数求函数的单调区间方法归纳： 利用函数的导数大小判断函数单调性，图像法判断函数的单调性常见误区：求函数单调区间时，容易忽略函数的定义域.
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