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高中数学新教材必修第一册 第5章 5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象课件PPT
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高中数学新教材 同步课件（必修第一册）5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象第五章 §5.4 三角函数的图象与性质1.理解正弦曲线和余弦曲线间的关系，会用“五点(画图)法”画 给定区间上的正弦函数、余弦函数的图象.2.掌握正弦函数与余弦函数图象间的关系以及图象的变换，能通 过函数图象解决简单的问题.学习目标同学们，我国著名数学家华罗庚教授写过这样一首诗：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞.数无形时少直觉，形少数时难入微.数形结合百般好，隔离分家万事非；切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离”诗中充分肯定了数形结合这一重要的数学思想方法，前面我们主要从“数”的角度研究了三角函数的一些问题，这节课我们将从“形”上来研究三角函数.导语随堂演练课时对点练一、正弦函数、余弦函数图象的初步认识二、“五点(画图)法”画函数的图象三、正弦函数、余弦函数图象的应用内容索引一、正弦函数、余弦函数图象的初步认识问题1 结合之前所学，研究函数的一般步骤是什么？提示 先确定函数的定义域，然后画出函数图象，通过图象研究函数的值域、单调性、最值、对称性、奇偶性等函数的性质.问题2 绘制函数图象，首先要准确绘制其上一点，对于正弦函数，在[0,2π]上任取一个值x0，如何借助单位圆确定正弦函数值sin x0，并画出点T(x0，sin x0)?提示 如图，在[0,2π]上任取一个值x0，根据正弦函数的定义可知y0＝sin x0，此时弧AB的长度为x0，结合之前每一个角的弧度数与实数的一一对应关系，可得点T(x0，sin x0).问题3 我们已经学会绘制函数图象上的点，接下来，如何画函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象？你能想到什么方法？提示 如图，借助单位圆，在x轴上把[0,2π]12等分，它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周12等分，就可画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点，当然把圆周等分的份数越多，将这些点用光滑的曲线连接起来，可得到比较精确的正弦函数图象(通过信息技术展示)，然后根据终边相同的同名三角函数值相等，把上述图象沿着x轴向左和向右连续的平行移动，每次移动的距离为2π，就得到函数y＝sin x，x∈R的图象.1.正弦函数的图象叫做正弦曲线.2.余弦函数的图象叫做余弦曲线.例1 (1)下列叙述正确的个数为 ①y＝sin x，x∈[0,2π]的图象关于点P(π，0)成中心对称；②y＝cos x，x∈[0,2π]的图象关于直线x＝π成轴对称；③正弦、余弦函数的图象不超过直线y＝1和y＝－1所夹的范围.A.0 B.1 C.2 D.3√解析 分别画出函数y＝sin x，x∈[0,2π]和y＝cos x，x∈[0,2π]的图象，由图象(略)观察可知①，②，③均正确.(2)关于三角函数的图象，有下列命题：①y＝sin |x|与y＝sin x的图象关于y轴对称；②y＝cos(－x)与y＝cos|x|的图象相同；③y＝|sin x|与y＝sin(－x)的图象关于x轴对称；④y＝cos x与y＝cos(－x)的图象关于y轴对称.其中正确命题的序号是______.解析 对于②，y＝cos(－x)＝cos x，y＝cos |x|＝cos x，故其图象相同；对于④，y＝cos(－x)＝cos x，故其图象关于y轴对称，画图可知①，③均不正确.②④反思感悟 解决正弦、余弦函数图象的注意点对于正弦、余弦函数的图象问题，要画出正确的正弦曲线、余弦曲线，掌握两者的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到.跟踪训练1 下列关于正弦函数、余弦函数的图象的描述，不正确的是 A.都可由[0,2π]内的图象向上、向下无限延展得到B.都是对称图形C.都与x轴有无数个交点D.y＝sin(－x)的图象与y＝sin x的图象关于x轴对称√解析 由正弦、余弦函数的图象知，B，C，D正确.二、“五点(画图)法”画函数的图象问题4 如何画函数y＝sin x，x∈[0,2π]的简图？“五点(画图)法”(0,0)(π，0)(2π，0)例2 (教材199页例1改编)用“五点法”作下列函数的图象：(1)y＝1－2sin x，x∈[0,2π]；解 列表：描点连线，画图如图.解 列表：描点连线，画图如图.反思感悟 作形如y＝asin x＋b(或y＝acos x＋b)，x∈[0，2π]的图象的三个步骤跟踪训练2 用“五点法”在同一坐标系下画出下列函数在[－π，π]上的图象：(1)y＝－sin x；(2)y＝2－cos x.解三、正弦函数、余弦函数图象的应用例3 不等式2sin x－1≥0，x∈[0,2π]的解集为 √延伸探究1.在本例中把“x∈[0,2π]”改为“x∈R”，求不等式2sin x－1≥0的解集.解 作出正弦函数y＝sin x在[0,2π]上的图象，反思感悟 利用三角函数图象解三角不等式sin x>a(cos x>a)的步骤(1)作出相应的正弦函数或余弦函数在[0,2π]上的图象.(2)确定在[0,2π]上sin x＝a(cos x＝a)的x值.(3)写出不等式在区间[0,2π]上的解集.(4)根据公式一写出定义域内的解集.跟踪训练3 方程x2－cos x＝0的实数解的个数是____，所有的实数解的和为____.解析 作函数y＝cos x与y＝x2的图象，如图所示，由图象可知，两函数图象有两个交点，且两个交点关于y轴对称，故原方程有两个实数解，且两个实数解之和为0.201.知识清单：(1)正弦函数、余弦函数的图象.(2)“五点法”作图.(3)函数图象的应用.2.方法归纳：数形结合.3.常见误区：五点的选取；平移得余弦函数的图象.课堂小结随堂演练1.函数y＝sin(－x)，x∈[0,2π]的简图是 1234√解析 y＝sin(－x)＝－sin x，y＝－sin x与y＝sin x的图象关于x轴对称，故选B.1234√解析 所描出的五点的横坐标与函数y＝sin x的五点的横坐标相同，√解析 画出函数y＝sin x，x∈[0,2π]的简图如图所示.12344.函数y＝cos x＋4，x∈[0,2π]的图象与直线y＝4的交点的坐标为_______________.1234课时对点练1.在同一平面直角坐标系内，函数y＝sin x，x∈[0,2π]与y＝sin x，x∈[2π，4π]的图象 A.重合 B.形状相同，位置不同C.关于y轴对称 D.形状不同，位置不同基础巩固123456789101112131415√16解析 根据正弦曲线的作法可知函数y＝sin x，x∈[0,2π]与y＝sin x，x∈[2π，4π]的图象只是位置不同，形状相同.123456789101112131415√162.利用“五点法”画y＝sin x－1，x∈[0,2π]的图象，第三个点为√A.与g(x)的图象相同B.与g(x)的图象关于y轴对称123456789101112131415164.函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象与函数y＝1的图象的交点个数是 A.1 B.2 C.3 D.4123456789101112131415√16解析 将y＝sin x，x∈[0,2π]与y＝1的函数图象绘制在同一直角坐标系上，如图所示，显然，数形结合可知，只有1个交点.√12345678910111213141516解析 在同一平面直角坐标系中，画出正、余弦函数的图象，√√1234567891011121314151612345678910111213141516解析 设余弦函数为y＝cos x，123456789101112131415168.若方程sin x＝4m＋1在x∈[0,2π]上有解，则实数m的取值范围是________.解析 ∵x∈[0,2π]，∴y＝sin x∈[－1,1]，∴sin x＝4m＋1∈[－1,1]，123456789101112131415169.画出下列函数的简图：(1)y＝1－sin x，x∈[0,2π]；解 描点连线，画图如图.12345678910111213141516(2)y＝3cos x＋1，x∈[0,2π].解 描点连线，画图如图.1234567891011121314151610.分别作出函数y＝|sin x|和y＝sin |x|，x∈[－2π，2π]的图象.解 y＝|sin x|的图象为将y＝sin x在x轴下方的图象沿x轴翻折所得；y＝sin |x|的图象为y＝sin x在y轴右方的图象不变，再将y轴右方的图象沿y轴翻折所得.11.如图所示的曲线对应的函数解析式是 A.y＝|sin x| B.y＝sin |x|C.y＝－sin |x| D.y＝－|sin x|综合运用√1234567891011121314151612.函数f(x)＝cos x|tan x|的部分图象大致为 12345678910111213141516√12345678910111213141516当x在第一象限时，f(x)＝sin x>0；当x在第三象限时，f(x)＝sin x<0；当x在第二象限时，f(x)＝－sin x<0；当x在第四象限时，f(x)＝－sin x>0，结合定义域可知选B.13.函数f(x)＝lg x与g(x)＝cos x的图象的交点个数为 A.1 B.2 C.3 D.不确定12345678910111213141516√解析 在同一坐标系中，作出函数f(x)＝lg x与g(x)＝cos x的图象，如图所示，由图可知，两函数的交点个数为3. 14.方程2cos 2x－1＝0的解集是_______________________________.12345678910111213141516拓广探究1234567891011121314151615.函数y＝2cos x，x∈[0,2π]的图象和直线y＝2围成的一个封闭的平面图形的面积是_____.4π解析 如图所示，将余弦函数的图象在x轴下方的部分补到x轴的上方，可得一个矩形，其面积为2π×2＝4π.1234567891011121314151616.求方程sin x＋2|sin x|－|log2x|＝0的解的个数.解 由方程sin x＋2|sin x|－|log2x|＝0，得sin x＋2|sin x|＝|log2x|.g(x)＝|log2x|，在同一平面直角坐标系内，作出f(x)＝sin x＋2|sin x|和g(x)＝|log2x|的图象，如图所示，易知f(x)与g(x)的图象有四个交点，故原方程有四个解.
高中数学新教材 同步课件（必修第一册）5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象第五章 §5.4 三角函数的图象与性质1.理解正弦曲线和余弦曲线间的关系，会用“五点(画图)法”画 给定区间上的正弦函数、余弦函数的图象.2.掌握正弦函数与余弦函数图象间的关系以及图象的变换，能通 过函数图象解决简单的问题.学习目标同学们，我国著名数学家华罗庚教授写过这样一首诗：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞.数无形时少直觉，形少数时难入微.数形结合百般好，隔离分家万事非；切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离”诗中充分肯定了数形结合这一重要的数学思想方法，前面我们主要从“数”的角度研究了三角函数的一些问题，这节课我们将从“形”上来研究三角函数.导语随堂演练课时对点练一、正弦函数、余弦函数图象的初步认识二、“五点(画图)法”画函数的图象三、正弦函数、余弦函数图象的应用内容索引一、正弦函数、余弦函数图象的初步认识问题1 结合之前所学，研究函数的一般步骤是什么？提示 先确定函数的定义域，然后画出函数图象，通过图象研究函数的值域、单调性、最值、对称性、奇偶性等函数的性质.问题2 绘制函数图象，首先要准确绘制其上一点，对于正弦函数，在[0,2π]上任取一个值x0，如何借助单位圆确定正弦函数值sin x0，并画出点T(x0，sin x0)?提示 如图，在[0,2π]上任取一个值x0，根据正弦函数的定义可知y0＝sin x0，此时弧AB的长度为x0，结合之前每一个角的弧度数与实数的一一对应关系，可得点T(x0，sin x0).问题3 我们已经学会绘制函数图象上的点，接下来，如何画函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象？你能想到什么方法？提示 如图，借助单位圆，在x轴上把[0,2π]12等分，它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周12等分，就可画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点，当然把圆周等分的份数越多，将这些点用光滑的曲线连接起来，可得到比较精确的正弦函数图象(通过信息技术展示)，然后根据终边相同的同名三角函数值相等，把上述图象沿着x轴向左和向右连续的平行移动，每次移动的距离为2π，就得到函数y＝sin x，x∈R的图象.1.正弦函数的图象叫做正弦曲线.2.余弦函数的图象叫做余弦曲线.例1 (1)下列叙述正确的个数为 ①y＝sin x，x∈[0,2π]的图象关于点P(π，0)成中心对称；②y＝cos x，x∈[0,2π]的图象关于直线x＝π成轴对称；③正弦、余弦函数的图象不超过直线y＝1和y＝－1所夹的范围.A.0 B.1 C.2 D.3√解析 分别画出函数y＝sin x，x∈[0,2π]和y＝cos x，x∈[0,2π]的图象，由图象(略)观察可知①，②，③均正确.(2)关于三角函数的图象，有下列命题：①y＝sin |x|与y＝sin x的图象关于y轴对称；②y＝cos(－x)与y＝cos|x|的图象相同；③y＝|sin x|与y＝sin(－x)的图象关于x轴对称；④y＝cos x与y＝cos(－x)的图象关于y轴对称.其中正确命题的序号是______.解析 对于②，y＝cos(－x)＝cos x，y＝cos |x|＝cos x，故其图象相同；对于④，y＝cos(－x)＝cos x，故其图象关于y轴对称，画图可知①，③均不正确.②④反思感悟 解决正弦、余弦函数图象的注意点对于正弦、余弦函数的图象问题，要画出正确的正弦曲线、余弦曲线，掌握两者的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到.跟踪训练1 下列关于正弦函数、余弦函数的图象的描述，不正确的是 A.都可由[0,2π]内的图象向上、向下无限延展得到B.都是对称图形C.都与x轴有无数个交点D.y＝sin(－x)的图象与y＝sin x的图象关于x轴对称√解析 由正弦、余弦函数的图象知，B，C，D正确.二、“五点(画图)法”画函数的图象问题4 如何画函数y＝sin x，x∈[0,2π]的简图？“五点(画图)法”(0,0)(π，0)(2π，0)例2 (教材199页例1改编)用“五点法”作下列函数的图象：(1)y＝1－2sin x，x∈[0,2π]；解 列表：描点连线，画图如图.解 列表：描点连线，画图如图.反思感悟 作形如y＝asin x＋b(或y＝acos x＋b)，x∈[0，2π]的图象的三个步骤跟踪训练2 用“五点法”在同一坐标系下画出下列函数在[－π，π]上的图象：(1)y＝－sin x；(2)y＝2－cos x.解三、正弦函数、余弦函数图象的应用例3 不等式2sin x－1≥0，x∈[0,2π]的解集为 √延伸探究1.在本例中把“x∈[0,2π]”改为“x∈R”，求不等式2sin x－1≥0的解集.解 作出正弦函数y＝sin x在[0,2π]上的图象，反思感悟 利用三角函数图象解三角不等式sin x>a(cos x>a)的步骤(1)作出相应的正弦函数或余弦函数在[0,2π]上的图象.(2)确定在[0,2π]上sin x＝a(cos x＝a)的x值.(3)写出不等式在区间[0,2π]上的解集.(4)根据公式一写出定义域内的解集.跟踪训练3 方程x2－cos x＝0的实数解的个数是____，所有的实数解的和为____.解析 作函数y＝cos x与y＝x2的图象，如图所示，由图象可知，两函数图象有两个交点，且两个交点关于y轴对称，故原方程有两个实数解，且两个实数解之和为0.201.知识清单：(1)正弦函数、余弦函数的图象.(2)“五点法”作图.(3)函数图象的应用.2.方法归纳：数形结合.3.常见误区：五点的选取；平移得余弦函数的图象.课堂小结随堂演练1.函数y＝sin(－x)，x∈[0,2π]的简图是 1234√解析 y＝sin(－x)＝－sin x，y＝－sin x与y＝sin x的图象关于x轴对称，故选B.1234√解析 所描出的五点的横坐标与函数y＝sin x的五点的横坐标相同，√解析 画出函数y＝sin x，x∈[0,2π]的简图如图所示.12344.函数y＝cos x＋4，x∈[0,2π]的图象与直线y＝4的交点的坐标为_______________.1234课时对点练1.在同一平面直角坐标系内，函数y＝sin x，x∈[0,2π]与y＝sin x，x∈[2π，4π]的图象 A.重合 B.形状相同，位置不同C.关于y轴对称 D.形状不同，位置不同基础巩固123456789101112131415√16解析 根据正弦曲线的作法可知函数y＝sin x，x∈[0,2π]与y＝sin x，x∈[2π，4π]的图象只是位置不同，形状相同.123456789101112131415√162.利用“五点法”画y＝sin x－1，x∈[0,2π]的图象，第三个点为√A.与g(x)的图象相同B.与g(x)的图象关于y轴对称123456789101112131415164.函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象与函数y＝1的图象的交点个数是 A.1 B.2 C.3 D.4123456789101112131415√16解析 将y＝sin x，x∈[0,2π]与y＝1的函数图象绘制在同一直角坐标系上，如图所示，显然，数形结合可知，只有1个交点.√12345678910111213141516解析 在同一平面直角坐标系中，画出正、余弦函数的图象，√√1234567891011121314151612345678910111213141516解析 设余弦函数为y＝cos x，123456789101112131415168.若方程sin x＝4m＋1在x∈[0,2π]上有解，则实数m的取值范围是________.解析 ∵x∈[0,2π]，∴y＝sin x∈[－1,1]，∴sin x＝4m＋1∈[－1,1]，123456789101112131415169.画出下列函数的简图：(1)y＝1－sin x，x∈[0,2π]；解 描点连线，画图如图.12345678910111213141516(2)y＝3cos x＋1，x∈[0,2π].解 描点连线，画图如图.1234567891011121314151610.分别作出函数y＝|sin x|和y＝sin |x|，x∈[－2π，2π]的图象.解 y＝|sin x|的图象为将y＝sin x在x轴下方的图象沿x轴翻折所得；y＝sin |x|的图象为y＝sin x在y轴右方的图象不变，再将y轴右方的图象沿y轴翻折所得.11.如图所示的曲线对应的函数解析式是 A.y＝|sin x| B.y＝sin |x|C.y＝－sin |x| D.y＝－|sin x|综合运用√1234567891011121314151612.函数f(x)＝cos x|tan x|的部分图象大致为 12345678910111213141516√12345678910111213141516当x在第一象限时，f(x)＝sin x>0；当x在第三象限时，f(x)＝sin x<0；当x在第二象限时，f(x)＝－sin x<0；当x在第四象限时，f(x)＝－sin x>0，结合定义域可知选B.13.函数f(x)＝lg x与g(x)＝cos x的图象的交点个数为 A.1 B.2 C.3 D.不确定12345678910111213141516√解析 在同一坐标系中，作出函数f(x)＝lg x与g(x)＝cos x的图象，如图所示，由图可知，两函数的交点个数为3. 14.方程2cos 2x－1＝0的解集是_______________________________.12345678910111213141516拓广探究1234567891011121314151615.函数y＝2cos x，x∈[0,2π]的图象和直线y＝2围成的一个封闭的平面图形的面积是_____.4π解析 如图所示，将余弦函数的图象在x轴下方的部分补到x轴的上方，可得一个矩形，其面积为2π×2＝4π.1234567891011121314151616.求方程sin x＋2|sin x|－|log2x|＝0的解的个数.解 由方程sin x＋2|sin x|－|log2x|＝0，得sin x＋2|sin x|＝|log2x|.g(x)＝|log2x|，在同一平面直角坐标系内，作出f(x)＝sin x＋2|sin x|和g(x)＝|log2x|的图象，如图所示，易知f(x)与g(x)的图象有四个交点，故原方程有四个解.
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