中考几何模型压轴题 专题20《简单的四点共圆》

中考数学几何专项复习策略

在九年级数学几何专题复习中，怎样科学、合理地设计教学内容、精心地组织课堂教学，怎样采取得力的措施和高效的方法，大幅度、快节奏地提高学生的数学素养，让后进生吃的消，中等生吃的饱，优等生吃得好，使复习获得令人满意的效果？这是所有处在一线数学教师普遍关注和思考的课题。本文试图从优质教学观的理论对课堂的结构和教师专业素养以及结合多年一线教学实践经验作出阐述、探究，举例谈几何专题复习的几点策略：

策略一 建构高效的课堂教学模式-----先学后教，当堂训练。

高效的课堂教学模式是保证高效的复习效果的前提，学生在教师的指导和辅导下进行先自学、探究和及时训练，获得知识、发展能力的一种教学模式。

策略二 专题内容的设计应遵循教与学的认知规律和学生心理发展规律，凸显方法规律，由简单到复杂，由特殊到一般，再由一般到特殊

　  总结规律，推广一般。从一般到特殊：抛砖引玉，解决问题。

策略三 设计专题内容时考虑建立几何模型，体现思想方法，让学生驾轻就熟，化难为易，化繁为简。

几何，常常因为图形变化多端，方法多种多样而被称为数学中的变形金刚。题目千变万化，但万变不离其宗。  

专题20《简单的四点共圆》

破解策略

    如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称之为四个点共圆·一般简称为”四点共

圆”．四点共圆常用的判定方法有：

    1．若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆．

    如图，若OA＝OB＝OC＝OD，则A，B，C，D四点在以点O为圆心、OA为半径的

圆上．

【答案】（1）略；（2）AB，CD相交成90°时，MN取最大值，最大值是2．

【提示】（1）如图，连结OP，取其中点O＇，显然点M，N在以OP为直径的⊙O＇上，连结NO＇并延长，交⊙O＇于点Q，连结QM，则∠QMN＝90°，QN＝OP＝2，而∠MQN＝180°－∠BOC＝60°，所以可求得MN的长为定值．

（2）由（1）知，四边形PMON内接于⊙O＇，且直径OP＝2，而MN为⊙O＇的一条弦，故MN为⊙O＇的直径时，其长取最大值，最大值为2，此时∠MON＝90°．

2．若一个四边形的一组对角互补，则这个四边形的四个顶点共圆．

如图，在四边形ABCD中， 若∠A＋∠C＝180°（或∠B＋∠D＝180°）则A，B，C，D四点在同一个圆上．

【答案】（1）略；（2）AD＝DE；（3）AD＝DE·tanα．

【提示】（1）证A，D，B，E四点共圆，从而∠AED＝∠ABD＝45°，所以AD＝DE．

（2）同（1），可得A，D，B，E四点共圆，∠AED＝∠ABD＝30°，所以＝ tan30°，即AD＝ DE．

3．若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个顶点共圆．

如图，在四边形ABCD中，∠CDE为外角，若∠B＝∠CDE，则A，B，C，D四点在同一个圆上．

【答案】略

4．若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线段的两个端点共圆．

如图，点A，D在线段BC的同侧，若∠A＝∠D，则A，B，C，D四点在同一个圆上．

【答案】略

诸多几何问题，若以四点共圆作桥梁，就能与圆内的等量关系有机地结合起来．利用四点共圆，可证线段相等、角相等、两线平行或垂直，还可以证线段成比例，求定值等．

例题讲解

例1  如图，在△ABC中，过点A作AD⊥BC与点D，过点D分别作AB，AC的垂线，垂足分别为E，F．求证：B，E，F，C四点共圆．

证明  因为DE⊥AB，DF⊥AC，

所以∠AED＋∠AFD＝180°，即A，E，D，F四点共圆．

连结EF，则∠AEF＝∠ADF．

因为AD⊥BC，DF⊥AC，

所以∠FCD＝∠ADF＝∠AEF，

所以B，E，F，C四点共圆．

例2  在锐角△ABC中，AB＝AC，AD为边上的高，E为AC的中点．若M为线段BD上的动点（点M与点D不重合），过点C作CN⊥AM与点N，射线EN与AB相交于点P，证明：∠APE＝2∠MAD．

证明  如图，连结DE．

因为AD⊥BC，CN⊥AM，E为AC的中点，所以DE＝AE＝CE＝NE，

从而A，N，D，C在以点E为圆心、AC为直径的圆上，所以∠DEN＝2∠DAN．

由题意可得D为BC的中点，所以ED∥AB，

所以∠APE＝∠DEP ＝2∠MAD．

进阶训练

1．已知⊙O的半径为2，AB，CD是⊙O的直径，P是BC上任意一点，过点P分别作AB，CD的垂线，垂足分别为N，M．

（1）如图1，若直径AB与CD相交成120°角，当点P（不与B，C重合）从B运动到C的过程中，证明MN的长为定值；

（2）如图2，求当直径AB与CD相交成多少度角时，MN的长取最大值，并写出其最大值．

答案：（1）略

（2）AB，CD相交成90°时，MN取最大值，最大值为2．

【提示】

（1）如图，连接OP，取其中点O′，显然点M．，N在以OP为直径的⊙O′上．连结NO′并延长，交⊙O′于点Q，连结QM，则∠QMN＝90°，QN＝OP＝2．而∠MQN＝180°－∠BOC＝60°，所以可求得MN的长为定值．

（2）由（1）知，四边形PMON内接于⊙O′，且直径OP＝2．而MN为⊙O′的一条弦，故MN为⊙O′的直径时，其长取最大值，最大值为2，此时∠QMN＝90°．

2．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，过点B的直线MN∥AC，D为BC边上一点，连结AD，作DE⊥AD交MN于点E，连结AE．

（1）如图1，当∠ABC＝45°时，求证：AD＝DE；

（2）如图2，当∠ABC＝30°时，线段AD与DE有何数量关系？请说明理由；

（3）当∠ABC＝α时，请直接写出线段AD与DE的数量关系（用含α的三角函数表示）．

答案：（略）；（2）AD＝DE；（3）AD＝DE·tanα．

【提示】（1）证A，D，B，E四点共圆，从而∠AED＝∠ABD＝45°，所以AD＝DE．

（2）同（1）可得A，D，B，E四点共圆，从而∠AED＝∠ABD＝30°，所以＝tan30°，即AD＝DE．