四川省成都市树德中学2022-2023学年高一下学期4月月考数学试题

树德中学高2022级高一下学期4月阶段性测试数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．半径为2，圆心角为1弧度的扇形的面积是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

2．在△ABC中，“”是“”的（    ）条件．

A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要

3．已知，，则与同向的单位向量的坐标为（    ）

A． B． C． D．

4．已知向量，满足，，向量，的夹角为，则（    ）

A．－2 B．－1 C．0 D．2

5．将顶点在原点，始边为x轴非负半轴的锐角的终边绕原点逆时针转过后，交单位圆于点，那么的值为（    ）

A． B． C． D．

6．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

7．已知函数的部分图象如图所示，且存在，满足，则（    ）

A． B． C． D．

8．在平行四边形ABCD中，已知，，，，则（    ）

A．－9 B．－6 C．6 D．9

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数t的值可能为（    ）

A．6 B．3 C． D．

10．下列说法正确的是（    ）

A．若，则或

B．是函数的一条对称轴

C．

D．若，则在方向上的投影向量的模为

11．已知为偶函数，其图象与直线的其中两个交点的横坐标分别为，，的最小值为，将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列选项正确的是（    ）

A．

B．函数在上单调递减

C．是函数图象的一个对称中心

D．若方程在上有两个不等实根，则

12．已知函数，（其中是大于的常数），则的所有零点之和可能是（    ）

A． B． C． D．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知向量，，，则实数m的值为______．

14．已知，，则的值为______．

15．设，其中a，b是正实数．若对一切恒成立，则______．

16．已知函数同时满足下述性质：①若对于任意的，，，恒成立；②，则a的取值范围为______．

四、解答题：本题共6小题，17题10分，剩下每题12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．已知单位向量，，，，

（1）求的值；

（2）求向量与向量夹角的余弦值．

18．已知，，

（1）求的值；

（2）求的值．

19．已知，，函数，

（1）若当时，函数的值域为，求实数a，b的值；

（2）在（1）条件下，求函数图像的对称中心和在上的单调递减区间．

20．如图，在海岸线EF一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段FGBC，该曲线段是函数，的图像，图像的最高点为．边界的中间部分为长1千米的直线段CD，且．游乐场的后一部分边界是以O为圆心的一段圆弧．

（1）求曲线段FGBC的函数表达式和半径OD的长度；

（2）如图，在扇形ODE区域内建一个平行四边形休闲区OMPQ，平行四边形的一边在海岸线EF上，一边在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧上，且，求平行四边形休闲区OMPQ面积的最大值及此时的值．

21．在△ABC中，已知，，，，Q为线段CA延长线上的一点，且．

（1）当且，设PQ与AB交于点M，求线段CM的长；

（2）若，求t的最大值．

22．已知向量，，令．

（1）求函数的对称轴方程；

（2）设，当时，求函数的最小值；

（3）在（2）的条件下，若对任意的实数a，b且，不等式对任意的恒成立，求实数t的取值范围．

树德中学高2022级高一下学期4月阶段性测试数学试题参考答案

1．B  2．C  3．B  4．C  5．A  6．C  7．D  8．A

9．BD  10．CD  11．ABD  12．AC

13．2  14．  15．0  16．

17．答案（1）  （2）

18．解：，，，

（1）；

（2），

19．（1）（a，b，）

∵，∴，

∴，又∵，

∴，因此，

∴，解得：．

（2）由（1）知，令，

整理得，

∴的图像的对称中心为，

令，整理得：，

∴的单调减区间为，

所以在单调递减区间为，

20．【答案】解：（1）由已知条件，得，又∵，，∴，

又∵当时，有，且，∴，

∴曲线段FGBC的解析式为，．，，

∴

（2）如图，，，

∴，

作轴于点，在中，，

在中，

，，

，；

当时，即时，

平行四边形面积有最大值为（平方千米）．

21．【详解】（1）设，，当，P是BC的中点时，则M是△CBQ的重心，

，

．

（2）设，则，

，

由，得：．

∴，因为，，

所以，，

令，则单调递减，有最大值－3．

22．（1）因为向量，，

所以，

由，，得，，

所以函数对称轴方程为，

（2）由（1）得．

因为

所以

令，因为，

所以，则，对称轴为，

当，即，可得在上单调递增，

所以，

当，即时，，

当，即时，在上单调递减，

所以

所以

（3）当时，由（2）可得，

所以

而，当且仅当时取等号，

，

当且仅当，时，取等号，

所以

所以，

即实数t的取值范围