2022-2023学年四川省成都市树德中学高一下学期5月月考数学试题含解析

2022-2023学年四川省成都市树德中学高一下学期5月月考数学试题

一、单选题

1．已知第二象限角的终边与单位圆交于，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由三角函数的定义可求出，进而可求出，.

【详解】因为角的终边与单位圆交于，所以，

又角是第二象限角，所以，

所以，

所以，

故选：B.

2．已知复数（i是虚数单位）的共轭复数是，则的虚部是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先根据复数除法运算化简z，进而可得，相减即可得出答案.

【详解】因为

所以

所以

所以的虚部为

故选：B

3．已知向量，满足，，，则在上的投影向量为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先求出向量，夹角的余弦值，然后利用求解投影向量的方法求解即可.

【详解】设向量，的夹角为，

因为，

所以，

所以，

所以在上的投影向量为：.

故选：C.

4．下图是利用斜二测画法画出的的直观图，已知轴，，且的面积为16，过作，垂足为点，则的长为（    ）

A． B． C． D．1

【答案】A

【分析】利用面积公式求出原的高，进而求出，然后在直角三角形中求解即可

【详解】由题可知，在中，，

因为的面积为16，，

所以，，，

因为， 轴于点，

所以，

故选：A.

5．瑞士数学家欧拉发现的欧拉公式：，其中为虚数单位，是自然对数的底数．公式非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来，被兴为“数学中的天桥”．下列说法正确的是（    ）

A． B．

C．的模长为 D．

【答案】C

【分析】根据欧拉公式，结合复数的四则运算及模长公式逐一判断各选项.

【详解】对于A，由 ，得不一定为0，故A错误；

对于B，，

故B错误；

对于C，，所以的模长为，故C正确；

对于D，，故D错误.

故选：C.

6．如图所示，边长为2的正，以BC的中点O为圆心，BC为直径在点A的另一侧作半圆弧，点P在圆弧上运动，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据给定条件，可得，求出的夹角范围，再利用向量数量积的定义、运算律求解作答.

【详解】过点作交半圆弧于点，连接，如图，

而是正三角形，则，令夹角为，

当点P在弧上时，，当点P在弧上时，，于是，

显然，，

所以

.

故选：B

7．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的外接圆的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据二倍角公式将化简得到，利用余弦定理和正弦定理将化简可得，进而求出结果.

【详解】因为，所以，

所以，即，

又，所以，

所以，所以.

因为，

由余弦定理得，

即，

又，所以，所以，

由正弦定理得，所以.

设的外接圆的半径为，

所以，解得，

所以的外接圆的面积为.

故选：B.

8．已知函数图象与函数图象相邻的三个交点依次为A，B，C，且是钝角三角形，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】画出两函数图象，求出A的纵坐标为，利用钝角三角形得到不等关系，求出答案.

【详解】作出函数和的图象，如图所示．由图可知．取的中点D，连接，则．因为是钝角三角形，所以，则，即．由，得，，即，，则，即A的纵坐标为，故．因为，所以，所以．

故选：D

二、多选题

9．以钝角三角形的某条边所在的直线为轴，其他两边旋转一周所得到的几何体可以是（    ）

A．两个圆锥拼接而成的组合体

B．一个圆台

C．一个圆锥

D．一个大圆锥挖去一个同底的小圆锥

【答案】AD

【分析】考虑以钝角三角形的最长边还是较短边为轴旋转，判断得到的几何体形状，可确定A,D，排除B,C.

【详解】以钝角三角形的最长边所在的直线为轴，旋转一周所得到的几何体是两个同底圆锥拼接而成的组合体，所以A正确；

以钝角三角形的较短边所在的直线为轴，旋转一周所得到的几何体都是一个大圆锥挖去一个同底的小圆锥，所以D正确；同时排除B,C；

故选：AD.

10．如图，正方形中，为中点，为线段上的动点，若，则的值可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ACD

【分析】设，其中，利用平面向量的线性运算可得出，求出的取值范围，即可得出合适的选项.

【详解】因为在线段上，设，其中，则，

所以，，

因为为的中点，则，所以，，

又因为且、不共线，则，

所以，，故ACD选项满足条件.

故选：ACD.

11．函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）

A．

B．若把图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到的函数在上是增函数

C．若把函数的图象向右平移个单位，则所得函数是奇函数

D．，若恒成立，则的最小值为

【答案】AD

【分析】根据函数图象求出函数解析式，再根据函数坐标得伸缩、平移与解析式之间得联系求出变换后的解析式即可判断出B、C，将定义域代入函数中解得值域即可判断出D.

【详解】，，由图可知，

将点代入解析式得，

所以，A正确；

图象上各点的横坐标缩短为原来的得，所得函数增区间为，B错误；

的图象向右平移个单位得，C错误；

，分离参数可得，

时，，，所以的最小值为，D正确.

故选：AD

12．已知三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则下列选项正确的是（    ）

A．的取值范围是

B．若是边上的一点，且，，则的面积的最大值为

C．若三角形是锐角三角形，则的取值范围是

D．若三角形是锐角三角形，平分交于点，且，则的最小值为

【答案】BC

【分析】利用正弦定理及余弦定理求出角B，利用三角恒等变换公式化简求出值域判断A，利用向量线性运算及数量积的运算律解得，使用基本不等式即可求出面积最大值判断B，利用正弦定理及三角恒等变换得，求出函数值域即可判断C，由三角形面积公式寻找，关系，再利用基本不等式判断D.

【详解】因为，

所以，所以，

所以，即，又，所以，

，

因为，所以，所以，

所以，故A错误；

因为，所以，

所以，又，

所以，

即，当且仅当即时，等号成立，

所以，即的面积的最大值为，故B正确；

，

因为，所以，所以，

所以，所以，故C正确；

由题意得：，由角平分线以及面积公式得，

化简得，所以，所以，

当且仅当，即时取等号，

此时，

而，所以，与三角形是锐角三角形矛盾，所以等号不成立,故D错误；

故选：BC

三、填空题

13．已知向量，若，则__________．

【答案】

【分析】化简，然后由数量积的坐标表示可解.

【详解】因为

所以，

又，

所以，即

故答案为：

14．已知是关于的方程的一个根，则实数_____________.

【答案】；

【分析】是关于的方程的一个根，则也是关于的方程的一个根，再利用根与系数的关系即可得出．

【详解】解：是关于的方程的一个根，

也是关于的方程的一个根，

，，

解得，．

．

故答案为：34．

【点睛】本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对原理、根与系数的关系、复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，则_____________.

【答案】

【分析】由正弦定理和两角和的正弦公式化简即可得出答案.

【详解】由正弦定理可得：，

因为，所以，所以，

，

，所以，

则.

故答案为：.

16．直线过的重心（三条中线的交点），与边、交于点，且，，直线将分成两部分，分别为和四边形，其对应的面积依次记为和，则的最大值为__________．

【答案】/

【分析】作辅助线构建相似三角形，结合重心的性质，梯形中位线推出满足的关系，然后利用基本不等式求解.

【详解】

由，可知，，连接并延长交于，过作//，过作//，分别交的延长线于如图所示.

根据重心的性质可知，，不妨设.

由//，容易得到和三角形相似，于是；

由//，容易得到和三角形相似，于是.

由是梯形的中位线可得.

根据三角形的面积公式：.

根据基本不等式，即，当时取得等号.

故，即，最大值为.

故答案为：

四、解答题

17．在（1）；（2）．两个条件中任选一个作为已知条件，补充在下面的横线处，并解答问题．

已知，均为锐角，，且满足__________．

(1)求的值；

(2)求的值．

（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）选①或②，根据正弦二倍角公式，求得，得出，再根据两角差的正切求得结果；

（2）根据两角差的正弦公式求得结果.

【详解】（1）若选①：因为，所以，

因为，所以，所以，则，

所以．

若选②：因为，所以

因为，所以．则，

所以.

（2）因为，且，为锐角，故，

所以．

18．已知平面向量满足，．

(1)若不共线，且与共线，求的值；

(2)若的最小值为，求向量的夹角大小．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）由共线向量定理即可求解；

（2）由向量的模、夹角、数量积之间的关系即可求解.

【详解】（1）因为不共线，且与共线，

所以存在实数，使得，即，

因此，解得．

（2）设夹角为，由得

，

故当时，有最小值，

由題意，解得，

又，所以或

19．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．

(1)求角的大小；

(2)若，与的平分线交于点，求周长的最大值．

【答案】(1)

(2)．

【分析】（1）用正弦定理结合三角函数诱导公式求得结果；

（2）设，则，由正弦定理得, 将的周长表示成关于的三角函数，化简求其最大值.

【详解】（1）由正弦定理得：，

因为，所以，

所以，即，

所以，故．

（2）  

由（1）知，，有，

而与的平分线交于点，即有，于是，

设，则，且，

在中，由正弦定理得，，

所以，

所以的周长为

，由，得，

则当，即时，的周长取得最大值，

所以周长的最大值为．

20．目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广表平原，处处都能见到5G基站的身影.如图，某同学在一条水平公路上观测对面山项上的一座5G基站AB，已知基站高AB=50m，该同学眼高1.5m（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置C处（眼睛所在位置）测得基站底部B的仰为37°，测得基站顶端A的仰角为45°.

(1)求出山高BE（结果保留整数）；

(2)如图（第二幅），当该同学面向基站AB前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置C处（眼睛所在位置）到基站AB所在直线的距离CD=xm，且记在C处观测基站底部B的仰角为，观测基站顶端A的仰角为β.试问当x多大时，观测基站的视角∠ACB最大？

参考数据:.

【答案】(1)

(2)，∠ACB最大

【分析】（1）在中，利用正弦定理求出，再在中，求出即可；

（2）易得，分别在在和在中，求出，再根据两角和的正切公式结合基本不等式求出取得最大值时，的值，再根据正切函数的单调性即可得解.

【详解】（1）由题意可知，，

在中，，

所以，

在中，，

所以出山高；

（2）由题意知，且，

则，

在中，，

在中，，

则

，

当且仅当，即时，取等号，

所以取得最大值时，，

又因为，所以此时最大，

所以当时，最大.

21．已知函数的相邻两对称轴间的距离为，．

(1)求的解析式和单调递增区间；

(2)将函数的图像向右平移个単位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图像，若方程在上的根从小到大依次为，，若，试求与的值．

【答案】(1)，单调递增区间为

(2)为5，m为．

【分析】（1）根据题意，先由降幂公式与辅助角公式化简，然后再由函数周期即可求得，从而得到其解析式，再由正弦型函数的单调区间即可得到结果；

（2）根据题意，先由函数的图像变换得到函数的解析式，然后结合图像求得方程的根，分别得到.

【详解】（1）函数

因为函数图像的相邻两对称轴间的距离为，所以，可得，

所以，其单调递增区间为．

（2）  

将函数的图像向右平移个单位长度，可得的图像，再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图像，

由方程，即，即，

因为，可得，

设，其中，即，

结合正弦函数的图像，可得方程在区间有5个解，即，

其中，，，，

即，解得；

，解得，

即，解得；

，解得.

所以．

所以为5，m为．

【点睛】本题综合性较强，考查了三角函数的图像变换以及性质，还有三角恒等变换；第二问的关键在于先得到函数的解析式，然后再解方程即可.

22．如图，A，B是单位圆上的相异两定点（为圆心），，点为单位圆上的动点，线段交线段于点（点异于点），记的面积为S．

(1)记，求的取值范围；

(2)若，

（i）求的取值范围；

（ii）设，记，求的最小值．

【答案】(1)

(2)（i）；（ii）

【分析】（1）根据题意，建立平面直角坐标系，转化为平面向量的坐标运算，再结合正弦型函数的值域，即可得到结果；

（2）（i）由平面向量的坐标运算，结合三角函数的值域即可得到结果；

（ii）根据题意，设，结合平面向量的线性运算，再由基本不等式即可得到结果.

【详解】（1）  

建立如图所示直角坐标系，则，

因为，，

所以

（2）（i）设

则

因为，所以，故

（ii）设，则

故

因为，

则，

所以，

即，解得

故，

当且仅当，即时，．