专题01 匀变速直线运动的规律及应用（解析版）

专题01 匀变速直线运动的规律及应用 目录 TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc7846" 题型一 匀变速直线运动基本规律的应用  PAGEREF _Toc7846 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc9717" 类型1　基本公式和速度位移关系式的应用  PAGEREF _Toc9717 \h 2  HYPERLINK \l "_Toc14822" 类型2 逆向思维法解决匀变速直线运动问题  PAGEREF _Toc14822 \h 3  HYPERLINK \l "_Toc24810" 题型二 匀变速直线运动的推论及应用  PAGEREF _Toc24810 \h 5  HYPERLINK \l "_Toc25093" 类型1 平均速度公式  PAGEREF _Toc25093 \h 6  HYPERLINK \l "_Toc24621" 类型2 位移差公式  PAGEREF _Toc24621 \h 8  HYPERLINK \l "_Toc30079" 类型3 初速度为零的匀变速直线运动比例式  PAGEREF _Toc30079 \h 9  HYPERLINK \l "_Toc2457" 类型4 第n秒内位移问题  PAGEREF _Toc2457 \h 10  HYPERLINK \l "_Toc1735" 题型三 自由落体运动和竖直上抛运动  PAGEREF _Toc1735 \h 11  HYPERLINK \l "_Toc445" 类型1 自由落体运动基本规律的应用  PAGEREF _Toc445 \h 12  HYPERLINK \l "_Toc7309" 类型2 自由落体运动中的“两物体先后下落”问题  PAGEREF _Toc7309 \h 14  HYPERLINK \l "_Toc16244" 类型3 竖直上抛运动的基本规律  PAGEREF _Toc16244 \h 14  HYPERLINK \l "_Toc31081" 类型4 自由落体运动和竖直上抛运动的相遇问题  PAGEREF _Toc31081 \h 17  HYPERLINK \l "_Toc11644" 题型四 多过程问题  PAGEREF _Toc11644 \h 19  题型一 匀变速直线运动基本规律的应用 【解题指导】1．v＝v0＋at、x＝v0t＋eq \f(1,2)at2、v2－v02＝2ax原则上可解任何匀变速直线运动的问题，公式中v0、v、a、x都是矢量，应用时要规定正方向. 对于末速度为零的匀减速直线运动，常用逆向思维法. 3.对于汽车刹车做匀减速直线运动问题，要注意汽车速度减为零后保持静止，而不发生后退(即做反向的匀加速直线运动)，一般需判断减速到零的时间． 【必备知识与关键能力】 1.基本规律 eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(（1）速度—时间关系：v＝v0＋at,（2）位移—时间关系：x＝v0t＋\f(1,2)at2,（3）速度—位移关系：v2－veq \o\al(2,0)＝2ax))eq \o(――――→,\s\up11(初速度为零),\s\do4(v0＝0))eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(v＝at,x＝\f(1,2)at2,v2＝2ax)) 2．对于运动学公式的选用可参考下表所列方法 类型1　基本公式和速度位移关系式的应用 【例1】在研究某公交车的刹车性能时，让公交车沿直线运行到最大速度后开始刹车，公交车开始刹车后位移与时间的关系满足x＝16t－t2(物理量均采用国际制单位)，下列说法正确的是(　　) A．公交车运行的最大速度为4 m/s B．公交车刹车的加速度大小为1 m/s2 C．公交车从刹车开始10 s内的位移为60 m D．公交车刹车后第1 s内的平均速度为15 m/s 【答案】　D 【解析】　根据x＝v0t－eq \f(1,2)at2与x＝16t－t2的对比，可知刹车过程为匀减速直线运动，运行的最大速度就是刹车时车的速度，为16 m/s，刹车的加速度大小为2 m/s2，故A、B错误；已知刹车时车的速度，以及加速度，由t＝eq \f(v,a)＝8 s可知，刹车停止需要8 s时间，从刹车开始10 s内的位移，其实就是8 s内的位移，t＝8 s时有x＝64 m，故C错误；t′＝1 s时，有x′＝15 m，由平均速度公式可得eq \x\to(v)＝eq \f(x′,t′)＝15 m/s，故D正确． 【例2】(2022·辽宁丹东市一模)我市境内的高速公路最高限速为100 km/h，某兴趣小组经过查阅得到以下资料， 资料一：驾驶员的反应时间为0.3～0.6 s； 资料二：各种路面与轮胎之间的动摩擦因数(如下表) 兴趣小组根据以上资料，通过计算判断汽车在高速公路上行驶的安全距离最接近(　　) A.200 m B.150 m C.100 m D.50 m 【答案】　B 【解析】　汽车的最高速度为v＝100 km/h＝eq \f(250,9) m/s，在反应时间内，汽车仍做匀速直线运动，通过的最大距离为x1＝vt＝eq \f(250,9)×0.6 m＝eq \f(50,3) m，在汽车刹车的过程，根据匀减速直线运动规律有0－v2＝－2μgx2，得x2＝eq \f(v2,2μg)≈120.6 m，则总位移大小为x＝x1＋x2≈137 m，接近150 m，故选项B正确。 【例3】(2022·江西省六校联合考试)高速公路ETC电子收费系统如图所示，ETC通道的长度是识别区起点到自动栏杆的水平距离，某汽车以25.2 km/h的速度匀速进入识别区，ETC天线用了0.3 s的时间识别车载电子标签，识别完成后发出“滴”的一声，司机发现自动栏杆没有抬起，于是采取制动刹车，汽车刚好没有撞杆，已知司机的反应时间为0.5 s，刹车的加速度大小为5 m/s2，则该ETC通道的长度约为(　　) A.8.4 m B.7.8 m C.9.6 m D.10.5 m 【答案】　D 【解析】　由于v0＝25.2 km/h＝7 m/s，识别区内做匀速运动，有x1＝v0t1＝7×0.3 m＝2.1 m，司机的反应时间内，汽车的位移为x2＝v0t2＝7×0.5 m＝3.5 m，刹车的位移为x3＝eq \f(veq \o\al(2,0),2a)＝eq \f(72,2×5) m＝4.9 m，ETC通道的长度x＝x1＋x2＋x3＝10.5 m，所以D正确，A、B、C错误。 类型2 逆向思维法解决匀变速直线运动问题 1.方法简介 很多物理过程具有可逆性(如运动的可逆性)，在沿着正向过程或思维(由前到后或由因到果)分析受阻时，有时“反其道而行之”，沿着逆向过程或思维(由后到前或由果到因)来思考，可以化难为易、出奇制胜。解决物理问题常用的逆向思维有过程逆向、时间反演等。 2.实例特点 刹车类问题或子弹打木块问题的特点都是匀减速至0后保持静止，在分析问题时，都看成反向的初速度为0的匀加速直线运动来处理。 【例1】(多选) (2022安徽皖北协作区4月联考) “奋斗者号”是我国自主研制的目前世界上下潜能力最强的潜水器之一。假设某次海试活动中，“奋斗者号”从距海面深H处以某一初速度竖直上浮，并从此时刻开始计时，做匀减速直线运动，经过时间t上浮到海面，速度恰好减为零，则下列说法正确的是(　　) A.上浮时的初速度为eq \f(H,2t) B.上浮时的初速度为eq \f(2H,t) C.在t0(t0＜t)时刻距离海平面的深度为eq \f(H（t－t0）2,t2) D.在t0(t0＜t)时刻距离海平面的深度为eq \f(H（t－t0）2,teq \o\al(2,0)) 【答案】　BC 【解析】　由H＝eq \f(v0,2)t可知，上浮时的初速度为v0＝eq \f(2H,t)，选项A错误，B正确；上浮的加速度为a＝eq \f(0－v0,t)＝－eq \f(2H,t2)，则在t0(t0＜t)时刻距离海平面的深度为h＝H－(v0t0＋eq \f(1,2)ateq \o\al(2,0))＝H－(eq \f(2H,t)t0－eq \f(1,2)×eq \f(2H,t2)teq \o\al(2,0))＝eq \f(H（t－t0）2,t2)，选项C正确，D错误。 【例2】(2022·河北部分学校3月联考)在野外自驾游容易碰见野生动物突然从路边窜出的情况。如图2所示，汽车以大小为6 m/s的速度匀速行驶，突然一头小象冲上公路，由于受到惊吓，小象停在汽车前方距离车头10 m处。司机立即刹车﹐加速度大小为2 m/s2。从刚刹车到汽车刚停止的过程，下列说法正确的是(　　) A.所用的时间为6 s B.汽车通过的距离为18 m C.汽车最后1 s的位移为1 m D.汽车与小象发生碰撞 【答案】　C 【解析】　汽车减速至0的时间t＝eq \f(v0,a)＝3 s，汽车运动的总位移大小x＝v0t－eq \f(1,2)at2＝9 m<10 m，A、B、D错误；将汽车的运动视为反向的从静止开始的匀加速直线运动，可得汽车最后1 s的位移x1＝eq \f(1,2)ateq \o\al(2,1)＝1 m，C正确。 【例3】(2022·湖南怀化市一模)水平路面上匀速行驶的汽车，因紧急情况而刹车，刹车过程中汽车做匀减速直线运动，v－t图像如图所示。已知汽车开始刹车后，第2 s内的位移为4 m，2 s后的位移为0.5 m。汽车刹车过程的加速度大小为(　　) A.4 m/s2 B.3.5 m/s2 C.3 m/s2 D.2.5 m/s2 【答案】　A 【解析】　设经过时间t后汽车停止运动，逆向思维有eq \f(1,2)a(t－2)2＝0.5 m，eq \f(1,2)a(t－1)2＝4.5 m，解得a＝4 m/s2，故A正确。 题型二 匀变速直线运动的推论及应用 【解题指导】 凡问题中涉及位移及发生这段位移所用时间或一段运动过程的初、末速度时，要尝试运用平均速度公式. 若问题中涉及两段相等时间内的位移，或相等Δv的运动时可尝试运用Δx＝aT2. 若从静止开始的匀加速直线运动，涉及相等时间或相等位移时，则尝试应用初速度为零的比例式． 【必备知识与关键能力】 1．三个推论 (1)连续相等的相邻时间间隔T内的位移差相等， 即x2－x1＝x3－x2＝…＝xn－xn－1＝aT2. (2)做匀变速直线运动的物体在一段时间内的平均速度等于这段时间初、末时刻速度矢量和的一半，还等于中间时刻的瞬时速度． 平均速度公式：eq \x\to(v)＝eq \f(v0＋v,2)＝. (3)位移中点速度＝eq \r(\f(v02＋v2,2)). 2．初速度为零的匀加速直线运动的四个重要推论 (1)T末、2T末、3T末、…、nT末的瞬时速度之比为v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n. (2)前T内、前2T内、前3T内、…、前nT内的位移之比为x1∶x2∶x3∶…∶xn＝12∶22∶32∶…∶n2. (3)第1个T内、第2个T内、第3个T内、…、第n个T内的位移之比为xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶…∶xN＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)． (4)从静止开始通过连续相等的位移所用时间之比为t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶(eq \r(2)－1)∶(eq \r(3)－eq \r(2))∶(2－eq \r(3))∶…∶(eq \r(n)－eq \r(n－1))． 3.思维方法 类型1 平均速度公式 (1)平均速度法：若知道匀变速直线运动多个过程的运动时间及对应时间内的位移，常用此法。 (2)逆向思维法：匀减速到0的运动常用此法。　　 (3).两段时间内平均速度的平均速度 v1 v2 t1 t2 v=? 第一段时间内的平均速度为，第一段时间内的平均速度为，则全程的平均速度 (4).两段位移内平均速度的平均速度 v1 v2 x1 x2 v=? 第一段位移内的平均速度为，第一段位移内的平均速度为，则全程的平均速度 (5).两种特殊情况 【例1】(多选)高铁进站的过程近似为高铁做匀减速直线运动，高铁车头依次经过A、B、C三个位置，已知AB＝BC，测得AB段的平均速度为30 m/s，BC段平均速度为20 m/s.根据这些信息可求得(　　) A．高铁车头经过A、B、C的速度 B．高铁车头在AB段和BC段运动的时间 C．高铁运动的加速度 D．高铁车头经过AB段和BC段的时间之比 【答案】　AD 【解析】　设高铁车头在经过A、B、C三点时的速度分别为vA、vB、vC，根据AB段的平均速度为30 m/s，可以得到eq \x\to(v)AB＝eq \f(vA＋vB,2)＝30 m/s；根据在BC段的平均速度为20 m/s，可以得到eq \x\to(v)BC＝eq \f(vB＋vC,2)＝20 m/s；设AB＝BC＝x，整个过程中的平均速度为eq \x\to(v)＝eq \f(2x,tAB＋tBC)＝eq \f(2x,\f(x,30 m/s)＋\f(x,20 m/s))＝24 m/s，所以有eq \x\to(v)AC＝eq \f(vA＋vC,2)＝24 m/s，联立解得vA＝34 m/s，vB＝26 m/s，vC＝14 m/s，由于不知道AB和BC的具体值，则不能求解运动时间及其加速度的大小，选项A正确，B、C错误；tAB∶tBC＝eq \f(x,\x\to(v)AB)∶eq \f(x,\x\to(v)BC)＝2∶3，选项D正确． 【例2】(2022·河北摸底)物体从A点开始做匀变速直线运动，由A到B用时6 s，由B到C用时2 s，AB＝BC＝12 m，则物体的加速度大小为(　　) A.1 m/s2 B.2 m/s2 C.3 m/s2 D.4 m/s2 【答案】　A 【解析】　AB段平均速度为eq \o(v,\s\up6(－))AB＝eq \f(xAB,tAB)＝eq \f(12,6) m/s＝2 m/s，BC段平均速度为eq \o(v,\s\up6(－))BC＝eq \f(xBC,tBC)＝eq \f(12,2) m/s＝6 m/s，根据eq \o(v,\s\up6(－))＝veq \f(t,2)知，AB段中间时刻的速度v1＝eq \o(v,\s\up6(－))AB＝2 m/s，BC段中间时刻的速度v2＝eq \o(v,\s\up6(－))BC＝6 m/s，两中间时刻的时间间隔为Δt＝3 s＋1 s＝4 s，加速度大小为a＝eq \f(v2－v1,Δt)＝eq \f(6－2,4) m/s2＝1 m/s2，故A正确，B、C、D错误。 【例3】 (2022·江西重点中学协作体联考)一汽车在水平路面上开始刹车到停止的过程可看成是匀减速直线运动，已知刹车开始第1 s内与最后1 s内的位移之比为K，刹车距离为x，则整个过程的平均速度的数值为(　　) A.eq \f(4x,K) B.eq \f(4x,K＋1) C.eq \f(2x,K) D.eq \f(2x,K＋1) 【答案】　D 【解析】　逆向思维法。设整个过程时间为t，加速度大小为a，则第1 s内位移x1＝eq \f(1,2)at2－eq \f(1,2)a(t－1)2，最后1 s内位移x2＝eq \f(1,2)ateq \o\al(2,1)，则eq \f(x1,x2)＝K，解得t＝eq \f(K＋1,2)，整个过程平均速度为eq \o(v,\s\up6(－))＝eq \f(x,t)＝eq \f(2x,K＋1)，故D正确。 【例4】(2022·浙江长兴余杭缙云三校高三联考)一物体做加速直线运动，依次经过A、B、C三点，B为AC的中点。若在AB段的加速度恒为a1，在BC段的加速度恒为a2。已知vB＝eq \f(vA＋vC,2)，则下列说法中正确的是(　　) A.a1＝a2 B.a1a2 D.无法比较a1、a2大小 【答案】　B 【解析】　设物体在AB段和BC段位移均为x，由速度与位移关系式可得2a1x＝veq \o\al(2,B)－veq \o\al(2,A)，2a2x＝veq \o\al(2,C)－veq \o\al(2,B)，又因为vB＝eq \f(vA＋vC,2)，联立可得a1－a2＝－eq \f(1,4x)(vA－vC)2，因为物体做加速运动，位移x为正，所以有a1－a2＝－eq \f(1,4x)(vA－vC)2<0，即a1 ②若在a球下降时两球相遇，则有v0/g v0≥eq \r(\f(gh,2))。 题型四 多过程问题 【解题指导】1．多过程问题一般情景复杂、条件多，可画运动草图或作v－t图像形象地描述运动过程，这有助于分析问题，也往往能从中发现解决问题的简单方法. 2.多过程运动中各阶段运动之间的“连接点”的速度是两段运动共有的一个物理量，用它来列方程能减小复杂程度． 【必备知识与关键能力】 1．一般的解题步骤 (1)准确选取研究对象，根据题意画出物体在各阶段运动的示意图，直观呈现物体运动的全过程． (2)明确物体在各阶段的运动性质，找出题目给定的已知量、待求未知量，设出中间量． (3)合理选择运动学公式，列出物体在各阶段的运动方程及物体各阶段间的关联方程． 2．解题关键 多运动过程的连接点的速度是联系两个运动过程的纽带，因此，对连接点速度的求解往往是解题的关键． 【例1】在一次低空跳伞演练中，当直升机悬停在离地面224 m高处时，伞兵离开飞机做自由落体运动．运动一段时间后，打开降落伞，展伞后伞兵以12.5 m/s2的加速度匀减速下降．为了伞兵的安全，要求伞兵落地速度最大不得超过5 m/s.(g取10 m/s2)求： (1)伞兵展伞时，离地面的高度至少为多少； (2)以5 m/s着地时相当于从多高处自由落下； (3)伞兵在空中的最短时间为多少． 【答案】　(1)99 m　(2)1.25 m　(3)8.6 s 【解析】　(1)设伞兵展伞时，离地面的高度至少为h，此时速度为v0， 则有v2－v02＝－2ah v02＝2g(H－h) 联立解得h＝99 m，v0＝50 m/s (2)以5 m/s的速度落地相当于从h1高处自由落下 h1＝eq \f(v2,2g)＝1.25 m (3)落地时速度刚好为5 m/s时在空中的时间最短． 设加速时间为t1，减速时间为t2， t1＝eq \f(v0,g)＝5 s t2＝eq \f(v0－v,a)＝3.6 s 总时间为t＝t1＋t2＝8.6 s. 【例2】(2022·黑龙江牡丹江一中月考)一物体(可视为质点)以4 m/s的速度滑上光滑固定斜面，做加速度大小为2 m/s2的匀减速直线运动，经过一段时间后上滑到最高点C点速度恰好减为零，途经A、B两点，然后又以相同大小的加速度下滑到斜面底端D点，已知BC＝25 cm，求： (1)物体第一次经过B点的速度； (2)物体由底端D点滑到B点所需要的时间． 【答案】　(1)1 m/s，方向沿斜面向上　(2)第一次滑到B点用时1.5 s，第二次滑到B点用时2.5 s 【解析】　(1)从B到C是匀减速直线运动，末速度为零，逆向思维，从C到B是初速度为零的匀加速直线运动，以沿斜面向下为正方向， 加速度a1＝2 m/s2，位移大小为xBC＝25 cm＝0.25 m 根据位移—时间关系式，有xBC＝eq \f(1,2)a1t12 解得t1＝0.5 s 再根据速度－时间关系式，有v1＝a1t1 解得v1＝1 m/s 故第一次经过B点时速度大小为1 m/s，方向沿斜面向上 (2)以沿斜面向上为正方向，对从D到B过程，由v1＝v0＋at 可得从D上滑第一次到达B点所用时间为：t＝eq \f(v1－v0,a)＝eq \f(1－4,－2) s＝1.5 s 由对称性可知：tBC＝tCB＝t1＝0.5 s 则t′＝t＋2tBC＝1.5 s＋0.5×2 s＝2.5 s. 【例1】(2022·辽宁省模拟)航天飞机在平直的跑道上降落，其减速过程可以简化为两个匀减速直线运动．航天飞机以水平速度v0＝100 m/s着陆后，立即打开减速阻力伞，以大小为a1＝4 m/s2的加速度做匀减速直线运动，一段时间后阻力伞脱离，航天飞机以大小为a2＝2.5 m/s2的加速度做匀减速直线运动直至停下．已知两个匀减速直线运动滑行的总位移x＝1 370 m．求： (1)第二个减速阶段航天飞机运动的初速度大小； (2)航天飞机降落后滑行的总时间． 【答案】　(1)40 m/s　(2)31 s 【解析】　(1)设第二个减速阶段航天飞机运动的初速度大小为v1，根据运动学公式有v02－v12＝2a1x1， v12＝2a2x2， x1＋x2＝x， 联立以上各式并代入数据解得v1＝40 m/s. (2)由速度与时间的关系可得 v0＝v1＋a1t1，v1＝a2t2，t＝t1＋t2， 联立以上各式并代入数据解得t＝31 s. 题目中所涉及的物理量(包括已知量、待求量和为解题设定的中间量)没有涉及的物理量　适宜选用的公式v0、v、a、tx【速度公式】v＝v0＋atv0、a、t、xv【位移公式】x＝v0t＋eq \f(1,2)at2v0、v、a、xt【速度位移关系式】v2－veq \o\al(2,0)＝2axv0、v、t、xa【平均速度公式】x＝eq \f(v＋v0,2)t路面干沥青路面干碎石路面湿沥青路面动摩擦因数0.70.6～0.70.32～0.4迁移角度适用情况解决办法比例法常用于初速度为零的匀加速直线运动且运动具有等时性或等距离由连续相邻相等时间(或长度)的比例关系求解推论法适用于“纸带”类问题由Δs＝aT2求加速度平均速度法常用于“等分”思想的运动，把运动按时间(或距离)等分之后求解根据中间时刻的速度为该段位移的平均速度来求解问题图象法常用于加速度变化的变速运动由图象的斜率、面积等条件判断分段法上升阶段：a＝g的匀减速直线运动 下降阶段：自由落体运动全程法初速度v0向上，加速度为－g的匀变速直线运动，v＝v0－gt，h＝v0t－eq \f(1,2)gt2(以竖直向上为正方向) 若v＞0，物体上升；若v＜0，物体下落 若h＞0，物体在抛出点上方；若h＜0，物体在抛出点下方