专题4 立体几何-高一数学下学期期末必考重点题型技法突破（人教A版必修第二册）

立体几何

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★★★★★★知识回顾★★★★★★

一、空间几何体的结构特征

1．多面体及其结构特征

(1)棱柱：①有两个平面(底面)互相平行；②其余各面都是平行四边形；③每相邻两个平行四边形的公共边互相平行．

(2)棱锥：①有一个面(底面)是多边形；

②其余各面(侧面)是有一个公共顶点的三角形．

(3)棱台：①上、下底面互相平行，且是相似图形；②各侧棱延长线相交于一点．

2．旋转体及其结构特征

(1)圆柱：①圆柱的轴垂直于底面；②圆柱的轴截面是矩形；③圆柱的所有母线相互平行且相等，且都与圆柱的轴平行；④圆柱的母线垂直于底面．

(2)圆锥：①圆锥的轴垂直于底面；②圆锥的轴截面为等腰三角形；③圆锥的顶点与底面圆周上任一点的连线都是圆锥的母线，圆锥的母线有无数条；④圆锥的底面是一个圆面．

(3)圆台：①圆台的上、下底面是两个半径不等的圆面；②圆台两底面圆所在平面互相平行且和轴垂直；③圆台有无数条母线；④圆台的母线延长线交于一点．

二、空间几何体的直观图

1．斜二测画法中“斜”和“二测”

“斜”是指在已知图形的xOy平面内与x轴垂直的线段，在直观图中均与x′轴成45°或135°；

“二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于x′轴或z′轴的线段长度不变；平行于y′轴的线段长度变为原来的一半．

2．斜二测画法中的建系原则

在已知图中建立直角坐标系，理论上在任何位置建立坐标系都行，但实际作图时，一般建立特殊的直角坐标系，尽量运用原有直线或图形的对称直线为坐标轴，图形的对称点为原点或利用原有互相垂直的直线为坐标轴等．

三、空间几何体的表面积和体积

1．多面体的表面积

各个面的面积之和，也就是展开图的面积．

2．旋转体的表面积

圆柱：S＝2πr2＋2πrl＝2πr(r＋l)．

圆锥：S＝πr2＋πrl＝πr(r＋l)．

圆台：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)．

球：S＝4πR2.

3．柱体、锥体、台体的体积公式

(1)柱体的体积公式：

V柱体＝Sh(S底面面积，h为高)．

(2)锥体的体积公式V锥体＝Sh(S底面面积，h为高)．

(3)台体的体积公式

V台体＝(S＋＋S′)h(S′，S分别为上、下底面面积，h为高)．

(4)球的体积公式V＝πR3.

四、空间点、线、面之间的位置关系

1．平面的基本性质

四个基本事实及其作用

基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．

作用：①可用来确定一个平面；②证明点线共面．

基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．

作用：可用来证明点、直线在平面内．

基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．

作用：①可用来确定两个平面的交线；②判断或证明多点共线；③判断或证明多线共点．

基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行．

作用：判断空间两条直线平行的依据．

2．空间中两直线的位置关系

空间中两直线的位置关系

3．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系

(1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况．

(2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．

五、直线、平面平行的判定与性质

1．直线与平面平行

(1)判定定理：平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行)．

(2)性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)．

2．平面与平面平行

(1)判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)．

(2)性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．

六、直线、平面垂直的判定及其性质

1．直线与平面垂直

(1)直线和平面垂直的定义：

直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．

(2)异面直线所成的角：

定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．

(3)判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．

(4)性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行．

2．平面与平面垂直

(1)平面和平面垂直的定义：

两个平面相交，若所成的二面角是直二面角，则这两个平面垂直．

(2)判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面互相垂直．

(3)性质定理：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面．

★★★★★★掌握题型★★★★★★

考点一 几何体的表面积与体积

【例1】如图所示(单位：cm)，求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积.

【解析】由题意知，所求几何体的表面积由三部分组成：

圆台下底面、侧面和一半球面，

S半球＝8π cm2，S圆台侧＝35π cm2，S圆台底＝25π cm2，

故所求几何体的表面积为68π cm2.

由V圆台＝×[π×22＋＋π×52]×4＝52π(cm3)，V半球＝π×23×＝π(cm3)，所以所求几何体的体积为V圆台－V半球＝52π－π＝π(cm3).

【方法总结】1.空间几何体的表面积求法

(1)多面体的表面积是各个面的面积之和，组合体表面积注意衔接部分的处理.

(2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.

2.空间几何体体积问题常见类型

(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解.

(2)若所给的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解.

【跟踪训练】如图所示，已知直三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长均为1，则三棱锥B1－ABC1的体积为(　　)

A.   B.

C.   D.

考点二 空间中的平行关系

【例2】如图所示，四边形ABCD是平行四边形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝2MA.在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC∥平面PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由.

【反思感悟】

1.判断线面平行的两种常用方法

面面平行判定的落脚点是线面平行，因此掌握线面平行的判定方法是必要的，判定线面平行的两种方法：

(1)利用线面平行的判定定理.

(2)利用面面平行的性质，即当两平面平行时，其中一平面内的任一直线平行于另一平面.

2.判断面面平行的常用方法

利用面面平行的判定定理.

【跟踪训练】如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，N是EC的中点，求证：平面DMN∥平面ABC.

考点三  空间中的垂直关系

【例3】如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：

(1)PA⊥底面ABCD；

(2)BE∥平面PAD；

(3)平面BEF⊥平面PCD.

【方法技巧】

1.判定线面垂直的方法

(1)线面垂直定义.

(2)线面垂直判定定理.

(3)平行线垂直平面的传递性质(a∥b，b⊥α⇒a⊥α).

(4)面面垂直性质(α⊥β，α∩β＝l，a⊂β，a⊥l⇒a⊥α).

2.判定面面垂直的方法

(1)面面垂直的定义.

(2)面面垂直的判定定理.

【跟踪训练】如图所示，已知AF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，∠DAB＝90°，AB∥CD，AD＝AF＝CD＝2，AB＝4.

(1)求证：AC⊥平面BCE；

(2)求证：AD⊥AE.

考点四  空间角的求法

【例4】如图，正方体的棱长为1，B′C∩BC′＝O，求：

(1)AO与A′C′所成角的大小；

(2)AO与平面ABCD所成角的正切值；

(3)平面AOB与平面AOC所成角的大小.

【方法技巧】(1)求异面直线所成的角常用平移转化法(转化为相交直线的夹角).

(2)求直线与平面所成的角常用射影转化法(即作垂线、找射影).

(3)二面角的平面角的作法常有三种：①定义法；②三垂线法；③垂面法.

【跟踪训练】如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，且CD＝2AB.

(1)若AB＝AD，直线PB与CD所成的角为45°，求二面角P－CD－B的大小；

(2)若E为线段PC上一点，试确定点E的位置，使得平面EBD⊥平面ABCD，并说明理由.

★★★★★★题组训练★★★★★★

一、单选题

1．下列说法正确的是（       ）

A．三点可以确定一个平面 B．一条直线和一个点可以确定一个平面

C．四边形一定是平面图形 D．两条相交直线可以确定一个平面

2．中和殿是故宫外朝三大殿之一，位于紫禁城太和殿与保和殿之间，中和殿建筑的亮点是屋顶为单檐四角攒（cuán）尖顶，体现天圆地方的理念，其屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥．已知此正四棱锥的侧棱长为，侧面与底面所成的锐二面角为，这个角接近30°，若取，则下列结论正确的是（       ）

A．正四棱锥的底面边长为48m

B．正四棱锥的高为4m

C．正四棱锥的体积为

D．正四棱锥的侧面积为

3．下列命题正确的是（       ）

A．棱柱的每个面都是平行四边形 B．一个棱柱至少有五个面

C．棱柱有且只有两个面互相平行 D．棱柱的侧面都是矩形

4．如图，在正方体中，E为的中点，则下列与直线CE垂直的是（　　）

A．直线AC B．直线 C．直线 D．直线

5．如图，已知梯形，．，沿着对角线折叠使得点B，点C的距离为，此时二面角的平面角为（       ）

A． B． C． D．

6．如图所示，正方体的棱长为，以其所有面的中心为顶点的多面体为正八面体，那么该正八面体的内切球表面积为（       ）

A． B． C． D．

7．某圆锥母线长为2，底面半径为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（　　）

A．2 B． C． D．1

8．在如图所示的棱长为20的正方体中，点为的中点，点在侧面上，且到的距离为6，到的距离为5，则过点且与垂直的正方体截面的形状是（       ）

A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形

二、多选题

9．已知直线l和不重合的两个平面，，且，下列命题正确的是（       ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

10．(多选)下列说法中正确的是（       ）

A．若直线l与平面α不平行，则l与α相交

B．直线l在平面外是指直线和平面平行

C．如果直线l经过平面α内一点P，又经过平面α外一点Q，那么直线l与平面α相交

D．如果直线a∥b，且a与平面α相交于点P，那么直线b必与平面α相交

11．如图一张矩形白纸ABCD，，，E，F分别为AD，BC的中点，现分别将，沿BE，DF折起，且A，C在平面BFDE的同侧，下列命题正确的是（       ）

A．当平面平面CDF时，

B．当平面平面CDF时，平面BFDE

C．当A，C重合于点P时，

D．当A，C重合于点P时，三棱锥外接球的表面积为150.

12．如图，正方体的棱长为3，线段上有两个动点，且，则当，移动时，下列结论正确的是（       ）

A．平面

B．四面体的体积不为定值

C．三棱锥的体积为定值

D．四面体的体积为定值

三、填空题

13．过直线外一点有_________条直线与该直线垂直．

14．一圆锥高为2，底面半径为1，则它的侧面积为___________.

15．如图，若平行四边形是用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图，已知，，平行四边形的面积为，则原平面图形中的长度为___________.

16．如图，过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，所得截面圆的面积与球的表面积之比为________．

四、解答题

17．如图所示，正方体的棱长为，过顶点、、截下一个三棱锥.

(1)求剩余部分的体积；

(2)求三棱锥的高.

18．如图，在正方体中，为的中点，.求证：

（1）平面；

（2）平面.

19．如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是底面的内接正三角形，为上一点，∠APC=90°．

（1）证明：平面PAB⊥平面PAC；

（2）设DO=，圆锥的侧面积为，求三棱锥P−ABC的体积.

20．如图，三棱柱的侧棱与底面垂直，，点是的中点.

(1)求证；

(2)求证：平面.

21．在如图所示的几何体中，四边形为直角梯形，，，.

（1）证明：平面平面.

（2）若，分别是，的中点，证明：平面.

22．如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.

（1）证明：；

（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角