专题6 概率-高一数学下学期期末必考重点题型技法突破（人教版201必修第二册）

概率

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★★★★★★知识回顾★★★★★★

1．随机试验的特点

(1)试验可以在相同条件下重复进行；

(2)试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；

(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果．

2．有限样本空间与随机事件

(1)有限样本空间：随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，用ω表示，全体样本点的集合称为试验E的样本空间，用Ω表示，称样本空间Ω＝{ω1，ω2，ω3，…，ωn}为有限样本空间．

(2)样本空间Ω的子集称为随机事件，称Ω为必然事件，称∅为不可能事件．

3．事件的关系与运算

4．古典概型计算公式

P(A)＝＝，其中n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．

5．概率的基本性质

性质1 对任意事件A，都有P(A)≥0；

性质2 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1；P(∅)＝0；

性质3 如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；

性质4 如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)；

性质5 如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)；

性质6 设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．

6．事件的相互独立性

对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立．

7．频率与概率

一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)．我们称频率的这个性质为频率的稳定性．因此，可以用频率fn(A)估计概率P(A)．

★★★★★★掌握题型★★★★★★

考点一 互斥事件、对立事件与相互独立事件

1.互斥事件是不可能同时发生的两个事件；对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者必须有一个发生.因此对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，对立事件是互斥事件的特殊情况.

2.掌握互斥事件和对立事件的概率公式及应用，提升逻辑推理和数学运算素养.

【例1】(1)袋内有3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用A表示“第一次摸到白球”，如果“第二次摸到白球”记为B，否则记为C，那么事件A与B，A与C间的关系是(　　)

A.A与B，A与C均相互独立

B.A与B相互独立，A与C互斥

C.A与B，A与C均互斥

D.A与B互斥，A与C相互独立

(2)从1,2,3，…，7这7个数中任取两个数，其中：

①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；

②至少有一个是奇数和两个都是奇数；

③至少有一个是奇数和两个都是偶数；

④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.

上述事件中，是对立事件的是(　　)

A.①  B.②④  C.③  D.①③

【方法技巧】事件间的关系的判断方法

(1)判断事件间的关系时，可把所有的试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果，从而断定所给事件间的关系.

(2)对立事件一定是互斥事件，也就是说不互斥的两事件一定不是对立事件，在确定了两个事件互斥的情况下，就要看这两个事件的和事件是不是必然事件，这是判断两个事件是否为对立事件的基本方法.判断互斥事件、对立事件时，注意事件的发生与否都是对于同一次试验而言的，不能在多次试验中判断.

(3)判断两事件是否相互独立，有两种方法：①直接法；②看P(AB)与P(A)·P(B)是否相等，若相等，则A，B相互独立，否则不相互独立.

【跟踪训练】

1.在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是，那么概率是的事件是(　　)

A.至多有一张移动卡   B.恰有一张移动卡

C.都不是移动卡   D.至少有一张移动卡

2.下列事件A，B是相互独立事件的是(　　)

A.一枚硬币掷两次，A表示“第一次为正面”，B表示“第二次为反面”

B.袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸球两次，每次摸一球，A表示“第一次摸到白球”，B表示“第二次摸到白球”

C.掷一枚骰子，A表示“掷出点数为奇数”，B表示“掷出点数为偶数”

D.有一个灯泡，A表示“灯泡能用1 000小时”，B表示“灯泡能用2 000小时”

考点二 古典概型

1.古典概型是一种最基本的概率模型，是学习其他概率模型的基础，解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性.在应用公式P(A)＝时，关键在于正确理解试验的发生过程，求出试验的样本空间的样本点总数n和事件A的样本点个数m.

2.掌握古典概型的概率公式及其应用，提升数学抽象、数据分析的数学素养.

【例2】袋中装有除颜色外其他均相同的6个球，其中4个白球、2个红球，从袋中任取两球，求下列事件的概率.

(1)A：取出的两球都是白球；

(2)B：取出的两球一个是白球，另一个是红球.

【方法技巧】

在古典概型中，计算概率的关键是准确找到样本点的数目，这就需要我们能够熟练运用图表和树状图，把样本点一一列出.而有许多试验，它们的可能结果非常多，以至于我们不可能将所有结果全部列出，这时我们不妨找找其规律，算出样本点的数目.

【跟踪训练】某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：(单位：人)

(1)从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；

(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5,3名女同学B1，B2，B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率.

考点三  相互独立事件概率的计算

1.相互独立事件的概率通常和互斥事件的概率综合在一起考查，这类问题具有一个明显的特征，那就是在题目的条件中已经出现一些概率值，解题时先要判断事件的性质(是互斥还是相互独立)，再选择相应的公式计算求解.

2.掌握相互独立事件的概率公式的应用，提升数学抽象和逻辑推理的数学素养.

例3　某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮，否则被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为，，，且各轮问题能否正确回答互不影响.

(1)求该选手进入第三轮才被淘汰的概率；

(2)求该选手至多进入第二轮考核的概率.

【方法技巧】解此类题的步骤如下

(1)标记事件.

(2)判断事件的独立性.

(3)分清所涉及的事件及事件状态(互斥还是对立).

(4)套用公式.

【跟踪训练】设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响，已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125.

(1)分别求甲、乙、丙每台机器在这一小时内需要照顾的概率；

(2)计算这一小时内至少有一台机器需要照顾的概率.

★★★★★★题组训练★★★★★★

一、单选题

1．抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件“出现的点数是1或2”，事件“出现的点数是2或3或4”，则事件“出现的点数是2”可以记为（       ）

A． B． C． D．

2．在25件同类产品中，有2件次品，从中任取3件产品，其中不可能事件为（       ）

A．3件都是正品 B．至少有1件次品

C．3件都是次品 D．至少有1件正品

3．若，为互斥事件，，，则（       ）

A．0.1 B．0.3

C．0.4 D．0.7

4．连掷两次骰子分别得到点数m，n，则向量与向量的夹角的概率是（       ）

A． B． C． D．

5．在某段时间内，甲地下雨的概率为0.3，乙地下雨的概率为0.4，假设在这段时间内两地是否下雨之间没有影响，则这段时间内，甲、乙两地都不下雨的概率为（       ）

A．0.12 B．0.88 C．0.28 D．0.42

6．根据天气预报，某一天A城市和B城市降雨的概率均为0.6，假定这一天两城市是否降雨相互之间没有影响，则该天这两个城市中，至少有一个城市降雨的概率为（       ）

A．0.16 B．0.48 C．0.52 D．0.84

7．有下列事件：①足球运动员点球命中；②在自然数集中任取一个数为偶数；③在标准大气压下，水在100 ℃时沸腾；④在洪水到来时，河流水位下降；⑤任意两个奇数之和必为偶数；⑥任意两个奇数之和为奇数.上述事件中为随机事件的有（       ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

8．如图，“红旗-9”在国内外都被认为属于第三代防空导弹系统，其杀伤空域大，抗干扰和抗多目标饱和攻击能力强，导引系统先进（有两级指挥管制体制），最高速度4.2马赫，最大射程为200公里，射高0.5至30公里，主要攻击高空敌机或导弹，是我国高空防空导弹的杰出代表.现假设在一次实战对抗演习中，单发红旗-9防空导弹对敌方高速飞行器的拦截成功率为0.8，则两发齐射（是否成功拦截互不干扰），敌方高速飞行器被拦截的概率为（       ）

A．0.96 B．0.88 C．1.6 D．0.64

二、多选题

9．甲罐中有3个红球、2个白球，乙罐中有4个红球、1个白球，先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐，分别以，表示由甲罐中取出的球是红球、白球的事件，再从乙罐中随机取出1个球，以B表示从乙罐中取出的球是红球的事件，下列命题正确的是（       ）

A． B．事件B与事件相互独立

C．事件B与事件相互独立 D．，互斥

10．不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次任意取出2张卡片，则与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的事件有（       ）

A．2张卡片不全为红色 B．2张卡片恰有一张红色

C．2张卡片至少有一张红色 D．2张卡片都为绿色

11．下列各对事件中，为相互独立事件的是（       ）

A．掷一枚骰子一次，事件M“出现偶数点”；事件N“出现3点或6点”

B．袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到白球”

C．袋中有3白､2黑共5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到黑球”

D．甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲､乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，事件M“从甲组中选出1名男生”，事件N“从乙组中选出1名女生”

12．先后抛掷两颗质地均匀的骰子，第一次和第二次出现的点数分别记为，则下列结论正确的是（       ）

A．时的概率为

B．时的概率为

C．时的概率为

D．是6的倍数的概率是

三、填空题

13．已知，，从，中各取一个元素分别作为点的横坐标和纵坐标，则该试验的样本空间为_________________．

14．如图，靶子由一个中心圆面I和两个同心圆环Ⅱ、Ⅲ构成，射手命中I、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为0.33、0.29、0.26，则脱靶的概率是______．

15．给出下列4个说法：

①现有一批产品，次品率为0.05，则从中选取200件，必有10件是次品；

②做100次抛掷一枚硬币的试验，结果有51次出现正面向上，因此，出现正面向上的概率是；

③抛掷一枚骰子100次，有18次出现1点，则出现1点的频率是；

④随机事件的概率一定等于这个事件发生的频率．

其中正确的说法是________．(填序号)

16．一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件1，2，3需要调整的概率分别为0.1，0.2，0.3，各部件的状态相互独立，则设备在一天的运转中，至少有1个部件需要调整的概率为________.

四、解答题

17．某快餐配送平台针对外卖员送餐准点情况制定了如下的考核方案：每一单自接单后在规定时间内送达､延迟5分钟内送达､延迟5至10分钟送达､其他延迟情况，分别评定为，，，四个等级，各等级依次奖励3元､奖励0元､罚款3元､罚款6元.假定评定为等级，，的概率分别是，，.

（1）若某外卖员接了一个订单，求其延迟送达且被罚款的概率；

（2）若某外卖员接了两个订单，且两个订单互不影响，求这两单获得的奖励之和为0元的概率.

18．某射击运动员在同一条件下进行练习，结果如下表:

（1）将表格填写完整；

（2）这名运动员射击一次，击中10环的概率约为多少?

19．从某地区的小学、中学、大学中分别抽取3所、2所、1所学校对学生进行视力调查．从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析．

(1)列出所有可能的抽取结果；

(2)求抽取的2所学校均为小学的概率．

20．某天上午，李明要参加“青年文明号”活动.为了准时起床，他用甲､乙两个闹钟叫醒自己.假设甲闹钟准时响的概率是0.80，乙闹钟准时响的概率是0.90，求两个闹钟至少有一个准时响的概率.

21．设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时打破的概率为.若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率为；若前两次落下未打破，第三次落下打破的概率为.试求透镜落下三次而未打破的概率.

22．某网上电子商城销售甲､乙两种品牌的固态硬盘，甲､乙两种品牌的固态硬盘保修期均为3年，现从该商城已售出的甲､乙两种品牌的固态硬盘中各随机抽取50个，统计这些固态硬盘首次出现故障发生在保修期内的数据如下：

假设甲､乙两种品牌的固态硬盘首次出现故障相互独立.

（1）从该商城销售的甲品牌固态硬盘中随机抽取一个，试估计首次出现故障发生在保修期内的概率；

（2）某人在该商城同时购买了甲､乙两种品牌的固态硬盘各一个，试估计恰有一个首次出现故障发生在保修期的第3年(即)的概率.