高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第二册第三章 排列、组合与二项式定理3.1 排列与组合3.1.3 组合与组合数图文ppt课件

www.ks5u.com3.1.3　组合与组合数

第1课时　组合与组合数

1．组合的概念

一般地，从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象并成一组，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个组合．

[拓展]　组合概念的两个要点

(1)取出的对象是不同的；

(2)“只取不排”，即取出的m个对象与顺序无关，无序性是组合的特征性质．

2．组合数的概念、公式

1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)两个组合相同的充要条件是组成组合的元素完全相同． (　　)

(2)从a1，a2，a3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合，所有组合的个数为C．               (　　)

(3)从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某两个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法是组合问题．               (　　)

(4)从甲、乙、丙3名同学中选出2名，有3种不同的选法． (　　)

[答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√

2．若C＝28，则n＝(　　)

A．9　　　 B．8　　　

C．7 D．6

B　[C＝＝28，即n＝8.]

3．(一题两空)C＝________，C＝________.

153　18　[C＝＝153，

C＝＝18.]

4．从3,5,7,11这四个数中任取两个相乘，可以得到不相等的积的个数为________．

6　[从四个数中任取两个数的取法为C＝6.]

【例1】　判断下列各事件是排列问题还是组合问题．

(1)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进行多少场次？

(2)10支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠、亚军获得者有多少种可能？

(3)从10个人里选3个代表去开会，有多少种选法？

(4)从10个人里选出3个不同学科的课代表，有多少种选法？

[思路点拨]　要确定是组合还是排列问题，只需确定取出的元素是否与顺序有关．

[解]　(1)是组合问题，因为每两个队比赛一次并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别．

(2)是排列问题，因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、乙队得冠军是不一样的，是有顺序的区别．

(3)是组合问题，因为3个代表之间没有顺序的区别．

(4)是排列问题，因为3个人中，担任哪一科的课代表是有顺序的区别．

1．根据排列与组合的定义进行判断，区分排列与组合问题，先确定完成的是什么事件，然后看问题是否与顺序有关，与顺序有关的是排列，与顺序无关的是组合．

2．区分有无顺序的方法

把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．

1．(教材P22练习AT2改编)从5个不同的元素a，b，c，d，e中取出2个，写出所有不同的组合．

[解]　要想写出所有组合，就要先将元素按照一定顺序排好，然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个标出来，如图所示：

由此可得所有的组合为

ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de.

【例2】　(1)式子可表示为(　　)

A．A　　　 B．C

C．101C D．101C

(2)求值：C＋C.

[思路点拨]　根据题目的特点，选择适当的组合数公式进行求值或证明．

(1)D　[分式的分母是100！，分子是101个连续自然数的乘积，最大的为n＋100，最小的为n，

故

＝101·

＝101C.]

(2)[解]　由组合数定义知：

所以4≤n≤5，又因为n∈N，

所以n＝4或5.

当n＝4时，C＋C＝C＋C＝5；

当n＝5时，C＋C＝C＋C＝16.

关于组合数计算公式的选取

1．涉及具体数字的可以直接用公式C＝

＝计算．

2．涉及字母的可以用阶乘式C＝计算．

2．(1)计算：C－C·A；

(2)求证：C＝C.

[解]　(1)C－C·A＝－7×6×5＝210－210＝0.

(2)右边＝C＝·＝＝C＝左边．即等式成立．

[探究问题]

解答简单组合问题的关键是什么？

[提示]　关键是把实际问题模型化，在此基础上选择组合数公式求解．

【例3】　现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．

(1)现要从中选2名去参加会议有多少种不同的选法？

(2)选出2名男教师或2名女教师参加会议，有多少种不同的选法？

(3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？

[解]　(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即C＝＝45(种)．

(2)可把问题分两类情况：

第1类，选出的2名是男教师有C种方法；

第2类，选出的2名是女教师有C种方法．

根据分类加法计数原理，共有C＋C＝15＋6＝21种不同选法．

(3)从6名男教师中选2名的选法有C种，从4名女教师中选2名的选法有C种，根据分步乘法计数原理，共有不同的选法C×C＝15×6＝90(种)．

解简单的组合应用题的策略

1．解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关．

2．要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用．

提醒：在分类和分步时，一定注意有无重复或遗漏．

排列与组合的相同点与不同点

1．下列四个问题属于组合问题的是(　　)

A．从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作

B．从0,1,2,3,4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数

C．从全班同学中选出3名同学出席运动会开幕式

D．从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员

C　[A、B、D项均为排列问题，只有C项是组合问题．]

2．若A＝12C，则n等于(　　)

A．8　　　　 B．5或6

C．3或4 D．4

A　[A＝n(n－1)(n－2)，C＝n(n－1)，

所以n(n－1)(n－2)＝12×n(n－1)．

由n∈N＋，且n≥3，解得n＝8.]

3．从9名学生中选出3名参加“希望英语”口语比赛，有______种不同的选法．

84　[由题意可知共有C＝＝84种．]

4．6个朋友聚会，每两人握手1次，一共握手________次．

15　[每两人握手1次，无顺序之分，是组合问题，故一共握手C＝15次．]

5．已知C－C＝C－C，求C的值．

[解]　由已知得2C＝C＋C，

所以2·＝＋，

整理得n2－21n＋98＝0，

解得n＝7或n＝14，

要求C的值，故n≥12，

所以n＝14，

于是C＝91.