高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.1.1 空间向量及其运算公开课ppt课件

课后素养落实(一)　空间向量及其运算

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．已知a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4．则a与b的夹角〈a，b〉＝(　　)

A．30°　 B．45°

C．60°   D．以上都不对

D　[∵a＋b＋c＝0，∴a＋b＝－c，(a＋b)2＝|a|2＋|b|2＋2ab＝|c|2，

∴a·b＝，∴cos〈a·b〉＝＝．]

2．已知正方体ABCD­A1B1C1D1中，AC1的中点为O，则下列结论中正确的是(　　)

A．＋与＋是一对相等向量

B．－与－是一对相反向量

C．－与－是一对相等向量

D．＋＋＋与＋＋＋是一对相反向量

D　[A中是一对相反向量；B中是一对相等向量；C中是一对相反向量；D中是一对相反向量，故D正确．]

3．设三棱锥O­ABC中，＝a，＝b，＝c，G是△ABC的重心，则等于(　　)

A．a＋b－c   B．a＋b＋c

C．(a＋b＋c) D．(a＋b＋c)

D　[如图所示，

＝＋＝＋(＋)

＝＋(－＋－)＝(a＋b＋c)．]

4．如图，空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，F，G分别是AD，DC的中点，则·＝(　　)

A． B．

C． D．

B　[由题意可得＝，∴·＝×1×1×cos 60°＝．]

5．在空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉的值为(　　)

A．　　　B．　　C．－　　　D．0

D　[如图所示，∵·＝·(－)＝·－·＝|OA|·|·cos∠AOC－|·|OB|·cos∠AOB＝0，

∴⊥，∴〈，〉＝，cos〈，〉＝0．]

二、填空题

6．化简：(a＋2b－3c)＋5＝________．

a－b＋c　[原式＝a＋b－c＋a－b＋c＝a－b＋c．]

7．已知|a|＝3，|b|＝4，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，若m⊥n，则λ＝________．

－　[由m·n＝(a＋b)·(a＋λb)＝|a|2＋(λ＋1)a·b＋λ|b|2＝0，得18＋(λ＋1)×3×4×cos 135°＋16λ＝0，解得λ＝－．]

8．已知向量a，b，c两两夹角都是60°，且|a|＝|b|＝|c|＝1，则|a－2b＋c|＝________．

　[∵|a－2b＋c|2＝a2＋4b2＋c2－4a·b－4b·c＋2a·c

＝1＋4＋1－4×cos 60°－4×cos 60°＋2×cos 60°＝3，

∴|a－2b＋c|＝．]

三、解答题

9．如图所示，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，＝a，＝b，＝c，M是C1D1的中点，点N是CA1上的点，且CN∶NA1＝4∶1．用a，b，c表示以下向量：

(1)；(2)．

[解]　(1)＝(＋)

＝[(＋＋)＋(＋)]

＝(＋2＋2)

＝a＋b＋c．

(2)＝＋＝＋(－)

＝＋＋

＝a＋b＋c．

10．四棱柱ABCD­A1B1C1D1各棱长均为1，∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，求点B与点D1两点间的距离．

[解]　四棱柱ABCD­A1B1C1D1各棱长均为1，∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，

∴＝＋＋，

∴2＝(＋＋)2

＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·

＝1＋1＋1＋2×1×1×cos 120°＋2×1×1×cos 120°＋2×1×1×cos 60°＝2，∴||＝，

∴点B与点D1两点间的距离为．

1．(多选题)已知ABCD­A1B1C1D1为正方体，则下列结论中正确的是(　　)

A．(＋＋)2＝32

B．·(－)＝0

C．向量与向量的夹角为60°

D．正方体ABCD­A1B1C1D1的体积为|··|

AB　[A中，由⊥，⊥，⊥，得(＋＋)2＝2＋2＋2＝32，故A正确．B中，连接AB1(图略)，则－＝，由于⊥，故B正确．C中，异面直线A1B与AD1所成的角为60°，但向量夹角为120°，故C不正确．D中，|··|＝0，该正方体的体积应为||·||||，故D不正确．]

2．已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，则a＝e1＋e2与b＝e1－2e2的夹角是(　　)

A．60°　　　B．120°　　C．30°　　　D．90°

B　[a·b＝(e1＋e2)·(e1－2e2)＝e－e1·e2－2e

＝1－1×1×－2＝－，

|a|＝＝＝

＝＝．

|b|＝＝＝＝＝．

∴cos〈a，b〉＝＝＝－，

∴〈a，b〉＝120°．]

3．已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a的值为________．

－13　[∵a＋b＋c＝0，∴(a＋b＋c)2＝0，

∴a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，

∴a·b＋b·c＋c·a＝－＝－13．]

4．如图，四面体ABCD的每条棱长都等于2， 点E，F分别为棱AB，AD的中点，则|＋|＝_____________，|－|＝______．

2　　[|＋|＝||＝2，＝，·＝2×2×cos 60°＝2，

故|－|2＝＝2－·＋2＝4－2＋×4＝3，

故|－|＝．]

如图，正四面体V­ABC的高VD的中点为O，VC的中点为M．

(1)求证：⊥；

(2)求〈，〉．

[解]　(1)证明：设＝a，＝b，＝c，正四面体的棱长为1，

则a·b＝a·c＝b·c＝，＝(a＋b＋c)，＝－＝－＝(b＋c－5a)，＝－＝－＝(a＋c－5b)．

所以·＝(b＋c－5a)·(a＋c－5b)＝(18a·b－9|a|2)＝＝0，

所以⊥．

(2)＝＋＝－(a＋b＋c)＋c＝(－2a－2b＋c)，

所以||＝＝．

又||＝＝，

·＝(－2a－2b＋c)·(b＋c－5a)＝，

所以cos〈，〉＝＝．

又〈，〉∈[0，π]，所以〈，〉＝．