高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.3.4 圆与圆的位置关系优秀课件ppt

2.3.4　圆与圆的位置关系

知识点1　圆与圆的位置关系及判断

说明：d为两圆的圆心距，r1，r2分别为两圆半径，Δ为联立两圆方程消去一个未知数后的一元二次方程的根的判别式．

1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切． (　　)

(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交． (　　)

(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程． (　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)×

[提示]　(1)错误，还可能是内切．

(2)错误，还需要大于两半径之差的绝对值．

(3)错误，在相交的情况下才是．

知识点2　两圆的公切线

同时与两个圆相切的直线称为两圆的公切线．当两圆的位置关系不同时，公切线的条数也不同．具体情况如下表：

2．圆C1：(x＋2)2＋(y－2)2＝1和圆C2：(x－2)2＋(y－5)2＝16的公切线有(　　)

A．2条　　B．3条　　C．4条　　D．1条

B　[∵圆C1的圆心为C1(－2，2)，半径r1＝1，

圆C2的圆心为C2(2，5)，半径r2＝4，

∴圆心距|C1C2|＝＝5，r1＋r2＝5，故两圆外切，公切线的条数为3．]

类型1　圆与圆位置关系的判定

【例1】　已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0．

(1)当m为何值时，圆C1与圆C2外切？

(2)当圆C1与圆C2内含时，求m的取值范围．

[解]　对于圆C1与圆C2的方程，经配方后，有

C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9，C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4．

∴两圆的圆心C1(m，－2)，C2(－1，m)，半径r1＝3，r2＝2，且|C1C2|＝．

(1)若圆C1与圆C2外切，则|C1C2|＝r1＋r2，

即＝5．

解得m＝－5或m＝2．

(2)若圆C1与圆C2内含，则0＜|C1C2|＜|r2－r1|＝1，

即＜1．

解得－2＜m＜－1．

1．判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围问题有以下几个步骤：

(1)化成圆的标准方程，写出圆心和半径；

(2)计算两圆圆心的距离d；

(3)通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合．

2．应用几何法判定两圆的位置关系或求字母参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系．

[跟进训练]

1．当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切？

[解]　将两圆的一般方程化为标准方程，C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，

C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k．

圆C1的圆心为C1(－2，3)，半径r1＝1；

圆C2的圆心为C2(1，7)，半径r2＝(k＜50)．

从而|C1C2|＝＝5．

当1＋＝5，k＝34时，两圆外切．

当|－1|＝5，＝6，k＝14时，两圆内切．

当|r2－r1|＜|C1C2|＜r2＋r1，

即14＜k＜34时，两圆相交．

类型2　两圆相交的有关问题

【例2】　(对接教材人教B版P114例2)已知圆C1：x2＋y2－10x－10y＝0和圆C2：x2＋y2＋6x＋2y－40＝0相交于A，B两点，求弦AB的长．

[解]　法一：两圆方程相减得4x＋3y－10＝0，此即为两圆相交弦所在直线AB的方程．

由

解得或

∴A，B的坐标分别为(－2，6)，(4，－2)．

∴|AB|＝＝10．

即弦AB的长为10．

法二：由解法一得直线AB的方程为4x＋3y－10＝0．

圆心C1(5，5)到直线AB的距离为

d＝＝5，

而圆C1的半径为r＝5．

由圆的性质可知|AB|＝2＝2＝10．

即弦AB的长为10．

1．求两圆的公共弦所在直线的方程的方法：将两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线方程，但必须注意只有当两圆方程中二次项系数相同时，才能如此求解，否则应先调整系数．

2．求两圆公共弦长的方法：一是联立两圆方程求出交点坐标，再用距离公式求解；二是先求出两圆公共弦所在的直线方程，再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解．

3．已知圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则过两圆交点的圆的方程可设为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)．

[跟进训练]

2．(1)圆O1：x2＋y2－4x＋6y＝0和圆O2：x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则线段AB的垂直平分线的方程是______________．

(2)经过两圆x2＋y2＋6x－4＝0和x2＋y2＋6y－28＝0的交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程为____________．

(1)3x－y－9＝0　(2)x2＋y2－x＋7y－32＝0　[(1)两圆的方程相减得AB的方程为x＋3y＝0，圆O1的圆心为(2，－3)，所以线段AB的垂直平分线的方程为y＋3＝3(x－2)，即3x－y－9＝0．

(2)解方程组得两圆的交点A(－1，3)，B(－6，－2)．

设所求圆的圆心为(a，b)，因圆心在直线x－y－4＝0上，故b＝a－4．

则有

＝，

解得a＝，故圆心为，

半径为＝．

故圆的方程为＋＝，

即x2＋y2－x＋7y－32＝0．]

类型3　圆与圆的相切问题

【例3】　求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋y＝0相切于点M(3，－)的圆的方程．

1．圆与圆相切有哪几种情况？

[提示]　 两圆相切指的是内切和外切两种情况．

2．两圆相切可用什么方法求解？

[提示]　(1)几何法．利用圆心距d与两半径R，r之间的关系求得，

d＝R＋r为外切，d＝|R－r|为内切．

(2)代数法．将两圆联立消去x或y得到关于y或x的一元二次方程，利用Δ＝0求解．

[解]　设所求圆的方程为

(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，

由题知所求圆与圆x2＋y2－2x＝0外切，

则＝r＋1． ①

又所求圆过点M的切线为直线x＋y＝0，

故＝， ②

＝r． ③

解由①②③组成的方程组得

a＝4，b＝0，r＝2或a＝0，b＝－4，r＝6．故所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36．

处理两圆相切问题的2个步骤

(1)定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须分两圆内切、外切两种情况讨论．

(2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时)．

[跟进训练]

3．已知圆M：(x－a)2＋y2＝4(a＞0)与圆N：x2＋(y－1)2＝1外切，则直线x－y－＝0被圆M截得的线段的长度为(　　)

A．1　　　B．　　　　C．2　　　　D．2

D　[由题意，知＝2＋1，a＞0，∴a＝2，圆心M(2，0)到直线x－y－＝0的距离d＝＝1，∴直线x－y－＝0被圆M截得的线段的长度为2＝2，故选D．]

1．两圆x2＋(y－2)2＝1和(x＋2)2＋(y＋1)2＝16的公切线条数是(　　)

A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4

B　[两圆圆心分别为(0，2)和(－2，－1)，半径分别为1和4，圆心距d＝＝，|r1－r2|＜d＜|r1＋r2|，两圆相交．故两圆有2条公切线，选B．]

2．若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋n＝0内切，则n＝(　　)

A．21　　B．9　　C．19　　D．－11

D　[C2化为标准方程(x－3)2＋(y－4)2＝25－n，

其圆心为(3，4)，半径r＝，C1圆心为(0，0)，半径为1．

若两圆内切，则有＝|－1|，解得n＝－11．]

3．已知两圆的圆心距为6，两圆的半径分别是方程x2－6x＋8＝0的两个根，则两圆的位置关系为(　　)

A．外离　　B．外切　　C．相交　　D．内切

B　[由题意知r1＋r2＝6(两圆圆心距)，

∴两圆外切．]

4．圆x2＋y2＝8与圆x2＋y2＋4x－16＝0的公共弦长为________．

4　[两圆方程作差得x＝2，当x＝2时，由x2＋y2＝8得y2＝8－4＝4，即y＝±2，即两圆的交点坐标为A(2，2)，B(2，－2)，则|AB|＝2－(－2)＝4．]

5．已知两圆相交于点A(1，3)，B(m，－1)，两圆的圆心均在直线x－y＋c＝0上，则m＋c的值为________．

3　[分析题意，可知AB的中点在直线x－y＋c＝0上，∴－1＋c＝0，

∴m＋2c＝1．又直线AB与直线x－y＋c＝0垂直，∴－1＝，∴m＝5，

∴c＝－2，∴m＋c＝3．]

回顾本节知识，自我完成以下问题：

1．如何用几何法判断圆与圆的位置关系？

[提示]　(1)将两圆的方程化为标准方程．

(2)求两圆的圆心坐标和半径r1，r2．

(3)求两圆的圆心距d．

(4)比较d与|r1－r2|，r1＋r2的大小关系，从而判断两圆的位置关系．

2．如何求两圆的公共弦长？

[提示]　(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．

(2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．