数学人教B版 (2019)2.6.1 双曲线的标准方程试讲课ppt课件

2.6　双曲线及其方程

2.6．1　双曲线的标准方程

知识点1　双曲线的定义

一般地，如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个正常数，且2a＜|F1F2|，则平面上满足||PF1|－|PF2||＝2a的动点P的轨迹称为双曲线，其中，两个定点F1，F2称为双曲线的焦点，两个焦点的距离|F1F2|称为双曲线的焦距，双曲线也可以通过用平面截两个特殊的圆锥面得到，因此双曲线是一种圆锥曲线．

1．双曲线的定义中，若2a＝|F1F2|，则点P的轨迹是什么？2a＞|F1F2|呢？

[提示]　若2a＝|F1F2|，点P的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线；若2a＞|F1F2|，点P的轨迹不存在．

2．定义中若常数为0，则点P的轨迹是什么？

[提示]　此时点P的轨迹为线段F1F2的垂直平分线．

1．(1)已知定点F1(－2，0)，F2(2，0)，在平面内满足下列条件的动点P的轨迹中为双曲线的是(　　)

A．|PF1|－|PF2|＝±3　 B．|PF1|－|PF2|＝±4

C．|PF1|－|PF2|＝±5   D．|PF1|2－|PF2|2＝±4

(2)动点P到点M(1，0)及点N(5，0)的距离之差为2a，则当a＝1和a＝2时，点P的轨迹分别是(　　)

A．双曲线和一条直线

B．双曲线和一条射线

C．双曲线的一支和一条射线

D．双曲线的一支和一条直线

(1)A　(2)C　[(1)当|PF1|－|PF2|＝±3时，||PF1|－|PF2||＝3＜|F1F2|＝4，满足双曲线的定义，所以P点的轨迹是双曲线．

(2)由题意，知|MN|＝4，当a＝1时，|PM|－|PN|＝2a＝2＜4，此时点P的轨迹是双曲线的一支；当a＝2时，|PM|－|PN|＝2a＝4＝|MN|，点P的轨迹为以N为端点沿x轴向右的一条射线．]

知识点2　双曲线的标准方程

3．双曲线中a，b，c的关系如何？与椭圆中a，b，c的关系有何不同？

[提示]　双曲线标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b2＝c2－a2，即c2＝a2＋b2，其中c>a，c>b，a与b的大小关系不确定；而在椭圆中b2＝a2－c2，即a2＝b2＋c2，其中a>b>0，a>c，c与b的大小关系不确定．

4．如何确定双曲线标准方程的类型？

[提示]　焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型，若x2的系数为正，则焦点在x轴上，若y2的系数为正，则焦点在y轴上．

2．(1)双曲线－y2＝1的焦距为(　　)

A．4　　  B．8　　　　C．　　　　D．2

(2)点P到两定点F1(－2，0)，F2(2，0)的距离之差的绝对值为2，则点P的轨迹方程为________．

(1)B　(2)x2－＝1　[(1)a2＝15，b2＝1，c2＝a2＋b2＝16，∴c＝4，2c＝8．

(2)因为|F1F2|＝4＝2c，所以c＝2．

又2a＝2，a＝1，故b2＝c2－a2＝3，所以点P的轨迹方程为x2－＝1．]

类型1　双曲线定义的应用

【例1】　已知F1，F2分别是双曲线－＝1的左、右焦点，若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32．试求△F1PF2的面积．

[解]　由－＝1得a＝3，b＝4，∴c＝5．

由双曲线定义及P是双曲线左支上的点得

|PF1|－|PF2|＝－6，

∴|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，

又∵|PF1|·|PF2|＝32，∴|PF1|2＋|PF2|2＝100，

由余弦定理得

cos∠F1PF2＝＝0，

∴∠F1PF2＝90°，

∴S＝|PF1|·|PF2|＝16．

求双曲线中的焦点三角形面积的方法

(1)利用公式S＝|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2求面积．

(2)当焦点在x轴上时，利用公式S＝|F1F2|·|yP|(yP表示点P的纵坐标)．

当焦点在y轴上时，利用公式S＝|F1F2|·|xP|(xP表示点P的横坐标)．

重要结论：若∠F1PF2＝θ，则S＝＝．

[跟进训练]

1．如图，已知双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，点A，B均在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，|AB|＝m，F1为双曲线的左焦点，则△ABF1的周长为________．

4a＋2m　[由双曲线的定义，知|AF1|－|AF2|＝2a，

|BF1|－|BF2|＝2a．

又|AF2|＋|BF2|＝|AB|，

所以△ABF1的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝4a＋2|AB|＝4a＋2m．]

类型2　求双曲线的标准方程

【例2】　(对接教材人教B版P139例1)求适合下列条件的双曲线的标准方程．

(1)一个焦点是(0，－6)，经过点A(－5，6)；

(2)经过点P1和P2(，4)两点．

[解]　(1)由已知c＝6，且焦点在y轴上，另一个焦点为(0，6)，

由双曲线定义

2a＝|－|＝8，

∴a＝4，b2＝c2－a2＝20．

所以所求双曲线的标准方程为－＝1．

(2)法一：当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)．

∵P1，P2在双曲线上，

∴解得(不合题意舍去)

当焦点在y轴上时，设双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)．

将P1，P2的坐标代入上式得

解得

即a2＝9，b2＝16．

∴所求双曲线方程为－＝1．

法二：∵双曲线的位置不确定，

∴设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)，

∴解得

∴所求双曲线的标准方程为－＝1．

1．求双曲线标准方程的两个关注点

2．待定系数法求双曲线标准方程的4个步骤

(1)定位置：根据条件确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上，还是有两种可能．

(2)设方程：根据焦点位置，设其方程为－＝1或－＝1(a＞0，b＞0)，焦点位置不定时，亦可设为mx2＋ny2＝1(mn＜0)．

(3)寻关系：根据已知条件列出关于a，b，c(m，n)的方程组．

(4)得方程：解方程组，将a，b(m，n)代入所设方程即可得(求)标准方程．

提醒：求标准方程时，一定要先区别焦点在哪个轴上，选取合适的形式．

[跟进训练]

2．根据条件求双曲线的标准方程．

(1)a＝2，经过点A(2，－5)，焦点在y轴上；

(2)与椭圆＋＝1共焦点且过点(3，)．

[解]　(1)∵双曲线的焦点在y轴上，

∴可设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，

∵由题设知，a＝2，且点A(2，－5)在双曲线上，

∴解得a2＝20，b2＝16，

∴所求双曲线的标准方程为－＝1．

(2)椭圆＋＝1的焦点坐标为(2，0)，(－2，0)．依题意，则所求双曲线焦点在x轴上，可以设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则a2＋b2＝20．

又∵双曲线过点(3，)，∴－＝1．

∴a2＝20－2，b2＝2．

∴所求双曲线的标准方程为－＝1．

类型3　与双曲线有关的轨迹问题

【例3】　在周长为48的Rt△MPN中，∠MPN＝90°，tan∠PMN＝，求以M，N为焦点，且过点P的双曲线方程．

[解]　因为△MPN的周长为48，且tan∠PMN＝，故设|PN|＝3k，|PM|＝4k．

则|MN|＝5k，由3k＋4k＋5k＝48得k＝4．所以|PN|＝12，|PM|＝16，|MN|＝20．

以MN所在的直线为x轴，以MN的中点为原点建立直角坐标系，如图所示．

设所求双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，

由|PM|－|PN|＝4得2a＝4，

∴a＝2，a2＝4，由|MN|＝20得2c＝20，c＝10，所以b2＝c2－a2＝96．

故所求双曲线方程为－＝1．

求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有2种：1列出等量关系，化简得到方程；2寻找几何关系，双曲线的定义，得出对应的方程.,求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：1双曲线的焦点所在的坐标轴；2检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支；3求出方程后要注意满足方程的解的坐标的点，是否都在所求曲线上.

[跟进训练]

3．如图所示，已知定圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，定圆F2：(x－5)2＋y2＝42，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程．

[解]　圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，圆心F1(－5，0)，半径r1＝1；

圆F2：(x－5)2＋y2＝42，圆心F2(5，0)，半径r2＝4．

设动圆M的半径为R，

则有|MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4，

∴|MF2|－|MF1|＝3＜10＝|F1F2|．

∴点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的左支，且a＝，c＝5，于是b2＝c2－a2＝．

∴动圆圆心M的轨迹方程为－＝1．

1．“ab<0”是“方程ax2＋by2＝c表示双曲线”的(　　)

A．必要不充分条件　 B．充分不必要条件

C．充要条件     D．既不充分也不必要条件

A　[当方程表示双曲线时，一定有ab<0，反之，当ab<0时，若c＝0，则方程不表示双曲线．]

2．若方程＋＝3表示焦点在y轴上的双曲线，则m的取值范围是(　　)

A．(1，2)   B．(2，＋∞)   

C．(－∞，－2)   D．(－2，2)

C　[由题意，方程可化为－＝3，

∴解得m＜－2．]

3．若点M在双曲线－＝1上，双曲线的焦点为F1，F2，且|MF1|＝3|MF2|，则|MF2|等于(　　)

A．2　　 B．4       C．8　　　　D．12

B　[双曲线中a2＝16，a＝4，2a＝8，由双曲线定义知||MF1|－|MF2||＝8，又|MF1|＝3|MF2|，

所以3|MF2|－|MF2|＝8，解得|MF2|＝4．]

4．已知双曲线的两个焦点分别为F1(－，0)，F2(，0)，P是双曲线上的一点且PF1⊥PF2，|PF1|·|PF2|＝2，则双曲线的标准方程为________．

－y2＝1　[设|PF1|＝m，|PF2|＝n(m＞0，n＞0)，在Rt△PF1F2中，m2＋n2＝(2c)2＝20，m·n＝2，由双曲线的定义知|m－n|2＝m2＋n2－2mn＝16＝4a2，所以a2＝4，b2＝c2－a2＝1，∴双曲线的标准方程为－y2＝1．]

回顾本节知识，自我完成以下问题：

1．双曲线定义中距离的差为什么要加绝对值？

[提示]　不加绝对值，图像只为双曲线的一支．设F1，F2表示双曲线的左、右焦点，若|MF1|－|MF2|＝2a，则点M在右支上，若|MF2|－|MF1|＝2a，则点M在左支上．

2．若点M在双曲线上，一定有||MF1|－|MF2||＝2a吗？

[提示]　一定．若||MF1|－|MF2||＝2a(0＜2a＜|F1F2|)，则动点M的轨迹为双曲线，反之一定成立．

3．双曲线与椭圆中，a，b，c满足的关系式相同吗？

[提示]　不相同．在双曲线的标准方程中，a＞b不一定成立．在椭圆中a2＝b2＋c2，在双曲线中c2＝a2＋b2．