第14-15章 三角形 平面直角坐标系 知识梳理-2022-2023学年七年级数学下册期中期末挑战满分冲刺卷（沪教版，上海专用）

第14-15章 三角形 平面直角坐标系 知识梳理

第14章 三角形 知识梳理

【知识网络】

【要点梳理】

一、三角形的有关概念和性质

三角形三边的关系：

定理：三角形任意两边之和大于第三边。

推论：三角形任意两边的之差小于第三边。

要点：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．

三角形的分类：

按“角”分类：

按“边”分类：

三角形的重要线段：

一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点．

一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点．

三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外.

三角形的内角和与外角和：

    三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．

三角形外角性质：

（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．

 （2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．

三角形的外角和： 三角形的外角和等于360°.

二、全等三角形的判定与性质

全等三角形对应边相等，对应角相等.

全等三角形判定1——“边角边”：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.

全等三角形判定2——“角边角”：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.

全等三角形判定3——“角角边”：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）

全等三角形判定4——“边边边”：三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.   

三、判定方法的选择

1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：

2.如何选择三角形证全等

（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；

（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；

（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；

（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.

四、等腰三角形

等腰三角形的性质

性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．

性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．

等腰三角形的性质的作用

性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．

性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．

等腰三角形是轴对称图形

等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．

等腰三角形的判定

如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.

    要点：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.

等边三角形的性质：

等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°.

等边三角形的判定：

　　（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；

（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；

（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．

第15章 平面直角坐标系 知识梳理

【知识网络】

【要点梳理】

一、有序数对

把一对数按某种特定意义，规定了顺序并放在一起就形成了有序数对，人们在生产生活中经常以有序数对为工具表达一个确定的意思，如某人记录某个月不确定周期的零散收入，可用(13，2000)， (17，190)， (21，330)…，表示，其中前一数表示日期，后一数表示收入，但更多的人们还是用它来进行空间定位，如：(4，5)，(20，12)，(13，2)，…，用来表示电影院的座位，其中前一数表示排数，后一数表示座位号.

二、平面直角坐标系

 在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系，如下图：

要点：

（1）坐标平面内的点可以划分为六个区域：x轴，y轴、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，这六个区域中，除了x轴与y轴有一个公共点（原点）外，其他区域之间均没有公共点.

（2）在平面上建立平面直角坐标系后，坐标平面上的点与有序数对（x，y）之间建立了一一对应关系，这样就将‘形’与‘数’联系起来，从而实现了代数问题与几何问题的转化.

（3）要熟记坐标系中一些特殊点的坐标及特征：

① x轴上的点纵坐标为零；y轴上的点横坐标为零．

② 平行于x轴直线上的点横坐标不相等，纵坐标相等；

平行于y轴直线上的点横坐标相等，纵坐标不相等．

     ③ 关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数；

        关于y轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数；

        关于原点对称的点横、纵坐标分别互为相反数．

④ 象限角平分线上的点的坐标特征：

        一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等；

        二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数．

注：反之亦成立．

三、用坐标表示地理位置

用坐标表示地理位置的一般步骤：

   (1)建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向；

   (2)根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度；

   (3)在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称．

要点：

   (1)我们习惯选取向东、向北分别为x轴、y轴的正方向，建立坐标系的关键是确定原点的位置．

   (2)确定比例尺是画平面示意图的重要环节，要结合比例尺来确定坐标轴上的单位长度．

四、点的运动及其坐标的变化

1．坐标系中用坐标求距离及面积

（1）理解坐标系中用坐标表示距离的方法和结论：

      ① 坐标平面内点P(x，y)到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|．

      ② x轴上两点A(x1，0)、B(x2，0)的距离为AB=|x1 - x2|；

         y轴上两点C(0，y1)、D(0，y2)的距离为CD=|y1 - y2|．

③ 平行于x轴的直线上两点A(x1，y)、B(x2，y)的距离为AB=|x1 - x2|；

         平行于y轴的直线上两点C(x，y1)、D(x，y2)的距离为CD=|y1 - y2|．

（2）利用坐标系求一些知道关键点坐标的几何图形的面积：切割、拼补.

2．用坐标表示平移

 (1)点的平移

点的平移引起坐标的变化规律：在平面直角坐标中，将点(x，y)向右(或左)平移a个单位长度，可以得到对应点(x+a，y)(或(x-a，y))；将点(x，y)向上(或下)平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y+b)(或(x，y-b))．

 要点：

上述结论反之亦成立，即点的坐标的上述变化引起的点的平移变换．

  (2)图形的平移

    在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度．

要点：

平移是图形的整体运动，某一个点的坐标发生变化，其他点的坐标也进行了相应的变化，反过来点的坐标发生了相应的变化，也就意味着点的位置也发生了变化，其变化规律遵循：“右加左减，纵不变；上加下减，横不变”．

（3）关于坐标轴对称点的坐标特征

1.关于坐标轴对称的点的坐标特征

P(a，b)关于x轴对称的点的坐标为 (a,－b)；

P(a，b)关于y轴对称的点的坐标为 (－a,b)；

P(a，b)关于原点对称的点的坐标为 (－a,－b)．

2.象限的角平分线上点坐标的特征

第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可表示为(a，a)；

第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数，可表示为(a，－a)．

3.平行于坐标轴的直线上的点

平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同；

平行于y轴的直线上的点的横坐标相同.