2023年陕西省西安市碑林区西北工大附中中考数学四模试卷（含答案）

2022-2023年陕西省西安市碑林区西北工大附中中考数学四模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1. 的倒数是

A. 2016 B.  C.  D.

2. 如图，一个正方体被截去四个角后得到一个几何体，它的俯视图是

A.
B.
C.
D.

3. 如图，含角的三角板的直角顶点A在直线a上，顶点C在直线b上．若，，则的度数为

A.
B.
C.
D.

4. 若一个正比例函数的图象经过，两点，则m的值为

A. 2 B. 8 C.  D.

5. 下列计算正确的是

A.  B.
C.  D.

6. 如图，在中，，，AD平分交BC于点D，，垂足为若，则BC的长为

A.  B.  C.  D. 3

7. 将直线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则两次平移后此直线的函数关系式为

A.  B.  C.  D.

8. 如图，长方形ABCD中，，，将沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上的F处，则DE的长是

A.
B.
C.
D.

9. 如图，已知四边形ABCD内接于，AD是直径，，，则弦AC的长是

A.
B.
C.
D. 4

10. 若二次函数与x轴有两个交点，，该函数图象向下平移n个单位长度时与x轴有且只有一个交点，则n的值是

A. 9 B. 6 C. 3 D. 36

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

11. 将实数，，，按从小到大的顺序排列，并用“”连接：____．
12. 在正六边形ABCDEF中，若边长为3，则正六边形ABCDEF的边心距为______．
13. 如图，已知点A，B分别在反比例函数，的图象上，且，则的值为____________．
    
     

14. 如图，在中，，，点D在外部运动，若，则BD的最大值为______．
    
     

三、解答题（本大题共11小题，共78.0分）

15. 计算：．
    
    
    
    
    
    
     
16. 解分式方程：．
    
    
    
    
    
    
     
17. 如图，已知锐角，点D是BC边上的一定点，请用尺规在AC边上求作一点E，使与相似．作出符合题意的一个点即可，保留作图痕迹，不写作法．
     

18. 如图，正方形ABCD的边长为6，点E是边AB上一点，点P是对角线BD上一点，且．
    

求证：；

若，求PB的长．






 

19. 某学校为了解学生的课外阅读情况，随机抽查了50名学生，并统计他们平均每天的课外阅读时间单位：，然后利用所得数据绘制成如下不完整的统计表及如图所示的频数分布直方图课外阅读时间频数分布表
     

请根据图表中提供的信息回答下列问题：

          ，          

将频数分布直方图补充完整

若全校有900名学生，估计该校有多少名学生平均每天的课外阅读时间不少于．






 

20. 如图，要测量小山上电视塔BC的高度，在山脚下点A测得：塔顶B的仰角为，塔底C的仰角为，米，求电视塔BC的高．结果用含非特殊角的锐角三角函数及根式表示即可

21. 昨天早晨7点，小明乘车从家出发，去西安参加中学生科技创新大赛，赛后，他当天按原路返回，如图是小明昨天出行的过程中，他距西安的距离与他离家的时间之间的函数图象．根据图象，回答下面的问题：

求线段AB所对应的函数表达式；

已知昨天下午3点时，小明距西安112千米，他何时到家？






 

22. 小贤放学回家看到桌上有4块糖果，其中有玉米味、奶油味的糖果各1块，椰子味的糖果2块，这些糖果除味道外无其他差别．
    小贤随机地从盘中取出一块糖果，取出的是玉米味糖果的概率是多少？
    小贤随机地从盘中取出两块糖果，试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出小贤取出的两个都是椰子味糖果的概率
    
    
    
    
    
    
     
23. 已知，在中，以斜边AB上的高CD为直径作了一个圆，圆心为点O，这个圆交线段BC于E点，点G为BD的中点．
    求证：GE为的切线；
    若，，求AD的长．

24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点，与x轴交于点B、在C的左边，直线轴交抛物线于点D，x轴上有一动点，过点E作平行于y轴的直线l与抛物线、AD分别交于P、Q．
    
    求抛物线的解析式，并写出点B、C的坐标；
    当时，求面积的最大值；
    当时，是否存在点P，使以A、P、Q为顶点的三角形与相似？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
    
    
    
    
    
    
     
25. 如图1，在正方形ABCD中，，点E在DC边上运动点E不与点D、点C重合，连接AE，将绕点E顺时针旋转，得到，连接AG、，
    
    求证：四边形为平行四边形；
    如图2，若与BC交于点F，连接GF、GB，设，四边形的面积为S，求S与x的函数关系式，并求S的最小值；
    在的条件下，是否存在x值，使为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出此时x的值．
    
    
    
    
    
    
    
    

-------- 答案与解析 --------

1.答案：B
 

解析：

此题主要考查了倒数，正确把握倒数的定义是解题关键．
直接利用倒数的定义得出答案．
解：，
的倒数是：．
故选：B．
2.答案：C
 

解析：

本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
解：从上面看是一个正方形并且每个角有一个三角形．
故选C．
3.答案：B
 

解析：解：如图所示：

是等腰直角三角形，
，
，，
，
，
故选B．
由等腰直角三角形的性质得出，由平行线的性质得出，再由三角形外角性质即可得出结果．
此题考查了等腰直角三角形的性质、平行线的性质、三角形的外角性质．熟记等腰直角三角形的性质和平行线的性质是解题的关键．
4.答案：A
 

解析：

本题考查了一次函数图象上点的坐标特征解题时需灵活运用待定系数法建立函数解析式，然后将点的坐标代入解析式，利用方程解决问题．
解：设正比例函数解析式为：，
将点代入可得：，
解得：，
函数解析式为：．
将代入可得：，
解得．
故选A．
5.答案：C
 

解析：解：A、，故此选项不合题意；
B、，故此选项不合题意；
C、，故此选项符合题意；
D、，故此选项不合题意；
故选：C．
直接利用积的乘方运算法则以及合并同类项法则和完全平方公式分别判断得出答案．
此题主要考查了积的乘方运算以及合并同类项和完全平方公式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
6.答案：A
 

解析：

本题考查了角平分线的性质，含30度角的直角三角形性质，等腰直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
过点D作于F如图所示，根据角平分线的性质得到，利用含有30度的直角三角形性质及等腰直角三角形即可得到结论．
解：过点D作于F如图所示，

为的平分线，且于E，于F，
，
在中，，
，
在中，，
为等腰直角三角形，
，
，
故选A．
7.答案：A
 

解析：解：由题意可得，直线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，
所得直线的函数关系式为：，即，
故选：A．
根据函数平移的方法，左加右减，上加下减，可以得到平移后的直线的解析式．
本题考查一次函数图象与几何变换，解答本题的关键是明确平移的方法，利用一次函数的性质解答．
8.答案：C
 

解析：

此题考查了翻折变换，矩形的性质，以及勾股定理，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．
由ABCD为长方形，得到为直角，且三角形BEF与三角形BAE全等，利用全等三角形对应角、对应边相等得到，，，利用勾股定理求出BD的长，由求出DF的长，在中，设，表示出ED，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出DE的长．
解：四边形ABCD为长方形，
，
由折叠可得，
，，，
在中，，，
根据勾股定理得：，即，
设，则有，
根据勾股定理得：，
即：，
解得：，则．
故选：C．
9.答案：A
 

解析：解：四边形ABCD内接于，，
，
是直径，
，
，
，
，
弦AC的长是：．
故选：A．
直接利用圆内接四边形的性质得出的度数，再利用圆周角定理得出，进而利用锐角三角函数关系得出答案．
此题主要考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、锐角三角函数关系等知识，正确得出的度数是解题关键．
10.答案：A
 

解析：解：设抛物线解析式为，
，
抛物线的顶点坐标为，
该函数图象向下平移9个单位长度时顶点落在x轴上，即抛物线与x轴有且只有一个交点，
即．
故选：A．
设交点式为，再把它配成顶点式得到，则抛物线的顶点坐标为，然后利用抛物线的平移可确定n的值．
本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象与几何变换，也考查了二次函数的性质．
11.答案：
 

解析：解：根据题意得：，
故答案为：
判断各数大小，用小于号连接即可．
此题考查了实数大小比较，算术平方根，以及立方根，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
12.答案：
 

解析：解：如图，设正六边形ABCDEF的中心为O，
连接OA，OB，
则是等边三角形，
过O作于H，
，
，
故答案为：．
如图，设正六边形ABCDEF的中心为O，连接OA，OB，则是等边三角形，过O作于H，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了正多边形与圆，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
13.答案：2
 

解析：

本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数系数k的几何意义是解答此题的关键过点A作轴于点M，过点B作轴于点N，利用相似三角形的判定定理得出∽，再由反比例函数系数k的几何意义得出：：4，进而可得出结论．
解：过点A作轴于点M，过点B作轴于点N，

，
，
，
，
，
∽，
点A，B分别在反比例函数，的图象上，
：：4，
：：2，
：．
故答案为2．
14.答案：
 

解析：解：，，
四边形ABCD四点共圆，
的最大值为圆的直径，
在中，，，
，
的最大值为．
故答案为：．
由于，，可得四边形ABCD四点共圆，可得BD的最大值为圆的直径，再根据勾股定理求得圆的直径即可求解．
考查了四点共圆，等腰直角三角形，勾股定理，关键是理解BD的最大值等于圆的直径．
15.答案：解：原式
．
 

解析：直接利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质和绝对值的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
16.答案：解：方程两边同乘，得
，
整理得  ，
，
，
检验：当时，，
原方程的解为．
 

解析：此题考查了解分式方程，解分式方程注意要检验．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
17.答案：解：如图点E即为所求．

解析：本题主要考查作图相似变换，根据相似三角形的判定明确过点D作并熟练掌握做一个角等于已知角的作法是解题的关键．以CD为边、点D为顶点在内部作一个角等于，角的另一边与AC的交点E即为所求作的点．答案不唯一，还可以以CD为边、点D为顶点在内部作一个角等于，角的另一边与AC的交点E即为所求作的点．
18.答案：证明：过点P作，，

，
四边形ABCD是正方形，
，，
，四边形FBGP是矩形，
，
，
，
矩形FBGP是正方形，
，，
，
，
，
，
，
在与中，
，
≌，
；
设，
≌，
，由得：，由正方形FBGP得：，
，
，
，解得：，
，
在中，，
由勾股定理得：，
，
．
 

解析：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，正确寻找全等三角形的条件是解题的关键．
先根据正方形的性质和全等三角形的判定证出≌，即可得；
设，利用勾股定理解答即可．
19.答案：解：
如图．

名．
答：估计该校约有684名学生平均每天的课外阅读时间不少于50min．
 

解析：

本题主要考查了频数分布直方图和频数分布表，以及利用样本估计总体的知识，熟练掌握这部分知识是解决本题的关键．
利用百分比，计算即可；
根据a的值计算即可；
用样本估计总体的思想思考问题．
解：因为抽取的总人数是50，
所以，；
故答案为20；；
见答案；
见答案．

20.答案：解：在中，，，米．
米，
，
在中，，，，
，
米．
 

解析：要求BC的长，由题意知可先求出BD、CD的长．再利用求出BC的长．
本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是掌握构造仰角所在的直角三角形，利用两个直角三角形的公共边求解是常用的解直角三角形的方法．
21.答案：解：设线段AB所表示的函数关系式为， 
依题意有， 
解得： ，
故线段AB所表示的函数关系式为．

解： 
 
小时， 
千米时， 
 
 
小时， 
时．
答：他下午4时到家．

解析：本题主要考查一次函数的应用，解决本题的关键是利用待定系数法求一次函数的解析式．同时考查了速度、路程和时间之间的关系．
可设线段AB所表示的函数关系式为：，根据待定系数法列方程组求解即可；
先根据速度路程时间求出小明回家的速度，再根据时间路程速度，列出算式计算即可求解
22.答案：解：小贤随机地从盘中取出一块糖果，取出的是玉米味糖果的概率是；

设玉米味、奶油味、椰子味的糖果分别为A、B、C、C，
列表如下：

由表知，共有12种等可能结果，其中小贤取出的两个都是椰子味糖果的有2种结果，
所以小贤取出的两个都是椰子味糖果的概率为．
 

解析：此题考查概率公式，用列表法或树状图法求概率的知识．列表法或树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意此题是放回实验还是不放回实验是解题的关键，属于中档题．
直接利用概率公式计算可得；
列表得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，继而利用概率公式求解可得．
23.答案：证明：连接OE、DE、OG，
为的直径，
，
点G为BD的中点，
，
在和中，
，
≌
，
为的切线；
解：，，
，
，
，
．
 

解析：连接OE、DE、OG，证明≌，根据全等三角形的性质得到，根据切线的判定定理证明结论；
根据正切的定义解答．
本题考查的是相似三角形的判定和性质、切线的判定，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
24.答案：解：把点代入，得，
，
该抛物线解析式为：；
令，得到，解得或6，
、．
设直线AC的解析式为：，
解得
直线AC的解析式为：，
设面积为S，
要构成，显然，
分两种情况讨论：
设直线l与AC交点为F，
，
当时，
，
，
此时S最大值为：．
当时，
，
当时，S随t的增大而增大，
当时，S取最大值为：12．
综上可知，当时，
面积的最大值为12．
连接AB，

则中，
，，，
，，
要构成，显然，
分两种情况讨论：
当时，
，
若∽，
则AO：：QP，
即3：：，
舍，或，
若∽，
则AO：：QA，
即3：：t，
舍或舍，
当时，
，
若∽，
则AO：：QP，
即3：：，
舍，或，
若∽，
则AO：：QA，
即3：：t，
舍或，
综上所述，满足条件的t的值为或或14．
 

解析：本题考查二次函数综合题、相似三角形的判定和性质、三角形的面积问题等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．
把点代入，求出m即可，令，得到，解得或6，可得、；
分两种情形当时，当时，分别求解即可解决问题；
分两种情况讨论：当时，，，若∽，若∽，分别列出方程求解；当时，，，若∽，若∽，分别列出方程求解即可；
25.答案：解：如图1中，

绕点E顺时针旋转得到，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形．

如图2中，连接BG．

，
，，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
，
四边形的面积的最小值为3．

如图2中，由题意：，，
当时，，解得．
当时，，解得或舍弃．
当时，，解得，
综上所述，当或2或1时，是等腰三角形．
 

解析：只要证明，即可；
根据对角线垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半，列出函数关系式即可；
如图2中，由题意：，，分三种情形当时．当时．当时，分别构建方程即可解决问题；
本题考查四边形综合题、正方形的性质、平行四边形的判定和性质、四边形的面积、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．