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2021年陕西省西安市碑林区中考数学四模试卷 （word版，含答案）
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这是一份2021年陕西省西安市碑林区中考数学四模试卷 （word版，含答案），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年陕西省西安市碑林区中考数学四模试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1．﹣64的立方根是（ ）
A．8 B．﹣8 C．4 D．﹣4
2．如图的几何体是由一个正方体切去一个小正方体形成的，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝65°10′，则∠2的度数为（ ）
A．65°10′ B．34°50′ C．34°10′ D．24°50′
4．已知点A（x1，y1），点B（x2，y2）都在正比例函数y＝x的图象上．若x2﹣x1＝3，则y2﹣y1的值为（ ）
A． B． C．3 D．6
5．下列计算正确的是（ ）
A．2a2+a3＝3a5 B．（﹣b2）5＝﹣b10
C．（2ab）2÷（ab）＝2ab D．（﹣1﹣ab）2＝1﹣2ab+a2b2
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，已如AD是△ABC的角平分线，BE是△ABC的高线，且点F是AB的中点．连接DF、DE、FE，若△DEF周长为10，则cosC为（ ）
A． B． C． D．
7．把直线y＝﹣x+4向下移n个单位长度后，与直线y＝x+3的交点在第二象限，则n的取值范围是（ ）
A．1＜n＜ B．1＜n＜10 C．n＞10 D．n＜7
8．如图，已知菱形ABCD中，过AD中点E作EF⊥BD，交对角线BD于点M，交BC的延长线于点F．连接DF，若CF＝2，BD＝4，则DF的长是（ ）
A．4 B．4 C．2 D．5
9．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，且点C为弧BAD的中点，连接CD、CB、OD，CD与AB交于点F．若∠AOD＝100°，则∠ABC的度数为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
10．已知二次函数y＝﹣（x﹣t）2+5（t为常数），在自变量x的值满足2≤x≤4的情况下，与其对应的函数值y的最大值为﹣4，则t的值为（ ）
A．﹣1 B．﹣1或1 C．﹣1或5 D．﹣1或7
二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）
11．分解因式：4xy2﹣4x2y+x3＝ ．
12．如果一个正多边形的中心角为72°，则该正多边形的对角线条数为 ．
13．如图，在平面直角坐标系中，OA是第四象限的角平分线，点C在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∠OAC＝90°，AB平分∠OAC且交y轴于点B，CD⊥AB于点D．若△ACD的面积比△AOB的面积少5，则k的值为 ．
14．如图，△ABC的面积是21，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上，且AE＝2，EB＝4．若△ABD与四边形DFEB面积相等，则△ADC的面积＝ ．
三、解答题（共11小题，计78分，解答应写出过程）
15．（5分）计算：（﹣）×﹣（）﹣1+|1﹣|﹣2sin60°．
16．（5分）解分式方程：＝1．
17．（5分）如图，已知△ABC中，∠B＝90°，sinC＝，点D为AC边上一点，请用尺规过点B作一条直线BD，使S△DCB＝S△ABD．（保留作图痕迹，不写作法）
18．（5分）如图，在▱ABCD中，点F在边BC上，点E在边CB的延长线上，且∠EAB＝∠FDC，求证：EF＝AD．
19．（7分）近期，社区团购App开始流行，除了团购的优惠力度非常高之外，购买商品也是非常方便．手机上一键下单，一键提货．小明同学对某小区居民了解和使用社区团购App的情况进行了问卷调查．在这次问卷调查中发现，在被调查的居民中有20人对于社区团购App不了解．设被调查居民中使用社区团购App的每位居民最近一周下单总金额为m元．将下单金额分为四个类别：A：0＜m≤70；B：70＜m≤140；C：140＜m≤210；D：m＞210．根据调查结果得到如下不完整的统计图．请根据以上信息解答下列问题：
（1）本次被调查居民共 人，其中使用过程社区团购App的有 人．
（2）补全条形统计图；
（3）如果这个小区大约有1600名居民，请估算出使用社区团购App最近一周下单总金额不超过140元的有多少人？
20．（7分）奇奇，妙妙等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量某景区景观塔的高EF．因景观塔前有一个山坡，故底部DE间的距离不易测得．经过研究，他们使用如下测量方法：如图，首先测得坡角∠MDE＝22°，DM＝10米．奇奇在塔顶F处用测角仪测得山坡上点M的俯角为45度，然后，妙妙站在段B处．同伴在妙妙和观景塔之间的直线BE上放一平面镜．在镜面上做了一个标记，这个标记在直线BE上的对应位置为点C，移动平面镜，此时妙妙在平面镜内可以看到塔顶点F在镜面中的像与镜面上的标记重合．这时，测得妙妙眼睛与地面的高度AB＝1.6米．BC＝4.8米，CD＝16.4米．已知AB、BE．EF⊥BE．点B、C、D、E共线．其中，测量时使用的平面镜的厚度忽略不计．请你根据题中提供的相关信息，求出景观塔的高EF的长度．（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40．）
21．（7分）儿童用药的药量常常按照他们的体重来计算．已知某种药品，体重10kg的儿童，每次正常服用量为120mg，体重15kg的儿童每次正常服用量为170mg．设儿童体重为x（kg）．每次正常服用量为y（mg）．当0≤x≤50时，y是x的一次函数．现实中，该药品每次实际服用量可以比每次正常服用量略高一些，但不能超过正常服用量的1.2倍，否则会对儿童的身体造成较大损害．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若该药品的一种包装规格为300mg/袋，求体重在什么范围的儿童生病时可以一次服下一袋药？
22．（7分）在体育活动课时，甲、乙、丙、丁四位同学用排球玩传球游戏．游戏规则是：第一次由甲将排球随机传给乙、丙、丁三人中的某一人．第二次规定，每一次传球都是由接到球的人随机传给其他三人中的某一人．
（1）甲第一次传球时，求恰好传给丙的概率；
（2）请用画树状图或列表法求第二次传球后，球恰好回到甲手中的概率是多少？
23．（8分）如图，AB为⊙O的直径，BC是⊙O的一条弦，点D在⊙O上，BD平分∠ABC，
过点D作EF⊥BC，分别交BA、BC的延长线于点E、F．
（1）求证：EF为⊙O的切线；
（2）若BD＝4，tan∠FDB＝2，求AE的长．
24．（10分）如图在平面直角坐标系中，已知抛物线L：y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣4，0）、B（2，0）、C（0，﹣2）三点．
（1）求抛物线L的函数表达式；
（2）记抛物线L的顶点为E，对称轴与x轴的交点为F，点Q是x轴上任意一点，若抛物线L'与抛物线L关于点Q中心对称，且抛物线L'的顶点为E'，其对称轴与x轴交于点F'，当以E、F、E'、F'为顶点的四边形面积为9时，请求出抛物线L'的表达式．
25．（12分）问题探究：
（1）如图①，已知在△ABC中，BC＝4，∠BAC＝45°，则AB的最大值是 ．
（2）如图②，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，D为△ABC内一点，且AD＝2，BD＝2，CD＝6，请求出∠ADB的度数．
问题解决：
（3）如图③，某户外拓展基地计划在一处空地上修建一个新的拓展游戏区△ABC，且AB＝AC．∠BAC＝120°，点A、B、C分别是三个任务点，点P是△ABC内一个打卡点．按照设计要求，CP＝30米，打卡点P对任务点A、B的张角为120°，即∠APB＝120°．为保证游戏效果，需要A、P的距离与B、P的距离和尽可能大，试求出AP+BP的最大值．
2021年陕西省西安市碑林区铁一中学中考数学四模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1．﹣64的立方根是（ ）
A．8 B．﹣8 C．4 D．﹣4
【分析】利用立方根定义求解即可．
【解答】解：∵（﹣4）3＝﹣64，
∴﹣64的立方根是﹣4．
故选：D．
2．如图的几何体是由一个正方体切去一个小正方体形成的，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
【解答】解：从几何体的左边看可得到一个正方形，正方形的右上角处有一个小正方形，
故选：D．
3．如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝65°10′，则∠2的度数为（ ）
A．65°10′ B．34°50′ C．34°10′ D．24°50′
【分析】根据平行线的性质，两直线平行，同位角相等．即可得出∠3＝∠1＝65°10′，由∠4等于90°，所以∠2+∠3＝90°，即可得出答案．
【解答】解：根据平行线性质可得，如图，
∠3＝∠1＝65°10′，
又∵∠4＝90°，
∴∠2+∠3＝90°，
∴∠2＝90°﹣∠3＝90°﹣65°10′＝24°50′．
故选：D．
4．已知点A（x1，y1），点B（x2，y2）都在正比例函数y＝x的图象上．若x2﹣x1＝3，则y2﹣y1的值为（ ）
A． B． C．3 D．6
【分析】点A（x1，y1），点B（x2，y2）都在正比例函数y＝x的图象上．可以用y的式子表示出x，然后根据x2﹣x1＝3，即可得到y2﹣y1的值．
【解答】解：∵点A（x1，y1），点B（x2，y2）都在正比例函数y＝x的图象上．
∴y1＝x1，y2＝x2，
∴x1＝2y1，x2＝2y2，
∵x2﹣x1＝3，
∴2y2﹣2y1＝3，
解得y2﹣y1＝，
故选：A．
5．下列计算正确的是（ ）
A．2a2+a3＝3a5 B．（﹣b2）5＝﹣b10
C．（2ab）2÷（ab）＝2ab D．（﹣1﹣ab）2＝1﹣2ab+a2b2
【分析】利用整式的运算法则，逐个计算得结论．
【解答】解：由于a2与a3不是同类项，不能加减，故选项A计算错误；
（﹣b2）5＝﹣b10，故选项B计算正确；
（2ab）2÷（ab）＝4ab≠2ab，故选项C计算错误；
（﹣1﹣ab）2＝1+2ab+a2b2≠1﹣2ab+a2b2，故选项D计算错误．
故选：B．
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，已如AD是△ABC的角平分线，BE是△ABC的高线，且点F是AB的中点．连接DF、DE、FE，若△DEF周长为10，则cosC为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，BD＝CD＝BC＝4，求得∠ADB＝90°，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC，BD＝CD＝BC＝4，
∴∠ADB＝90°，
∵BE是△ABC的高线，
∴∠BEA＝∠BEC＝90°，
∴DE＝BC＝4，
∵点F是AB的中点，
∴DF＝AB，EF＝AB，
∴EF＝DF，
∵△DEF周长为10，
∴EF+DF＝6，
∴EF＝DF＝3，
∴AB＝AC＝2EF＝6，
∴cosC＝＝＝．
故选：C．
7．把直线y＝﹣x+4向下移n个单位长度后，与直线y＝x+3的交点在第二象限，则n的取值范围是（ ）
A．1＜n＜ B．1＜n＜10 C．n＞10 D．n＜7
【分析】直线y＝﹣x+4向下移n个单位长度后可得：y＝﹣x+4﹣n，求出直线y＝﹣x+4﹣n与直线y＝x+3的交点，再由此点在第二象限可得出n的取值范围．
【解答】解：直线y＝﹣x+4向下移n个单位长度后可得：y＝﹣x+4﹣n，
联立两直线解析式得：，
解得：，
即交点坐标为（，），
∵交点在第二象限，
∴，
解得：1＜n＜10．
故选：B．
8．如图，已知菱形ABCD中，过AD中点E作EF⊥BD，交对角线BD于点M，交BC的延长线于点F．连接DF，若CF＝2，BD＝4，则DF的长是（ ）
A．4 B．4 C．2 D．5
【分析】先证明△BCD是等边三角形，可求出BM的长，MF的长，由勾股定理可求解．
【解答】解：设CD与EF的交点为H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD＝BC，∠ADB＝∠CDB，
∵点E是AD中点，
∴AE＝DE＝AD，
在△DEM和△DHM中，
，
∴△DEM≌△DHM（ASA），
∴DE＝DH，
∴DH＝CH，
∵AD∥BC，
∴△DEH∽△CFH，
∴＝1，
∴DE＝CF＝2，
∴AD＝4＝CD＝BC，
∴BF＝6，
∵BD＝4，
∴BC＝CD＝BD，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠DBC＝60°，
∴∠BFM＝30°，
∴BM＝BF＝3，MF＝BM＝3，
∴DM＝1，
∴DF＝＝＝2，
故选：C．
9．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，且点C为弧BAD的中点，连接CD、CB、OD，CD与AB交于点F．若∠AOD＝100°，则∠ABC的度数为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【分析】连接BD，由圆周角定理求出∠ABD和∠DCB的度数，由等腰三角形的性质求出∠DBC的度数，则可求出答案．
【解答】解：连接BD，
∵∠AOD＝100°，
∴∠OBD＝∠AOD＝50°，∠BOD＝180°﹣∠AOD＝180°﹣100°＝80°，
∴∠DCB＝∠BOD＝40°，
∵点C为弧BAD的中点，
∴DC＝CB，
∴∠CDB＝∠CBD＝，
∴∠CBA＝∠CBD﹣∠OBD＝70°﹣50°＝20°，
故选：B．
10．已知二次函数y＝﹣（x﹣t）2+5（t为常数），在自变量x的值满足2≤x≤4的情况下，与其对应的函数值y的最大值为﹣4，则t的值为（ ）
A．﹣1 B．﹣1或1 C．﹣1或5 D．﹣1或7
【分析】根据题意和二次函数的性质，利用分类讨论的方法可以求得t的值，从而可以解答本题．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣（x﹣t）2+5，
∴该函数的对称轴是直线x＝t，函数图象开口向下，该函数有最大值5，
∵2≤x≤4，与其对应的函数值y的最大值为﹣4，
∴当t＜2时，x＝2时，y＝﹣（2﹣t）2+5＝﹣4，解得t1＝﹣1，t2＝5（舍去）；
当2≤t≤4时，该函数的最大值是5，与题意不符；
当t＞4时，x＝4时，y＝﹣（4﹣t）2+5＝﹣4，解得t3＝1（舍去），t4＝7；
由上可得，t的值是﹣1或7，
故选：D．
二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）
11．分解因式：4xy2﹣4x2y+x3＝ x（2y﹣x）2 ．
【分析】直接提取公因式x，再利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：原式＝x（4y2﹣4xy+x2）
＝x（2y﹣x）2．
故答案为：x（2y﹣x）2．
12．如果一个正多边形的中心角为72°，则该正多边形的对角线条数为 5 ．
【分析】一个正多边形的中心角都相等，且所有中心角的和是360度，用360度除以中心角的度数，就得到中心角的个数，即多边形的边数，再根据一个多边形有条对角线，即可算出有多少条对角线．
【解答】解：由题意可得：
边数为360°÷72°＝5，
所以这个多边形的对角线条数是（条），
故答案为：5．
13．如图，在平面直角坐标系中，OA是第四象限的角平分线，点C在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∠OAC＝90°，AB平分∠OAC且交y轴于点B，CD⊥AB于点D．若△ACD的面积比△AOB的面积少5，则k的值为 ﹣10 ．
【分析】由题意，△ABO和△ACD为等腰直角三角形，面积可以表示；设出点C的坐标，用C的坐标表示线段BD，CF，利用待定系数法可求．
【解答】解：延长CD，交x轴于点F，
∵∠BOF＝90°，AB⊥OB，CD⊥AB，
∴四边形DBOF为矩形．
∴OB＝DF，BD＝OF．
设点C的坐标为（x，y），则x＞0，y＜0．
∴OF＝x，CF＝﹣y．
∵OA是第四象限的角平分线，AB⊥OB，
∴△AOB为等腰直角三角形．
∴∠BAO＝45°，AB＝OB，．
∵∠OAC＝90°，
∴∠BAC＝45°．
∵CD⊥AB，
∴△ACD为等腰直角三角形，
∴AD＝CD，．
∵△ACD的面积比△AOB的面积少5，
∴．
∴AB2﹣AD2＝10．
∴（AB+AD）（AB﹣AD）＝10．
即（CD+OB）•BD＝10．
∴CF•OF＝10．
∴（﹣y）•x＝10．
∴xy＝﹣10．
∴k＝xy＝﹣10．
故答案为：﹣10．
14．如图，△ABC的面积是21，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上，且AE＝2，EB＝4．若△ABD与四边形DFEB面积相等，则△ADC的面积＝ 7 ．
【分析】由△ABD与四边形DFEB面积相等，可得S△AEG＝S△DFG，从而得到S△AEF＝S△ADF，再根据三角形面积公式得出S△AEC＝S△ADC，最后由△ABC的面积及AE，BE的长利用等高的三角形面积比等于底边的比来求解．
【解答】解：如图，连接CE，AD交EF于点G
∵S△ABD＝S四边形DFEB，
∴S△AEG＝S△DFG，
∴S△AEG+S△AFG＝S△DFG+S△AFG，
∴S△AEF＝S△ADF，
设△ACE的边AC上的高为h1，
∵S△AEF＝•AF•h1，S△AEC＝•AC•h1，
设△ACD的边AC上的高为h2，
∵S△ADF＝•AF•h2，S△ADC＝•AC•h2，
∵S△AEF＝S△ADF，
∴h1＝h2，
∴S△AEC＝S△ADC，
∵AE＝2，EB＝4，
∴S△AEC＝S△BEC＝S△ABC，
∵S△ABC＝21，
∴S△AEC＝7，
∴S△ADC＝7．
故答案为：7．
三、解答题（共11小题，计78分，解答应写出过程）
15．（5分）计算：（﹣）×﹣（）﹣1+|1﹣|﹣2sin60°．
【分析】直接利用二次根式的性质以及特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝﹣2﹣4+﹣1﹣2×
＝﹣2﹣4+﹣1﹣
＝﹣2﹣5．
16．（5分）解分式方程：＝1．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：﹣x﹣6+x（x+2）＝x2﹣4，
整理得：﹣x﹣6+x2+2x＝x2﹣4，
解得：x＝2，
检验：把x＝2代入得：（x+2）（x﹣2）＝0，
则x＝2是增根，分式方程无解．
17．（5分）如图，已知△ABC中，∠B＝90°，sinC＝，点D为AC边上一点，请用尺规过点B作一条直线BD，使S△DCB＝S△ABD．（保留作图痕迹，不写作法）
【分析】利用勾股定理可知，BC＝，推出BC＝AB，作∠ABC的角平分线交AC于点D，直线BD即为所求作．
【解答】解：如图，直线BD即为所求作．
18．（5分）如图，在▱ABCD中，点F在边BC上，点E在边CB的延长线上，且∠EAB＝∠FDC，求证：EF＝AD．
【分析】根据平行四边形的性质可得AB＝CD，AB∥CD，进而可得∠ABE＝∠DCF，利用ASA定理可证明△BAE≌△CDF，进而可得结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠DCF，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△BAE≌△CDF（ASA），
∴EF＝AD．
19．（7分）近期，社区团购App开始流行，除了团购的优惠力度非常高之外，购买商品也是非常方便．手机上一键下单，一键提货．小明同学对某小区居民了解和使用社区团购App的情况进行了问卷调查．在这次问卷调查中发现，在被调查的居民中有20人对于社区团购App不了解．设被调查居民中使用社区团购App的每位居民最近一周下单总金额为m元．将下单金额分为四个类别：A：0＜m≤70；B：70＜m≤140；C：140＜m≤210；D：m＞210．根据调查结果得到如下不完整的统计图．请根据以上信息解答下列问题：
（1）本次被调查居民共 200 人，其中使用过程社区团购App的有 90 人．
（2）补全条形统计图；
（3）如果这个小区大约有1600名居民，请估算出使用社区团购App最近一周下单总金额不超过140元的有多少人？
【分析】（1）由不了解人数的人数及其所占百分比求解即可得出总人数，总人数乘以使用过的人数所占百分比即可；
（2）用使用过的人数减去A、C、D人数求出B对应的人数，从而补全图形；
（3）用总人数乘以样本中使用过APP人数所占百分比，再乘以使用过APP人数中不超过140元的人数所占比例即可．
【解答】解：（1）本次被调查居民共20÷10%＝200（人），其中使用过社区团购App的有200×（1﹣45%﹣10%）＝90（人），
故答案为：200、90；
（2）B金额的人数为90﹣（35+10+5）＝40（人），
补全图形如下：
（3）估算使用社区团购App最近一周下单总金额不超过140元的人数为1600×（1﹣45%﹣10%）×＝600（人）．
20．（7分）奇奇，妙妙等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量某景区景观塔的高EF．因景观塔前有一个山坡，故底部DE间的距离不易测得．经过研究，他们使用如下测量方法：如图，首先测得坡角∠MDE＝22°，DM＝10米．奇奇在塔顶F处用测角仪测得山坡上点M的俯角为45度，然后，妙妙站在段B处．同伴在妙妙和观景塔之间的直线BE上放一平面镜．在镜面上做了一个标记，这个标记在直线BE上的对应位置为点C，移动平面镜，此时妙妙在平面镜内可以看到塔顶点F在镜面中的像与镜面上的标记重合．这时，测得妙妙眼睛与地面的高度AB＝1.6米．BC＝4.8米，CD＝16.4米．已知AB、BE．EF⊥BE．点B、C、D、E共线．其中，测量时使用的平面镜的厚度忽略不计．请你根据题中提供的相关信息，求出景观塔的高EF的长度．（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40．）
【分析】通过作垂线构造直角三角形，利用三角形的边角关系求出PM、PD，再根据方位角可得MN＝FN，再根据平面镜的反射规律可得出△ABC∽△FEC，利用相似三角形的性质可得答案．
【解答】解：过点M作MN⊥EF，垂足为M，MP⊥DE，垂足为P，
在Rt△DMP中，∠MDE＝22°，DM＝10，
∴PM＝DM•sin22°≈10×0.37＝3.7（m）＝EN，
PD＝DM•cos22°≈10×0.93＝9.3（m），
在Rt△MNF中，∠MFN＝45°，
∴MN＝FN＝PE，
设FN＝x，则FE＝FN+NE＝（x+3.7）米，CE＝CD+DP+PE＝16.4+9.3+x＝（25.7+x）米，
由题意可得，△ABC∽△FEC，
∴＝，
即，＝，
解得，x＝12.85，
∴FE＝FN+NE＝12.85+3.7＝16.55（米），
答：景观塔的高EF的高度约为16.55米．
21．（7分）儿童用药的药量常常按照他们的体重来计算．已知某种药品，体重10kg的儿童，每次正常服用量为120mg，体重15kg的儿童每次正常服用量为170mg．设儿童体重为x（kg）．每次正常服用量为y（mg）．当0≤x≤50时，y是x的一次函数．现实中，该药品每次实际服用量可以比每次正常服用量略高一些，但不能超过正常服用量的1.2倍，否则会对儿童的身体造成较大损害．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若该药品的一种包装规格为300mg/袋，求体重在什么范围的儿童生病时可以一次服下一袋药？
【分析】（1）根据体重10kg的儿童，每次正常服用量为120mg；体重15kg的儿童每次正常服用量为170mg；体重在0～50kg范围内时，每次正常服用量y（mg）是儿童体重x（kg）的一次函数，可以求得y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）根据题意和（1）中的函数关系式，可以求得儿童的最大和最小体重，从而可以得到体重在什么范围的儿童生病时可以一次服下一袋药．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0）由题意得，
，
解得，．
∴y与x之间的函数关系式是y＝10x+20（0≤x≤50）；
（2）由（1），当y＝300时，
300＝10x+20，
解得x＝28，
当y＝＝250时，
250＝10x+20，
解得x＝23，
故23≤x≤28，
故体重在23≤x≤28范围的儿童生病时可以一次服下一袋药．
22．（7分）在体育活动课时，甲、乙、丙、丁四位同学用排球玩传球游戏．游戏规则是：第一次由甲将排球随机传给乙、丙、丁三人中的某一人．第二次规定，每一次传球都是由接到球的人随机传给其他三人中的某一人．
（1）甲第一次传球时，求恰好传给丙的概率；
（2）请用画树状图或列表法求第二次传球后，球恰好回到甲手中的概率是多少？
【分析】（1）直接利用概率公式求解可得；
（2）直接利用树状图法得出所有符合题意情况，进而求出概率．
【解答】解：（1）甲第一次传球时，恰好传给丙的概率为；
（2）如图所示：
，
由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中符合要求的结果有3种，
∴第二次传球后，球恰好回到甲手中的的概率为＝．
23．（8分）如图，AB为⊙O的直径，BC是⊙O的一条弦，点D在⊙O上，BD平分∠ABC，
过点D作EF⊥BC，分别交BA、BC的延长线于点E、F．
（1）求证：EF为⊙O的切线；
（2）若BD＝4，tan∠FDB＝2，求AE的长．
【分析】（1）连接OD，证∠CBD＝∠ODB，得OD∥BC，再证EF⊥OD，即可得出结论；
（2）连接AD，证∠BAD＝∠FDB，则tan∠BAD＝tan∠FDB＝2，得AD＝BD＝2，BF＝2DF，再由勾股定理得AB＝10，BD＝DF＝4，则OD＝OA＝OB＝AB＝5，DF＝4，BF＝8，然后证△ODE∽△BFE，得＝，即可求解．
【解答】（1）证明：连接OD，如图1所示：
∵BD平分∠ABC，
∴∠OBD＝∠CBD，
∵OD＝OB，
∴∠OBD＝∠ODB，
∴∠CBD＝∠ODB，
∴OD∥BC，
∵EF⊥BC，
∴EF⊥OD，
又∵OD是⊙O的半径，
∴EF为⊙O的切线；
（2）解：连接AD，如图2所示：
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD+∠ABD＝90°，
∵EF⊥BC，
∴∠F＝90°，
∴∠FDB+∠CBD＝90°，
∵∠ABD＝∠CBD，
∴∠BAD＝∠FDB，
∴tan∠BAD＝tan∠FDB＝2，
∴＝2，＝2，
∴AD＝BD＝2，BF＝2DF，
∴AB＝＝＝10，BD＝＝DF＝4，
∴OD＝OA＝OB＝AB＝5，DF＝4，BF＝8，
由（1）得：OD∥BC，
∴△ODE∽△BFE，
∴＝，
即＝，
解得：AE＝．
24．（10分）如图在平面直角坐标系中，已知抛物线L：y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣4，0）、B（2，0）、C（0，﹣2）三点．
（1）求抛物线L的函数表达式；
（2）记抛物线L的顶点为E，对称轴与x轴的交点为F，点Q是x轴上任意一点，若抛物线L'与抛物线L关于点Q中心对称，且抛物线L'的顶点为E'，其对称轴与x轴交于点F'，当以E、F、E'、F'为顶点的四边形面积为9时，请求出抛物线L'的表达式．
【分析】（1）根据待定系数法即可求得；
（2）根据中心对称的性质求得变形后的顶点坐标，进而即可求得抛物线L'的表达式．
【解答】解：（1）∵抛物线L：y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣4，0）、B（2，0）、C（0，﹣2）三点，
∴设抛物线L为y＝a（x+4）（x﹣2），
把C（0，﹣2）代入得，﹣2＝﹣8a，
解得a＝，
∴y＝（x+4）（x﹣2），
∴抛物线L的函数表达式为y＝x2+﹣2；
（2）∵y＝x2+﹣2＝（x+1）2﹣，
∴E（﹣1，﹣），
∴F（﹣1，0），
∵抛物线L'与抛物线L关于点Q中心对称，
∴E′F′＝EF＝，
∵四边形面积为9，
∴2וFF′•EF＝9，
∴FF′＝9，
∴FF′＝4，
∴E′（3，）或（5，），
∴抛物线L'的表达式为y＝﹣（x﹣3）2+或y＝﹣（x﹣5）2+．
25．（12分）问题探究：
（1）如图①，已知在△ABC中，BC＝4，∠BAC＝45°，则AB的最大值是 4 ．
（2）如图②，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，D为△ABC内一点，且AD＝2，BD＝2，CD＝6，请求出∠ADB的度数．
问题解决：
（3）如图③，某户外拓展基地计划在一处空地上修建一个新的拓展游戏区△ABC，且AB＝AC．∠BAC＝120°，点A、B、C分别是三个任务点，点P是△ABC内一个打卡点．按照设计要求，CP＝30米，打卡点P对任务点A、B的张角为120°，即∠APB＝120°．为保证游戏效果，需要A、P的距离与B、P的距离和尽可能大，试求出AP+BP的最大值．
【分析】（1）如图①中，作△△ABC的外接圆⊙O，连接OA，OB，OC．求出OA＝OB＝OC＝2，可得结论．
（2）如图②中，将△ABD绕点B顺时针旋转90°，得到△CBT，连接DT．利用勾股定理的逆定理证明∠CTD＝90°，可得结论．
（3）如图③中，将△ABP绕点A逆时针旋转120°，得到△ACK，延长CK交PA的延长线于J，作△PJC的外接圆⊙O，连接OP，OC，OJ．证明PA+PB＝JC，求出CJ的最大值，可得结论．
【解答】解：（1）如图①中，作△△ABC的外接圆⊙O，连接OA，OB，OC．
∵∠BOC＝2∠BAC＝90°，OB＝OC，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∵BC＝4，
∴OB＝OC＝2，
∵AB≤OA+OB，
∴AB≤4，
∴AB的最大值为4．
故答案为：4．
（2）如图②中，将△ABD绕点B顺时针旋转90°，得到△CBT，连接DT．
由题意DT＝BD＝2，CT＝AD＝2，
∵CD＝6，
∴DT2+CT2＝CD2，
∴∠CTD＝90°，
∵△BDT是等腰直角三角形，
∴∠DTB＝45°，
∴∠CTB＝45°+90°＝135°，
∴∠ADB＝∠CTB＝135°．
（3）如图③中，将△ABP绕点A逆时针旋转120°，得到△ACK，延长CK交PA的延长线于J，作△PJC的外接圆⊙O，连接OP，OC，OJ．
∵∠PAK＝120°，∠AKC＝∠APB＝120°，
∴∠JAK＝∠JKA＝60°，
∴∠AJK＝60°，
∴△JAK是等边三角形，
∴AK＝KJ，
∴∠COP＝2∠AJK＝120°，
∵PC＝30米．
∴OP＝OC＝OJ＝＝10（米），
∵CJ≤OJ+OC，
∴CJ≤20，
∴CJ的最大值为20米，
∵PA+PB＝AK+CK＝KJ+KC＝JC，
∴PA+PB的最大值为20米．
2021年陕西省西安市碑林区中考数学四模试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1．﹣64的立方根是（ ）
A．8 B．﹣8 C．4 D．﹣4
2．如图的几何体是由一个正方体切去一个小正方体形成的，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝65°10′，则∠2的度数为（ ）
A．65°10′ B．34°50′ C．34°10′ D．24°50′
4．已知点A（x1，y1），点B（x2，y2）都在正比例函数y＝x的图象上．若x2﹣x1＝3，则y2﹣y1的值为（ ）
A． B． C．3 D．6
5．下列计算正确的是（ ）
A．2a2+a3＝3a5 B．（﹣b2）5＝﹣b10
C．（2ab）2÷（ab）＝2ab D．（﹣1﹣ab）2＝1﹣2ab+a2b2
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，已如AD是△ABC的角平分线，BE是△ABC的高线，且点F是AB的中点．连接DF、DE、FE，若△DEF周长为10，则cosC为（ ）
A． B． C． D．
7．把直线y＝﹣x+4向下移n个单位长度后，与直线y＝x+3的交点在第二象限，则n的取值范围是（ ）
A．1＜n＜ B．1＜n＜10 C．n＞10 D．n＜7
8．如图，已知菱形ABCD中，过AD中点E作EF⊥BD，交对角线BD于点M，交BC的延长线于点F．连接DF，若CF＝2，BD＝4，则DF的长是（ ）
A．4 B．4 C．2 D．5
9．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，且点C为弧BAD的中点，连接CD、CB、OD，CD与AB交于点F．若∠AOD＝100°，则∠ABC的度数为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
10．已知二次函数y＝﹣（x﹣t）2+5（t为常数），在自变量x的值满足2≤x≤4的情况下，与其对应的函数值y的最大值为﹣4，则t的值为（ ）
A．﹣1 B．﹣1或1 C．﹣1或5 D．﹣1或7
二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）
11．分解因式：4xy2﹣4x2y+x3＝ ．
12．如果一个正多边形的中心角为72°，则该正多边形的对角线条数为 ．
13．如图，在平面直角坐标系中，OA是第四象限的角平分线，点C在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∠OAC＝90°，AB平分∠OAC且交y轴于点B，CD⊥AB于点D．若△ACD的面积比△AOB的面积少5，则k的值为 ．
14．如图，△ABC的面积是21，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上，且AE＝2，EB＝4．若△ABD与四边形DFEB面积相等，则△ADC的面积＝ ．
三、解答题（共11小题，计78分，解答应写出过程）
15．（5分）计算：（﹣）×﹣（）﹣1+|1﹣|﹣2sin60°．
16．（5分）解分式方程：＝1．
17．（5分）如图，已知△ABC中，∠B＝90°，sinC＝，点D为AC边上一点，请用尺规过点B作一条直线BD，使S△DCB＝S△ABD．（保留作图痕迹，不写作法）
18．（5分）如图，在▱ABCD中，点F在边BC上，点E在边CB的延长线上，且∠EAB＝∠FDC，求证：EF＝AD．
19．（7分）近期，社区团购App开始流行，除了团购的优惠力度非常高之外，购买商品也是非常方便．手机上一键下单，一键提货．小明同学对某小区居民了解和使用社区团购App的情况进行了问卷调查．在这次问卷调查中发现，在被调查的居民中有20人对于社区团购App不了解．设被调查居民中使用社区团购App的每位居民最近一周下单总金额为m元．将下单金额分为四个类别：A：0＜m≤70；B：70＜m≤140；C：140＜m≤210；D：m＞210．根据调查结果得到如下不完整的统计图．请根据以上信息解答下列问题：
（1）本次被调查居民共 人，其中使用过程社区团购App的有 人．
（2）补全条形统计图；
（3）如果这个小区大约有1600名居民，请估算出使用社区团购App最近一周下单总金额不超过140元的有多少人？
20．（7分）奇奇，妙妙等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量某景区景观塔的高EF．因景观塔前有一个山坡，故底部DE间的距离不易测得．经过研究，他们使用如下测量方法：如图，首先测得坡角∠MDE＝22°，DM＝10米．奇奇在塔顶F处用测角仪测得山坡上点M的俯角为45度，然后，妙妙站在段B处．同伴在妙妙和观景塔之间的直线BE上放一平面镜．在镜面上做了一个标记，这个标记在直线BE上的对应位置为点C，移动平面镜，此时妙妙在平面镜内可以看到塔顶点F在镜面中的像与镜面上的标记重合．这时，测得妙妙眼睛与地面的高度AB＝1.6米．BC＝4.8米，CD＝16.4米．已知AB、BE．EF⊥BE．点B、C、D、E共线．其中，测量时使用的平面镜的厚度忽略不计．请你根据题中提供的相关信息，求出景观塔的高EF的长度．（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40．）
21．（7分）儿童用药的药量常常按照他们的体重来计算．已知某种药品，体重10kg的儿童，每次正常服用量为120mg，体重15kg的儿童每次正常服用量为170mg．设儿童体重为x（kg）．每次正常服用量为y（mg）．当0≤x≤50时，y是x的一次函数．现实中，该药品每次实际服用量可以比每次正常服用量略高一些，但不能超过正常服用量的1.2倍，否则会对儿童的身体造成较大损害．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若该药品的一种包装规格为300mg/袋，求体重在什么范围的儿童生病时可以一次服下一袋药？
22．（7分）在体育活动课时，甲、乙、丙、丁四位同学用排球玩传球游戏．游戏规则是：第一次由甲将排球随机传给乙、丙、丁三人中的某一人．第二次规定，每一次传球都是由接到球的人随机传给其他三人中的某一人．
（1）甲第一次传球时，求恰好传给丙的概率；
（2）请用画树状图或列表法求第二次传球后，球恰好回到甲手中的概率是多少？
23．（8分）如图，AB为⊙O的直径，BC是⊙O的一条弦，点D在⊙O上，BD平分∠ABC，
过点D作EF⊥BC，分别交BA、BC的延长线于点E、F．
（1）求证：EF为⊙O的切线；
（2）若BD＝4，tan∠FDB＝2，求AE的长．
24．（10分）如图在平面直角坐标系中，已知抛物线L：y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣4，0）、B（2，0）、C（0，﹣2）三点．
（1）求抛物线L的函数表达式；
（2）记抛物线L的顶点为E，对称轴与x轴的交点为F，点Q是x轴上任意一点，若抛物线L'与抛物线L关于点Q中心对称，且抛物线L'的顶点为E'，其对称轴与x轴交于点F'，当以E、F、E'、F'为顶点的四边形面积为9时，请求出抛物线L'的表达式．
25．（12分）问题探究：
（1）如图①，已知在△ABC中，BC＝4，∠BAC＝45°，则AB的最大值是 ．
（2）如图②，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，D为△ABC内一点，且AD＝2，BD＝2，CD＝6，请求出∠ADB的度数．
问题解决：
（3）如图③，某户外拓展基地计划在一处空地上修建一个新的拓展游戏区△ABC，且AB＝AC．∠BAC＝120°，点A、B、C分别是三个任务点，点P是△ABC内一个打卡点．按照设计要求，CP＝30米，打卡点P对任务点A、B的张角为120°，即∠APB＝120°．为保证游戏效果，需要A、P的距离与B、P的距离和尽可能大，试求出AP+BP的最大值．
2021年陕西省西安市碑林区铁一中学中考数学四模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1．﹣64的立方根是（ ）
A．8 B．﹣8 C．4 D．﹣4
【分析】利用立方根定义求解即可．
【解答】解：∵（﹣4）3＝﹣64，
∴﹣64的立方根是﹣4．
故选：D．
2．如图的几何体是由一个正方体切去一个小正方体形成的，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
【解答】解：从几何体的左边看可得到一个正方形，正方形的右上角处有一个小正方形，
故选：D．
3．如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝65°10′，则∠2的度数为（ ）
A．65°10′ B．34°50′ C．34°10′ D．24°50′
【分析】根据平行线的性质，两直线平行，同位角相等．即可得出∠3＝∠1＝65°10′，由∠4等于90°，所以∠2+∠3＝90°，即可得出答案．
【解答】解：根据平行线性质可得，如图，
∠3＝∠1＝65°10′，
又∵∠4＝90°，
∴∠2+∠3＝90°，
∴∠2＝90°﹣∠3＝90°﹣65°10′＝24°50′．
故选：D．
4．已知点A（x1，y1），点B（x2，y2）都在正比例函数y＝x的图象上．若x2﹣x1＝3，则y2﹣y1的值为（ ）
A． B． C．3 D．6
【分析】点A（x1，y1），点B（x2，y2）都在正比例函数y＝x的图象上．可以用y的式子表示出x，然后根据x2﹣x1＝3，即可得到y2﹣y1的值．
【解答】解：∵点A（x1，y1），点B（x2，y2）都在正比例函数y＝x的图象上．
∴y1＝x1，y2＝x2，
∴x1＝2y1，x2＝2y2，
∵x2﹣x1＝3，
∴2y2﹣2y1＝3，
解得y2﹣y1＝，
故选：A．
5．下列计算正确的是（ ）
A．2a2+a3＝3a5 B．（﹣b2）5＝﹣b10
C．（2ab）2÷（ab）＝2ab D．（﹣1﹣ab）2＝1﹣2ab+a2b2
【分析】利用整式的运算法则，逐个计算得结论．
【解答】解：由于a2与a3不是同类项，不能加减，故选项A计算错误；
（﹣b2）5＝﹣b10，故选项B计算正确；
（2ab）2÷（ab）＝4ab≠2ab，故选项C计算错误；
（﹣1﹣ab）2＝1+2ab+a2b2≠1﹣2ab+a2b2，故选项D计算错误．
故选：B．
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，已如AD是△ABC的角平分线，BE是△ABC的高线，且点F是AB的中点．连接DF、DE、FE，若△DEF周长为10，则cosC为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，BD＝CD＝BC＝4，求得∠ADB＝90°，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC，BD＝CD＝BC＝4，
∴∠ADB＝90°，
∵BE是△ABC的高线，
∴∠BEA＝∠BEC＝90°，
∴DE＝BC＝4，
∵点F是AB的中点，
∴DF＝AB，EF＝AB，
∴EF＝DF，
∵△DEF周长为10，
∴EF+DF＝6，
∴EF＝DF＝3，
∴AB＝AC＝2EF＝6，
∴cosC＝＝＝．
故选：C．
7．把直线y＝﹣x+4向下移n个单位长度后，与直线y＝x+3的交点在第二象限，则n的取值范围是（ ）
A．1＜n＜ B．1＜n＜10 C．n＞10 D．n＜7
【分析】直线y＝﹣x+4向下移n个单位长度后可得：y＝﹣x+4﹣n，求出直线y＝﹣x+4﹣n与直线y＝x+3的交点，再由此点在第二象限可得出n的取值范围．
【解答】解：直线y＝﹣x+4向下移n个单位长度后可得：y＝﹣x+4﹣n，
联立两直线解析式得：，
解得：，
即交点坐标为（，），
∵交点在第二象限，
∴，
解得：1＜n＜10．
故选：B．
8．如图，已知菱形ABCD中，过AD中点E作EF⊥BD，交对角线BD于点M，交BC的延长线于点F．连接DF，若CF＝2，BD＝4，则DF的长是（ ）
A．4 B．4 C．2 D．5
【分析】先证明△BCD是等边三角形，可求出BM的长，MF的长，由勾股定理可求解．
【解答】解：设CD与EF的交点为H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD＝BC，∠ADB＝∠CDB，
∵点E是AD中点，
∴AE＝DE＝AD，
在△DEM和△DHM中，
，
∴△DEM≌△DHM（ASA），
∴DE＝DH，
∴DH＝CH，
∵AD∥BC，
∴△DEH∽△CFH，
∴＝1，
∴DE＝CF＝2，
∴AD＝4＝CD＝BC，
∴BF＝6，
∵BD＝4，
∴BC＝CD＝BD，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠DBC＝60°，
∴∠BFM＝30°，
∴BM＝BF＝3，MF＝BM＝3，
∴DM＝1，
∴DF＝＝＝2，
故选：C．
9．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，且点C为弧BAD的中点，连接CD、CB、OD，CD与AB交于点F．若∠AOD＝100°，则∠ABC的度数为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【分析】连接BD，由圆周角定理求出∠ABD和∠DCB的度数，由等腰三角形的性质求出∠DBC的度数，则可求出答案．
【解答】解：连接BD，
∵∠AOD＝100°，
∴∠OBD＝∠AOD＝50°，∠BOD＝180°﹣∠AOD＝180°﹣100°＝80°，
∴∠DCB＝∠BOD＝40°，
∵点C为弧BAD的中点，
∴DC＝CB，
∴∠CDB＝∠CBD＝，
∴∠CBA＝∠CBD﹣∠OBD＝70°﹣50°＝20°，
故选：B．
10．已知二次函数y＝﹣（x﹣t）2+5（t为常数），在自变量x的值满足2≤x≤4的情况下，与其对应的函数值y的最大值为﹣4，则t的值为（ ）
A．﹣1 B．﹣1或1 C．﹣1或5 D．﹣1或7
【分析】根据题意和二次函数的性质，利用分类讨论的方法可以求得t的值，从而可以解答本题．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣（x﹣t）2+5，
∴该函数的对称轴是直线x＝t，函数图象开口向下，该函数有最大值5，
∵2≤x≤4，与其对应的函数值y的最大值为﹣4，
∴当t＜2时，x＝2时，y＝﹣（2﹣t）2+5＝﹣4，解得t1＝﹣1，t2＝5（舍去）；
当2≤t≤4时，该函数的最大值是5，与题意不符；
当t＞4时，x＝4时，y＝﹣（4﹣t）2+5＝﹣4，解得t3＝1（舍去），t4＝7；
由上可得，t的值是﹣1或7，
故选：D．
二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）
11．分解因式：4xy2﹣4x2y+x3＝ x（2y﹣x）2 ．
【分析】直接提取公因式x，再利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：原式＝x（4y2﹣4xy+x2）
＝x（2y﹣x）2．
故答案为：x（2y﹣x）2．
12．如果一个正多边形的中心角为72°，则该正多边形的对角线条数为 5 ．
【分析】一个正多边形的中心角都相等，且所有中心角的和是360度，用360度除以中心角的度数，就得到中心角的个数，即多边形的边数，再根据一个多边形有条对角线，即可算出有多少条对角线．
【解答】解：由题意可得：
边数为360°÷72°＝5，
所以这个多边形的对角线条数是（条），
故答案为：5．
13．如图，在平面直角坐标系中，OA是第四象限的角平分线，点C在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∠OAC＝90°，AB平分∠OAC且交y轴于点B，CD⊥AB于点D．若△ACD的面积比△AOB的面积少5，则k的值为 ﹣10 ．
【分析】由题意，△ABO和△ACD为等腰直角三角形，面积可以表示；设出点C的坐标，用C的坐标表示线段BD，CF，利用待定系数法可求．
【解答】解：延长CD，交x轴于点F，
∵∠BOF＝90°，AB⊥OB，CD⊥AB，
∴四边形DBOF为矩形．
∴OB＝DF，BD＝OF．
设点C的坐标为（x，y），则x＞0，y＜0．
∴OF＝x，CF＝﹣y．
∵OA是第四象限的角平分线，AB⊥OB，
∴△AOB为等腰直角三角形．
∴∠BAO＝45°，AB＝OB，．
∵∠OAC＝90°，
∴∠BAC＝45°．
∵CD⊥AB，
∴△ACD为等腰直角三角形，
∴AD＝CD，．
∵△ACD的面积比△AOB的面积少5，
∴．
∴AB2﹣AD2＝10．
∴（AB+AD）（AB﹣AD）＝10．
即（CD+OB）•BD＝10．
∴CF•OF＝10．
∴（﹣y）•x＝10．
∴xy＝﹣10．
∴k＝xy＝﹣10．
故答案为：﹣10．
14．如图，△ABC的面积是21，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上，且AE＝2，EB＝4．若△ABD与四边形DFEB面积相等，则△ADC的面积＝ 7 ．
【分析】由△ABD与四边形DFEB面积相等，可得S△AEG＝S△DFG，从而得到S△AEF＝S△ADF，再根据三角形面积公式得出S△AEC＝S△ADC，最后由△ABC的面积及AE，BE的长利用等高的三角形面积比等于底边的比来求解．
【解答】解：如图，连接CE，AD交EF于点G
∵S△ABD＝S四边形DFEB，
∴S△AEG＝S△DFG，
∴S△AEG+S△AFG＝S△DFG+S△AFG，
∴S△AEF＝S△ADF，
设△ACE的边AC上的高为h1，
∵S△AEF＝•AF•h1，S△AEC＝•AC•h1，
设△ACD的边AC上的高为h2，
∵S△ADF＝•AF•h2，S△ADC＝•AC•h2，
∵S△AEF＝S△ADF，
∴h1＝h2，
∴S△AEC＝S△ADC，
∵AE＝2，EB＝4，
∴S△AEC＝S△BEC＝S△ABC，
∵S△ABC＝21，
∴S△AEC＝7，
∴S△ADC＝7．
故答案为：7．
三、解答题（共11小题，计78分，解答应写出过程）
15．（5分）计算：（﹣）×﹣（）﹣1+|1﹣|﹣2sin60°．
【分析】直接利用二次根式的性质以及特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝﹣2﹣4+﹣1﹣2×
＝﹣2﹣4+﹣1﹣
＝﹣2﹣5．
16．（5分）解分式方程：＝1．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：﹣x﹣6+x（x+2）＝x2﹣4，
整理得：﹣x﹣6+x2+2x＝x2﹣4，
解得：x＝2，
检验：把x＝2代入得：（x+2）（x﹣2）＝0，
则x＝2是增根，分式方程无解．
17．（5分）如图，已知△ABC中，∠B＝90°，sinC＝，点D为AC边上一点，请用尺规过点B作一条直线BD，使S△DCB＝S△ABD．（保留作图痕迹，不写作法）
【分析】利用勾股定理可知，BC＝，推出BC＝AB，作∠ABC的角平分线交AC于点D，直线BD即为所求作．
【解答】解：如图，直线BD即为所求作．
18．（5分）如图，在▱ABCD中，点F在边BC上，点E在边CB的延长线上，且∠EAB＝∠FDC，求证：EF＝AD．
【分析】根据平行四边形的性质可得AB＝CD，AB∥CD，进而可得∠ABE＝∠DCF，利用ASA定理可证明△BAE≌△CDF，进而可得结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠DCF，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△BAE≌△CDF（ASA），
∴EF＝AD．
19．（7分）近期，社区团购App开始流行，除了团购的优惠力度非常高之外，购买商品也是非常方便．手机上一键下单，一键提货．小明同学对某小区居民了解和使用社区团购App的情况进行了问卷调查．在这次问卷调查中发现，在被调查的居民中有20人对于社区团购App不了解．设被调查居民中使用社区团购App的每位居民最近一周下单总金额为m元．将下单金额分为四个类别：A：0＜m≤70；B：70＜m≤140；C：140＜m≤210；D：m＞210．根据调查结果得到如下不完整的统计图．请根据以上信息解答下列问题：
（1）本次被调查居民共 200 人，其中使用过程社区团购App的有 90 人．
（2）补全条形统计图；
（3）如果这个小区大约有1600名居民，请估算出使用社区团购App最近一周下单总金额不超过140元的有多少人？
【分析】（1）由不了解人数的人数及其所占百分比求解即可得出总人数，总人数乘以使用过的人数所占百分比即可；
（2）用使用过的人数减去A、C、D人数求出B对应的人数，从而补全图形；
（3）用总人数乘以样本中使用过APP人数所占百分比，再乘以使用过APP人数中不超过140元的人数所占比例即可．
【解答】解：（1）本次被调查居民共20÷10%＝200（人），其中使用过社区团购App的有200×（1﹣45%﹣10%）＝90（人），
故答案为：200、90；
（2）B金额的人数为90﹣（35+10+5）＝40（人），
补全图形如下：
（3）估算使用社区团购App最近一周下单总金额不超过140元的人数为1600×（1﹣45%﹣10%）×＝600（人）．
20．（7分）奇奇，妙妙等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量某景区景观塔的高EF．因景观塔前有一个山坡，故底部DE间的距离不易测得．经过研究，他们使用如下测量方法：如图，首先测得坡角∠MDE＝22°，DM＝10米．奇奇在塔顶F处用测角仪测得山坡上点M的俯角为45度，然后，妙妙站在段B处．同伴在妙妙和观景塔之间的直线BE上放一平面镜．在镜面上做了一个标记，这个标记在直线BE上的对应位置为点C，移动平面镜，此时妙妙在平面镜内可以看到塔顶点F在镜面中的像与镜面上的标记重合．这时，测得妙妙眼睛与地面的高度AB＝1.6米．BC＝4.8米，CD＝16.4米．已知AB、BE．EF⊥BE．点B、C、D、E共线．其中，测量时使用的平面镜的厚度忽略不计．请你根据题中提供的相关信息，求出景观塔的高EF的长度．（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40．）
【分析】通过作垂线构造直角三角形，利用三角形的边角关系求出PM、PD，再根据方位角可得MN＝FN，再根据平面镜的反射规律可得出△ABC∽△FEC，利用相似三角形的性质可得答案．
【解答】解：过点M作MN⊥EF，垂足为M，MP⊥DE，垂足为P，
在Rt△DMP中，∠MDE＝22°，DM＝10，
∴PM＝DM•sin22°≈10×0.37＝3.7（m）＝EN，
PD＝DM•cos22°≈10×0.93＝9.3（m），
在Rt△MNF中，∠MFN＝45°，
∴MN＝FN＝PE，
设FN＝x，则FE＝FN+NE＝（x+3.7）米，CE＝CD+DP+PE＝16.4+9.3+x＝（25.7+x）米，
由题意可得，△ABC∽△FEC，
∴＝，
即，＝，
解得，x＝12.85，
∴FE＝FN+NE＝12.85+3.7＝16.55（米），
答：景观塔的高EF的高度约为16.55米．
21．（7分）儿童用药的药量常常按照他们的体重来计算．已知某种药品，体重10kg的儿童，每次正常服用量为120mg，体重15kg的儿童每次正常服用量为170mg．设儿童体重为x（kg）．每次正常服用量为y（mg）．当0≤x≤50时，y是x的一次函数．现实中，该药品每次实际服用量可以比每次正常服用量略高一些，但不能超过正常服用量的1.2倍，否则会对儿童的身体造成较大损害．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若该药品的一种包装规格为300mg/袋，求体重在什么范围的儿童生病时可以一次服下一袋药？
【分析】（1）根据体重10kg的儿童，每次正常服用量为120mg；体重15kg的儿童每次正常服用量为170mg；体重在0～50kg范围内时，每次正常服用量y（mg）是儿童体重x（kg）的一次函数，可以求得y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）根据题意和（1）中的函数关系式，可以求得儿童的最大和最小体重，从而可以得到体重在什么范围的儿童生病时可以一次服下一袋药．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0）由题意得，
，
解得，．
∴y与x之间的函数关系式是y＝10x+20（0≤x≤50）；
（2）由（1），当y＝300时，
300＝10x+20，
解得x＝28，
当y＝＝250时，
250＝10x+20，
解得x＝23，
故23≤x≤28，
故体重在23≤x≤28范围的儿童生病时可以一次服下一袋药．
22．（7分）在体育活动课时，甲、乙、丙、丁四位同学用排球玩传球游戏．游戏规则是：第一次由甲将排球随机传给乙、丙、丁三人中的某一人．第二次规定，每一次传球都是由接到球的人随机传给其他三人中的某一人．
（1）甲第一次传球时，求恰好传给丙的概率；
（2）请用画树状图或列表法求第二次传球后，球恰好回到甲手中的概率是多少？
【分析】（1）直接利用概率公式求解可得；
（2）直接利用树状图法得出所有符合题意情况，进而求出概率．
【解答】解：（1）甲第一次传球时，恰好传给丙的概率为；
（2）如图所示：
，
由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中符合要求的结果有3种，
∴第二次传球后，球恰好回到甲手中的的概率为＝．
23．（8分）如图，AB为⊙O的直径，BC是⊙O的一条弦，点D在⊙O上，BD平分∠ABC，
过点D作EF⊥BC，分别交BA、BC的延长线于点E、F．
（1）求证：EF为⊙O的切线；
（2）若BD＝4，tan∠FDB＝2，求AE的长．
【分析】（1）连接OD，证∠CBD＝∠ODB，得OD∥BC，再证EF⊥OD，即可得出结论；
（2）连接AD，证∠BAD＝∠FDB，则tan∠BAD＝tan∠FDB＝2，得AD＝BD＝2，BF＝2DF，再由勾股定理得AB＝10，BD＝DF＝4，则OD＝OA＝OB＝AB＝5，DF＝4，BF＝8，然后证△ODE∽△BFE，得＝，即可求解．
【解答】（1）证明：连接OD，如图1所示：
∵BD平分∠ABC，
∴∠OBD＝∠CBD，
∵OD＝OB，
∴∠OBD＝∠ODB，
∴∠CBD＝∠ODB，
∴OD∥BC，
∵EF⊥BC，
∴EF⊥OD，
又∵OD是⊙O的半径，
∴EF为⊙O的切线；
（2）解：连接AD，如图2所示：
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD+∠ABD＝90°，
∵EF⊥BC，
∴∠F＝90°，
∴∠FDB+∠CBD＝90°，
∵∠ABD＝∠CBD，
∴∠BAD＝∠FDB，
∴tan∠BAD＝tan∠FDB＝2，
∴＝2，＝2，
∴AD＝BD＝2，BF＝2DF，
∴AB＝＝＝10，BD＝＝DF＝4，
∴OD＝OA＝OB＝AB＝5，DF＝4，BF＝8，
由（1）得：OD∥BC，
∴△ODE∽△BFE，
∴＝，
即＝，
解得：AE＝．
24．（10分）如图在平面直角坐标系中，已知抛物线L：y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣4，0）、B（2，0）、C（0，﹣2）三点．
（1）求抛物线L的函数表达式；
（2）记抛物线L的顶点为E，对称轴与x轴的交点为F，点Q是x轴上任意一点，若抛物线L'与抛物线L关于点Q中心对称，且抛物线L'的顶点为E'，其对称轴与x轴交于点F'，当以E、F、E'、F'为顶点的四边形面积为9时，请求出抛物线L'的表达式．
【分析】（1）根据待定系数法即可求得；
（2）根据中心对称的性质求得变形后的顶点坐标，进而即可求得抛物线L'的表达式．
【解答】解：（1）∵抛物线L：y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣4，0）、B（2，0）、C（0，﹣2）三点，
∴设抛物线L为y＝a（x+4）（x﹣2），
把C（0，﹣2）代入得，﹣2＝﹣8a，
解得a＝，
∴y＝（x+4）（x﹣2），
∴抛物线L的函数表达式为y＝x2+﹣2；
（2）∵y＝x2+﹣2＝（x+1）2﹣，
∴E（﹣1，﹣），
∴F（﹣1，0），
∵抛物线L'与抛物线L关于点Q中心对称，
∴E′F′＝EF＝，
∵四边形面积为9，
∴2וFF′•EF＝9，
∴FF′＝9，
∴FF′＝4，
∴E′（3，）或（5，），
∴抛物线L'的表达式为y＝﹣（x﹣3）2+或y＝﹣（x﹣5）2+．
25．（12分）问题探究：
（1）如图①，已知在△ABC中，BC＝4，∠BAC＝45°，则AB的最大值是 4 ．
（2）如图②，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，D为△ABC内一点，且AD＝2，BD＝2，CD＝6，请求出∠ADB的度数．
问题解决：
（3）如图③，某户外拓展基地计划在一处空地上修建一个新的拓展游戏区△ABC，且AB＝AC．∠BAC＝120°，点A、B、C分别是三个任务点，点P是△ABC内一个打卡点．按照设计要求，CP＝30米，打卡点P对任务点A、B的张角为120°，即∠APB＝120°．为保证游戏效果，需要A、P的距离与B、P的距离和尽可能大，试求出AP+BP的最大值．
【分析】（1）如图①中，作△△ABC的外接圆⊙O，连接OA，OB，OC．求出OA＝OB＝OC＝2，可得结论．
（2）如图②中，将△ABD绕点B顺时针旋转90°，得到△CBT，连接DT．利用勾股定理的逆定理证明∠CTD＝90°，可得结论．
（3）如图③中，将△ABP绕点A逆时针旋转120°，得到△ACK，延长CK交PA的延长线于J，作△PJC的外接圆⊙O，连接OP，OC，OJ．证明PA+PB＝JC，求出CJ的最大值，可得结论．
【解答】解：（1）如图①中，作△△ABC的外接圆⊙O，连接OA，OB，OC．
∵∠BOC＝2∠BAC＝90°，OB＝OC，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∵BC＝4，
∴OB＝OC＝2，
∵AB≤OA+OB，
∴AB≤4，
∴AB的最大值为4．
故答案为：4．
（2）如图②中，将△ABD绕点B顺时针旋转90°，得到△CBT，连接DT．
由题意DT＝BD＝2，CT＝AD＝2，
∵CD＝6，
∴DT2+CT2＝CD2，
∴∠CTD＝90°，
∵△BDT是等腰直角三角形，
∴∠DTB＝45°，
∴∠CTB＝45°+90°＝135°，
∴∠ADB＝∠CTB＝135°．
（3）如图③中，将△ABP绕点A逆时针旋转120°，得到△ACK，延长CK交PA的延长线于J，作△PJC的外接圆⊙O，连接OP，OC，OJ．
∵∠PAK＝120°，∠AKC＝∠APB＝120°，
∴∠JAK＝∠JKA＝60°，
∴∠AJK＝60°，
∴△JAK是等边三角形，
∴AK＝KJ，
∴∠COP＝2∠AJK＝120°，
∵PC＝30米．
∴OP＝OC＝OJ＝＝10（米），
∵CJ≤OJ+OC，
∴CJ≤20，
∴CJ的最大值为20米，
∵PA+PB＝AK+CK＝KJ+KC＝JC，
∴PA+PB的最大值为20米．
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