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2023年福建省莆田市中考数学二检试卷（含解析）
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这是一份2023年福建省莆田市中考数学二检试卷（含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年福建省莆田市中考数学二检试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列四个数中，最大的数是( )
A. −3 B. 0 C. 5 D. 2
2. 下列四个几何体中，主视图是三角形的是( )
A. B. C. D.
3. 人工智能是推动全球数字化发展的重要赋能技术.根据中国信通院发布的最新数据测算，预计2023年我国人工智能市场规模达到3043亿元.其中304300000000用科学记数法表示为( )
A. 3043×108 B. 304.3×109 C. 3.043×1011 D. 0.3043×1012
4. 达芬奇椭圆规是画椭圆的一种工具，如图所示，当滑标M在滑槽EF内往复运动，滑标N在滑槽GH内随之运动，将笔尖放置于D处即可画出椭圆，则画出的椭圆是( )
A. 是轴对称图形，也是中心对称图形
B. 是轴对称图形，不是中心对称图形
C. 不是轴对称图形，但是中心对称图形
D. 既不是轴对称图形，也不是中心对称图形
5. 下列各式中，计算结果是a12的是( )
A. a3⋅a4 B. (a3)4 C. a12÷a D. a6+a6
6. 超市货架上有一批大小不一的鸡蛋，某顾客从中选购了部分大小均匀的鸡蛋，设货架上原有鸡蛋的质量(单位：g)平均数和方差分别为x−，s2，该顾客选购的鸡蛋的质量平均数和方差分别为x−1，s12，则下列结论一定成立的是( )
A. x−x−1 C. s2>s12 D. s2
第一步先将象牵到大船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出；
第二步往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3个搬运工，这时水位恰好到达标记位置：第三步往船上再抬入1块同样的条形石，船上只留1个搬运工，发现水位也恰好到达标记位置．
已知搬运工体重均为120斤，设每块条形石的重量是x斤，根据以上方法可列出的方程是( )
A. 20x+3×120=(20+1)x+120 B. 20x+3×120=(20+1)x−120
C. 20x−3×120=(20+1)x+120 D. 20x−3×120=(20+1)x−120
8. 如图，在⊙O中，∠AOB=120°，点C在AB上，连接AC，BC，过点B作BD⊥AC的延长线于点D，当点C从点A运动到点B的过程中，∠CBD的度数( )
A. 先增大后减小
B. 先减小后增大
C. 保持不变
D. 一直减小
9. 圭表(如图1)是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆(称为“表”)和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺(称为“圭”)，当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上.图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表AC垂直圭BC.已知该市冬至正午太阳高度角(即∠ABC)为α，夏至正午太阳高度角(即∠ADC)为β，若表AC的长为m，则圭面上冬至线与夏至线之间的距离(即DB的长)为( )
A. mtanα−mtanβ B. mtanα−mtanβ
C. msinα−mcosβ D. msinα−mcosβ
10. 如图，在△ABD中，AD
A. 菱形→矩形→正方形 B. 矩形→菱形→正方形
C. 菱形→平行四边形→矩形 D. 矩形→平行四边形→菱形
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 不等式3x+2>5的解集为______ ．
12. 投掷一枚六个面分别标有1、2、3、4、5、6的质地均匀的正方体骰子，则向上一面是奇数的概率是______ ．
13. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=40°，D为斜边AC的中点，则∠BDC的度数为______ ．
14. 在平面直角坐标系xOy中，若直线y= 3x与双曲线y=kx相交，则实数k的值可以是______ .(只需写出一个符合条件的实数)
15. 阅读下列材料：“为什么32不是有理数”，完成问题．
证明：假设32是有理数，
那么存在两个互质的正整数n，m，使得32=nm，则______ ．
∵n3是2的倍数，
∴ ______ ，
可设n=2t(t为正整数)，则n3=8t3，
∴ ______ ，即4t3=m3，
∴ ______ ，
∴m，n都是2的倍数，不互质，与假设矛盾．
因此假设不成立，即32不是有理数．
将下列选项依次填入材料中的画线处，正确的顺序是______ .(填上序号)
①8t3=2m3；②n3=2m3；③m是2的倍数；④n是2的倍数．
16. 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，x1，x2，x3，x4，x5为实数，当x=x1及x=x2+x3+x4+x5时(其中x1≠x2+x3+x4+x5)，函数值均为5，当x=x1+x2时，函数值为p，当x=x3+x4+x5时，函数值为q，则p−q= ______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
计算：3tan30°− 9+(13)−1．
18. (本小题8.0分)
如图，点D，E分别在线段AB，AC上，AB=AC，∠ADC=∠AEB=90°，求证：BD=CE．
19. (本小题8.0分)
先化简，后求值：(1−aa+1)÷a2−1a2+2a+1，其中a= 2+1．
20. (本小题8.0分)
在贯彻落实“五育并举”的工作中，某校在课后服务中开设了多门校本选修课.为了了解全校学生对“莆田地方特色美食烹饪”，“中华传统文化美德讲习”，“莆田传统节日习俗赏析”和“莆田民俗体育项目传承”4门选修课的喜爱情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，形成了如下调查报告(不完整)：
调查目的
了解xx中学学生对4门选修课的喜爱情况
调查方式
抽样调查
调查对象
xx中学学生
调查内容
1.你的性别是( )
A.男
B.女
2.下列4门选修课中，你最喜欢的是(只能单选)( )
A.莆田地方特色美食烹饪
B.中华传统文化美德讲习
C.莆田传统节日习俗赏析
D.莆田民俗体育项目传承
填完后，请将问卷交给数学课代表．
数据的收集、整理与描述
男生最喜欢选修课的人数统计图
100名女生最喜欢选修课的人数统计图
调查结论
…
请根据以上调查报告，解答下列问题：
(1)求参与本次抽样调查的男生人数及选择“莆田地方特色美食烹饪”选修课的男生人数；
(2)国家提倡发展体育运动，该学校现有女生800名，请估计全校女生选择“莆田民俗体育项目传承”的人数．
21. (本小题8.0分)
(1)如图1，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AO平分∠BAC交BC于点O，以OB为半径作⊙O.判断直线AC是否为⊙O的切线，并说明理由；
(2)如图2，某湿地公园内有一条四边形ABCD型环湖路，∠ABC=90°.现要修一条圆弧形水上栈道，要求该圆弧形水上栈道所在的⊙O，圆心在BC上且与AB，CD相切.求作⊙O.(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
22. (本小题10.0分)
如图，△ABC内接于⊙O，AO的延长线交⊙O于点D，交BC于点E，过点D作DF//BC交⊙O于点F，连接CF，CD．
(1)若CF//AD，求证：AC=CE；
(2)求证：点O到AB的距离等于12CF的长．
23. (本小题10.0分)
根据以下思考，探索完成任务．
曼哈顿距离的思考
问题背景
很多城市街道交织成格，行人和车辆沿网格线行走，城市街道的抽象涵义是直角坐标系内平行于两条数轴的条条直线.定义城市内街道上两点P(x1,y1)，Q(x2,y2)之间的距离为dPQ=|x2−x1|+|y2−y1|，称为曼哈顿距离(简称为曼距)，曼哈顿距离也叫出租车几何，是在19世纪由赫尔曼⋅闵可夫斯基提出来的．
素材1
如图，在平面直角坐标系中，点B(−3,−2)与点C(2,2)之间的曼距dBC=|−3−2|+|−2−2|=5+4=9，可得矩形BKCQ上及内部的任意格点(坐标为整数的点)为G，都有dBG+dCG=9．
素材2
在城市里有一个社区，其中的相邻道路恰可以近似地用过直角坐标系内格点的平行线表示(如图).该社区内有数个火警高危点，为了消防安全，拟在某个格点位置设立消防站D，其中格点位置四通八达．
任务1
探求消防站位置
若火警高危点A(3,0)，消防站D的坐标为(−1,n)，且与点A的曼距dDA=5，请求出消防站D的位置；
任务2
选择最适合位置
若火警高危点B(−3,−2)，C(2,2)，按设计要求|dDB−dDC|最小，则下列5个点中最适合设为消防站D的是______ ；(写出所有正确的序号)
A.(−1,0)
B.(1,−2)
C.(3,1)
D.(−2,−1)
E.(2,−2)
任务3
拟定最短曼距方案
如图，一条笔直的公路起点为E(0,4 5)，点F( 5,2 5)为公路上一点.若消防站D在原点处，请探究消防站D到公路EF(即射线EF)上一点H的曼距dDH的最小值．
24. (本小题12.0分)
在矩形ABCD中，点E为线段CD上一动点，将△BCE沿BE折叠得到△BFE，点C的对应点是F，连接DF．
(1)如图1，BC>12AB，若点E为CD的中点时，过点F作PQ⊥BC于点Q，分别交AD，BE于点P，H.给出下列结论：
①DF//EH；
②HF=PF+HQ；
③△EFH为等边三角形，请任意选择一个你认为正确的结论加以证明：
(2)如图2，若BC=3，AB=4．
①在点E运动过程中，当DF取得最小值时，求DE的长；
②设CE=x，tan∠ABF为y，求y关于x的函数关系．
25. (本小题14.0分)
已知抛物线y=(x+t)2+t+2，其中t是实数．
(1)已知三个点(1,0)，(2,0)，(2,4)，其中有一个点可以是抛物线的顶点，请选出该点并求抛物线的解析式；
(2)在(1)的条件下，点A在抛物线上且其横坐标为4，过点A作AB⊥x轴于点B.点P为抛物线的顶点，连接PA.点Q为抛物线对称轴左侧上一点，AQ延长线交x轴于点C，QP延长线交AB延长线于点D，连接CD．
①若PA平分∠CAB时，求点Q的坐标；
②设S△PAC=S1，S△BCD=S2，判断S1S2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵ 5>2>0>−3，
∴所给的四个数中，最大的数是 5．
故选：C．
正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数>0>负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
2.【答案】A
【解析】解：圆锥的主视图是三角形，故A选项合题意；
球的主视图是圆，故B选项不合题意，
三棱柱的主视图是长方形(长方形部分有一条纵向的虚线)，故C选项不符合题意，
圆柱的主视图是长方形，故D选项不合题意．
故选：A．
根据主视图的定义即可直接选出答案．
本题主要考查了简单几何体的三视图，牢记常见的几何体的三视图是解答本题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：304300000000=3.043×1011．
故选：C．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4.【答案】A
【解析】解：画出的椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形．
故选：A．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
此题考查了轴对称图形和中心对称图形，掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题关键．
5.【答案】B
【解析】解：A.a3⋅a4=a7，故此选项不合题意；
B.(a3)4=a12，故此选项符合题意；
C.a12÷a=a11，故此选项不合题意；
D.a6+a6=2a6，故此选项不合题意．
故选：B．
直接利用同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算法则、合并同类项法则，分别化简进而得出答案．
此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及幂的乘方运算、合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．
6.【答案】C
【解析】解：∵超市货架上有一批大小不一的鸡蛋，某顾客从中选购了部分大小均匀的鸡蛋，
∴货架上原有鸡蛋的质量的方差s2>该顾客选购的鸡蛋的质量方差s12，而平均数无法比较．
故选：C．
根据方差的意义求解．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
7.【答案】A
【解析】解：由题意得出等量关系为：
20块等重的条形石的重量+3个搬运工的体重和=21块等重的条形石的重量+1个搬运工的体重，
∵已知搬运工体重均为120斤，设每块条形石的重量是x斤，
∴20x+3×120=(20+1)x+120．
故选：A．
利用题意找出等量关系，将等量关系中的量用已知数和未知数的代数式替换即可得出结论．
本题主要考查了一元一次方程的应用，利用题意正确找出等量关系是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：如图，在优弧AB上任取一点E，连接AE，BE，
∵四边形AEBC是⊙O的内接四边形，
∴∠BCD=∠AEB=12∠AOB=60°，
∵BD⊥AD，
∴∠BDC=90°，
∴∠BCD+∠CBD=90°，
∴∠CBD=90°−∠BCD=30°，
因此∠CBD的大小不变，
故选：C．
根据圆内接四边形的性质以及圆周角定理，三角形内角和定理进行计算即可．
本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质以及三角形内角和定理，掌握圆周角定理、三角形内角和定理是正确解答的前提．
9.【答案】B
【解析】解：在Rt△ACD中，AC=m，∠ADC=β，
∴CD=ACtanβ=mtanβ，
在Rt△ACB中，∠ABC=α，
∴BC=ACtanα=mtanα，
∴BD=BC−CD=mtanα−mtanβ，
故选：B．
先在Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长，然后在Rt△ACB中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，平行投影，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：∵△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACE，
∴△ABD≌△ACE，BD=BF，∠CAB=∠DAE=90°，∠DBF=90°，
∴CE=BD=BF，AE=AD，∠ACE=∠ABD，
①当∠DAB逐渐变大，B、D、E三点共线之前时，如图，
∵∠COE=∠AOB，
∴∠ECO+∠CEO=∠OAB+∠OBA=∠OAB+∠OBD+∠ABD，
又∵∠ACE=∠ABD，
∴∠ECO=∠OAB+∠OBD=90°+∠OBD，
∴∠CEB+∠EBF=90°+∠OBD+90°+∠OBD=180°，
∴BF//CE，
又∵BF=CE，
∴四边形BFCE是平行四边形；
②当B、D、E三点共线且D在B、E之间时，
∵∠DAE=90°，AE=AD，
∴∠ADE=∠AED=45°，
∴∠ADB=135°=∠AEC，
∴∠DEC=90°，
又∵∠DBF=90°，
∴BF//CE，
又∵BF=CE，
∴四边形BFCE是平行四边形，
又∵∠DEC=90°，
∴四边形BFCE是矩形；
③当∠DAB逐渐变大，B、D、E三点共线，∠DAB=135°之前时，
∵∠CEB+∠EBF
=∠CEA+∠AEB+∠ABE+∠ABD+∠DBF
=∠ADB+(∠AEB+∠ABE)+∠ABD+∠DBF
=(∠ADB+∠ABD)+(∠AEB+∠AE)+∠DBF
=180°−∠ADB+180°−∠EAB+90°
=180°×2+90°−(∠DAB+∠EAB)
=180°×2+90°−(360°−∠DAE)
=180°×2+90°−360°+∠DAE
=90°+∠DAE
=180°，
∴BF//CE，
又∵BF=CE，
∴四边形BFCE是平行四边形，
④当∠DAB=135°时，
∴∠EAB=360°−∠DAE−∠DAE=135°=∠DAB，
又∵AD=AE，AB=AB，
∴△ADB≌△AEB(SAS)，
∴BD=BE=CE，
由③同理可证∠CEB+∠EBF=180°，
∴BF//CE，
又∵BF=CE，
∴四边形BFCE是平行四边形，
又∵BE=CE，
∴四边形BFCE是菱形；当∠DAB=135°后时，
由③同理可证∠CEB+∠EBF=180°，
∴BF//CE，
又∵BF−CE，
∴四边形BFCE是平行四边形．
当∠DAB的度数从0°逐渐增大到180°的过程中，四边形BFCE的形状依次是：平行四边形→矩形一平行四边形一菱形一平行四边形．
故选：D．
分∠DAB逐渐变大，B、D、E=点共线之前；B、D、E三点共线时：B、D、E三点共线后，∠DAB=135°之前；∠DAB=135°时；∠DAB=135°后，讨论即可．
本题考查旋转变换的性质，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题．
11.【答案】x>1
【解析】解：移项得，3x>5−2，
合并同类项得3x>3．
系数化为1得x>1．
故答案为：x>1．
根据一元一次不等式的解法，移项，合并同类项即可得解．
本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错，解不等式要依据不等式的基本性质：
(1)不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；
(2)不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；
(3)不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
12.【答案】12
【解析】解：在正方体骰子中，朝上的数字为奇数的情况有3种，分别是：1，3，5；
∵骰子有6面，
∴朝上的数字为奇数的概率是3÷6=12．
故答案为：12．
在正方体骰子中，写有奇数的有3面，一共有6面，根据概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比求解即可．
本题考查了概率公式，明确概率的意义是解答的关键，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
13.【答案】80°
【解析】解：如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=40°，
∴∠ACB=90°−40°=50°，
又∵D为AC的中点，
∴BD=AD=CD=12AB，
∴∠DBC=∠ACB=50°，
∴∠BDC=180°−∠ACB−∠DBC=80°．
故答案为：80°．
首先根据三角形内角和定理求出∠ACB的度数，再根据直角三角形斜边的中线的性质结合等腰三角形的性质求出∠DBC的度数，最后根据三角形内角和定理即可求出∠BDC的度数．
本题主要考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据直角三角形斜边上的中线的性质证得BD=CD是解决问题的关键．
14.【答案】1
【解析】解：∵直线y= 3x经过一、三象限，
∴若直线y= 3x与双曲线y=kx相交，则双曲线y=kx在一、三象限，
∴k>0，
∴k的值可以为1，
故答案为：1．
根据正比例函数和反比例函数的性质即可判断k>0，据此写出实数k的值即可．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握一次函数和反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键．
15.【答案】②n3=2m3 ④n也是2的倍数 ①8t3=2m3 ③m是2的倍数 ②④①③
【解析】证明：假设32是有理数，
那么存在两个互质的正整数n，m，使得32=nm，则②n3=2m3，
∵n3是2的倍数，
∴④n是2的倍数，
可设n=2t(t为正整数)，则n3=8t3，
∴①n是2的倍数，即4t3=m3，
∴③m是2的倍数，
∴m，n都是2的倍数，不互质，与假设矛盾．
因此假设不成立，即32不是有理数．
将下列选项依次填入材料中的画线处，正确的顺序是②④①③，
故答案为：②n3=2m3，④n是2的倍数，①n是2的倍数，③m是2的倍数，②④①③．
根据题意利用反证法假设32是有理数，进而利用假设得出矛盾，从而得出假设不成立原命题正确．
此题主要考查了实数的概念以及反证法的应用，正确掌握反证法的基本步骤是解题关键．
16.【答案】0
【解析】解：∵当x=x1+x2及x=x2+x3+x4+x3时(其中x1≠x2+x3+x4+x5)，函数值均为5，
∴二次函数对称轴为直线x=x1+x2+x3+x52，
∵当x=x1+x2时，函数值为P，当x=x3+x4+x5时，函数值为q，
∴点(x1+x2,p)和(x3+x4+x5,q)都在二次函数图象上，
∵点(x1+x2,p)和(x3+x4+x5,q)的中点坐标为(x1+x2+x4+x52,p+q2)，
∴点(x1+x2,p)(x3+x4+x5,q)的中点在二次函数的对称轴上，
∴点(x1+x2,p)和(x3+x4+x5,q)关于对称轴对称，
∴P=q，
∴p−q=0，
故答案为：0．
先根据题意得到二次函数对称轴为直线x=x1+x2+x3+x52，进而得到点(x1+x2,p)和(x3+x4+x5,q)都在二次函数图象上，由于点(x1+x2,p)和(x3+x4+x5,q)的中点坐标为(x1+x2+x3+x4+x52,p+q2)，即可证明点(x1+x2,p)和(x3+x4+x5,q)关于对称轴对称，则P=q，即可得到p−q=0．
本题主要考查了二次函数的性质，正确推出点(x1+x2,p)和(x3+x4+x5,q)关于对称轴对称是解题的关键．
17.【答案】解：原式=3× 33−3+3
= 3−3+3
= 3．
【解析】利用特殊角的三角函数值，算术平方根的意义和负整数指数幂的意义化简运算即可．
本题主要考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，算术平方根的意义和负整数指数幂的意义，熟练掌握上述法则与性质是解题的关键．
18.【答案】证明：在△ABE与△ACD中，
∠A=∠A∠AEB=∠ADC=90°AB=AC，
∴△ABE≌△ACD(AAS)，
∴AD=AE，
∴AB−AD=AC−AE，
即BD=CE．
【解析】利用AAS可判定△ABE≌△ACD，从而有AD=AE，即可求得BD=CE．
本题主要考查全等三角形的判定与性质，解答的关键是对全等三角形的判定定理的掌握与运用．
19.【答案】解：原式=(a+1a+1−aa+1)÷(a+1)(a−1)(a+1)2
=1a+1⋅a+1a−1
=1a−1，
当a= 2+1时，
原式=1 2+1−1= 22．
【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
20.【答案】解：(1)参与本次抽样调查的男生人数为45÷30%=150(人)，
则A组人数为150−(45+39+51)=15(人)，
答：参与本次抽样调查的男生人数为150人，选择“莆田地方特色美食烹饪”选修课的男生人数为15人；
(2)800×(1−35%−27%−25%)=104(人)，
答：估计全校女生选择“莆田民俗体育项目传承”的人数为104人．
【解析】(1)由B组人数及其所占百分比可得总人数，总人数减去B、C、D组人数可得A组人数；
(2)女生总人数乘以女生样本中D组人数所占百分比可得答案．
本题考查频数分布直方图、用样本估计总体，从收集的数据中获取必要的信息是解决问题的关键．
21.【答案】解：(1)直线AC是⊙O的切线，
理由：过O作OD⊥AC于D，如图1所示：
∵∠ABC=90°，AO平分∠BAC交BC于点O，以OB为半径作⊙O，
∴OD=OB，
∴直线AC是⊙O的切线；
(2)如图2所示：⊙O即为所求．
【解析】(1)根据“d=r”进行证明；
(2)根据切线长定理作图．
本题考查了作图的应用与设计，掌握切线的判定定理是解题的关键．
22.【答案】证明：(1)∵CF//AD，
∴∠AEC=∠ECF，
∵DF//BC，
∴∠ECF+∠CFD=180°，
∴∠AEC+∠CFD=180°，
∵四边形ADFC是⊙O的内接四边形，
∴∠EAC+∠CFD=180°，
∴∠AEC=∠EAC，
∴AC=CE；
(2)过O作OG⊥AB于G，连接BD，如图：
∵DF//BC，
∴BD=CF，
∴BD=CF，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD=90°，
∵OG⊥AB，
∴∠AGO=90°，
∴∠ABD=∠AGO，
∴OG//BD，
∵AO=OD，
∴OG是△ABD的中位线，
∴OG=12BD，
∴OG=12CF，
∴点O到AB的距离等于12CF的长．
【解析】(1)由CF//AD，得∠AEC=∠ECF，而DF//BC，有∠ECF+∠CFD=180°，又四边形ADFC是⊙O的内接四边形，知∠EAC+∠CFD=180°，故∠AEC=∠EAC，得AC=CE；
(2)过O作OG⊥AB于G，连接BD，由DF//BC，可得BD=CF，根据AD是⊙O的直径，OG⊥AB，可得OG//BD，又AO=OD，故OG是△ABD的中位线，有OG=12BD，从而点O到AB的距离等于12CF的长．
本题考查考查三角形外接圆与外心，垂径定理，解题的关键是掌握圆的相关性质和三角形中位线定理．
23.【答案】ABE
【解析】解：任务1：∵dDA=5，
∴|1−3|+|n−0|=5，
∴4+|n|=5，
∴n=±1，
∴消防站D的位置为(−1,−1)或(−1,1)；
任务2：当选(−1,0)作为D点时，
∵B(−3,−2)，C(2,2)，
∴dDB=|3−(−1)|+|−2−0|=2+2=4，dDC=|2−(−1)|+|2−0|=3+2=5，
∴|dDB−dDC|=|4−5|=1；
同理当(1，：−2)作为D点时，|dDBdDC|=1；
当(3,1)作为D点时，|dDBdDC|=7；
当(−2,−1)作为D点时，|dDBdDC|=5．
∴当选则(−1,0)或(1.−2)或(2,−2)时|dDBdDC|最小，
故答案为：ABE；
任务3：设直线EF的解析式为y=kx+b(k≠0)，
∴ 5k+b=2 5b=4 5，
∴k=−2b=4 5，
∴直线EF的解析式为y=−2x+4 5，
设H(m,−2m+4 5)，
∴dDH=|m−0|+|−2m+4 5|，∖
当0≤m≤2 5时，dDE=m−2m+4 5，
∴此时当m=2 5时，dDH有最小值2 5；
当m>2 5时，dDH=m+2m−4 5=3m−4 5，
∴此时dDH>2 5，
综上所述，dDH得到最小值2 5
任务1：根据曼哈顿距离的定义进行求解即可；
任务2：分别算出五个点作为D点时|dDB−dDC|的值即可得到答案；
任务3：先求出直线EF的解析式为y=−2x+4 5，设H(m,−2m+4 5)，则dDH=|m|+|−2m+4 5|，再分当0≤m≤2 5时，当m>2 5时，两种情况求出dDH的最值情况即可得到答案．
本题主要考查了坐标与图形，一次函数与几何综合，正确理解题意是解题的关键．
24.【答案】解：(1)选①，证明如下：
∵E为CD的中点，
∴CE=DE，
由折叠的性质可知CE=EF，∠CEB=∠BEF，
∴EF=DE，
∴∠EFD=∠EDF，
∵∠CEF=∠CEB+∠BEF=∠EFD+∠EDF，
∴2∠BEF=2∠EFD，
即∠BEF=∠EFD，
∴DF//EH；
选②，证明如下：∵PQ⊥BC，CD⊥BC，∠PDC=90°，
∴四边形PDCQ是矩形，
∴PQ//CD，PQ=CD，
∴∠FHE=∠HEC，
由折叠的性质可知CE=EF，∠CEB=∠BEF，
∴∠FEH=∠FHE，
∴FH=EF=CE=DE，
∵PF+FH+QH=DE+CE，
∴PF+QH=FH；
根据现有条件无法证明③；
(2)①由折叠的性质可得BF=BC=3，CE=EF，∠BFE=∠BCE=90°，
∴点F在以B为圆心，3为半径的一段圆弧上运动，
∴当B、D、F三点共线时，DF取得最小值，
设DE=x，则CE=EF=CD−DE=4−x，
在Rt△DBC中，由勾股定理得BD= BC2+CD2=5，
∴DF=BD−BF=2，
在Rt△DFE中，由勾股定理得DE2=DF2+EF2，
∴x2=22+(4−x)2，
解得x=52，
∴DE=52；
②如图，当0
∴BH=CE=x．
∵EH//BC，
∴∠GEB=∠EBC，
由折叠可得：∠EBC=∠FBE，
∴∠FBE=∠GEB，
∴GE=BG．
在Rt△BHG中，tan∠ABF=HGBH=y，
∴HG=BH⋅y=xy，
∴GE=BG=3−xy，
在Rt△BHG中，x2+(xy)2=(3−xy)2，
∴y=9−x26x；
当3
同理可得BH=x，GH=xy，则BG=GE=3+xy，
在Rt△BHG中，x2+(xy)2=(3+xy)2，
∴y=x2−96x．
综上所述，y关于x的函数关系式为y=9−x26x(0
(2)①由折叠的性质可得BF=BC=3，CE=EF，∠BFE=∠BCE=90°，则点F在以B为圆心，3为半径的一段圆弧上运动，故当B、D、F三点共线时，DF取得最小值，设DE=x，则CE=EF=4−x，求出BD=5，则DF=2，在Rt△DFE中利用勾股定理建立方程x2=22+(4−x)2，解方程即可求出DE=52；
②分两种情况，分别用x、y表示出BG，GH，BH的长，再在Rt△BHG中利用勾股定理求出对应的函数关系式即可．
本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，折叠的性质，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，灵活运用所学的知识并利用分类讨论思想是解题的关键．
25.【答案】解：(1)∵y=(x+t)2+t+2，
∴顶点坐标(−t,t+2)，
∴顶点坐标在直线y=−x+2上运动，
∴(2,0)满足条件，
∴抛物线的解析式为y=(x−2)2；
(2)①过点P作PE⊥AP交AQ于点E，过点E作EH⊥x轴于点H．
∵点A在抛物线上且横坐标为4，
∴A(4,4)，P(2,0)，
∴AB=4，PB=2，AP=2 5，
∵∠EPA=∠ABC=∠EHP=90°，
∴∠EPH+∠APB=90°，∠APB+∠PAB=90°，
∴∠EPH=∠PAB，
∵PA平分∠BAC，
∴∠PAB=∠PAC，
∴tan∠EAP=tan∠EPH=tan∠PAB=12，
∴PE= 5，EH=1，PH=2，
∴E(0,1)，
∴直线AQ的解析式为y=34x+1，
由y=34x+1y=(x−2)2，解得，x=4y=4或x=34y=2516，
∴Q(34,2516)；
②是定值．
理由：如图，设Q(m,(m−2)2)，其中0
由①可知A(4,4)，P(2,0)，
∴直线AQ的解析式为y=(m−2)x+4−2m，
直线PQ的解析式为y=(m−2)x+4−2m，
∴C(4−4m,0)，D(4,2m−4)，
∴PC=2−4+4m=4m−2，
∵S1=12⋅AB⋅PC=2(4m−2)，S2=12⋅BD⋅BC=12×(4−4+4m)×(4−2m)=2(4m−2)，
∴S1S2=1．
【解析】(1)判断出抛物线的顶点的运动轨迹，可得结论；
(2)①过点P作PE⊥AP交AQ于点E，过点E作EH⊥x轴于点H.解直角三角形判断出点E的坐标，可得结论；
②是定值．如图，设Q(m,(m−2)2)，其中0
2023年福建省莆田市中考数学二检试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列四个数中，最大的数是( )
A. −3 B. 0 C. 5 D. 2
2. 下列四个几何体中，主视图是三角形的是( )
A. B. C. D.
3. 人工智能是推动全球数字化发展的重要赋能技术.根据中国信通院发布的最新数据测算，预计2023年我国人工智能市场规模达到3043亿元.其中304300000000用科学记数法表示为( )
A. 3043×108 B. 304.3×109 C. 3.043×1011 D. 0.3043×1012
4. 达芬奇椭圆规是画椭圆的一种工具，如图所示，当滑标M在滑槽EF内往复运动，滑标N在滑槽GH内随之运动，将笔尖放置于D处即可画出椭圆，则画出的椭圆是( )
A. 是轴对称图形，也是中心对称图形
B. 是轴对称图形，不是中心对称图形
C. 不是轴对称图形，但是中心对称图形
D. 既不是轴对称图形，也不是中心对称图形
5. 下列各式中，计算结果是a12的是( )
A. a3⋅a4 B. (a3)4 C. a12÷a D. a6+a6
6. 超市货架上有一批大小不一的鸡蛋，某顾客从中选购了部分大小均匀的鸡蛋，设货架上原有鸡蛋的质量(单位：g)平均数和方差分别为x−，s2，该顾客选购的鸡蛋的质量平均数和方差分别为x−1，s12，则下列结论一定成立的是( )
A. x−
第一步先将象牵到大船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出；
第二步往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3个搬运工，这时水位恰好到达标记位置：第三步往船上再抬入1块同样的条形石，船上只留1个搬运工，发现水位也恰好到达标记位置．
已知搬运工体重均为120斤，设每块条形石的重量是x斤，根据以上方法可列出的方程是( )
A. 20x+3×120=(20+1)x+120 B. 20x+3×120=(20+1)x−120
C. 20x−3×120=(20+1)x+120 D. 20x−3×120=(20+1)x−120
8. 如图，在⊙O中，∠AOB=120°，点C在AB上，连接AC，BC，过点B作BD⊥AC的延长线于点D，当点C从点A运动到点B的过程中，∠CBD的度数( )
A. 先增大后减小
B. 先减小后增大
C. 保持不变
D. 一直减小
9. 圭表(如图1)是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆(称为“表”)和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺(称为“圭”)，当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上.图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表AC垂直圭BC.已知该市冬至正午太阳高度角(即∠ABC)为α，夏至正午太阳高度角(即∠ADC)为β，若表AC的长为m，则圭面上冬至线与夏至线之间的距离(即DB的长)为( )
A. mtanα−mtanβ B. mtanα−mtanβ
C. msinα−mcosβ D. msinα−mcosβ
10. 如图，在△ABD中，AD
A. 菱形→矩形→正方形 B. 矩形→菱形→正方形
C. 菱形→平行四边形→矩形 D. 矩形→平行四边形→菱形
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 不等式3x+2>5的解集为______ ．
12. 投掷一枚六个面分别标有1、2、3、4、5、6的质地均匀的正方体骰子，则向上一面是奇数的概率是______ ．
13. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=40°，D为斜边AC的中点，则∠BDC的度数为______ ．
14. 在平面直角坐标系xOy中，若直线y= 3x与双曲线y=kx相交，则实数k的值可以是______ .(只需写出一个符合条件的实数)
15. 阅读下列材料：“为什么32不是有理数”，完成问题．
证明：假设32是有理数，
那么存在两个互质的正整数n，m，使得32=nm，则______ ．
∵n3是2的倍数，
∴ ______ ，
可设n=2t(t为正整数)，则n3=8t3，
∴ ______ ，即4t3=m3，
∴ ______ ，
∴m，n都是2的倍数，不互质，与假设矛盾．
因此假设不成立，即32不是有理数．
将下列选项依次填入材料中的画线处，正确的顺序是______ .(填上序号)
①8t3=2m3；②n3=2m3；③m是2的倍数；④n是2的倍数．
16. 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，x1，x2，x3，x4，x5为实数，当x=x1及x=x2+x3+x4+x5时(其中x1≠x2+x3+x4+x5)，函数值均为5，当x=x1+x2时，函数值为p，当x=x3+x4+x5时，函数值为q，则p−q= ______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
计算：3tan30°− 9+(13)−1．
18. (本小题8.0分)
如图，点D，E分别在线段AB，AC上，AB=AC，∠ADC=∠AEB=90°，求证：BD=CE．
19. (本小题8.0分)
先化简，后求值：(1−aa+1)÷a2−1a2+2a+1，其中a= 2+1．
20. (本小题8.0分)
在贯彻落实“五育并举”的工作中，某校在课后服务中开设了多门校本选修课.为了了解全校学生对“莆田地方特色美食烹饪”，“中华传统文化美德讲习”，“莆田传统节日习俗赏析”和“莆田民俗体育项目传承”4门选修课的喜爱情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，形成了如下调查报告(不完整)：
调查目的
了解xx中学学生对4门选修课的喜爱情况
调查方式
抽样调查
调查对象
xx中学学生
调查内容
1.你的性别是( )
A.男
B.女
2.下列4门选修课中，你最喜欢的是(只能单选)( )
A.莆田地方特色美食烹饪
B.中华传统文化美德讲习
C.莆田传统节日习俗赏析
D.莆田民俗体育项目传承
填完后，请将问卷交给数学课代表．
数据的收集、整理与描述
男生最喜欢选修课的人数统计图
100名女生最喜欢选修课的人数统计图
调查结论
…
请根据以上调查报告，解答下列问题：
(1)求参与本次抽样调查的男生人数及选择“莆田地方特色美食烹饪”选修课的男生人数；
(2)国家提倡发展体育运动，该学校现有女生800名，请估计全校女生选择“莆田民俗体育项目传承”的人数．
21. (本小题8.0分)
(1)如图1，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AO平分∠BAC交BC于点O，以OB为半径作⊙O.判断直线AC是否为⊙O的切线，并说明理由；
(2)如图2，某湿地公园内有一条四边形ABCD型环湖路，∠ABC=90°.现要修一条圆弧形水上栈道，要求该圆弧形水上栈道所在的⊙O，圆心在BC上且与AB，CD相切.求作⊙O.(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
22. (本小题10.0分)
如图，△ABC内接于⊙O，AO的延长线交⊙O于点D，交BC于点E，过点D作DF//BC交⊙O于点F，连接CF，CD．
(1)若CF//AD，求证：AC=CE；
(2)求证：点O到AB的距离等于12CF的长．
23. (本小题10.0分)
根据以下思考，探索完成任务．
曼哈顿距离的思考
问题背景
很多城市街道交织成格，行人和车辆沿网格线行走，城市街道的抽象涵义是直角坐标系内平行于两条数轴的条条直线.定义城市内街道上两点P(x1,y1)，Q(x2,y2)之间的距离为dPQ=|x2−x1|+|y2−y1|，称为曼哈顿距离(简称为曼距)，曼哈顿距离也叫出租车几何，是在19世纪由赫尔曼⋅闵可夫斯基提出来的．
素材1
如图，在平面直角坐标系中，点B(−3,−2)与点C(2,2)之间的曼距dBC=|−3−2|+|−2−2|=5+4=9，可得矩形BKCQ上及内部的任意格点(坐标为整数的点)为G，都有dBG+dCG=9．
素材2
在城市里有一个社区，其中的相邻道路恰可以近似地用过直角坐标系内格点的平行线表示(如图).该社区内有数个火警高危点，为了消防安全，拟在某个格点位置设立消防站D，其中格点位置四通八达．
任务1
探求消防站位置
若火警高危点A(3,0)，消防站D的坐标为(−1,n)，且与点A的曼距dDA=5，请求出消防站D的位置；
任务2
选择最适合位置
若火警高危点B(−3,−2)，C(2,2)，按设计要求|dDB−dDC|最小，则下列5个点中最适合设为消防站D的是______ ；(写出所有正确的序号)
A.(−1,0)
B.(1,−2)
C.(3,1)
D.(−2,−1)
E.(2,−2)
任务3
拟定最短曼距方案
如图，一条笔直的公路起点为E(0,4 5)，点F( 5,2 5)为公路上一点.若消防站D在原点处，请探究消防站D到公路EF(即射线EF)上一点H的曼距dDH的最小值．
24. (本小题12.0分)
在矩形ABCD中，点E为线段CD上一动点，将△BCE沿BE折叠得到△BFE，点C的对应点是F，连接DF．
(1)如图1，BC>12AB，若点E为CD的中点时，过点F作PQ⊥BC于点Q，分别交AD，BE于点P，H.给出下列结论：
①DF//EH；
②HF=PF+HQ；
③△EFH为等边三角形，请任意选择一个你认为正确的结论加以证明：
(2)如图2，若BC=3，AB=4．
①在点E运动过程中，当DF取得最小值时，求DE的长；
②设CE=x，tan∠ABF为y，求y关于x的函数关系．
25. (本小题14.0分)
已知抛物线y=(x+t)2+t+2，其中t是实数．
(1)已知三个点(1,0)，(2,0)，(2,4)，其中有一个点可以是抛物线的顶点，请选出该点并求抛物线的解析式；
(2)在(1)的条件下，点A在抛物线上且其横坐标为4，过点A作AB⊥x轴于点B.点P为抛物线的顶点，连接PA.点Q为抛物线对称轴左侧上一点，AQ延长线交x轴于点C，QP延长线交AB延长线于点D，连接CD．
①若PA平分∠CAB时，求点Q的坐标；
②设S△PAC=S1，S△BCD=S2，判断S1S2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵ 5>2>0>−3，
∴所给的四个数中，最大的数是 5．
故选：C．
正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数>0>负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
2.【答案】A
【解析】解：圆锥的主视图是三角形，故A选项合题意；
球的主视图是圆，故B选项不合题意，
三棱柱的主视图是长方形(长方形部分有一条纵向的虚线)，故C选项不符合题意，
圆柱的主视图是长方形，故D选项不合题意．
故选：A．
根据主视图的定义即可直接选出答案．
本题主要考查了简单几何体的三视图，牢记常见的几何体的三视图是解答本题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：304300000000=3.043×1011．
故选：C．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4.【答案】A
【解析】解：画出的椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形．
故选：A．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
此题考查了轴对称图形和中心对称图形，掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题关键．
5.【答案】B
【解析】解：A.a3⋅a4=a7，故此选项不合题意；
B.(a3)4=a12，故此选项符合题意；
C.a12÷a=a11，故此选项不合题意；
D.a6+a6=2a6，故此选项不合题意．
故选：B．
直接利用同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算法则、合并同类项法则，分别化简进而得出答案．
此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及幂的乘方运算、合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．
6.【答案】C
【解析】解：∵超市货架上有一批大小不一的鸡蛋，某顾客从中选购了部分大小均匀的鸡蛋，
∴货架上原有鸡蛋的质量的方差s2>该顾客选购的鸡蛋的质量方差s12，而平均数无法比较．
故选：C．
根据方差的意义求解．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
7.【答案】A
【解析】解：由题意得出等量关系为：
20块等重的条形石的重量+3个搬运工的体重和=21块等重的条形石的重量+1个搬运工的体重，
∵已知搬运工体重均为120斤，设每块条形石的重量是x斤，
∴20x+3×120=(20+1)x+120．
故选：A．
利用题意找出等量关系，将等量关系中的量用已知数和未知数的代数式替换即可得出结论．
本题主要考查了一元一次方程的应用，利用题意正确找出等量关系是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：如图，在优弧AB上任取一点E，连接AE，BE，
∵四边形AEBC是⊙O的内接四边形，
∴∠BCD=∠AEB=12∠AOB=60°，
∵BD⊥AD，
∴∠BDC=90°，
∴∠BCD+∠CBD=90°，
∴∠CBD=90°−∠BCD=30°，
因此∠CBD的大小不变，
故选：C．
根据圆内接四边形的性质以及圆周角定理，三角形内角和定理进行计算即可．
本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质以及三角形内角和定理，掌握圆周角定理、三角形内角和定理是正确解答的前提．
9.【答案】B
【解析】解：在Rt△ACD中，AC=m，∠ADC=β，
∴CD=ACtanβ=mtanβ，
在Rt△ACB中，∠ABC=α，
∴BC=ACtanα=mtanα，
∴BD=BC−CD=mtanα−mtanβ，
故选：B．
先在Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长，然后在Rt△ACB中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，平行投影，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：∵△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACE，
∴△ABD≌△ACE，BD=BF，∠CAB=∠DAE=90°，∠DBF=90°，
∴CE=BD=BF，AE=AD，∠ACE=∠ABD，
①当∠DAB逐渐变大，B、D、E三点共线之前时，如图，
∵∠COE=∠AOB，
∴∠ECO+∠CEO=∠OAB+∠OBA=∠OAB+∠OBD+∠ABD，
又∵∠ACE=∠ABD，
∴∠ECO=∠OAB+∠OBD=90°+∠OBD，
∴∠CEB+∠EBF=90°+∠OBD+90°+∠OBD=180°，
∴BF//CE，
又∵BF=CE，
∴四边形BFCE是平行四边形；
②当B、D、E三点共线且D在B、E之间时，
∵∠DAE=90°，AE=AD，
∴∠ADE=∠AED=45°，
∴∠ADB=135°=∠AEC，
∴∠DEC=90°，
又∵∠DBF=90°，
∴BF//CE，
又∵BF=CE，
∴四边形BFCE是平行四边形，
又∵∠DEC=90°，
∴四边形BFCE是矩形；
③当∠DAB逐渐变大，B、D、E三点共线，∠DAB=135°之前时，
∵∠CEB+∠EBF
=∠CEA+∠AEB+∠ABE+∠ABD+∠DBF
=∠ADB+(∠AEB+∠ABE)+∠ABD+∠DBF
=(∠ADB+∠ABD)+(∠AEB+∠AE)+∠DBF
=180°−∠ADB+180°−∠EAB+90°
=180°×2+90°−(∠DAB+∠EAB)
=180°×2+90°−(360°−∠DAE)
=180°×2+90°−360°+∠DAE
=90°+∠DAE
=180°，
∴BF//CE，
又∵BF=CE，
∴四边形BFCE是平行四边形，
④当∠DAB=135°时，
∴∠EAB=360°−∠DAE−∠DAE=135°=∠DAB，
又∵AD=AE，AB=AB，
∴△ADB≌△AEB(SAS)，
∴BD=BE=CE，
由③同理可证∠CEB+∠EBF=180°，
∴BF//CE，
又∵BF=CE，
∴四边形BFCE是平行四边形，
又∵BE=CE，
∴四边形BFCE是菱形；当∠DAB=135°后时，
由③同理可证∠CEB+∠EBF=180°，
∴BF//CE，
又∵BF−CE，
∴四边形BFCE是平行四边形．
当∠DAB的度数从0°逐渐增大到180°的过程中，四边形BFCE的形状依次是：平行四边形→矩形一平行四边形一菱形一平行四边形．
故选：D．
分∠DAB逐渐变大，B、D、E=点共线之前；B、D、E三点共线时：B、D、E三点共线后，∠DAB=135°之前；∠DAB=135°时；∠DAB=135°后，讨论即可．
本题考查旋转变换的性质，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题．
11.【答案】x>1
【解析】解：移项得，3x>5−2，
合并同类项得3x>3．
系数化为1得x>1．
故答案为：x>1．
根据一元一次不等式的解法，移项，合并同类项即可得解．
本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错，解不等式要依据不等式的基本性质：
(1)不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；
(2)不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；
(3)不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
12.【答案】12
【解析】解：在正方体骰子中，朝上的数字为奇数的情况有3种，分别是：1，3，5；
∵骰子有6面，
∴朝上的数字为奇数的概率是3÷6=12．
故答案为：12．
在正方体骰子中，写有奇数的有3面，一共有6面，根据概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比求解即可．
本题考查了概率公式，明确概率的意义是解答的关键，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
13.【答案】80°
【解析】解：如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=40°，
∴∠ACB=90°−40°=50°，
又∵D为AC的中点，
∴BD=AD=CD=12AB，
∴∠DBC=∠ACB=50°，
∴∠BDC=180°−∠ACB−∠DBC=80°．
故答案为：80°．
首先根据三角形内角和定理求出∠ACB的度数，再根据直角三角形斜边的中线的性质结合等腰三角形的性质求出∠DBC的度数，最后根据三角形内角和定理即可求出∠BDC的度数．
本题主要考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据直角三角形斜边上的中线的性质证得BD=CD是解决问题的关键．
14.【答案】1
【解析】解：∵直线y= 3x经过一、三象限，
∴若直线y= 3x与双曲线y=kx相交，则双曲线y=kx在一、三象限，
∴k>0，
∴k的值可以为1，
故答案为：1．
根据正比例函数和反比例函数的性质即可判断k>0，据此写出实数k的值即可．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握一次函数和反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键．
15.【答案】②n3=2m3 ④n也是2的倍数 ①8t3=2m3 ③m是2的倍数 ②④①③
【解析】证明：假设32是有理数，
那么存在两个互质的正整数n，m，使得32=nm，则②n3=2m3，
∵n3是2的倍数，
∴④n是2的倍数，
可设n=2t(t为正整数)，则n3=8t3，
∴①n是2的倍数，即4t3=m3，
∴③m是2的倍数，
∴m，n都是2的倍数，不互质，与假设矛盾．
因此假设不成立，即32不是有理数．
将下列选项依次填入材料中的画线处，正确的顺序是②④①③，
故答案为：②n3=2m3，④n是2的倍数，①n是2的倍数，③m是2的倍数，②④①③．
根据题意利用反证法假设32是有理数，进而利用假设得出矛盾，从而得出假设不成立原命题正确．
此题主要考查了实数的概念以及反证法的应用，正确掌握反证法的基本步骤是解题关键．
16.【答案】0
【解析】解：∵当x=x1+x2及x=x2+x3+x4+x3时(其中x1≠x2+x3+x4+x5)，函数值均为5，
∴二次函数对称轴为直线x=x1+x2+x3+x52，
∵当x=x1+x2时，函数值为P，当x=x3+x4+x5时，函数值为q，
∴点(x1+x2,p)和(x3+x4+x5,q)都在二次函数图象上，
∵点(x1+x2,p)和(x3+x4+x5,q)的中点坐标为(x1+x2+x4+x52,p+q2)，
∴点(x1+x2,p)(x3+x4+x5,q)的中点在二次函数的对称轴上，
∴点(x1+x2,p)和(x3+x4+x5,q)关于对称轴对称，
∴P=q，
∴p−q=0，
故答案为：0．
先根据题意得到二次函数对称轴为直线x=x1+x2+x3+x52，进而得到点(x1+x2,p)和(x3+x4+x5,q)都在二次函数图象上，由于点(x1+x2,p)和(x3+x4+x5,q)的中点坐标为(x1+x2+x3+x4+x52,p+q2)，即可证明点(x1+x2,p)和(x3+x4+x5,q)关于对称轴对称，则P=q，即可得到p−q=0．
本题主要考查了二次函数的性质，正确推出点(x1+x2,p)和(x3+x4+x5,q)关于对称轴对称是解题的关键．
17.【答案】解：原式=3× 33−3+3
= 3−3+3
= 3．
【解析】利用特殊角的三角函数值，算术平方根的意义和负整数指数幂的意义化简运算即可．
本题主要考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，算术平方根的意义和负整数指数幂的意义，熟练掌握上述法则与性质是解题的关键．
18.【答案】证明：在△ABE与△ACD中，
∠A=∠A∠AEB=∠ADC=90°AB=AC，
∴△ABE≌△ACD(AAS)，
∴AD=AE，
∴AB−AD=AC−AE，
即BD=CE．
【解析】利用AAS可判定△ABE≌△ACD，从而有AD=AE，即可求得BD=CE．
本题主要考查全等三角形的判定与性质，解答的关键是对全等三角形的判定定理的掌握与运用．
19.【答案】解：原式=(a+1a+1−aa+1)÷(a+1)(a−1)(a+1)2
=1a+1⋅a+1a−1
=1a−1，
当a= 2+1时，
原式=1 2+1−1= 22．
【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
20.【答案】解：(1)参与本次抽样调查的男生人数为45÷30%=150(人)，
则A组人数为150−(45+39+51)=15(人)，
答：参与本次抽样调查的男生人数为150人，选择“莆田地方特色美食烹饪”选修课的男生人数为15人；
(2)800×(1−35%−27%−25%)=104(人)，
答：估计全校女生选择“莆田民俗体育项目传承”的人数为104人．
【解析】(1)由B组人数及其所占百分比可得总人数，总人数减去B、C、D组人数可得A组人数；
(2)女生总人数乘以女生样本中D组人数所占百分比可得答案．
本题考查频数分布直方图、用样本估计总体，从收集的数据中获取必要的信息是解决问题的关键．
21.【答案】解：(1)直线AC是⊙O的切线，
理由：过O作OD⊥AC于D，如图1所示：
∵∠ABC=90°，AO平分∠BAC交BC于点O，以OB为半径作⊙O，
∴OD=OB，
∴直线AC是⊙O的切线；
(2)如图2所示：⊙O即为所求．
【解析】(1)根据“d=r”进行证明；
(2)根据切线长定理作图．
本题考查了作图的应用与设计，掌握切线的判定定理是解题的关键．
22.【答案】证明：(1)∵CF//AD，
∴∠AEC=∠ECF，
∵DF//BC，
∴∠ECF+∠CFD=180°，
∴∠AEC+∠CFD=180°，
∵四边形ADFC是⊙O的内接四边形，
∴∠EAC+∠CFD=180°，
∴∠AEC=∠EAC，
∴AC=CE；
(2)过O作OG⊥AB于G，连接BD，如图：
∵DF//BC，
∴BD=CF，
∴BD=CF，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD=90°，
∵OG⊥AB，
∴∠AGO=90°，
∴∠ABD=∠AGO，
∴OG//BD，
∵AO=OD，
∴OG是△ABD的中位线，
∴OG=12BD，
∴OG=12CF，
∴点O到AB的距离等于12CF的长．
【解析】(1)由CF//AD，得∠AEC=∠ECF，而DF//BC，有∠ECF+∠CFD=180°，又四边形ADFC是⊙O的内接四边形，知∠EAC+∠CFD=180°，故∠AEC=∠EAC，得AC=CE；
(2)过O作OG⊥AB于G，连接BD，由DF//BC，可得BD=CF，根据AD是⊙O的直径，OG⊥AB，可得OG//BD，又AO=OD，故OG是△ABD的中位线，有OG=12BD，从而点O到AB的距离等于12CF的长．
本题考查考查三角形外接圆与外心，垂径定理，解题的关键是掌握圆的相关性质和三角形中位线定理．
23.【答案】ABE
【解析】解：任务1：∵dDA=5，
∴|1−3|+|n−0|=5，
∴4+|n|=5，
∴n=±1，
∴消防站D的位置为(−1,−1)或(−1,1)；
任务2：当选(−1,0)作为D点时，
∵B(−3,−2)，C(2,2)，
∴dDB=|3−(−1)|+|−2−0|=2+2=4，dDC=|2−(−1)|+|2−0|=3+2=5，
∴|dDB−dDC|=|4−5|=1；
同理当(1，：−2)作为D点时，|dDBdDC|=1；
当(3,1)作为D点时，|dDBdDC|=7；
当(−2,−1)作为D点时，|dDBdDC|=5．
∴当选则(−1,0)或(1.−2)或(2,−2)时|dDBdDC|最小，
故答案为：ABE；
任务3：设直线EF的解析式为y=kx+b(k≠0)，
∴ 5k+b=2 5b=4 5，
∴k=−2b=4 5，
∴直线EF的解析式为y=−2x+4 5，
设H(m,−2m+4 5)，
∴dDH=|m−0|+|−2m+4 5|，∖
当0≤m≤2 5时，dDE=m−2m+4 5，
∴此时当m=2 5时，dDH有最小值2 5；
当m>2 5时，dDH=m+2m−4 5=3m−4 5，
∴此时dDH>2 5，
综上所述，dDH得到最小值2 5
任务1：根据曼哈顿距离的定义进行求解即可；
任务2：分别算出五个点作为D点时|dDB−dDC|的值即可得到答案；
任务3：先求出直线EF的解析式为y=−2x+4 5，设H(m,−2m+4 5)，则dDH=|m|+|−2m+4 5|，再分当0≤m≤2 5时，当m>2 5时，两种情况求出dDH的最值情况即可得到答案．
本题主要考查了坐标与图形，一次函数与几何综合，正确理解题意是解题的关键．
24.【答案】解：(1)选①，证明如下：
∵E为CD的中点，
∴CE=DE，
由折叠的性质可知CE=EF，∠CEB=∠BEF，
∴EF=DE，
∴∠EFD=∠EDF，
∵∠CEF=∠CEB+∠BEF=∠EFD+∠EDF，
∴2∠BEF=2∠EFD，
即∠BEF=∠EFD，
∴DF//EH；
选②，证明如下：∵PQ⊥BC，CD⊥BC，∠PDC=90°，
∴四边形PDCQ是矩形，
∴PQ//CD，PQ=CD，
∴∠FHE=∠HEC，
由折叠的性质可知CE=EF，∠CEB=∠BEF，
∴∠FEH=∠FHE，
∴FH=EF=CE=DE，
∵PF+FH+QH=DE+CE，
∴PF+QH=FH；
根据现有条件无法证明③；
(2)①由折叠的性质可得BF=BC=3，CE=EF，∠BFE=∠BCE=90°，
∴点F在以B为圆心，3为半径的一段圆弧上运动，
∴当B、D、F三点共线时，DF取得最小值，
设DE=x，则CE=EF=CD−DE=4−x，
在Rt△DBC中，由勾股定理得BD= BC2+CD2=5，
∴DF=BD−BF=2，
在Rt△DFE中，由勾股定理得DE2=DF2+EF2，
∴x2=22+(4−x)2，
解得x=52，
∴DE=52；
②如图，当0
∴BH=CE=x．
∵EH//BC，
∴∠GEB=∠EBC，
由折叠可得：∠EBC=∠FBE，
∴∠FBE=∠GEB，
∴GE=BG．
在Rt△BHG中，tan∠ABF=HGBH=y，
∴HG=BH⋅y=xy，
∴GE=BG=3−xy，
在Rt△BHG中，x2+(xy)2=(3−xy)2，
∴y=9−x26x；
当3
同理可得BH=x，GH=xy，则BG=GE=3+xy，
在Rt△BHG中，x2+(xy)2=(3+xy)2，
∴y=x2−96x．
综上所述，y关于x的函数关系式为y=9−x26x(0
(2)①由折叠的性质可得BF=BC=3，CE=EF，∠BFE=∠BCE=90°，则点F在以B为圆心，3为半径的一段圆弧上运动，故当B、D、F三点共线时，DF取得最小值，设DE=x，则CE=EF=4−x，求出BD=5，则DF=2，在Rt△DFE中利用勾股定理建立方程x2=22+(4−x)2，解方程即可求出DE=52；
②分两种情况，分别用x、y表示出BG，GH，BH的长，再在Rt△BHG中利用勾股定理求出对应的函数关系式即可．
本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，折叠的性质，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，灵活运用所学的知识并利用分类讨论思想是解题的关键．
25.【答案】解：(1)∵y=(x+t)2+t+2，
∴顶点坐标(−t,t+2)，
∴顶点坐标在直线y=−x+2上运动，
∴(2,0)满足条件，
∴抛物线的解析式为y=(x−2)2；
(2)①过点P作PE⊥AP交AQ于点E，过点E作EH⊥x轴于点H．
∵点A在抛物线上且横坐标为4，
∴A(4,4)，P(2,0)，
∴AB=4，PB=2，AP=2 5，
∵∠EPA=∠ABC=∠EHP=90°，
∴∠EPH+∠APB=90°，∠APB+∠PAB=90°，
∴∠EPH=∠PAB，
∵PA平分∠BAC，
∴∠PAB=∠PAC，
∴tan∠EAP=tan∠EPH=tan∠PAB=12，
∴PE= 5，EH=1，PH=2，
∴E(0,1)，
∴直线AQ的解析式为y=34x+1，
由y=34x+1y=(x−2)2，解得，x=4y=4或x=34y=2516，
∴Q(34,2516)；
②是定值．
理由：如图，设Q(m,(m−2)2)，其中0
由①可知A(4,4)，P(2,0)，
∴直线AQ的解析式为y=(m−2)x+4−2m，
直线PQ的解析式为y=(m−2)x+4−2m，
∴C(4−4m,0)，D(4,2m−4)，
∴PC=2−4+4m=4m−2，
∵S1=12⋅AB⋅PC=2(4m−2)，S2=12⋅BD⋅BC=12×(4−4+4m)×(4−2m)=2(4m−2)，
∴S1S2=1．
【解析】(1)判断出抛物线的顶点的运动轨迹，可得结论；
(2)①过点P作PE⊥AP交AQ于点E，过点E作EH⊥x轴于点H.解直角三角形判断出点E的坐标，可得结论；
②是定值．如图，设Q(m,(m−2)2)，其中0
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