还剩28页未读，
继续阅读
2023年北京市海淀区初三二模考试数学试卷（含解析）
展开
这是一份2023年北京市海淀区初三二模考试数学试卷（含解析），共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年北京市海淀区初三二模考试数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 一个正五棱柱如下图摆放，光线由上到下照射此正五棱柱时的正投影是( )
A. B. C. D.
2. 下列运算正确的是( )
A. 2a+3a=5a2 B. a⋅a⋅a=3a
C. (a3)2=a5 D. a(m+n)=am+an
3. 实数a在数轴上对应点的位置如图所示．若实数b满足a+b<0，则b 的值可以是( )
A. −2 B. −1 C. 0 D. 1
4. 如图，由正六边形和正三角形组成的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5. 投掷两枚质地均匀的骰子，两枚骰子向上一面的点数相同的概率是( )
A. 112 B. 16 C. 13 D. 12
6. 如果a−b=2，那么代数式2a+b⋅(1+2ba−b)的值是( )
A. 12 B. 1 C. 2 D. 2
7. 如图，在正方形网格中，以点O为位似中心，ΔABC的位似图形可以是( )
A. ΔDEF B. △DHF C. △GEH D. ΔGDH
8. 小明近期计划阅读一本总页数不低于300页的名著，他制定的阅读计划如下：
星期
一
二
三
四
五
六
日
页数
15
20
15
10
20
40
30
若小明按照计划从星期x 开始连续阅读，10天后剩下的页数为y ，则y 与x 的图象可能为( )
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9. 若代数式12−x有意义，则实数x 的取值范围是 ．
10. 分解因式：ab2−4a= ．
11. 用一个x的值说明“ x2=x”是错误的，则x 的值可以是
12. 如图，正方形ABCD，点A在直线l上，点B到直线l的距离为3，点D到直线l的距离为2，则正方形的边长为 ．
13. 在平面直角坐标系xOy中，点A(1,y1)和点B(3,y2)在反比例函数y=kx的图象上．若y1
种子数量n
10
50
150
300
500
800
发芽数量m
9
41
133
261
431
689
发芽率nm
0.9
0.82
0.887
0.87
0.862
0.861
据此推测，下面三个时间段中，这批咖啡树种子的保存时间是 (填“三个月内”“三至五个月”或“五至九个月”)．
15. 如图，AB为⊙O的弦，C 为⊙O上一点，OC⊥AB于点D .若OA= 10，AB=6，则tan∠AOD= ．
16. 四个互不相等的实数a，b，c，m在数轴上的对应点分别为A，B，C，M，其中a=4，b=7，c 为整数，m=0.2(a+b+c)．
(1)若c=10，则A ，B ，C 中与M 距离最小的点为 ；
(2)若在A ，B ，C 中，点C 与点M 的距离最小，则符合条件的点C 有 个．
三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
17. 计算：(12)−1+|1− 3|−tan 60∘−(π+2023)0．
四、解答题（本大题共11小题，共88.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. (本小题8.0分)
解不等式x−l2≥2x3−1，并把它的解集在数轴上表示出来．
19. (本小题8.0分)
如图，在ΔABC中，AB=AC．
(1)使用直尺和圆规，作AD⊥BC交BC 于点D (保留作图痕迹)；
(2)以D 为圆心，DC 的长为半径作弧，交AC 于点E ，连接BE ，DE ．
①∠BEC=________ ° ；
②写出图中一个与∠CBE相等的角________．
20. (本小题8.0分)
已知关于x的一元二次方程x2−2x+m=0(m<0)．
(1)判断方程根的情况，并说明理由；
(2)若方程的一个根为−1 ，求m 的值和方程的另一个根．
21. (本小题8.0分)
在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx−1与y=12x交于点A(2,m)．
(1)求k ，m 的值；
(2)已知点P(n,0)，过点P 作垂直于x 轴的直线交直线y=kx−1于点M ，交直线y=12x于点N .若MN=2，直接写出n 的值．
22. (本小题8.0分)
如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E为OA的中点．连接DE并延长至点F，使得EF=DE .连接AF ，BF ．
(1)求证：四边形AFBO为平行四边形；
(2)若∠BDA=∠BDC，求证：四边形AFBO为矩形．
23. (本小题8.0分)
某企业生产甲、乙两款红茶，为了解两款红茶的质量，请消费者和专业机构分别测评．随机抽取25名消费者对两款红茶评分，并对数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a .甲款红茶分数(百分制)的频数分布表如下：
分数
70≤x<75
75≤x<80
80≤x<85
85≤x<90
90≤x<95
95≤x≤100
频率
2
1
4
4
b .甲款红茶分数在85≤x<90这一组的是：
86 86 86 86 86 87 87 88 88 89
c .甲、乙两款红茶分数的平均数、众数、中位数如下表所示：
品种
平均数
众数
中位数
甲
86.6
m
n
乙
87.5
90
86
根据以上信息，回答下列问题：
(1)补全甲款红茶分数的频数分布直方图；
(2)表格中m 的值为________，n 的值为________；
(3)专业机构对两款红茶的条索、色泽、整碎、净度、内质、香气、滋味醇厚度、汤色、叶底来进行综合评分如下：甲款红茶93分，乙款红茶87分．若以这25名消费者评分的平均数和专业机构的评分按照6:4的比例确定最终成绩，可以认定________款红茶最终成绩更高(填“甲”或“乙”)．
24. (本小题8.0分)
如图，P为⊙O外一点，PA ，PB 是⊙O的切线，A ，B 为切点，点C 在⊙O上，连接OA ，OC ，AC ．
(1)求证：∠AOC=2∠PAC；
(2)连接OB ，若AC//OB，⊙O的半径为5 ，AC=6，求AP 的长．
25. (本小题8.0分)
小明发现某乒乓球发球器有“直发式”与“间发式”两种模式．在“直发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线；在“间发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，球第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线．如图1和图2分别建立平面直角坐标系xOy．
通过测量得到球距离台面高度y (单位：dm)与球距离发球器出口的水平距离x (单位：dm)的相关数据，如下表所示：
表1 直发式
x(dm)
0
2
4
6
8
10
16
20
…
y(dm)
3.84
3.96
4
3.96
m
3.64
2.56
1.44
…
表2 间发式
x(dm)
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
…
y(dm)
3.36
n
1.68
0.84
0
1.40
2.40
3
3.20
3
…
根据以上信息，回答问题：
(1)表格中m= ________，n= ________；
(2)求“直发式”模式下，球第一次接触台面前的运动轨迹的解析式；
(3)若“直发式”模式下球第一次接触台面时距离出球点的水平距离为d1“间发式”模式下球第二次接触台面时距离出球点的水平距离为d2，则d1________d2(填“>”“=”或“<”)．
26. (本小题8.0分)
在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx+a+2(a>0)过点(1,4a+2)．
(1)求该抛物线的顶点坐标．
(2)过该抛物线与y 轴的交点作y 轴的垂线l ，将抛物线在y 轴右侧的部分沿直线l 翻折，其余部分保持不变，得到图形G ，M(−1−a,y1)，N(−1+a,y2)是图形G 上的点，设t=y1+y2．
①当a=1时，求t 的值；
②若6≤t≤9，求a 的取值范围．
27. (本小题8.0分)
如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=2α(45∘<α<90∘)，D 是BC 的中点，E 是BD 的中点，连接AE .将射线AE 绕点A 逆时针旋转α得到射线AM ，过点E 作EF⊥AE交射线AM 于点F ．
(1)①依题意补全图形；
②求证：∠B=∠AFE；
(2)连接CF ，DF ，用等式表示线段CF ，DF 之间的数量关系，并证明．
28. (本小题8.0分)
在平面直角坐标系xOy中，对于△OAB和点P (不与点O 重合)给出如下定义：若边OA ，OB 上分别存在点M ，点N ，使得点O 与点P 关于直线MN 对称，则称点P 为△OAB的“翻折点”．
(1)已知A(3,0)，B(0,3 3) .
①若点M 与点A 重合，点N 与点B 重合，直接写出△OAB的“翻折点”的坐标；
② P 是线段AB 上一动点，当P 是△OAB的“翻折点”时，求AP 长的取值范围；
(2)直线y=−34x+b(b>0)与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，若存在以直线AB 为对称轴，且斜边长为2的等腰直角三角形，使得该三角形边上任意一点都为△OAB的“翻折点”，直接写出b 的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
【分析】正投影即投影线垂直于顶面产生的投影，据此直接选择即可．
【详解】光线由上向下照射，此正五棱柱的正投影是
．
故选：B．
【点睛】此题考查平行投影，解题关键此五棱柱的正投影与顶面的形状大小完全相同．
2.【答案】D
【解析】
【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，单项式乘以多项式进行计算即可求解．
【详解】解：A. 2a+3a=5a ，故该选项不正确，不符合题意；
B. a⋅a⋅a=a3 ，故该选项不正确，不符合题意；
C. (a3)2=a6 ，故该选项不正确，不符合题意；
D. a(m+n)=am+an ，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，单项式乘以多项式，熟练掌握合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，单项式乘以多项式是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】
【分析】根据题意可得 11 ，再由 a+b<0 ，可得 b<0 ，且 |b|>|a|>1 ，从而得到 b<−a<−1 ，即可求解．
【详解】解∶根据题意得∶ 1
∴ b<0 ，且 |b|>|a|>1 ，
∴ b<−a<−1 ，
∴ b 的值可以是 −2 ．
故选：A
【点睛】本题考查了有理数加法的运算法则和数轴上的点与有理数的对应关系．解决本题的关键是根据加法的符号规律确定 b 的取值范围．
4.【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形的定义及性质求解．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【详解】解：由正六边形和正三角形组成的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为3条即正三角形的三条高所在的直线．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的定义及性质．掌握轴对称图形的性质是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】
【分析】首先列表，然后根据表格求得所有等可能的结果与两个骰子的点数相同的情况，再根据概率公式求解即可．
【详解】列表得：
1,6
2,6
3,6
4,6
5,6
6,6
1,5
2,5
3,5
4,5
5,5
6,5
1,4
2,4
3,4
4,4
5,4
6,4
1,3
2,3
3,3
4,3
5,3
6,3
1,2
2,2
3,2
4,2
5,2
6,2
1,1
2,1
3,1
4,1
5,1
6,1
∵共有36 种等可能的结果，两个骰子向上一面的点数相同的有6 种情况，
∴两个骰子向上一面的点数相同的概率是： 636=16 ．
故选：B．
【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率的知识．此题比较简单，注意列表法与树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．
6.【答案】B
【解析】
【分析】先根据分式的加减计算括号内的，再根据分式的乘法以及分式的性质化简，最后将式子的值代入即可求解．
【详解】解： 2a+b⋅(1+2ba−b)
=2a+b×a−b+2ba−b
=2a+b×a+ba−b
=2a−b ，
∵ a−b=2 ，
∴原式= 22=1 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】
【分析】根据位似的性质，连接 OB,OA,OC 并延长，观察交点即可求解．
【详解】解：如图所示，连接 OB,OA,OC 并延长，
∴ △ABC 的位似图形是 △GEH ．
故选：C．
【点睛】本题考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，分别代入 x=1,2,3,4,5,6,7 ，求得10天后的剩余页数，对比函数图象即可求解．
【详解】解：一周的阅读量为： 15+20+15+10+20+40+30=150 (页)，
当 x=1 时，则阅读了 150+15+20+15=200 (页)
当 x=2 时，则阅读了 150+20+15+10=195 (页)
当 x=3 时，则阅读了 150+15+10+20=195 (页)
当 x=4 时，则阅读了 150+10+20+40=220 (页)
当 x=5 时，则阅读了 150+20+40+30=240 (页)
当 x=6 时，则阅读了 150+40+30+15=235 (页)
当 x=7 时，则阅读了 150+30+15+20=215 (页)
则剩余的页数，表现在图象上的规律为先升后降，然后再降后升，
故选：A．
【点睛】本题考查了函数图象，理解题意是解题的关键．
9.【答案】x≠2
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件求出 x 的取值范围即可．
【详解】解：依题意得： 2−x≠0 ．
故答案为： x≠2 ．
【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答此题的关键．
10.【答案】a(b+2)(b−2)
【解析】
【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，先提取公因式 a 后继续应用平方差公式分解即可
【详解】解： ab2−4a=a(b2−4)=a(b+2)(b−2) ，
故答案为： a(b+2)(b−2) ．
11.【答案】−1 (答案不唯一)
【解析】
【分析】根据二次根式的性质即可求解．
【详解】解：∵ x2=|x| ，
要说明“ x2=x ”是错误的，则 x<0 ，
故答案为： −1 (答案不唯一)．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
12.【答案】 13
【解析】
【分析】过点 D,B 分别作 l 的垂线，垂足分别为 E,F ，则 DE=2,BF=3 ， ∠DEA=∠BFA=90∘ ，证明 △ADE≌△BAF ，则 AE=BF=3 ，进而勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示，
过点 D,B 分别作 l 的垂线，垂足分别为 E,F
∴ DE=2,BF=3 ， ∠DEA=∠BFA=90∘ ，
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴ AD=AB,∠DAB=90∘ ，
∴ ∠BAF=90∘−∠DAE=∠ADE ，
∴ △ADE≌△BAF ，
∴ AE=BF=3 ，
在 Rt△ADE 中， AD= DE2+AD2= 22+32= 13 ，
故答案为： 13 ．
【点睛】本题考查了点到直线的距离，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
13.【答案】−2
【解析】
【分析】根据y 随x 的增大而增大，可得 k<0 ，进而即可求解．
【详解】解：∵点 A(1,y1) 和点 B(3,y2) 在反比例函数 y=kx 的图象上． 1<3 ， y1
∴ k<0 ，
∴ k=−2 (答案不唯一)
故答案为：−2 (答案不唯一)．
【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．
14.【答案】三至五个月
【解析】
【分析】根据频率估计概率，结合题意即可求解．利用大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
【详解】解：根据表格可知，某批咖啡树种子的发芽情况接近 0.86
∵咖啡树种子保存到三个月时，发芽率约为95%；从三个月到五个月，发芽率会逐渐降到75%；
∴这批咖啡树种子的保存时间是三至五个月
故答案为：三至五个月．
【点睛】本题考查了频率估计概率，理解题意是解题的关键．
15.【答案】3
【解析】
【分析】根据垂径定理得出 AD=3 ，由勾股定理求得 DO=1 ，根据正切的定义即可求解．
【详解】解：∵ OC⊥AB
∴ AD=DB=12AB=3 ，
在 Rt△ADO 中， DO= AO2−AD2=1 ，
∴ tan∠AOD= ADDO=3 ，
故答案为：3 ．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，求正切值，熟练掌握以上知识是解题的关键．
16.【答案】A
3
【解析】
【分析】(1)根据已知求得 m=4.2 ，进而分别求得A ，B，C 中与M 距离，即可求解；
(2)由(1)可知，当 c=10 时，点A 与点M 的距离最小，不合题意，然后分别取 m=−1 到9 的整数，进而分别求解即可．
【详解】解：如图所示，
∵ a=4 ， b=7
当 c=10 ，
∴ m=0.2(a+b+c) =0.2×(4+7+10)=4.2
∵ |4−4.2|=0.2 ， |7−4.2|=2.8 ， |10−4.2|=5.8
∴ A ，B ，C 中与M 距离最小的点为A ，
故答案为：A ．
(2)∵ m=0.2(a+b+c) =0.2(11+c)=2.2+0.2c
由(1)可知，当 c=10 时，点A 与点M 的距离最小，不合题意，
当 c=9 时， m=2.2+0.2×9=4 ， CM=5 ， AM=0,BM=3 ，不合题意，
当 c=8 时， m=2.2+0.2×8=3.8 ， CM=4.2 ， AM=0.6,BM=3.2 ，不合题意，
当 c=7 时， m=2.2+0.2×7=3.6 ， CM=3.4 ， AM=0.4,BM=3.4 ，不合题意，
当 c=6 时， m=2.2+0.2×6=3.4 ， CM=2.6 ， AM=0.6,BM=3.6 ，不合题意，
当 c=5 时， m=2.2+0.2×5=3.2 ， CM=1.8 ， AM=0.8,BM=3.8 ，不合题意，
当 c=4 时， m=2.2+0.2×4=3 ， CM=1 ， AM=1,BM=4 ，不合题意，
当 c=3 时， m=2.2+0.2×3=2.8 ， CM=0.2 ， AM=1.2,BM=4.2 ，符合题意，
当 c=2 时， m=2.2+0.2×2=2.6 ， CM= 0.6 ， AM=1.4,BM=4.4 ，符合题意，
当 c=1 时， m=2.2+0.2×1=2.4 ， CM= 1.4 ， AM=1.6,BM=4.6 ，符合题意，
当 c=0 时， m=2.2+0.2×0=2.2 ， CM= 2.2 ， AM=1.8,BM=4.8 ，不符合题意，
当 c=−1 时， m=2.2−0.2×1=2 ， CM= 3 ， AM=2,BM=5 ，不符合题意，
综上所述，符合条件的点C 有3 个，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了代数式求值，数轴上两点的距离，数形结合是解题的关键．
17.【答案】0
【解析】
【分析】根据负整数指数幂，化简绝对值，特殊角的三角函数值，零指数幂进行计算即可求解．
【详解】解： (12)−1+|1− 3|−tan 60∘−(π+2023)0
=2+ 3−1− 3−1
=0 ．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握负整数指数幂，化简绝对值，特殊角的三角函数值，零指数幂是解题的关键．
18.【答案】解：去分母，得 3x−3⩾4x−6 ．
移项，得 3x−4x⩾−6+3 ．
合并，得 −x⩾−3 ．
解得 x⩽3 ．
在数轴上表示为：
．
【解析】
【分析】根据不等式的性质：去分母、移项，再合并同类项，最后系数化1即可．
【点睛】本题考查了解简单不等式的能力，解题的关键是：答这类题，学生往往在解题时不注意性质3而出错．解不等式要依据不等式的基本性质：
(1)不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式，不等号的方向不变；
(2)不等式的两边同时乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；
(3)不等式的两边同时乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．
19.【答案】(1)解：如图所示，
(2)① 90 ；② ∠DAC (或 ∠BAD、∠BED )
【解析】
【分析】(1)过点A 作BC 的垂直平分线即可求解；
(2)①根据作图以及直径所对的圆周角是直角，即可求解；
②根据题意找到 ∠ACB 或 ∠ABC 的余角即可求解．
【详解】(1)见答案；
(2)①如图所示，
∵ AB=AC,AD⊥BC ，
∴ DB=DC ，
又∵ DE=DC ，
∴ DB=DE=DC ，
∴ E 在BC 为直径的圆上，
∴ ∠BEC=90∘ ，
故答案为： 90 ．
②∵ ∠BEC=90∘ ，
∴ ∠CBE+∠ACB=90∘ ，
∵ AD⊥BC ，
∴ ∠DAC+∠ACB=90∘ ，
∴ ∠CBE=∠CAD ，
∵ AB=AC,AD⊥BC ，
∴ ∠CAD=∠BAD ，
∵ DB=DE ，
∴ ∠DEB=∠CBE ，
故答案为： ∠DEB (或 ∠BAD、∠DAC )．
【点睛】本题考查了作垂线，直径所对的圆周角是直角，等腰三角形的性质，熟练掌握基本作图是解题的关键．
20.【答案】(1)解：∵ x2−2x+m=0 ，
∴ Δ=b2−4ac=4−4m ，
∵ m<0 ，
∴ 4−4m>0 ，
即 Δ>0 ，
∴该方程有两个不相等的实数根．
(2)解：∵方程的一个根为−1 ，
∴ 1−2×(−1)+m=0 ，
解得： m=−3 ，
设方程的另一个根为 x2 ，
∵ x1x2=m ， m=−3 ， x1=−1 ，
∴ x2=3 ，
∴另一个根为3 ．
【解析】
【分析】(1)求得 Δ=b2−4ac=4−4m ，根据 m<0 ，可得 Δ>0 ，进而即可求解；
(2)把 x=−1 代入方程，求出m 的值，再根据一元二次方程根与系数的关系求出另一个根即可．
【点睛】本题考查了解一元二次方程、根的判别式和根与系数的关系等知识点，能熟记根的判别式和根与系数的关系是解此题的关键．
21.【答案】(1)解：将点 A(2,m) 代入 y=12x
即 m=12×2=1 ，
∴ A(2,1) ，
代入 y=kx−1 ，即 1=2k−1 ，
解得： k=1 ．
(2)解：依题意， M(n,n−1) ， N(n,12n) ，
∵ MN=2 ，
∴ |n−1−12n|=2 ，
解得： n=6 或 −2 ．
【解析】
【分析】(1)将点 A(2,m) 代入 y=12x 求得 m ，将 A(2,1) 代入 y=kx−1 ，即可求得 k 的值；
(2) M(n,n−1) ， N(n,12n)，根据 MN=2 ，则 |n−1−12n|=2 ，解方程即可求解．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，待定系数法求解析式，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
22.【答案】(1)证明：∵平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，
∴ BO=DO ，
又EF=ED ，
∴ OE 为 △DFB 的中位线，
∴ OE//FB ，且 OE=12BF ，
又E 为OA 的中点，
∴ OE=12AO ，
∴ OA=BF,OA//BF ，
∴四边形AFBO 为平行四边形．
(2)∵平行四边形ABCD ，
∴ AD//BC ，
∴ ∠ADB=∠DBC ，
∵ ∠BDA=∠BDC ，
∴ ∠CBD=∠CDB ，
∴ CB=CD ，
∴平行四边形ABCD 是菱形，
∴ AC⊥BD ，
∴ ∠BOA=90∘ ，
∴平行四边形AFBO 是矩形．
【解析】
【分析】(1)证明OE 为 △DFB 的中位线，则 OE//FB ，且 OE=12BF ，又 OE=12AO ，则 OA=BF,OA//BF ，即可得证；
(2)根据平行四边形的性质得出 AD//BC ，则 ∠ADB=∠DBC ，结合已知得到 ∠CBD=∠CDB ，可得 CB=CD ，则四边形ABCD 是菱形，可得 ∠BOA=90∘ ，结合(1)的结论，即可得证．
【点睛】本题考查了中位线的性质与判定，平行四边形的性质，菱形的性质与判定，矩形的判定，熟练掌握特殊四边形的判定定理是解题的关键．
23.【答案】(1);
(2) 86 ，87;
(3)甲．
【解析】
【分析】(1)根据题意可得甲款红茶分数在 85⩽x<90 这一组的数据有10 个，在 90⩽x<95 这一组的数据有4 个，进而补全统计图；
(2)根据众数与中位数的定义即可求解；
(3)分别计算甲、乙成绩的加权平均数，即可求解．
【详解】(1)解：根据题意，甲款红茶分数在 85⩽x<90 这一组的数据有10 个，则在 90⩽x<95 这一组的数据有 25−2−1−4−10−4=4 个，详图见答案；
(2)根据甲款红茶分数在 85≤x<90 这一组的是：86，86，86，86，86，87，87，88，88，89 ，
则众数为86；
中位数是第13个， 13−(2+1+4)=6 ，在 85⩽x<90 这一组从小到大的第6 个数据为87 ，
故答案为：86 ，87 ．
(3)解：甲款红茶的平均分为 86.6×6+93×46+4=89.16 ，
乙款红茶的平均分为 87.5×6+87×46+4=87.3 ，
∵ 89.16>87.3 ，
∴可以认定甲款红茶最终成绩更高
【点睛】本题考查了频数分布表与频数分布直方图，中位数，众数，加权平均数，熟练掌握以上知识是解题的关键．
24.【答案】(1)证明：∵ PA 是 ⊙O 的切线，
∴ ∠PAO=90∘ ，
∵ OA=OC ，则 ∠OCA=∠OAC ，
∴ ∠AOC=180−2∠OAC ，
又∵ ∠PAC=∠PAO−∠OAC=90∘−∠OAC ，
∴ ∠AOC=2∠PAC ．
(2)解：如图所示，延长AC 交PB 于点D ，过O 作 OE⊥AC 于点E ，
∴ AE=EC=12AC=3 ，
∵ AO=5
在 Rt△AEO 中， EO= AO2−AE2= 52−32=4 ，
∵ AC//OB ， OB⊥BP ，
∴ AD⊥PB ，
∴四边形 OEDB 是矩形，
∴ DB=EO=4 ，
∴ ED=OB=5,AD=AE+ED=3+5=8 ，
∵ PA ，PB 是 ⊙O 的切线，
∴ PA=PB ，
设 PA=x ，则 PD=PB−DB=x−3
在 Rt△PAD 中， AP2=PD2+AD2
∴ x2=82+(x−4)2
解得： x=10 ，
即 PA=10 ．
【解析】
【分析】(1)根据切线的性质得出 ∠PAO=90∘ ，则 ∠PAC=∠PAO−∠OAC=90∘−∠OAC ，根据等腰三角形的性质，三角形内角和定理得出 ∠AOC=180−2∠OAC ，即可得证；
(2)延长AC 交PB 于点D ，过O 作 OE⊥AC 于点E ，根据垂径定理和勾股定理求得EO ，证明四边形 OEDB 是矩形，进而可得 DB=EO=4 ，根据切线长定理得出PA=PB ，进而设 PA=x ，则 PD=PB−DB=x−3 ，在 Rt△PAD 中， AP2=PD2+AD2 ，建立方程，解方程即可求解．
【点睛】本题考查了切线的性质，切线长定理，矩形的性质与判定，勾股定理，垂径定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
25.【答案】(1) 3.84 ， 2.52．
(2)“直发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线；
由(1)可得对称轴为 x=4 ，顶点坐标为 4,4 ，
设抛物线解析式为 y=a(x−4)2+4 ，将点 0,3.84 代入，
得， 3.84=16a+4，
解得： a=−0.01，
∴抛物线解析式为 y=−0.01(x−4)2+4．
(3) =．
【解析】
【分析】(1)根据直发式”模式下，表1数据，可知对称轴为直线 x=4 ，根据对称性即可求得m 的值，根据在“间发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，待定系数法求直线解析式，进而将 x=2 代入即可求解．
(2)根据题意设抛物线解析式为 y=a(x−4)2+4 ，将点 0,3.84 代入，待定系数法求二次函数解析式即可求解．
(3)令 y=0 ，即 −0.01(x−4)2+4=0 ，得出 d1=24 ，设抛物线解析式为 y1=a(x−16)2+3.20 ，将点 8,0 代入，得出 y1=−0.05(x−16)2+3.20 ，令 y=0 ，即 −0.05(x−16)2+3.20=0 ，得出 d2=24 ，即可求解．
【详解】(1)解：∵直发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线；由表1数据，可知对称轴为直线 x=4 ，
∴当 x=8 时的函数值与 x=0 时的函数值相等，
∴ m=3.84 ，
∵在“间发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，
设直线解析式为 y=kx+b ，将点 0,3.36 ， 4,1.68 代入得，
b=3.364k+b=1.68 ，解得： k=−0.42b=3.36 ，
∴ y=−0.42x+3.36 ，
当 x=2 时， y=−0.42×2+3.36=2.52 ，
故答案为： 3.84 ， 2.52 ．
(2)见答案；
(3)解：∵“直发式”模式下，球第一次接触台面前的运动轨迹的解析式为 y=−0.01(x−4)2+4 ，
令 y=0 ，即 −0.01(x−4)2+4=0 ，
解得 x=−16 (舍去)或 x=24
∴ d1=24 ，
∵在“间发式”模式下，球第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线，
由表2可得抛物线的顶点坐标为 16,3.20
设抛物线解析式为 y1=a(x−16)2+3.20 ，将点 8,0 代入，
得， 0=64a+3.20
解得： a=−0.05
∴抛物线解析式为 y1=−0.05(x−16)2+3.20
令 y=0 ，即 −0.05(x−16)2+3.20=0 ，
解得 x=8 (舍去)或 x=24
∴ d2=24 ，
∴ d1=d2 ，
故答案为：= ．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键．
26.【答案】(1)解：将点 1,4a+2 代入 y=ax2+bx+a+2 中，得
a+b+a+2=4a+2
解得： b=2a
∴抛物线解析式为 y=ax2+2ax+a+2=a(x+1)2+2
∴对称轴为直线 x=−1 ，顶点为 −1,2．
(2)①当 a=1 时， y=x2+2x+3 ，
当 x=0 时， y=3 ，
∴抛物线与y 轴交点为 0,3 ，
∵ M(−1−a,y1) ， N(−1+a,y2) 是图形G 上的点，
即 M(−2,y1),N(0,y2)
∴ y1=4−4+3=3 ， y2=3．
∴ t=y1+y2=3+3=6．
② y=ax2+bx+a+2 ，当 x=0 时， y=a+2 ，
∴ y=ax2+bx+a+2 与y 轴交于点 0,a+2 ，
∴抛物线在y 轴右侧的部分关于直线 y=a+2 翻折可得 y=−ax2−2ax+a+2 x>0
∵对称轴为直线 x=−1
∴ M(−1−a,y1) 在对称轴的左侧，
∴ y1=a(−1−a)2+2a(−1−a)+a+2=a3+2 ，
∵ M(−1−a,y1) ， N(−1+a,y2) 关于 x=−1 对称
∴当 −1<−1+a⩽0 ，即 0
∵ 0
当 −1+a>0 ，即 a>1 时， y2=−a(−1+a)2−2a(−1+a)+a+2=−a3+2a+2 ，
∴ t=y1+y2=2a+4 ，
∵ 6⩽t⩽9 ，
∴ 6⩽2a+4⩽9 ，
解得： 1⩽a⩽52．
∴ 1⩽a⩽52．
【解析】
【分析】(1)将点 1,4a+2 代入 y=ax2+bx+a+2 中，得出 b=2a ，进而将解析式化为顶点式，即可求解；
(2)①根据解析式得出抛物线与y 轴交点为 0,3 ，当 a=1 时 M(−2,y1),N(0,y2) ，进而求得 y1=3,y2=3 ，即可求解；
② y=ax2+bx+a+2 与 y 轴交于点 0,a+2 ，抛物线在y 轴右侧的部分关于直线 y=a+2 翻折可得 y=−ax2−2ax+a+2 x>0 ， M(−1−a,y1) 在对称轴的左侧， M(−1−a,y1) ， N(−1+a,y2) 关于 x=−1 对称，分 01 ，分别求得 y1 ， y2 ，根据题意解不等式即可求解．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
27.【答案】(1)解：①如图所示，
②连接AD ，
∵ AB=AC ，D 是BC 的中点，
∴ AD⊥BC 于点D ，AD 平分 ∠BAC ，
∵ ∠BAC=2α(45∘<α<90∘)
∴ ∠BAD=α ， ∠B=90∘−α ，
∵ EF⊥AE ，
∴ ∠AEF=90∘ ， ∠AFE=90∘−α ，
∴ ∠B=∠AFE ．
(2) CF=DF .证明如下，
延长FE 至点H ，使得EH=EF ，连接 BH,AH ， CF ，
∵ E 为BD 的中点，E 为HF 的中点
∴ EH=EF,EB=ED ，
又 ∠HEB=∠FED ，
∴ △HBE≌△FDE SAS ，
∴ BH=FD ，
∵ AE⊥HF ， EH=EF ，
∴ △AHF 是等腰三角形，则 AH=AF ， ∠HAE=∠FAE=α ，
∵ ∠BAC=∠HAF=2α ，
∴ ∠HAF−∠BAF=∠BAC−∠BAF ，
即 ∠BAH=∠CAF ，
∴ △AHB≌△AFC SAS ，
∴ CF=BH ，
∴ CF=FD ．
【解析】
【分析】(1)①根据题意画出图形即可求解；
②连接AD ，则 AD⊥BC 于点D ，AD 平分 ∠BAC ，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理得出 ∠BAD=α ， ∠B=90∘−α ，根据 ∠AEF=90∘ ，得出 ∠AFE=90∘−α ，则 ∠B=∠AFE ；
(2)延长FE 至点H ，使得EH=EF ，连接 BH,AH ， CF ，倍长中线法证明 △HBE≌△FDE ，进而证明 △AHB≌△AFC ，即可得证．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
28.【答案】(1)① P(92,3 32) ；
②∵点O 与点P 关于MN 对称，
∴ MN 为线段OP 的垂直平分线，
当点N 运动到点B 时， NO=NP=3 3，∴ AP=6−3 3．
当点M 运动到点A 时， AP=OA=3，∴ 6−3 3⩽PA⩽3．
．
(2)直线 y=−34x+b(b>0) 与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，
令 x=0 ，则 y=b ，令 y=0 ，解得 x=43b ，
∴ A(43b,0) ， B(0,b)．
对于 Rt△OAB 中，先固定N 点，当M 运动时始终有NO=NP ，
∴在M 运动时，P 点到轨迹为以N 为圆心，NO 为半径的一段圆弧上，临界点分母是M 与点O 与点A 重合时，
当点N 运动时，这段圆弧也随之运动，形成封闭的图形，如图所示，
该图形为：以A 为圆心， 43b 为半径的 ⊙A 与以B 为圆心， b 为半径的 ⊙B 的两圆的公共部分，
当以直线AB 为对称轴时，斜边为2的等腰直角三角形边上任意一点都是 △OAB 的“翻折点”，即该等腰直角三角形在上述封闭图形内，
∵ ⊙A 的半径大于 ⊙B 的半径，
∴当等腰直角三角形的斜边刚好在 ⊙A 上(即为 ⊙A 的弦)时，可得 b 的最大值．
∴ (1+23b)2+12=(43b)2 ，
解得： b=1+ 72，
∴ b⩾1+ 72．
【解析】
【分析】(1)①根据已知条件得出 ∠OBA=30∘ ，则 ∠BAO=60∘ ，点M 与点A 重合，点N 与点B 重合，则 OA=PA=3,∠OAP=120∘ ，过点P 作 PD⊥x 轴于点D ，依题意 OA⊥AB ，则 PA=OA=3,∠POA=30∘ ，进而求得 PD=32 3 ，即可求解；
②根据题意得出MN 为线段OP 的垂直平分线，当点N 运动到点B 时， NO=NP=3 3 ，点M 运动到点A 时， AP=OA=3 ，即可求得PA 的范围；
(2)根据一次函数得出 A(43b,0) ， B(0,b) ，对于 Rt△OAB 中，先固定N 点，当M 运动时始终由 NO=NP ，进而得出以A 为圆心， 43b 为半径的 ⊙A 与以B 为圆心， b 为半径的 ⊙B 的两圆的公共部分，当以直线AB 为对称轴时，斜边为2的等腰直角三角形边上任意一点都是 △OAB 的“翻折点”，即该等腰直角三角形在上述封闭图形内，进而根据勾股定理，求得 b 的值，结合图形即可求解．
【详解】(1)①∵ A(3,0) ， B(0,3 3)
∴ OA=3,OB=3 3 ，则 AB=6
∴ tan∠OBA=OAOB=333=33 ，
∴ ∠OBA=30∘ ，则 ∠BAO=60∘
∵点M 与点A 重合，点N 与点B 重合，
∴ OA=PA=3,∠OAP=120∘
过点P 作 PD⊥x 轴于点D ，
依题意 OA⊥AB ，则 PA=OA=3,∠POA=30∘
∴ PD=3 32 ， AD=32
∴ OD=OA+AD=92 ，
∴ △OAB 的“翻折点”的坐标为 P(92,3 32) ．
②见答案；
(2) 见答案．
【点睛】本题考查了几何新定义，折叠的性质，一次函数与直线的交点坐标，解直角三角形，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
2023年北京市海淀区初三二模考试数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 一个正五棱柱如下图摆放，光线由上到下照射此正五棱柱时的正投影是( )
A. B. C. D.
2. 下列运算正确的是( )
A. 2a+3a=5a2 B. a⋅a⋅a=3a
C. (a3)2=a5 D. a(m+n)=am+an
3. 实数a在数轴上对应点的位置如图所示．若实数b满足a+b<0，则b 的值可以是( )
A. −2 B. −1 C. 0 D. 1
4. 如图，由正六边形和正三角形组成的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5. 投掷两枚质地均匀的骰子，两枚骰子向上一面的点数相同的概率是( )
A. 112 B. 16 C. 13 D. 12
6. 如果a−b=2，那么代数式2a+b⋅(1+2ba−b)的值是( )
A. 12 B. 1 C. 2 D. 2
7. 如图，在正方形网格中，以点O为位似中心，ΔABC的位似图形可以是( )
A. ΔDEF B. △DHF C. △GEH D. ΔGDH
8. 小明近期计划阅读一本总页数不低于300页的名著，他制定的阅读计划如下：
星期
一
二
三
四
五
六
日
页数
15
20
15
10
20
40
30
若小明按照计划从星期x 开始连续阅读，10天后剩下的页数为y ，则y 与x 的图象可能为( )
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9. 若代数式12−x有意义，则实数x 的取值范围是 ．
10. 分解因式：ab2−4a= ．
11. 用一个x的值说明“ x2=x”是错误的，则x 的值可以是
12. 如图，正方形ABCD，点A在直线l上，点B到直线l的距离为3，点D到直线l的距离为2，则正方形的边长为 ．
13. 在平面直角坐标系xOy中，点A(1,y1)和点B(3,y2)在反比例函数y=kx的图象上．若y1
种子数量n
10
50
150
300
500
800
发芽数量m
9
41
133
261
431
689
发芽率nm
0.9
0.82
0.887
0.87
0.862
0.861
据此推测，下面三个时间段中，这批咖啡树种子的保存时间是 (填“三个月内”“三至五个月”或“五至九个月”)．
15. 如图，AB为⊙O的弦，C 为⊙O上一点，OC⊥AB于点D .若OA= 10，AB=6，则tan∠AOD= ．
16. 四个互不相等的实数a，b，c，m在数轴上的对应点分别为A，B，C，M，其中a=4，b=7，c 为整数，m=0.2(a+b+c)．
(1)若c=10，则A ，B ，C 中与M 距离最小的点为 ；
(2)若在A ，B ，C 中，点C 与点M 的距离最小，则符合条件的点C 有 个．
三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
17. 计算：(12)−1+|1− 3|−tan 60∘−(π+2023)0．
四、解答题（本大题共11小题，共88.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. (本小题8.0分)
解不等式x−l2≥2x3−1，并把它的解集在数轴上表示出来．
19. (本小题8.0分)
如图，在ΔABC中，AB=AC．
(1)使用直尺和圆规，作AD⊥BC交BC 于点D (保留作图痕迹)；
(2)以D 为圆心，DC 的长为半径作弧，交AC 于点E ，连接BE ，DE ．
①∠BEC=________ ° ；
②写出图中一个与∠CBE相等的角________．
20. (本小题8.0分)
已知关于x的一元二次方程x2−2x+m=0(m<0)．
(1)判断方程根的情况，并说明理由；
(2)若方程的一个根为−1 ，求m 的值和方程的另一个根．
21. (本小题8.0分)
在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx−1与y=12x交于点A(2,m)．
(1)求k ，m 的值；
(2)已知点P(n,0)，过点P 作垂直于x 轴的直线交直线y=kx−1于点M ，交直线y=12x于点N .若MN=2，直接写出n 的值．
22. (本小题8.0分)
如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E为OA的中点．连接DE并延长至点F，使得EF=DE .连接AF ，BF ．
(1)求证：四边形AFBO为平行四边形；
(2)若∠BDA=∠BDC，求证：四边形AFBO为矩形．
23. (本小题8.0分)
某企业生产甲、乙两款红茶，为了解两款红茶的质量，请消费者和专业机构分别测评．随机抽取25名消费者对两款红茶评分，并对数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a .甲款红茶分数(百分制)的频数分布表如下：
分数
70≤x<75
75≤x<80
80≤x<85
85≤x<90
90≤x<95
95≤x≤100
频率
2
1
4
4
b .甲款红茶分数在85≤x<90这一组的是：
86 86 86 86 86 87 87 88 88 89
c .甲、乙两款红茶分数的平均数、众数、中位数如下表所示：
品种
平均数
众数
中位数
甲
86.6
m
n
乙
87.5
90
86
根据以上信息，回答下列问题：
(1)补全甲款红茶分数的频数分布直方图；
(2)表格中m 的值为________，n 的值为________；
(3)专业机构对两款红茶的条索、色泽、整碎、净度、内质、香气、滋味醇厚度、汤色、叶底来进行综合评分如下：甲款红茶93分，乙款红茶87分．若以这25名消费者评分的平均数和专业机构的评分按照6:4的比例确定最终成绩，可以认定________款红茶最终成绩更高(填“甲”或“乙”)．
24. (本小题8.0分)
如图，P为⊙O外一点，PA ，PB 是⊙O的切线，A ，B 为切点，点C 在⊙O上，连接OA ，OC ，AC ．
(1)求证：∠AOC=2∠PAC；
(2)连接OB ，若AC//OB，⊙O的半径为5 ，AC=6，求AP 的长．
25. (本小题8.0分)
小明发现某乒乓球发球器有“直发式”与“间发式”两种模式．在“直发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线；在“间发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，球第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线．如图1和图2分别建立平面直角坐标系xOy．
通过测量得到球距离台面高度y (单位：dm)与球距离发球器出口的水平距离x (单位：dm)的相关数据，如下表所示：
表1 直发式
x(dm)
0
2
4
6
8
10
16
20
…
y(dm)
3.84
3.96
4
3.96
m
3.64
2.56
1.44
…
表2 间发式
x(dm)
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
…
y(dm)
3.36
n
1.68
0.84
0
1.40
2.40
3
3.20
3
…
根据以上信息，回答问题：
(1)表格中m= ________，n= ________；
(2)求“直发式”模式下，球第一次接触台面前的运动轨迹的解析式；
(3)若“直发式”模式下球第一次接触台面时距离出球点的水平距离为d1“间发式”模式下球第二次接触台面时距离出球点的水平距离为d2，则d1________d2(填“>”“=”或“<”)．
26. (本小题8.0分)
在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx+a+2(a>0)过点(1,4a+2)．
(1)求该抛物线的顶点坐标．
(2)过该抛物线与y 轴的交点作y 轴的垂线l ，将抛物线在y 轴右侧的部分沿直线l 翻折，其余部分保持不变，得到图形G ，M(−1−a,y1)，N(−1+a,y2)是图形G 上的点，设t=y1+y2．
①当a=1时，求t 的值；
②若6≤t≤9，求a 的取值范围．
27. (本小题8.0分)
如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=2α(45∘<α<90∘)，D 是BC 的中点，E 是BD 的中点，连接AE .将射线AE 绕点A 逆时针旋转α得到射线AM ，过点E 作EF⊥AE交射线AM 于点F ．
(1)①依题意补全图形；
②求证：∠B=∠AFE；
(2)连接CF ，DF ，用等式表示线段CF ，DF 之间的数量关系，并证明．
28. (本小题8.0分)
在平面直角坐标系xOy中，对于△OAB和点P (不与点O 重合)给出如下定义：若边OA ，OB 上分别存在点M ，点N ，使得点O 与点P 关于直线MN 对称，则称点P 为△OAB的“翻折点”．
(1)已知A(3,0)，B(0,3 3) .
①若点M 与点A 重合，点N 与点B 重合，直接写出△OAB的“翻折点”的坐标；
② P 是线段AB 上一动点，当P 是△OAB的“翻折点”时，求AP 长的取值范围；
(2)直线y=−34x+b(b>0)与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，若存在以直线AB 为对称轴，且斜边长为2的等腰直角三角形，使得该三角形边上任意一点都为△OAB的“翻折点”，直接写出b 的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
【分析】正投影即投影线垂直于顶面产生的投影，据此直接选择即可．
【详解】光线由上向下照射，此正五棱柱的正投影是
．
故选：B．
【点睛】此题考查平行投影，解题关键此五棱柱的正投影与顶面的形状大小完全相同．
2.【答案】D
【解析】
【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，单项式乘以多项式进行计算即可求解．
【详解】解：A. 2a+3a=5a ，故该选项不正确，不符合题意；
B. a⋅a⋅a=a3 ，故该选项不正确，不符合题意；
C. (a3)2=a6 ，故该选项不正确，不符合题意；
D. a(m+n)=am+an ，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，单项式乘以多项式，熟练掌握合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，单项式乘以多项式是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】
【分析】根据题意可得 1
【详解】解∶根据题意得∶ 1
∴ b<0 ，且 |b|>|a|>1 ，
∴ b<−a<−1 ，
∴ b 的值可以是 −2 ．
故选：A
【点睛】本题考查了有理数加法的运算法则和数轴上的点与有理数的对应关系．解决本题的关键是根据加法的符号规律确定 b 的取值范围．
4.【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形的定义及性质求解．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【详解】解：由正六边形和正三角形组成的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为3条即正三角形的三条高所在的直线．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的定义及性质．掌握轴对称图形的性质是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】
【分析】首先列表，然后根据表格求得所有等可能的结果与两个骰子的点数相同的情况，再根据概率公式求解即可．
【详解】列表得：
1,6
2,6
3,6
4,6
5,6
6,6
1,5
2,5
3,5
4,5
5,5
6,5
1,4
2,4
3,4
4,4
5,4
6,4
1,3
2,3
3,3
4,3
5,3
6,3
1,2
2,2
3,2
4,2
5,2
6,2
1,1
2,1
3,1
4,1
5,1
6,1
∵共有36 种等可能的结果，两个骰子向上一面的点数相同的有6 种情况，
∴两个骰子向上一面的点数相同的概率是： 636=16 ．
故选：B．
【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率的知识．此题比较简单，注意列表法与树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．
6.【答案】B
【解析】
【分析】先根据分式的加减计算括号内的，再根据分式的乘法以及分式的性质化简，最后将式子的值代入即可求解．
【详解】解： 2a+b⋅(1+2ba−b)
=2a+b×a−b+2ba−b
=2a+b×a+ba−b
=2a−b ，
∵ a−b=2 ，
∴原式= 22=1 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】
【分析】根据位似的性质，连接 OB,OA,OC 并延长，观察交点即可求解．
【详解】解：如图所示，连接 OB,OA,OC 并延长，
∴ △ABC 的位似图形是 △GEH ．
故选：C．
【点睛】本题考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，分别代入 x=1,2,3,4,5,6,7 ，求得10天后的剩余页数，对比函数图象即可求解．
【详解】解：一周的阅读量为： 15+20+15+10+20+40+30=150 (页)，
当 x=1 时，则阅读了 150+15+20+15=200 (页)
当 x=2 时，则阅读了 150+20+15+10=195 (页)
当 x=3 时，则阅读了 150+15+10+20=195 (页)
当 x=4 时，则阅读了 150+10+20+40=220 (页)
当 x=5 时，则阅读了 150+20+40+30=240 (页)
当 x=6 时，则阅读了 150+40+30+15=235 (页)
当 x=7 时，则阅读了 150+30+15+20=215 (页)
则剩余的页数，表现在图象上的规律为先升后降，然后再降后升，
故选：A．
【点睛】本题考查了函数图象，理解题意是解题的关键．
9.【答案】x≠2
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件求出 x 的取值范围即可．
【详解】解：依题意得： 2−x≠0 ．
故答案为： x≠2 ．
【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答此题的关键．
10.【答案】a(b+2)(b−2)
【解析】
【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，先提取公因式 a 后继续应用平方差公式分解即可
【详解】解： ab2−4a=a(b2−4)=a(b+2)(b−2) ，
故答案为： a(b+2)(b−2) ．
11.【答案】−1 (答案不唯一)
【解析】
【分析】根据二次根式的性质即可求解．
【详解】解：∵ x2=|x| ，
要说明“ x2=x ”是错误的，则 x<0 ，
故答案为： −1 (答案不唯一)．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
12.【答案】 13
【解析】
【分析】过点 D,B 分别作 l 的垂线，垂足分别为 E,F ，则 DE=2,BF=3 ， ∠DEA=∠BFA=90∘ ，证明 △ADE≌△BAF ，则 AE=BF=3 ，进而勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示，
过点 D,B 分别作 l 的垂线，垂足分别为 E,F
∴ DE=2,BF=3 ， ∠DEA=∠BFA=90∘ ，
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴ AD=AB,∠DAB=90∘ ，
∴ ∠BAF=90∘−∠DAE=∠ADE ，
∴ △ADE≌△BAF ，
∴ AE=BF=3 ，
在 Rt△ADE 中， AD= DE2+AD2= 22+32= 13 ，
故答案为： 13 ．
【点睛】本题考查了点到直线的距离，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
13.【答案】−2
【解析】
【分析】根据y 随x 的增大而增大，可得 k<0 ，进而即可求解．
【详解】解：∵点 A(1,y1) 和点 B(3,y2) 在反比例函数 y=kx 的图象上． 1<3 ， y1
∴ k<0 ，
∴ k=−2 (答案不唯一)
故答案为：−2 (答案不唯一)．
【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．
14.【答案】三至五个月
【解析】
【分析】根据频率估计概率，结合题意即可求解．利用大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
【详解】解：根据表格可知，某批咖啡树种子的发芽情况接近 0.86
∵咖啡树种子保存到三个月时，发芽率约为95%；从三个月到五个月，发芽率会逐渐降到75%；
∴这批咖啡树种子的保存时间是三至五个月
故答案为：三至五个月．
【点睛】本题考查了频率估计概率，理解题意是解题的关键．
15.【答案】3
【解析】
【分析】根据垂径定理得出 AD=3 ，由勾股定理求得 DO=1 ，根据正切的定义即可求解．
【详解】解：∵ OC⊥AB
∴ AD=DB=12AB=3 ，
在 Rt△ADO 中， DO= AO2−AD2=1 ，
∴ tan∠AOD= ADDO=3 ，
故答案为：3 ．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，求正切值，熟练掌握以上知识是解题的关键．
16.【答案】A
3
【解析】
【分析】(1)根据已知求得 m=4.2 ，进而分别求得A ，B，C 中与M 距离，即可求解；
(2)由(1)可知，当 c=10 时，点A 与点M 的距离最小，不合题意，然后分别取 m=−1 到9 的整数，进而分别求解即可．
【详解】解：如图所示，
∵ a=4 ， b=7
当 c=10 ，
∴ m=0.2(a+b+c) =0.2×(4+7+10)=4.2
∵ |4−4.2|=0.2 ， |7−4.2|=2.8 ， |10−4.2|=5.8
∴ A ，B ，C 中与M 距离最小的点为A ，
故答案为：A ．
(2)∵ m=0.2(a+b+c) =0.2(11+c)=2.2+0.2c
由(1)可知，当 c=10 时，点A 与点M 的距离最小，不合题意，
当 c=9 时， m=2.2+0.2×9=4 ， CM=5 ， AM=0,BM=3 ，不合题意，
当 c=8 时， m=2.2+0.2×8=3.8 ， CM=4.2 ， AM=0.6,BM=3.2 ，不合题意，
当 c=7 时， m=2.2+0.2×7=3.6 ， CM=3.4 ， AM=0.4,BM=3.4 ，不合题意，
当 c=6 时， m=2.2+0.2×6=3.4 ， CM=2.6 ， AM=0.6,BM=3.6 ，不合题意，
当 c=5 时， m=2.2+0.2×5=3.2 ， CM=1.8 ， AM=0.8,BM=3.8 ，不合题意，
当 c=4 时， m=2.2+0.2×4=3 ， CM=1 ， AM=1,BM=4 ，不合题意，
当 c=3 时， m=2.2+0.2×3=2.8 ， CM=0.2 ， AM=1.2,BM=4.2 ，符合题意，
当 c=2 时， m=2.2+0.2×2=2.6 ， CM= 0.6 ， AM=1.4,BM=4.4 ，符合题意，
当 c=1 时， m=2.2+0.2×1=2.4 ， CM= 1.4 ， AM=1.6,BM=4.6 ，符合题意，
当 c=0 时， m=2.2+0.2×0=2.2 ， CM= 2.2 ， AM=1.8,BM=4.8 ，不符合题意，
当 c=−1 时， m=2.2−0.2×1=2 ， CM= 3 ， AM=2,BM=5 ，不符合题意，
综上所述，符合条件的点C 有3 个，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了代数式求值，数轴上两点的距离，数形结合是解题的关键．
17.【答案】0
【解析】
【分析】根据负整数指数幂，化简绝对值，特殊角的三角函数值，零指数幂进行计算即可求解．
【详解】解： (12)−1+|1− 3|−tan 60∘−(π+2023)0
=2+ 3−1− 3−1
=0 ．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握负整数指数幂，化简绝对值，特殊角的三角函数值，零指数幂是解题的关键．
18.【答案】解：去分母，得 3x−3⩾4x−6 ．
移项，得 3x−4x⩾−6+3 ．
合并，得 −x⩾−3 ．
解得 x⩽3 ．
在数轴上表示为：
．
【解析】
【分析】根据不等式的性质：去分母、移项，再合并同类项，最后系数化1即可．
【点睛】本题考查了解简单不等式的能力，解题的关键是：答这类题，学生往往在解题时不注意性质3而出错．解不等式要依据不等式的基本性质：
(1)不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式，不等号的方向不变；
(2)不等式的两边同时乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；
(3)不等式的两边同时乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．
19.【答案】(1)解：如图所示，
(2)① 90 ；② ∠DAC (或 ∠BAD、∠BED )
【解析】
【分析】(1)过点A 作BC 的垂直平分线即可求解；
(2)①根据作图以及直径所对的圆周角是直角，即可求解；
②根据题意找到 ∠ACB 或 ∠ABC 的余角即可求解．
【详解】(1)见答案；
(2)①如图所示，
∵ AB=AC,AD⊥BC ，
∴ DB=DC ，
又∵ DE=DC ，
∴ DB=DE=DC ，
∴ E 在BC 为直径的圆上，
∴ ∠BEC=90∘ ，
故答案为： 90 ．
②∵ ∠BEC=90∘ ，
∴ ∠CBE+∠ACB=90∘ ，
∵ AD⊥BC ，
∴ ∠DAC+∠ACB=90∘ ，
∴ ∠CBE=∠CAD ，
∵ AB=AC,AD⊥BC ，
∴ ∠CAD=∠BAD ，
∵ DB=DE ，
∴ ∠DEB=∠CBE ，
故答案为： ∠DEB (或 ∠BAD、∠DAC )．
【点睛】本题考查了作垂线，直径所对的圆周角是直角，等腰三角形的性质，熟练掌握基本作图是解题的关键．
20.【答案】(1)解：∵ x2−2x+m=0 ，
∴ Δ=b2−4ac=4−4m ，
∵ m<0 ，
∴ 4−4m>0 ，
即 Δ>0 ，
∴该方程有两个不相等的实数根．
(2)解：∵方程的一个根为−1 ，
∴ 1−2×(−1)+m=0 ，
解得： m=−3 ，
设方程的另一个根为 x2 ，
∵ x1x2=m ， m=−3 ， x1=−1 ，
∴ x2=3 ，
∴另一个根为3 ．
【解析】
【分析】(1)求得 Δ=b2−4ac=4−4m ，根据 m<0 ，可得 Δ>0 ，进而即可求解；
(2)把 x=−1 代入方程，求出m 的值，再根据一元二次方程根与系数的关系求出另一个根即可．
【点睛】本题考查了解一元二次方程、根的判别式和根与系数的关系等知识点，能熟记根的判别式和根与系数的关系是解此题的关键．
21.【答案】(1)解：将点 A(2,m) 代入 y=12x
即 m=12×2=1 ，
∴ A(2,1) ，
代入 y=kx−1 ，即 1=2k−1 ，
解得： k=1 ．
(2)解：依题意， M(n,n−1) ， N(n,12n) ，
∵ MN=2 ，
∴ |n−1−12n|=2 ，
解得： n=6 或 −2 ．
【解析】
【分析】(1)将点 A(2,m) 代入 y=12x 求得 m ，将 A(2,1) 代入 y=kx−1 ，即可求得 k 的值；
(2) M(n,n−1) ， N(n,12n)，根据 MN=2 ，则 |n−1−12n|=2 ，解方程即可求解．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，待定系数法求解析式，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
22.【答案】(1)证明：∵平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，
∴ BO=DO ，
又EF=ED ，
∴ OE 为 △DFB 的中位线，
∴ OE//FB ，且 OE=12BF ，
又E 为OA 的中点，
∴ OE=12AO ，
∴ OA=BF,OA//BF ，
∴四边形AFBO 为平行四边形．
(2)∵平行四边形ABCD ，
∴ AD//BC ，
∴ ∠ADB=∠DBC ，
∵ ∠BDA=∠BDC ，
∴ ∠CBD=∠CDB ，
∴ CB=CD ，
∴平行四边形ABCD 是菱形，
∴ AC⊥BD ，
∴ ∠BOA=90∘ ，
∴平行四边形AFBO 是矩形．
【解析】
【分析】(1)证明OE 为 △DFB 的中位线，则 OE//FB ，且 OE=12BF ，又 OE=12AO ，则 OA=BF,OA//BF ，即可得证；
(2)根据平行四边形的性质得出 AD//BC ，则 ∠ADB=∠DBC ，结合已知得到 ∠CBD=∠CDB ，可得 CB=CD ，则四边形ABCD 是菱形，可得 ∠BOA=90∘ ，结合(1)的结论，即可得证．
【点睛】本题考查了中位线的性质与判定，平行四边形的性质，菱形的性质与判定，矩形的判定，熟练掌握特殊四边形的判定定理是解题的关键．
23.【答案】(1);
(2) 86 ，87;
(3)甲．
【解析】
【分析】(1)根据题意可得甲款红茶分数在 85⩽x<90 这一组的数据有10 个，在 90⩽x<95 这一组的数据有4 个，进而补全统计图；
(2)根据众数与中位数的定义即可求解；
(3)分别计算甲、乙成绩的加权平均数，即可求解．
【详解】(1)解：根据题意，甲款红茶分数在 85⩽x<90 这一组的数据有10 个，则在 90⩽x<95 这一组的数据有 25−2−1−4−10−4=4 个，详图见答案；
(2)根据甲款红茶分数在 85≤x<90 这一组的是：86，86，86，86，86，87，87，88，88，89 ，
则众数为86；
中位数是第13个， 13−(2+1+4)=6 ，在 85⩽x<90 这一组从小到大的第6 个数据为87 ，
故答案为：86 ，87 ．
(3)解：甲款红茶的平均分为 86.6×6+93×46+4=89.16 ，
乙款红茶的平均分为 87.5×6+87×46+4=87.3 ，
∵ 89.16>87.3 ，
∴可以认定甲款红茶最终成绩更高
【点睛】本题考查了频数分布表与频数分布直方图，中位数，众数，加权平均数，熟练掌握以上知识是解题的关键．
24.【答案】(1)证明：∵ PA 是 ⊙O 的切线，
∴ ∠PAO=90∘ ，
∵ OA=OC ，则 ∠OCA=∠OAC ，
∴ ∠AOC=180−2∠OAC ，
又∵ ∠PAC=∠PAO−∠OAC=90∘−∠OAC ，
∴ ∠AOC=2∠PAC ．
(2)解：如图所示，延长AC 交PB 于点D ，过O 作 OE⊥AC 于点E ，
∴ AE=EC=12AC=3 ，
∵ AO=5
在 Rt△AEO 中， EO= AO2−AE2= 52−32=4 ，
∵ AC//OB ， OB⊥BP ，
∴ AD⊥PB ，
∴四边形 OEDB 是矩形，
∴ DB=EO=4 ，
∴ ED=OB=5,AD=AE+ED=3+5=8 ，
∵ PA ，PB 是 ⊙O 的切线，
∴ PA=PB ，
设 PA=x ，则 PD=PB−DB=x−3
在 Rt△PAD 中， AP2=PD2+AD2
∴ x2=82+(x−4)2
解得： x=10 ，
即 PA=10 ．
【解析】
【分析】(1)根据切线的性质得出 ∠PAO=90∘ ，则 ∠PAC=∠PAO−∠OAC=90∘−∠OAC ，根据等腰三角形的性质，三角形内角和定理得出 ∠AOC=180−2∠OAC ，即可得证；
(2)延长AC 交PB 于点D ，过O 作 OE⊥AC 于点E ，根据垂径定理和勾股定理求得EO ，证明四边形 OEDB 是矩形，进而可得 DB=EO=4 ，根据切线长定理得出PA=PB ，进而设 PA=x ，则 PD=PB−DB=x−3 ，在 Rt△PAD 中， AP2=PD2+AD2 ，建立方程，解方程即可求解．
【点睛】本题考查了切线的性质，切线长定理，矩形的性质与判定，勾股定理，垂径定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
25.【答案】(1) 3.84 ， 2.52．
(2)“直发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线；
由(1)可得对称轴为 x=4 ，顶点坐标为 4,4 ，
设抛物线解析式为 y=a(x−4)2+4 ，将点 0,3.84 代入，
得， 3.84=16a+4，
解得： a=−0.01，
∴抛物线解析式为 y=−0.01(x−4)2+4．
(3) =．
【解析】
【分析】(1)根据直发式”模式下，表1数据，可知对称轴为直线 x=4 ，根据对称性即可求得m 的值，根据在“间发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，待定系数法求直线解析式，进而将 x=2 代入即可求解．
(2)根据题意设抛物线解析式为 y=a(x−4)2+4 ，将点 0,3.84 代入，待定系数法求二次函数解析式即可求解．
(3)令 y=0 ，即 −0.01(x−4)2+4=0 ，得出 d1=24 ，设抛物线解析式为 y1=a(x−16)2+3.20 ，将点 8,0 代入，得出 y1=−0.05(x−16)2+3.20 ，令 y=0 ，即 −0.05(x−16)2+3.20=0 ，得出 d2=24 ，即可求解．
【详解】(1)解：∵直发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线；由表1数据，可知对称轴为直线 x=4 ，
∴当 x=8 时的函数值与 x=0 时的函数值相等，
∴ m=3.84 ，
∵在“间发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，
设直线解析式为 y=kx+b ，将点 0,3.36 ， 4,1.68 代入得，
b=3.364k+b=1.68 ，解得： k=−0.42b=3.36 ，
∴ y=−0.42x+3.36 ，
当 x=2 时， y=−0.42×2+3.36=2.52 ，
故答案为： 3.84 ， 2.52 ．
(2)见答案；
(3)解：∵“直发式”模式下，球第一次接触台面前的运动轨迹的解析式为 y=−0.01(x−4)2+4 ，
令 y=0 ，即 −0.01(x−4)2+4=0 ，
解得 x=−16 (舍去)或 x=24
∴ d1=24 ，
∵在“间发式”模式下，球第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线，
由表2可得抛物线的顶点坐标为 16,3.20
设抛物线解析式为 y1=a(x−16)2+3.20 ，将点 8,0 代入，
得， 0=64a+3.20
解得： a=−0.05
∴抛物线解析式为 y1=−0.05(x−16)2+3.20
令 y=0 ，即 −0.05(x−16)2+3.20=0 ，
解得 x=8 (舍去)或 x=24
∴ d2=24 ，
∴ d1=d2 ，
故答案为：= ．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键．
26.【答案】(1)解：将点 1,4a+2 代入 y=ax2+bx+a+2 中，得
a+b+a+2=4a+2
解得： b=2a
∴抛物线解析式为 y=ax2+2ax+a+2=a(x+1)2+2
∴对称轴为直线 x=−1 ，顶点为 −1,2．
(2)①当 a=1 时， y=x2+2x+3 ，
当 x=0 时， y=3 ，
∴抛物线与y 轴交点为 0,3 ，
∵ M(−1−a,y1) ， N(−1+a,y2) 是图形G 上的点，
即 M(−2,y1),N(0,y2)
∴ y1=4−4+3=3 ， y2=3．
∴ t=y1+y2=3+3=6．
② y=ax2+bx+a+2 ，当 x=0 时， y=a+2 ，
∴ y=ax2+bx+a+2 与y 轴交于点 0,a+2 ，
∴抛物线在y 轴右侧的部分关于直线 y=a+2 翻折可得 y=−ax2−2ax+a+2 x>0
∵对称轴为直线 x=−1
∴ M(−1−a,y1) 在对称轴的左侧，
∴ y1=a(−1−a)2+2a(−1−a)+a+2=a3+2 ，
∵ M(−1−a,y1) ， N(−1+a,y2) 关于 x=−1 对称
∴当 −1<−1+a⩽0 ，即 0
∵ 0
当 −1+a>0 ，即 a>1 时， y2=−a(−1+a)2−2a(−1+a)+a+2=−a3+2a+2 ，
∴ t=y1+y2=2a+4 ，
∵ 6⩽t⩽9 ，
∴ 6⩽2a+4⩽9 ，
解得： 1⩽a⩽52．
∴ 1⩽a⩽52．
【解析】
【分析】(1)将点 1,4a+2 代入 y=ax2+bx+a+2 中，得出 b=2a ，进而将解析式化为顶点式，即可求解；
(2)①根据解析式得出抛物线与y 轴交点为 0,3 ，当 a=1 时 M(−2,y1),N(0,y2) ，进而求得 y1=3,y2=3 ，即可求解；
② y=ax2+bx+a+2 与 y 轴交于点 0,a+2 ，抛物线在y 轴右侧的部分关于直线 y=a+2 翻折可得 y=−ax2−2ax+a+2 x>0 ， M(−1−a,y1) 在对称轴的左侧， M(−1−a,y1) ， N(−1+a,y2) 关于 x=−1 对称，分 0
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
27.【答案】(1)解：①如图所示，
②连接AD ，
∵ AB=AC ，D 是BC 的中点，
∴ AD⊥BC 于点D ，AD 平分 ∠BAC ，
∵ ∠BAC=2α(45∘<α<90∘)
∴ ∠BAD=α ， ∠B=90∘−α ，
∵ EF⊥AE ，
∴ ∠AEF=90∘ ， ∠AFE=90∘−α ，
∴ ∠B=∠AFE ．
(2) CF=DF .证明如下，
延长FE 至点H ，使得EH=EF ，连接 BH,AH ， CF ，
∵ E 为BD 的中点，E 为HF 的中点
∴ EH=EF,EB=ED ，
又 ∠HEB=∠FED ，
∴ △HBE≌△FDE SAS ，
∴ BH=FD ，
∵ AE⊥HF ， EH=EF ，
∴ △AHF 是等腰三角形，则 AH=AF ， ∠HAE=∠FAE=α ，
∵ ∠BAC=∠HAF=2α ，
∴ ∠HAF−∠BAF=∠BAC−∠BAF ，
即 ∠BAH=∠CAF ，
∴ △AHB≌△AFC SAS ，
∴ CF=BH ，
∴ CF=FD ．
【解析】
【分析】(1)①根据题意画出图形即可求解；
②连接AD ，则 AD⊥BC 于点D ，AD 平分 ∠BAC ，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理得出 ∠BAD=α ， ∠B=90∘−α ，根据 ∠AEF=90∘ ，得出 ∠AFE=90∘−α ，则 ∠B=∠AFE ；
(2)延长FE 至点H ，使得EH=EF ，连接 BH,AH ， CF ，倍长中线法证明 △HBE≌△FDE ，进而证明 △AHB≌△AFC ，即可得证．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
28.【答案】(1)① P(92,3 32) ；
②∵点O 与点P 关于MN 对称，
∴ MN 为线段OP 的垂直平分线，
当点N 运动到点B 时， NO=NP=3 3，∴ AP=6−3 3．
当点M 运动到点A 时， AP=OA=3，∴ 6−3 3⩽PA⩽3．
．
(2)直线 y=−34x+b(b>0) 与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，
令 x=0 ，则 y=b ，令 y=0 ，解得 x=43b ，
∴ A(43b,0) ， B(0,b)．
对于 Rt△OAB 中，先固定N 点，当M 运动时始终有NO=NP ，
∴在M 运动时，P 点到轨迹为以N 为圆心，NO 为半径的一段圆弧上，临界点分母是M 与点O 与点A 重合时，
当点N 运动时，这段圆弧也随之运动，形成封闭的图形，如图所示，
该图形为：以A 为圆心， 43b 为半径的 ⊙A 与以B 为圆心， b 为半径的 ⊙B 的两圆的公共部分，
当以直线AB 为对称轴时，斜边为2的等腰直角三角形边上任意一点都是 △OAB 的“翻折点”，即该等腰直角三角形在上述封闭图形内，
∵ ⊙A 的半径大于 ⊙B 的半径，
∴当等腰直角三角形的斜边刚好在 ⊙A 上(即为 ⊙A 的弦)时，可得 b 的最大值．
∴ (1+23b)2+12=(43b)2 ，
解得： b=1+ 72，
∴ b⩾1+ 72．
【解析】
【分析】(1)①根据已知条件得出 ∠OBA=30∘ ，则 ∠BAO=60∘ ，点M 与点A 重合，点N 与点B 重合，则 OA=PA=3,∠OAP=120∘ ，过点P 作 PD⊥x 轴于点D ，依题意 OA⊥AB ，则 PA=OA=3,∠POA=30∘ ，进而求得 PD=32 3 ，即可求解；
②根据题意得出MN 为线段OP 的垂直平分线，当点N 运动到点B 时， NO=NP=3 3 ，点M 运动到点A 时， AP=OA=3 ，即可求得PA 的范围；
(2)根据一次函数得出 A(43b,0) ， B(0,b) ，对于 Rt△OAB 中，先固定N 点，当M 运动时始终由 NO=NP ，进而得出以A 为圆心， 43b 为半径的 ⊙A 与以B 为圆心， b 为半径的 ⊙B 的两圆的公共部分，当以直线AB 为对称轴时，斜边为2的等腰直角三角形边上任意一点都是 △OAB 的“翻折点”，即该等腰直角三角形在上述封闭图形内，进而根据勾股定理，求得 b 的值，结合图形即可求解．
【详解】(1)①∵ A(3,0) ， B(0,3 3)
∴ OA=3,OB=3 3 ，则 AB=6
∴ tan∠OBA=OAOB=333=33 ，
∴ ∠OBA=30∘ ，则 ∠BAO=60∘
∵点M 与点A 重合，点N 与点B 重合，
∴ OA=PA=3,∠OAP=120∘
过点P 作 PD⊥x 轴于点D ，
依题意 OA⊥AB ，则 PA=OA=3,∠POA=30∘
∴ PD=3 32 ， AD=32
∴ OD=OA+AD=92 ，
∴ △OAB 的“翻折点”的坐标为 P(92,3 32) ．
②见答案；
(2) 见答案．
【点睛】本题考查了几何新定义，折叠的性质，一次函数与直线的交点坐标，解直角三角形，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
相关试卷
2023年北京市海淀区中考数学二模试卷（含解析）： 这是一份2023年北京市海淀区中考数学二模试卷（含解析），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年北京市海淀区中考数学二模试卷（含解析）： 这是一份2023年北京市海淀区中考数学二模试卷（含解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年北京市海淀区初三二模数学试卷及答案： 这是一份2023年北京市海淀区初三二模数学试卷及答案，共12页。
