2023届湖北省高考冲刺模拟试卷数学试题（八）答案和解析

2023年高考冲刺模拟试卷

数学试题（八）参考答案

一、单项选择题，二、多项选择题：

三、填空题

13．      14．        15．        16．

1．C

2．C

3．D 【解析】由题意得解得所以随机抽取2个格点，则至少有1个格点

在三角形内部的概率为，故选D．

4．【答案】A

【解析】因为，所以，设向量与向量的夹角为，

因为，所以，

又因为，可得，所以，故选A．

5．B  【解析】因为

，

可得，因为在区间上没有零点，

所以，解得，又因为，

所以，根据题意可得，则有，

综上可得的取值范围为，即的最大值为，故选B．

6．D

【解析】因为，所以是偶函数，且当时，

是减函数，因为对恒成立，当且仅当时等号成立，取，

所以，所以，即．令，，

则，令，得，令，得，

得在上单调递增，在上单调递减，故，

故对恒成立，当且仅当时等号成立，取，

所以，因为，所以．综上，，故选D．

7．B

【解析】设点到各边的距离为，则，

即，由椭圆定义知，，则有

，所以椭圆的离心率，故选B．

8．A

【解析】如图，取的中点，连接，，可得，又，所以

为正三角形，取的中点，取的中点，连接，，，可得平面

平面，因为平面，所以平面，所以

在三棱锥表面上，满足的点的轨迹是，所以

点轨迹的长度．分别在，取点，，使得，

，再过点，分别作平面，平面的垂线，两垂线

交于点，则点即为外接球的球心，连接，，则，所以三棱锥

的外接球的表面积，所以，故选A．

9．ABC

10．ABD

【解析】因为函数的定义域为R，且，所以函数

是奇函数，故A正确；因为，

所以函数的图象关于直线对称，故B正确；

因为，

所以，因此不是函数

的周期，故C错误； 因为函数在上

的零点就是函数与在

上图象交点的横坐标，所以作函数与

在上图象，由图象知函数与在上有、、、

、、、共7个交点，其中，，，，，

因此，所以函数在上所有零点之和为，

故D正确．故选ABD．

11．AB

【解析】连接，则过点，且平面，设垂足为，则平面

，所以的最小值为，故A正确；因为，且

平面，所以点的轨迹是圆，故B正确；因为，，

可得，点的轨迹围成图形的面积为，故C错误；

异面直线与所成的角即为与所成的角，而与平面

所成的角为，且，故D

错误，故选AB.

12．CD 

【解析】因为是定义在R上的单调函数，对于任意，满足，

所以为常数，令，则且，

即，即，令，因为，

故，因为为偶函数，方程有且

仅有4个不相等的实数根，当且仅当方程在上有且仅有两个不相等

的实数根，即在上有且仅有两个不相等的实数根，方程根

的个数可看成与图象交点个数，令，则

，当时，函数单调递减，当，函数单

调递增，且，故，即，当时，

不满足要求；当时，此时，故有两个交点，满足题意．故选CD．

13． 【解析】

，所以的展开式中常数项为．

14．0.8

【解析】以水位未涨前的水面的中点为原点，建立平面直角坐标系，如图所示，

设圆拱所在圆的方程为，因为圆经过点，，

所以解得所以圆的方程是

，

令，得，故当水位暴涨m后，船身至少应降低(m)，

船才能安全通过桥洞．

15． 【解析】为奇函数，，则

，即，可得

，两边求导得，又的图像关于对称，

的图象关于轴对称，即，两边求导得，则

，，可得和都是以为周期的

周期函数，，由，取，

可得，即，得，

．曲线在处的切线方程为

，即．

16． 

【解析】由题意可知直线的斜率存在，设直线：，，

联立方程，整理得，，

，所以或，

解得或（舍），故直线的方程为，恒过定点，又因

为，所以点在以为直径的圆上，设的中点为，则的最

大值为．

17．解：（1），由正余弦定理可得

，（2分）

整理可得，解得．（4分）

（2），，，，

，，．（5分）

，即，，可得，

，（6分）

，（8分）

又，在中，

由正弦定理可知，，

．（10分）

18．解：（1）由题意得，当，，（1分）

当时，，两式相减得，（3分）

所以，又不满足上式，所以．（5分）

（2）因为，所以当时，，（6分）

当时，，（9分）

所以令

，又，所以．（12分）

19．解：（1）零假设为：疗法与疗效独立，即两种疗法效果没有差异，根据列联表中数据，

经过计算得到，

根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，

因此可以认为成立，即认为两种疗法效果没有差异. （4分）

（2）设组中采用甲方案康复的人数为，则，

所以，设组的积分为，则，

所以，（7分）

设组中采用乙方案康复的人数为，则的可能取值为：0，1，2，3，

，，

，，

故的分布列为：

所以，（10分）

设组的积分为，则，所以.（11分）

因为，所以甲种联合治疗方案更好. （12分）

20．解：（1）取中点，连结，交于点，连结，因为，，

所以四边形是平行四边形，所以，，

因为，所以，（2分）

因为，所以，因为，所以，

因为，所以平面，

因为平面，所以，（4分）

因为，所以平面，

因为平面，所以平面平面．（5分）

（2）取中点，以为坐标原点，，，为，，轴，建立如图所

示的空间坐标系，设，则，，所以，，

，，，，所以，

．设平面的一个法向量，则有即

令，则，，

所以平面的一个法向量．（8分）

因为平面的一个法向量，（9分）

所以，设二面角的大小为，

则，所以二面角的正弦值为．（12分）

21．解：（1）当轴时，，所以①，

②，（2分）

又③，联立①②③，解得，，，

所以双曲线的方程．（4分）

（2）证明：显然直线不与轴垂直，设的方程为，则，

，联立方程消去得，

设，，因为，所以，

，．因为，所以方程为，

令，得，同理，（6分）

所以

．（9分）

因为，所以，

解得，（11分）即直线方程为，所以直线经过点，

所以，，三点共线．（12分）

22．解：（1）设，因为在上递增，，，

所以存在唯一，使得（2分）

当时，由，，

所以，，曲线在点处的切线为

，

因为切线经过原点，所以，解得．（5分）

（2）由（1）知，当时，；

当时，，其中，即，

当时，，所以在上是减函数．

当时，，设，，

则在上是减函数．（7分）

① 当时，因为，，

在上是减函数，所以在上不存在最小值，不合题意；

② 当时，，，所以在上是增函数，

所以当时，取得极小值，也是最小值，所以适合；（9分）

③ 当时，因为，，所以存在，使得．

当时，，，递增；

当时，，，递减，所以当时，

取得极小值，要使在上存在最小值，则，

因为，所以，，

所以．综上，实数的取值范围是．（12分）