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【期末分层模拟】（满分卷·苏科版）2022-2023学年七年级数学下学期期末模拟卷（原卷版+解析版）
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这是一份【期末分层模拟】（满分卷·苏科版）2022-2023学年七年级数学下学期期末模拟卷（原卷版+解析版），文件包含满分卷期末考试卷解析版苏科版docx、满分卷期末考试卷原卷版苏科版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共29页， 欢迎下载使用。
编者小注：
本套专辑为江苏地区2022-2023学年第二学期期末考试研发。
7-8年级（满分100分制），分基础卷（适合80分以下学生使用）、提升卷（适合80-95分学生使用）、满分卷（适合95分以上学生使用）。
来源为近两年江苏苏科版数学教材使用地期末原题，包含详细解析。
所有资料研发均为原创，希望助广大中学生一臂之力。
（满分卷）2022-2023学年七年级数学下学期期末考试卷（解析版）（苏科版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若，则M与N的大小关系是( )
A．由x的取值而定 B． C． D．
【答案】D
【分析】先将M和N别去括号计算，再根据即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查整式乘法运算，解题的关键是掌握整式乘法运算法则．
2．已知为奇数，为偶数，则下列各式的计算中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据同底数幂的乘法法则分别运算，即可获得答案．
【详解】解：若为奇数，为偶数，则
A．，该选项运算错误，不符合题意；
B．，该选项运算错误，不符合题意；
C．，该选项运算错误，不符合题意；
D． ，该选项运算正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
3．如图，正五边形，平分，平分正五边形的外角，则＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出正五边形的一个外角，再求出内角度数，然后在四边形中，利用四边形内角和求出．
【详解】∵正五边形外角和为，
∴外角，
∴内角，
∵平分，平分正五边形的外角，
∴， ，
在四边形中，，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查多边形角度的计算，正多边形可先计算外角，再计算内角更加快捷简便，掌握正多边形的内角和与外角的性质是解题的关键．
4．如图，在中，，点在边上（如图1），先将沿着翻折，使点落在点处，交于点（如图2），再将沿着翻折，点恰好落在上的点处，此时（如图3），则的度数为（ ）
A．66° B．23° C．46° D．69°
【答案】D
【分析】根据翻折后对应角相等得到，利用已知条件和三角形的内角和等于，建立等量关系可求的度数．
【详解】解：由题意可得，，
设，则，
三角形的内角和等于，
在中，，即；
在中，，即；
，
解得：，
故选：D．
【点睛】本题考查翻折后对应角相等，利用三角形的内角和等于，设未知数并建立等量关系是解题的关键，本题的难点是是两个三角形的公共角，由此列方程求解．
5．在数轴上，点表示1，现将点沿轴做如下移动：第一次点向左移动3个单位长度到达点，第二次将点向右移动6个单位长度到达点，第三次将点向左移动9个单位长度到达点，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，如果点与原点的距离不小于30，那么的最小值是（ ）
A．19 B．20 C．21 D．22
【答案】B
【分析】先根据数轴的定义求出的值，再归纳总结出一般规律，然后根据“点与原点的距离不小于30”列出不等式求解即可．
【详解】由题意得：表示的数为，点与原点的距离为
表示的数为，点与原点的距离为
表示的数为，点与原点的距离为
表示的数为，点与原点的距离为
表示的数为，点与原点的距离为
归纳类推得：当移动次数为奇数时，点与原点的距离；当移动次数为偶数时，点与原点的距离为（其中，n表示移动次数，n为正整数）
（1）当移动次数为奇数时
由题意得：
解得
则此时n的最小值为
（2）当移动次数为偶数时
由题意得：
解得
则此时n的最小值为
综上，n的最小值为
故选：B．
【点睛】本题考查了数轴的应用、一元一次不等式的应用，掌握理解数轴的定义，并归纳类推出规律是解题关键．
6．小明去文具店购买了笔和本子共5件，已知两种文具的单价均为正整数且本子的单价比笔的单价贵．在付账时，小明问是不是27元，但收银员却说一共48元，小明仔细看了看后发现自己将两种商品的单价记反了．小明实际的购买情况是（ ）
A．1支笔，4本本子 B．2支笔，3本本子
C．3支笔，2本本子 D．4支笔，1本本子
【答案】A
【分析】设购买了笔x件，购买了本子(5-x)件，本子的单价为a元，笔的单价为b元，分类讨论解方程即可．
【详解】解：设购买了笔x件，购买了本子(5-x)件，本子的单价为a元，笔的单价为b元，列方程组得 ，
当x=1时，原方程组为，解得，符合题意；
当x=2时，原方程组为，解得，不符合题意，舍去；
当x=3时，原方程组为，解得，不符合题意，舍去；
当x=4时，原方程组为，解得，不符合题意，舍去；
故选：A．
【点睛】本题考查了含参数的二元一次方程组的应用，解题关键是理解题意，找出等量关系，列出方程组，分类讨论解方程组．
7．已知m，n均为正整数且满足，则的最大值是（ ）
A．16 B．22 C．34 D．36
【答案】D
【分析】由得.由于，据此列出关于m、n的方程组，求出每一组m、n的值，再求出相应的的值，即可找到的最大值.
【详解】由得
∵m，n均为正整数
或或或
或或或 或
解得或或或或或或或
∴或22或18或16
∴的最大值是36
故选：D
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是将变形为.
8．已知，，则的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将代数式因式分解，再代数求值即可.
【详解】
故选B
【点睛】本题考查知识点涉及因式分解以及代数式求值，熟练掌握因式分解，简化计算是解答本题的关键.
二、填空题
9．随“双减”政策的落地，学生的课业负担得到减轻，因而周末参与艺体培训学习的孩子相应有所增加．某舞蹈培训学校计划开设初级班、中级班、高级班，其中初级班与高级班每班人数之比为5：3，中级班每班40人，且中级班每班人数多于高级班每班人数而少于初级班每班人数.去年12月预约报名时各班人数刚好满员，初级班和中级班一共刚好18个班，中级班和高级班共同报了300人；今年3月正式报名时初级班和中级班的报名人数均没有变化，而高级班少报了一个班且还有一个班差2人才满员，且初级班和高级班共报了628人．则该舞蹈培训学校去年12月预约报名共_______人．
【答案】900
【分析】根据题意可以列出相应的不等式，然后即可求得初级班和高级班人数的取值范围，再根据题目中的数据，即可求得初级班和高级班的人数、班数，然后即可计算出该舞蹈培训学校去年12月预约报名的总人数．
【详解】解：设去年12月份预约报名时，中级班有a个，则初级班有（18-a）个，初级班每班有5x人，高级班每班有3x人，高级班有b个，
由题意可得：3x＜40＜5x，
解得8＜x＜，
∵x为整数，
∴x=9，10，11，12或13，
40a+3xb=300，
解得或或，
当a=3，x=10，b=6时，3x=30，5x=50，
50×（18-3）+30×（6-1）-2=898≠628，不合实际，舍去；
当a=3，x=12，b=5时，3x=36，5x=60，
60×（18-3）+36×（5-1）-2≠628，不合实际，舍去；
当a=6，x=10，b=2时，3x=30，5x=50，
50×（18-6）+30×（2-1）-2=628，符合题意；
∴该舞蹈培训学校去年12月预约报名的学生有：50×（18-6）+300=900（人），
故答案为：900．
【点睛】本题考查一元一次不等式的应用、二元一次方程的应用，解答本题的关键是求出初级班、中级班、高级班的人数．
10．已知中，边上的高所在的直线交于H，则______度．
【答案】或．
【分析】分两种情况考虑：①是锐角三角形时，先根据高线的定义求出，，然后根据直角三角形两锐角互余求出的度数，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式进行计算即可得解；②是钝角三角形时，根据直角三角形两锐角互余求出即可．
【详解】解：①如图1，是锐角三角形时，
、是的高线，
，，
在中，，
，
；
②是钝角三角形时，、是的高线，
，，
，
，
综上所述，的度数是或，
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的高线，解题的关键是分是锐角三角形与钝角三角形两种情况进行讨论．
11．计算：________．
【答案】
【分析】根据，逆用积的乘方运算法则以及逆用同底数幂相乘的运算法则进行计算即可．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题考查积的乘方运算法则以及同底数幂相乘的运算法则，熟练掌握并逆用积的乘方运算法则以及逆用同底数幂相乘的运算法则是解题的关键.
12．的值为_______．
【答案】
【分析】设，利用平方差公式求出的值，由此即可得．
【详解】设，
则，
，
，
，
，
，
所以，
故答案为：．
【点睛】本题考查了利用平方差公式进行运算求值，熟练掌握平方差公式是解题关键．
13．我国宋代数学家杨辉所著《详解九章算法》中记载了用如图所示的三角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”．请你利用杨辉三角，计算（a+b）6的展开式中，从左起第四项是 _____．
【答案】20a3b3
【分析】通过观察可知“杨辉三角”的规律：①每个数等于上方两数之和．②每行数字左右对称，由1开始逐渐变大．③a的指数从左向右逐渐变小，b的指数由左向右逐渐变大．依据此规律，可得出最后答案．
【详解】解：由题意可知：每个数等于上方两数之和，
∴（a+b）5的展开式中系数从左向右分别是1，5，10，10，5，1，
∴（a+b）6的展开式中系数从左向右分别是1，6，15，20，15，6，1，
又∵a的指数从左向右逐渐变小，b的指数由左向右逐渐变大，
∴（a+b）6展开式左起第四项是20a3b3，
故答案为：20a3b3．
【点睛】本题属于规律探索型问题，考查观察以及归纳总结能力，找到蕴含的规律是解题的关键．
14．一个两位数的数字和为14，若调换个位数字与十位数字，新数比原数小36，则这个两位数是_____．
【答案】95
【详解】设十位数字为x，个位数字为y，根据题意所述的等量关系可得出方程组，求解即可得，即这个两位数为95．
故答案为95.
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是设出未知数，注意掌握二位数的表示方法．
15．如图，长方形被分成六个小的正方形，已知中间一个小正方形的边长为2，其它正方形的边长分别为a，b，c，d，则大长方形的面积为_____．
【答案】572
【分析】根据题意并结合图形可得：，然后解方程组求得a，b，c，d的值，进而求得大长方形的长和宽，最后根据长方形的面积公式即可解答；
【详解】解：由题意可得：
，解得：
所以大长方形的长和宽分别为：
所以大长方形的面积为．
故答案为572．
【点睛】本题主要考查了列方程组、解方程组等知识点，根据题意正确列出方程组并求解是解答本题的关键．
16．已知两个整数a，b，有2a+3b=31，则ab的最大值是______．
【答案】40
【分析】由（2a-3b）2≥0变形ab≤（2a+3b）2，即可求得ab的最大值．
【详解】解：∵（2a-3b）2≥0，
∴（2a+3b）2-4（2a•3b）≥0，
∴（2a+3b）2≥4（2a•3b），
若ab取的最大值，则a、b都是正整数，
∴ab≤（2a+3b）2，
∴ab≤，
∵a，b是整数，
∴ab的最大值为40，
故答案为：40．
【点睛】本题考查了不等式的性质及应用，主要考查学生的计算能力和思维转换能力，是基础题．
三、解答题
17．计算：
(1)；
(2)
【答案】(1)4
(2)
【分析】（1）先分别计算乘方、零指数幂和负整数指数幂，然后进行加法运算即可；
（2）先计算乘方、积的乘方，然后进行同底数幂的乘法运算，最后合并同类项即可．
【详解】（1）
；
（2）
．
【点睛】本题主要考查了积的乘方、零指数幂、负整数指数幂、同底数幂的乘法以及合并同类项．解题的关键是掌握整式运算法则．
18．数学活动课上，老师把一个边长的正方形分割成4块，如图所示：
(1)请用两种不同方法表示阴影部分面积：方法1： ；方法2： ．
(2)根据阴影部分面积关系，可以得到等式： ．
(3)根据（2）中的等式，解决如下问题：
①已知，，求．
②若，求的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)①16 ，②19
【分析】（1）由阴影部分的面积的两种不同的计算方法可得答案；
（2）由阴影部分的面积不变建立等式即可；
（3）①直接利用推导公式可得答案；②设，，则，，再利用推导公式进行计算即可．
【详解】（1）解：方法1：；
方法2：；
（2）根据阴影部分的面积可得：
；
（3）①∵，，
∴；
②设，，则，，
∴．
【点睛】本题考查的是完全平方公式的变形与几何图形的面积，利用完全平方公式的变形求值，熟练的推导公式并灵活应用是解本题的关键．
19．已知关于x、y的二元一次方程
（1）若方程组的解x、y满足，求a的取值范围；
（2）求代数式的值．
【答案】（1）；（2）-17
【分析】（1）解方程组求出x、y的值，根据列不等式组求出答案；
（2）将两个方程相加，求得6x+3y=-9，即可得到答案．
【详解】解：（1）解方程组得，
∵，
∴,
解得；
（2）由①+②得2x+y=-3，
∴3（2x+y）=-9，即6x+3y=-9，
∴=-9-8=-17．
【点睛】此题考查解二元一次方程组，解一元一次不等式组，已知式子的值求代数式的值，正确解方程组是解题的关键．
20．水果市场将120吨水果运往各地商家，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：(假设每辆车均满载)
车型
甲
乙
丙
汽车运载量(吨/辆)
5
8
10
汽车运费(元/辆)
400
500
600
(1)若全部水果都用甲、乙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？
(2)为了节约运费，市场可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送(每种车型至少1辆)，已知它们的总辆数为16辆，你能通过列方程组的方法分别求出几种车型的辆数吗？
【答案】(1) 分别需甲8辆、乙10辆；(2) 有二种运送方案：①甲车型6辆，乙车型5辆， 丙车型5辆；②甲车型4辆，乙车型10辆， 丙车型2辆
【详解】分析：(1)设需甲车型x辆，乙车型y辆，根据120吨水果和8200元运费列方程组求解；(2)设需甲车型x辆，乙车型y辆，丙车型z辆，根据水果120吨，16辆车列三元一次方程组，结合未知数的实际意义求解.
详解：(1)设需甲车型x辆，乙车型y辆，得：
，
解得.
答：分别需甲车型8辆，乙车型10辆.
(2)设需甲车型x辆，乙车型y辆，丙车型z辆，得：
，
消去z得5x＋2y＝40，，
因x，y是正整数，且不大于16，得y＝5或10，
由z是正整数，解得
有二种运送方案：
①甲车型6辆，乙车型5辆，丙车型5辆；
②甲车型4辆，乙车型10辆，丙车型2辆
点睛：二元一次方程的解有无数组，但在限定条件下，往往可以求出其整数解；求二元一次方程的整数解，在问题不是特别复杂的条件下，可以采用枚举法，即将其中一个未知数在可以取值的范围内的数一一列出来，求出对应的另一个未知数的值，并找出符合题意的整数解．
21．我市某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图甲，（单位：）
（1）列出方程（组），求出图甲中a与b的值；
（2）在试生产阶段，若将30张标准板材用裁法一裁剪，4张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图乙的竖式与横式两种礼品盒．
①两种裁法共产生A型板材________张，B型板材_______张；
②已知①中的A型板材和B型板材恰好做成竖式有盖礼品盒x个，横式无盖礼品盒的y个，求x、y的值．
【答案】（1）a=60，b=40；（2）①64，38；②x=7，y=12
【分析】（1）由图示利用板材的长列出关于a、b的二元一次方程组求解；
（2）①根据已知和图示计算出两种裁法共产生A型板材和B型板材的张数；
②根据竖式与横式礼品盒所需要的A、B两种型号板材的张数列出关于x、y的二元一次方程组，然后求解即可．
【详解】解：（1）由题意得：，
解得：，
答：图甲中与的值分别为：60、40；
（2）①由图示裁法一产生型板材为：，裁法二产生型板材为：，
所以两种裁法共产生型板材为（张，
由图示裁法一产生型板材为：，裁法二产生型板材为，，
所以两种裁法共产生型板材为（张，
故答案为：64，38；
②根据题意竖式有盖礼品盒的个，横式无盖礼品盒的个，
则型板材需要个，型板材需要个，
所以，
解得．
【点睛】本题考查的知识点是二元一次方程组的应用，关键是根据已知先列出二元一次方程组求出a、b的值，根据图示列出算式以及关于x、y的二元一次方程组．
22．如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图1中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．
(1)观察图2，请你写出、、之间的等量关系是________；
(2)利用（1）中的结论，若，，求的值；
(3)如图3，点C是线段上的一点，分别以、为边在的同侧作正方形和正方形，连接、、，当时，的面积记为，当时，的面积记为，以此类推，当时，的面积记为，计算的值．
【答案】(1)
(2)16
(3)
【分析】（1）通过观察图形可以发现，大正方形是由四个矩形与中间的小正方形组成，据此进一步分析求解即可；
（2）根据（1）中的结论进一步代入计算即可；
（3）连接，证明出，再利用的面积与△的面积相等得出，从而得到据此进一步计算即可．
【详解】（1）由图1和图2中矩形的面积为等量得：
故答案为：；
（2）由（1）中公式可得：
．
同理可得：
；
（3）连接，
在正方形和正方形中，，
，
∴和的边上的高相等，
．
当时，，
当时，，
……
当时，，
∴
．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，观察图形，找出相应的规律是解题关键．
23．汉江是长江的最大支流，在历史上占居重要地位，常与长江、淮河、 黄河并列，舍称“江海河汉”．每年汛期来临之时，汉江防汛指挥部都会在一危险地带两岸各安置一组探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A射线自顺时针旋转至便立即回转，灯B射线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视，已知灯A转动的速度是/秒，灯B转动的速度是/秒，假定这一带汉江两岸河堤是平行的，即，且，转动时间是t秒．
(1)当 秒时，灯A射线第一次平分，此时灯A射线记为射线，当 秒时，灯A射线第一次与射线垂直；
(2)若两灯同时转动，秒时，两束光线所在直线的位置关系是______；（填“平行”或“垂直”）
(3)若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行．
【答案】(1)25；55
(2)平行
(3)当A灯转动15秒或82.5秒，两灯的光束互相平行
【分析】（1）先根据题意和角平分线的定义求出，再求出转动时间即可；先求出，再求出转动时间即可；
（2）先算出两个灯旋转90秒后旋转的角度，判断出90秒后A、B两灯发出的射线与、的关系，再利用平行线的判定和性质进行判断即可；
（3）设A灯转动时间为x秒，根据A灯转动时间，分三种情况进行讨论，分别列出方程，求出结果即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴此时灯A转动时间为：（秒）；
∵，
∴，
∴，
∴此时灯A转动时间为：（秒）；
故答案为：25；55．
（2）解：两灯同时转动，秒时，A灯转动的角度为：，B灯转动的角度为：，
∵，
∴此时A灯发出的射线，B灯发出的射线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即秒时，两束光线所在直线的位置关系是平行；
故答案为：平行．
（3）解：设A灯转动x秒后，两灯光束互相平行；
①当时，根据题意得：
，
解得：；
②当时，根据题意得：
，
解得：；
③当时，根据题意得：
，
解得：（不合题意）；
综上分析可知，当A灯转动15秒或82.5秒，两灯的光束互相平行．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的判定和性质，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质，用方程思想解决几何问题．
24．如图，已知点E在四边形的边的延长线上，分别是的平分线，设．
(1)如图①，若，判断的位置关系，并说明理由；
(2)如图②，若，相交于点O．
①当时， °；
②若与有怎样的数量关系？说明理由．
(3)如图③，若，的反向延长线相交于点O，则 ．（用含的代数式表示）
【答案】(1)平行，理由见解析
(2)①15；②，理由见解析
(3)
【分析】（1）判断，根据平行线的性质得出，再由角平分线的性质证得结论；
（2）①根据的度数，求出，根据角平分线的性质可知，，设利用外角表示即可；
②根据的度数，求出∠ABC+∠BCD与的关系，根据角平分线的性质可知，，设利用外角表示即可；
（3）根据的度数，求出∠ABC+∠BCD与的关系，根据角平分线的性质可知，，设利用外角表示即可．
【详解】（1）解：，
理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵分别是的平分线，
∴，
∴；
（2）解：①∵，
∴，
∵分别是的平分线，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：15；
②，
理由如下：
∵四边形内角和为，
∴，
∵分别是的平分线，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：，
理由如下：
∵四边形内角和为，
∴，
∵分别是的平分线，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，角平分线的定义、平行线的性质与判定等知识点，解题的关键是根据多边形的内角和正确表示出各个角．
编者小注：
本套专辑为江苏地区2022-2023学年第二学期期末考试研发。
7-8年级（满分100分制），分基础卷（适合80分以下学生使用）、提升卷（适合80-95分学生使用）、满分卷（适合95分以上学生使用）。
来源为近两年江苏苏科版数学教材使用地期末原题，包含详细解析。
所有资料研发均为原创，希望助广大中学生一臂之力。
（满分卷）2022-2023学年七年级数学下学期期末考试卷（解析版）（苏科版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若，则M与N的大小关系是( )
A．由x的取值而定 B． C． D．
【答案】D
【分析】先将M和N别去括号计算，再根据即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查整式乘法运算，解题的关键是掌握整式乘法运算法则．
2．已知为奇数，为偶数，则下列各式的计算中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据同底数幂的乘法法则分别运算，即可获得答案．
【详解】解：若为奇数，为偶数，则
A．，该选项运算错误，不符合题意；
B．，该选项运算错误，不符合题意；
C．，该选项运算错误，不符合题意；
D． ，该选项运算正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
3．如图，正五边形，平分，平分正五边形的外角，则＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出正五边形的一个外角，再求出内角度数，然后在四边形中，利用四边形内角和求出．
【详解】∵正五边形外角和为，
∴外角，
∴内角，
∵平分，平分正五边形的外角，
∴， ，
在四边形中，，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查多边形角度的计算，正多边形可先计算外角，再计算内角更加快捷简便，掌握正多边形的内角和与外角的性质是解题的关键．
4．如图，在中，，点在边上（如图1），先将沿着翻折，使点落在点处，交于点（如图2），再将沿着翻折，点恰好落在上的点处，此时（如图3），则的度数为（ ）
A．66° B．23° C．46° D．69°
【答案】D
【分析】根据翻折后对应角相等得到，利用已知条件和三角形的内角和等于，建立等量关系可求的度数．
【详解】解：由题意可得，，
设，则，
三角形的内角和等于，
在中，，即；
在中，，即；
，
解得：，
故选：D．
【点睛】本题考查翻折后对应角相等，利用三角形的内角和等于，设未知数并建立等量关系是解题的关键，本题的难点是是两个三角形的公共角，由此列方程求解．
5．在数轴上，点表示1，现将点沿轴做如下移动：第一次点向左移动3个单位长度到达点，第二次将点向右移动6个单位长度到达点，第三次将点向左移动9个单位长度到达点，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，如果点与原点的距离不小于30，那么的最小值是（ ）
A．19 B．20 C．21 D．22
【答案】B
【分析】先根据数轴的定义求出的值，再归纳总结出一般规律，然后根据“点与原点的距离不小于30”列出不等式求解即可．
【详解】由题意得：表示的数为，点与原点的距离为
表示的数为，点与原点的距离为
表示的数为，点与原点的距离为
表示的数为，点与原点的距离为
表示的数为，点与原点的距离为
归纳类推得：当移动次数为奇数时，点与原点的距离；当移动次数为偶数时，点与原点的距离为（其中，n表示移动次数，n为正整数）
（1）当移动次数为奇数时
由题意得：
解得
则此时n的最小值为
（2）当移动次数为偶数时
由题意得：
解得
则此时n的最小值为
综上，n的最小值为
故选：B．
【点睛】本题考查了数轴的应用、一元一次不等式的应用，掌握理解数轴的定义，并归纳类推出规律是解题关键．
6．小明去文具店购买了笔和本子共5件，已知两种文具的单价均为正整数且本子的单价比笔的单价贵．在付账时，小明问是不是27元，但收银员却说一共48元，小明仔细看了看后发现自己将两种商品的单价记反了．小明实际的购买情况是（ ）
A．1支笔，4本本子 B．2支笔，3本本子
C．3支笔，2本本子 D．4支笔，1本本子
【答案】A
【分析】设购买了笔x件，购买了本子(5-x)件，本子的单价为a元，笔的单价为b元，分类讨论解方程即可．
【详解】解：设购买了笔x件，购买了本子(5-x)件，本子的单价为a元，笔的单价为b元，列方程组得 ，
当x=1时，原方程组为，解得，符合题意；
当x=2时，原方程组为，解得，不符合题意，舍去；
当x=3时，原方程组为，解得，不符合题意，舍去；
当x=4时，原方程组为，解得，不符合题意，舍去；
故选：A．
【点睛】本题考查了含参数的二元一次方程组的应用，解题关键是理解题意，找出等量关系，列出方程组，分类讨论解方程组．
7．已知m，n均为正整数且满足，则的最大值是（ ）
A．16 B．22 C．34 D．36
【答案】D
【分析】由得.由于，据此列出关于m、n的方程组，求出每一组m、n的值，再求出相应的的值，即可找到的最大值.
【详解】由得
∵m，n均为正整数
或或或
或或或 或
解得或或或或或或或
∴或22或18或16
∴的最大值是36
故选：D
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是将变形为.
8．已知，，则的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将代数式因式分解，再代数求值即可.
【详解】
故选B
【点睛】本题考查知识点涉及因式分解以及代数式求值，熟练掌握因式分解，简化计算是解答本题的关键.
二、填空题
9．随“双减”政策的落地，学生的课业负担得到减轻，因而周末参与艺体培训学习的孩子相应有所增加．某舞蹈培训学校计划开设初级班、中级班、高级班，其中初级班与高级班每班人数之比为5：3，中级班每班40人，且中级班每班人数多于高级班每班人数而少于初级班每班人数.去年12月预约报名时各班人数刚好满员，初级班和中级班一共刚好18个班，中级班和高级班共同报了300人；今年3月正式报名时初级班和中级班的报名人数均没有变化，而高级班少报了一个班且还有一个班差2人才满员，且初级班和高级班共报了628人．则该舞蹈培训学校去年12月预约报名共_______人．
【答案】900
【分析】根据题意可以列出相应的不等式，然后即可求得初级班和高级班人数的取值范围，再根据题目中的数据，即可求得初级班和高级班的人数、班数，然后即可计算出该舞蹈培训学校去年12月预约报名的总人数．
【详解】解：设去年12月份预约报名时，中级班有a个，则初级班有（18-a）个，初级班每班有5x人，高级班每班有3x人，高级班有b个，
由题意可得：3x＜40＜5x，
解得8＜x＜，
∵x为整数，
∴x=9，10，11，12或13，
40a+3xb=300，
解得或或，
当a=3，x=10，b=6时，3x=30，5x=50，
50×（18-3）+30×（6-1）-2=898≠628，不合实际，舍去；
当a=3，x=12，b=5时，3x=36，5x=60，
60×（18-3）+36×（5-1）-2≠628，不合实际，舍去；
当a=6，x=10，b=2时，3x=30，5x=50，
50×（18-6）+30×（2-1）-2=628，符合题意；
∴该舞蹈培训学校去年12月预约报名的学生有：50×（18-6）+300=900（人），
故答案为：900．
【点睛】本题考查一元一次不等式的应用、二元一次方程的应用，解答本题的关键是求出初级班、中级班、高级班的人数．
10．已知中，边上的高所在的直线交于H，则______度．
【答案】或．
【分析】分两种情况考虑：①是锐角三角形时，先根据高线的定义求出，，然后根据直角三角形两锐角互余求出的度数，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式进行计算即可得解；②是钝角三角形时，根据直角三角形两锐角互余求出即可．
【详解】解：①如图1，是锐角三角形时，
、是的高线，
，，
在中，，
，
；
②是钝角三角形时，、是的高线，
，，
，
，
综上所述，的度数是或，
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的高线，解题的关键是分是锐角三角形与钝角三角形两种情况进行讨论．
11．计算：________．
【答案】
【分析】根据，逆用积的乘方运算法则以及逆用同底数幂相乘的运算法则进行计算即可．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题考查积的乘方运算法则以及同底数幂相乘的运算法则，熟练掌握并逆用积的乘方运算法则以及逆用同底数幂相乘的运算法则是解题的关键.
12．的值为_______．
【答案】
【分析】设，利用平方差公式求出的值，由此即可得．
【详解】设，
则，
，
，
，
，
，
所以，
故答案为：．
【点睛】本题考查了利用平方差公式进行运算求值，熟练掌握平方差公式是解题关键．
13．我国宋代数学家杨辉所著《详解九章算法》中记载了用如图所示的三角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”．请你利用杨辉三角，计算（a+b）6的展开式中，从左起第四项是 _____．
【答案】20a3b3
【分析】通过观察可知“杨辉三角”的规律：①每个数等于上方两数之和．②每行数字左右对称，由1开始逐渐变大．③a的指数从左向右逐渐变小，b的指数由左向右逐渐变大．依据此规律，可得出最后答案．
【详解】解：由题意可知：每个数等于上方两数之和，
∴（a+b）5的展开式中系数从左向右分别是1，5，10，10，5，1，
∴（a+b）6的展开式中系数从左向右分别是1，6，15，20，15，6，1，
又∵a的指数从左向右逐渐变小，b的指数由左向右逐渐变大，
∴（a+b）6展开式左起第四项是20a3b3，
故答案为：20a3b3．
【点睛】本题属于规律探索型问题，考查观察以及归纳总结能力，找到蕴含的规律是解题的关键．
14．一个两位数的数字和为14，若调换个位数字与十位数字，新数比原数小36，则这个两位数是_____．
【答案】95
【详解】设十位数字为x，个位数字为y，根据题意所述的等量关系可得出方程组，求解即可得，即这个两位数为95．
故答案为95.
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是设出未知数，注意掌握二位数的表示方法．
15．如图，长方形被分成六个小的正方形，已知中间一个小正方形的边长为2，其它正方形的边长分别为a，b，c，d，则大长方形的面积为_____．
【答案】572
【分析】根据题意并结合图形可得：，然后解方程组求得a，b，c，d的值，进而求得大长方形的长和宽，最后根据长方形的面积公式即可解答；
【详解】解：由题意可得：
，解得：
所以大长方形的长和宽分别为：
所以大长方形的面积为．
故答案为572．
【点睛】本题主要考查了列方程组、解方程组等知识点，根据题意正确列出方程组并求解是解答本题的关键．
16．已知两个整数a，b，有2a+3b=31，则ab的最大值是______．
【答案】40
【分析】由（2a-3b）2≥0变形ab≤（2a+3b）2，即可求得ab的最大值．
【详解】解：∵（2a-3b）2≥0，
∴（2a+3b）2-4（2a•3b）≥0，
∴（2a+3b）2≥4（2a•3b），
若ab取的最大值，则a、b都是正整数，
∴ab≤（2a+3b）2，
∴ab≤，
∵a，b是整数，
∴ab的最大值为40，
故答案为：40．
【点睛】本题考查了不等式的性质及应用，主要考查学生的计算能力和思维转换能力，是基础题．
三、解答题
17．计算：
(1)；
(2)
【答案】(1)4
(2)
【分析】（1）先分别计算乘方、零指数幂和负整数指数幂，然后进行加法运算即可；
（2）先计算乘方、积的乘方，然后进行同底数幂的乘法运算，最后合并同类项即可．
【详解】（1）
；
（2）
．
【点睛】本题主要考查了积的乘方、零指数幂、负整数指数幂、同底数幂的乘法以及合并同类项．解题的关键是掌握整式运算法则．
18．数学活动课上，老师把一个边长的正方形分割成4块，如图所示：
(1)请用两种不同方法表示阴影部分面积：方法1： ；方法2： ．
(2)根据阴影部分面积关系，可以得到等式： ．
(3)根据（2）中的等式，解决如下问题：
①已知，，求．
②若，求的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)①16 ，②19
【分析】（1）由阴影部分的面积的两种不同的计算方法可得答案；
（2）由阴影部分的面积不变建立等式即可；
（3）①直接利用推导公式可得答案；②设，，则，，再利用推导公式进行计算即可．
【详解】（1）解：方法1：；
方法2：；
（2）根据阴影部分的面积可得：
；
（3）①∵，，
∴；
②设，，则，，
∴．
【点睛】本题考查的是完全平方公式的变形与几何图形的面积，利用完全平方公式的变形求值，熟练的推导公式并灵活应用是解本题的关键．
19．已知关于x、y的二元一次方程
（1）若方程组的解x、y满足，求a的取值范围；
（2）求代数式的值．
【答案】（1）；（2）-17
【分析】（1）解方程组求出x、y的值，根据列不等式组求出答案；
（2）将两个方程相加，求得6x+3y=-9，即可得到答案．
【详解】解：（1）解方程组得，
∵，
∴,
解得；
（2）由①+②得2x+y=-3，
∴3（2x+y）=-9，即6x+3y=-9，
∴=-9-8=-17．
【点睛】此题考查解二元一次方程组，解一元一次不等式组，已知式子的值求代数式的值，正确解方程组是解题的关键．
20．水果市场将120吨水果运往各地商家，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：(假设每辆车均满载)
车型
甲
乙
丙
汽车运载量(吨/辆)
5
8
10
汽车运费(元/辆)
400
500
600
(1)若全部水果都用甲、乙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？
(2)为了节约运费，市场可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送(每种车型至少1辆)，已知它们的总辆数为16辆，你能通过列方程组的方法分别求出几种车型的辆数吗？
【答案】(1) 分别需甲8辆、乙10辆；(2) 有二种运送方案：①甲车型6辆，乙车型5辆， 丙车型5辆；②甲车型4辆，乙车型10辆， 丙车型2辆
【详解】分析：(1)设需甲车型x辆，乙车型y辆，根据120吨水果和8200元运费列方程组求解；(2)设需甲车型x辆，乙车型y辆，丙车型z辆，根据水果120吨，16辆车列三元一次方程组，结合未知数的实际意义求解.
详解：(1)设需甲车型x辆，乙车型y辆，得：
，
解得.
答：分别需甲车型8辆，乙车型10辆.
(2)设需甲车型x辆，乙车型y辆，丙车型z辆，得：
，
消去z得5x＋2y＝40，，
因x，y是正整数，且不大于16，得y＝5或10，
由z是正整数，解得
有二种运送方案：
①甲车型6辆，乙车型5辆，丙车型5辆；
②甲车型4辆，乙车型10辆，丙车型2辆
点睛：二元一次方程的解有无数组，但在限定条件下，往往可以求出其整数解；求二元一次方程的整数解，在问题不是特别复杂的条件下，可以采用枚举法，即将其中一个未知数在可以取值的范围内的数一一列出来，求出对应的另一个未知数的值，并找出符合题意的整数解．
21．我市某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图甲，（单位：）
（1）列出方程（组），求出图甲中a与b的值；
（2）在试生产阶段，若将30张标准板材用裁法一裁剪，4张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图乙的竖式与横式两种礼品盒．
①两种裁法共产生A型板材________张，B型板材_______张；
②已知①中的A型板材和B型板材恰好做成竖式有盖礼品盒x个，横式无盖礼品盒的y个，求x、y的值．
【答案】（1）a=60，b=40；（2）①64，38；②x=7，y=12
【分析】（1）由图示利用板材的长列出关于a、b的二元一次方程组求解；
（2）①根据已知和图示计算出两种裁法共产生A型板材和B型板材的张数；
②根据竖式与横式礼品盒所需要的A、B两种型号板材的张数列出关于x、y的二元一次方程组，然后求解即可．
【详解】解：（1）由题意得：，
解得：，
答：图甲中与的值分别为：60、40；
（2）①由图示裁法一产生型板材为：，裁法二产生型板材为：，
所以两种裁法共产生型板材为（张，
由图示裁法一产生型板材为：，裁法二产生型板材为，，
所以两种裁法共产生型板材为（张，
故答案为：64，38；
②根据题意竖式有盖礼品盒的个，横式无盖礼品盒的个，
则型板材需要个，型板材需要个，
所以，
解得．
【点睛】本题考查的知识点是二元一次方程组的应用，关键是根据已知先列出二元一次方程组求出a、b的值，根据图示列出算式以及关于x、y的二元一次方程组．
22．如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图1中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．
(1)观察图2，请你写出、、之间的等量关系是________；
(2)利用（1）中的结论，若，，求的值；
(3)如图3，点C是线段上的一点，分别以、为边在的同侧作正方形和正方形，连接、、，当时，的面积记为，当时，的面积记为，以此类推，当时，的面积记为，计算的值．
【答案】(1)
(2)16
(3)
【分析】（1）通过观察图形可以发现，大正方形是由四个矩形与中间的小正方形组成，据此进一步分析求解即可；
（2）根据（1）中的结论进一步代入计算即可；
（3）连接，证明出，再利用的面积与△的面积相等得出，从而得到据此进一步计算即可．
【详解】（1）由图1和图2中矩形的面积为等量得：
故答案为：；
（2）由（1）中公式可得：
．
同理可得：
；
（3）连接，
在正方形和正方形中，，
，
∴和的边上的高相等，
．
当时，，
当时，，
……
当时，，
∴
．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，观察图形，找出相应的规律是解题关键．
23．汉江是长江的最大支流，在历史上占居重要地位，常与长江、淮河、 黄河并列，舍称“江海河汉”．每年汛期来临之时，汉江防汛指挥部都会在一危险地带两岸各安置一组探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A射线自顺时针旋转至便立即回转，灯B射线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视，已知灯A转动的速度是/秒，灯B转动的速度是/秒，假定这一带汉江两岸河堤是平行的，即，且，转动时间是t秒．
(1)当 秒时，灯A射线第一次平分，此时灯A射线记为射线，当 秒时，灯A射线第一次与射线垂直；
(2)若两灯同时转动，秒时，两束光线所在直线的位置关系是______；（填“平行”或“垂直”）
(3)若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行．
【答案】(1)25；55
(2)平行
(3)当A灯转动15秒或82.5秒，两灯的光束互相平行
【分析】（1）先根据题意和角平分线的定义求出，再求出转动时间即可；先求出，再求出转动时间即可；
（2）先算出两个灯旋转90秒后旋转的角度，判断出90秒后A、B两灯发出的射线与、的关系，再利用平行线的判定和性质进行判断即可；
（3）设A灯转动时间为x秒，根据A灯转动时间，分三种情况进行讨论，分别列出方程，求出结果即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴此时灯A转动时间为：（秒）；
∵，
∴，
∴，
∴此时灯A转动时间为：（秒）；
故答案为：25；55．
（2）解：两灯同时转动，秒时，A灯转动的角度为：，B灯转动的角度为：，
∵，
∴此时A灯发出的射线，B灯发出的射线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即秒时，两束光线所在直线的位置关系是平行；
故答案为：平行．
（3）解：设A灯转动x秒后，两灯光束互相平行；
①当时，根据题意得：
，
解得：；
②当时，根据题意得：
，
解得：；
③当时，根据题意得：
，
解得：（不合题意）；
综上分析可知，当A灯转动15秒或82.5秒，两灯的光束互相平行．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的判定和性质，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质，用方程思想解决几何问题．
24．如图，已知点E在四边形的边的延长线上，分别是的平分线，设．
(1)如图①，若，判断的位置关系，并说明理由；
(2)如图②，若，相交于点O．
①当时， °；
②若与有怎样的数量关系？说明理由．
(3)如图③，若，的反向延长线相交于点O，则 ．（用含的代数式表示）
【答案】(1)平行，理由见解析
(2)①15；②，理由见解析
(3)
【分析】（1）判断，根据平行线的性质得出，再由角平分线的性质证得结论；
（2）①根据的度数，求出，根据角平分线的性质可知，，设利用外角表示即可；
②根据的度数，求出∠ABC+∠BCD与的关系，根据角平分线的性质可知，，设利用外角表示即可；
（3）根据的度数，求出∠ABC+∠BCD与的关系，根据角平分线的性质可知，，设利用外角表示即可．
【详解】（1）解：，
理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵分别是的平分线，
∴，
∴；
（2）解：①∵，
∴，
∵分别是的平分线，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：15；
②，
理由如下：
∵四边形内角和为，
∴，
∵分别是的平分线，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：，
理由如下：
∵四边形内角和为，
∴，
∵分别是的平分线，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，角平分线的定义、平行线的性质与判定等知识点，解题的关键是根据多边形的内角和正确表示出各个角．
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