专题02 向量的数量积与三角恒等变换（知识点清单）——高一数学下学期期末专项复习学案+期末模拟卷（人教B版2019）

专题02 向量的数量积与三角恒等变换【知识梳理】

一、两个向量的夹角和向量在轴上的正射影

1、(1)定义：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a，b〉.

(2)范围：向量夹角〈a，b〉的范围是[0，π]，且〈a，b〉＝〈b，a〉.

(3)向量垂直：如果〈a，b〉＝，则a与b垂直，记作a⊥b.

2、已知向量a和轴l(如图)，作＝a，过点O，A分别作轴l的垂线，垂足分别为O1，A1，则向量叫做向量a在轴l上的正射影(简称射影)，该射影在轴l上的坐标，称作a在轴l上的数量或在轴l的方向上的数量.

＝a在轴l上正射影的坐标记作al，向量a的方向与轴l的正向所成的角为θ，则由三角函数中的余弦定义有al＝|a|cos__θ.

【例题1】已知向量，，则在方向上的投影为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

由题意可得，

，

故在方向上的投影为.

【例题2】已知非零在非零方向上的投影是m，m∈R，下列说法正确的是（    ）

A．在方向上的投影一定是m

B．在方向上的投影一定是km

C．在方向上的投影一定是km

D．在方向上的投影一定m

【答案】D

【详解】

解：∵在方向上的投影是m，

∴，

∵，k≠0，，

∴在(k≠0)方向上的投影为，当k>0时，在k方向上的投影为m.

故选：D.

【跟踪训练1】 ，，向量与向量的夹角为，则向量在向量方向上的投影等于（    ）

A． B． C．2 D．

【答案】D

【详解】

向量在向量方向上的投影为.

【跟踪训练2】 向量的模为10，它与向量的夹角为，则它在方向上的投影为（    ）

A．5 B． C． D．

【答案】B

【详解】

由题意所求投影的模为．

【跟踪训练3】 已知单位向量满足，则向量在向量方向上的投影为（  ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】

，所以

解得

向量在向量方向上的投影为

故选：A.

二.向量的数量积

(1)平面向量的数量积的定义：

|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.

(2)平面向量数量积的性质及其坐标表示

设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角.

①数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2.

②模：|a|＝＝.

③夹角：cos θ＝＝.

④两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.

⑤|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤ ·.

【例题1】四边形中，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

由题意知，四边形为直角梯形，，

所以．

故选：B．

【例题 2】 已知菱形的边长为，，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

因为，

所以，

因为，

，

所以，

，

，

，

故选：B

【跟踪训练1】 在边长为3的等边三角形中，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

因为，则，又等边三角形的边长为3

则

故选：B

【跟踪训练2】 若是半径为的圆上的三个点，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

由题意可知为直径，与成角，

故

故选：B

【跟踪训练3】 在边长为1的菱形ABCD中，∠BAD=60°，E是BC的中点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

建立如图平面直角坐标系，

则

∴E点坐标为，

.

故选：D

三.平面向量数量积的运算律

(1)a·b＝b·a(交换律).

(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).

(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).

【例题1】 已知非零向量、满足，，若，则实数的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

因为，则，所以，，

因为，则，解得.

【例题2】 已知，，若关于的不等式恒成立，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

因为，，且关于的不等式恒成立，

所以，

所以，

整理得，

所以，

所以，，又，

所以

故选：B

【跟踪训练1】 已知平面向量，与，与的夹角为，且与垂直，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

与垂直，

，

，

， ，与的夹角为，

，

解得，

故选：A

【跟踪训练2】 已知向量、满足，，，则（    ）

A．2 B． C．  D．

【答案】C

【详解】

故选：C.

【跟踪训练3】 已知平面向量，，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

由，可得，解得.

故选：A．

四.两角和与差的正弦、余弦和正切公式

sin(α±β)＝sin__αcos__β±cos__αsin__β.

cos(α∓β)＝cos__αcos__β±sin__αsin__β.

tan(α±β)＝.

【例题1】计算的值是（    ）

A． B． C．1 D．

【答案】C

【详解】

解：

．

【例题2】（    ）.

A．1 B． C． D．

【答案】B

【详解】

由.

【跟踪训练1】已知锐角α，β满足sin α－cos α＝，tan α＋tan β＋tan αtan β＝，则α，β的大小关系是（    ）

A．α<<β B．β<<α

C． <α<β D． <β<α

【答案】B

【详解】

∵α为锐角，sin α－cos α＝，∴α>．又tan α＋tan β＋tan αtan β＝，

∴tan(α＋β)＝，∴α＋β＝，又α>，∴β<<α．

【跟踪训练2】已知，，则的值为（    ）

A． B． C． D．3

【答案】D

【详解】

由题意可得，，，所以，，所以.

【跟踪训练3】已知，函数在上单调递增，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

由已知，

又在上单调递增，

所以，，解得，

由得，又，因此，

所以．

故选：C．

五.二倍角的正弦、余弦、正切公式

sin 2α＝2sin__αcos__α.

cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.

tan 2α＝.

【例题 1】已知角终边上一点M的坐标为，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

由角终边上一点M的坐标为，

得，，

故，

故选：A.

【例题 2】已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

，

即，

故选：B

【跟踪训练1】已知锐角满足，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

解法一：由可知.又，∴，，∴.

故选：D.

解法二：由可知，即，

则.

故选：D.

【跟踪训练2】已知点是角的终边与单位圆的交点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

由三角函数的定义得，

所以．

故选：A

【跟踪训练3】若函数在上单调递增，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

，

由，得，

所以，，

故选：A．

六.三角恒等变换的应用

函数f(α)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝·cos(α－φ).

【例题 1】若，，则的值为（    ）

A．  B． －

C． ± D．±

【答案】A

【详解】

因为，所以，又，所以，所以，

故选：A.

【例题 2】已知，则=（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

解：由得，即，

解得，

因为，

所以

【跟踪训练1】已知，，则（    ）

A． B．或1 C． D．或1

【答案】C

【详解】

解:由，，

则,

即,

即,

又,

所以,

即,

又,

则,

则,

【跟踪训练2】已知，满足，，则（    ）．

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

解：∵，∴，

当时，，

∵，∴，，

∴；

当时，

，不合题意；

综上可知，，

故选：A．

【跟踪训练3】已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

，