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安徽省a10联盟2016高三（下）开学数学（文科）（解析版）
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这是一份安徽省a10联盟2016高三（下）开学数学（文科）（解析版），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2015-2016学年安徽省A10联盟高三（下）开学数学试卷（文科）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题分别给出四个选项，只有一个选项符合题意）
1．已知集合A={﹣2，0，，4），B={x|≤1}，则A∩B=（ ）
A．{4} B．{﹣2，4} C．{﹣2，0，4） D．{﹣2， }
2．已知sinα=，且α∈（0，），则sin 2α=（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．
3．已知复数z满足=i，i是虚数单位，则在复平面内z对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．已知双曲线﹣y2=1，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
5．f（x），g（x）是定义在[a，b]上的连续函数，则“f（x）的最大值小于g（x）的最小值”是“f（x）＜g（x）对一切x∈[a，b]成立”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．非充分非必要条件
6．已知||=1，与的夹角是，（ +2）=3，则||的值是（ ）
A．1 B． C．2 D．3
7．已知数列{an}满足a1=1，且anan+1=2n，n∈N*，则数列{an}的通项公式为（ ）
A．an=（）n﹣1
B．an=（）n
C．an=
D．an=
8．某无底仓库的三视图如图所示，则其表面积为（ ）
A．700π B．800π C．1000π D．l600π
9．执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（ ）
A． B． C．0 D．
10．抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，M（2，y0）为抛物线上一点，且|MO|=|MF|，其中O为坐标原点，则p=（ ）
A．2 B．3 C．4 D．8
11．已知实数x，y满足不等式组，z=3x﹣y，则下列结论成立的是（ ）
A．z没有最大值，有最小值为﹣2
B．z的最大值为﹣，没有最小值
C．z的最大值为﹣2，没有最小值
D．z的最大值为，最小值为﹣2
12．已知f（x）=x3﹣ax2+2ax﹣的两个极值点为x1，x2（x1≠x2），且x2=2x1，则f（x）的零点个数为（ ）
A．2 B．3 C．1或2 D．1或3
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．）
13．已知样本3，4，x，7，5的平均数是5，则此样本的方差为 ．
14．已知f（x）=2cos（x+φ）的一个对称中心为（2，0），φ∈（0，π），则φ= ．
15．已知圆C：x2+y2+2x+4y+4=0，直线l：sinθx+cosθy﹣4=0，则直线，与圆C的位置关系为 ．
16．已知△ABC三内角的正弦值等于△A1B1C1的三内角的余弦值，角A、B、C所对应的边为a，b，c，且A为钝角，a=2．b=2，则△ABC的面积为 ．
三、解答题：（解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．已知等差数列{an}的首项为a1=1，公差d≠0，其中a2，a5，a14成等比数列．
（I）求数列{an}的通项；
（Ⅱ）设cn=，求数列{cn}的前n项和Tn．
18．某餐饮业培训学校对男、女各20名学员进行考评，考评成绩（满分100分）如茎叶图所示：
（I）若大于或等于80分为优秀学员，80分以下为非优秀学员，根据茎叶图填写2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为学员的优秀与性别有关？
非优秀
优秀
总数
男
20
女
20
总数
40
（Ⅱ）若从考评成绩95分以上（包括95分）的学员中任选两人代表学校参加上一级单位举办的服务比赛，求至少有一名男学员参加的概率．
下面的临界值表供参考：
P（K2≥k）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
（参考公式：K2=）n=a+b+c+d．
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠DAB=，AC与BD交于点O，BD⊥PC，AB=2；，BC=2，PA=6．
（I）求证：AC⊥BD：
（Ⅱ）若Q为PA上一点，且PC∥平面BDQ，求三棱锥P﹣BDQ的体积．
20．已知椭圆Cl的方程为+=1，椭圆C2的短轴为C1的长轴且离心率为．
（I）求椭圆C2的方程；
（Ⅱ）如图，M、N分别为直线l与椭圆Cl、C2的一个交点，P为椭圆C2与y轴的交点，△PON面积为△POM面积的2倍，若直线l的方程为y=kx（k＞0），求k的值．
21．已知函数f（x）=x﹣1+
（I）求f（x）在点（e，f（e））处的切线方程；
（Ⅱ）当0＜x＜l时，若不等式f（x）≤kx﹣1恒成立，求k的取值范围．
解答题[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，⊙O内接四边形ABCD的两条对角线AC、BD交于点M，AP为⊙O的切线，∠BAP=∠BAC
（I）证明：△ABM≌△DBA；
（II ）若BM=2，MD=3，求BC的长．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．已知在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t是参数，m是常数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C极坐标方程为ρ=asin（θ+），点M的极坐标为（4，），且点M在曲线C上．
（I）求a的值及曲线C直角坐标方程；
（II ）若点M关于直线l的对称点N在曲线C上，求|MN|的长．
[选修4-5：不等式选讲]
24．设函数f（x）=|x﹣2|﹣|2x+l|．
（I）求不等式f（x）≤x的解集；
（II ）若不等式f（x）≥t2﹣t在x∈[﹣2，﹣1]时恒成立，求实数t的取值范围．
2015-2016学年安徽省A10联盟高三（下）开学数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题分别给出四个选项，只有一个选项符合题意）
1．已知集合A={﹣2，0，，4），B={x|≤1}，则A∩B=（ ）
A．{4} B．{﹣2，4} C．{﹣2，0，4） D．{﹣2， }
【考点】交集及其运算．
【分析】先解不等式化简B，再根据交集的定义求出即可．
【解答】解：B={x|≤1}={x|x＜0或x≥1}，
∵A={﹣2，0，，4），
∴A∩B={﹣2，4}，
故选：B
2．已知sinα=，且α∈（0，），则sin 2α=（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．
【考点】二倍角的正弦．
【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα的值，进而利用二倍角的正弦函数公式即可计算得解．
【解答】解：∵sinα=，且a∈（0，），
∴cosα==，
∴sin 2α=2sinαcosα=2×=．
故选：D．
3．已知复数z满足=i，i是虚数单位，则在复平面内z对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】复数的代数表示法及其几何意义．
【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．
【解答】解：复数z满足=i，∴z=i（4+2i）=﹣2+4i，
则在复平面内z对应的点（﹣2，4）在第二象限．
故选：B．
4．已知双曲线﹣y2=1，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】根据双曲线的方程，求出a，b，c，即可求出双曲线的离心率．
【解答】解：由双曲线的方程可知a2=4，b2=1，
则c2=a2+b2=4+1=5，
则a=2，c=，
即双曲线的离心率e==．
故选C．
5．f（x），g（x）是定义在[a，b]上的连续函数，则“f（x）的最大值小于g（x）的最小值”是“f（x）＜g（x）对一切x∈[a，b]成立”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．非充分非必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】根据函数最值之间的关系，结合充分条件和必要条件的定义 进行判断即可．
【解答】解：若“f（x）的最大值小于g（x）的最小值”是“f（x）＜g（x）对一切x∈[a，b]成立，即充分性成立，
反之不一定成立，比如g（x）=|x|+1，和f（x）=|x|，则不成立，
即“f（x）的最大值小于g（x）的最小值”是“f（x）＜g（x）对一切x∈[a，b]成立”的充分不必要条件，
故选：A．
6．已知||=1，与的夹角是，（ +2）=3，则||的值是（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】根据所给条件进行向量数量积的运算即可得出，这样显然可以求出的值．
【解答】解：根据条件：
=
=
=3；
∴．
故选：C．
7．已知数列{an}满足a1=1，且anan+1=2n，n∈N*，则数列{an}的通项公式为（ ）
A．an=（）n﹣1
B．an=（）n
C．an=
D．an=
【考点】数列递推式；数列的概念及简单表示法．
【分析】根据数列的递推关系得到=2，即所有的奇数项和偶数项分别为等比数列，根据等比数列的通项公式进行求解即可．
【解答】解：∵数列{an}满足a1=1，且anan+1=2n，n∈N*，
∴an+1an+2=2n+1，
两式相比得=2，即数列中的奇数项是以1为首项，2为公比的等比数列，
即当n是奇数时，an=（）n﹣1，
偶数项是以a2=2为首项，2为公比的等比数列，
则当n是偶数时，an=2（）n﹣1=（）n，
故数列的通项公式an=，
故选：D．
8．某无底仓库的三视图如图所示，则其表面积为（ ）
A．700π B．800π C．1000π D．l600π
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由题意，几何体为圆柱上面放一半球，利用圆柱、球的面积公式可得结论．
【解答】解：由题意，几何体为圆柱上面放一半球，其表面积为S==800π．
故选：B．
9．执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（ ）
A． B． C．0 D．
【考点】程序框图．
【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【解答】解：当i=1时，执行完循环体后：S=，满足继续循环的条件，故i=2；
当i=2时，执行完循环体后：S=，满足继续循环的条件，故i=3；
当i=3时，执行完循环体后：S=，满足继续循环的条件，故i=3；
当i=4时，执行完循环体后：S=，满足继续循环的条件，故i=5；
当i=5时，执行完循环体后：S=0，满足继续循环的条件，故i=6；
当i=6时，执行完循环体后：S=0，满足继续循环的条件，故i=7；
当i=7时，执行完循环体后：S=，满足继续循环的条件，故i=8；
当i=8时，执行完循环体后：S=，满足继续循环的条件，故i=9；
当i=9时，执行完循环体后：S=，不满足继续循环的条件，
故输出结果为，
故选：A
10．抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，M（2，y0）为抛物线上一点，且|MO|=|MF|，其中O为坐标原点，则p=（ ）
A．2 B．3 C．4 D．8
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】判断M位置，利用抛物线的性质，求解p即可．
【解答】解：抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，M（2，y0）为抛物线上一点，且|MO|=|MF|，
可知M在OF的垂直平分线上，∴|OF|=4，∴，可得p=8．
故选：D．
11．已知实数x，y满足不等式组，z=3x﹣y，则下列结论成立的是（ ）
A．z没有最大值，有最小值为﹣2
B．z的最大值为﹣，没有最小值
C．z的最大值为﹣2，没有最小值
D．z的最大值为，最小值为﹣2
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，结合数形结合即可得到结论．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由z=3x﹣y得y=3x﹣z，
平移直线y=3x﹣z由图象可知当直线y=3x﹣z经过点A时，直线y=3x﹣z的截距最大，
此时z最小．
由，解得，
即A（0，2），
此时z=0﹣2=﹣2，无最小值
故选：C．
12．已知f（x）=x3﹣ax2+2ax﹣的两个极值点为x1，x2（x1≠x2），且x2=2x1，则f（x）的零点个数为（ ）
A．2 B．3 C．1或2 D．1或3
【考点】利用导数研究函数的极值．
【分析】利用条件求出a=1时，f（x）的极值点为1，2，f（x）的极大值f（1）=＞0，极小值f（2）=0，即可得出结论．
【解答】解：由题意，f′（x）=x2﹣3ax+2a=0，可得△=9a2﹣8a＞0，∴a＜0或a＞
∵x1+x2=3a，x1x2=2a，x2=2x1，∴a=1．
a=1时，f（x）的极值点为1，2，f（x）的极大值f（1）=＞0，极小值f（2）=0，
∴f（x）有2个零点．
故选：A．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．）
13．已知样本3，4，x，7，5的平均数是5，则此样本的方差为 2 ．
【考点】极差、方差与标准差．
【分析】根据平均数求出x的值，从而求出样本的方差即可．
【解答】解：由题意得：
=5，
解得：x=6，
∴s2==2，
故答案为：2．
14．已知f（x）=2cos（x+φ）的一个对称中心为（2，0），φ∈（0，π），则φ= ．
【考点】余弦函数的对称性．
【分析】将（2，0），代入y=2cos（x+φ），求得x+φ=kπ+，k∈Z，由0＜φ＜π，即可求得φ的值．
【解答】解：依题意得，当x=2时， x+φ=kπ+，即+φ=kπ+，
∵φ∈（0，π），
∴φ=．
故答案是：．
15．已知圆C：x2+y2+2x+4y+4=0，直线l：sinθx+cosθy﹣4=0，则直线，与圆C的位置关系为 相离 ．
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】根据圆的标准方程求出圆心坐标和圆半径，代入点到直线距离公式，与半径比较后，可得直线与圆的位置关系．
【解答】解：由圆C：x2+y2+2x+4y+4=0的标准方程（x+1）2+（y+2）2=1可得
圆心坐标为C（﹣1，﹣2），半径r=1
∴圆心到直线的距离d=|sinθ+cosθ+4|=sin（θ+α）+4∈[4﹣，4+]，
∵r=1，∴相离．
故答案为相离．
16．已知△ABC三内角的正弦值等于△A1B1C1的三内角的余弦值，角A、B、C所对应的边为a，b，c，且A为钝角，a=2．b=2，则△ABC的面积为 2 ．
【考点】正弦定理．
【分析】设：sinA=cosA1，sinB=cosB1，sinC=cosC1，可得A1，B1，C1 都为锐角，又A为钝角，则B，C为锐角，结合诱导公式及三角形内角和定理可知：A=A1=A﹣90°，B1=90°﹣B，C1=90°﹣C，
相加可解得A=，利用余弦定理可得c2+4c﹣12=0，解得c，利用三角形面积公式即可得解．
【解答】解：∵△ABC三内角的正弦值等于△A1B1C1的三内角的余弦值，
∴不妨设：sinA=cosA1，sinB=cosB1，sinC=cosC1，
∵cosA1＞0，cosB1＞0，cosC1＞0，
∴A1，B1，C1 都为锐角，
又A为钝角，则B，C为锐角，结合诱导公式及三角形内角和定理可知：A=A1=A﹣90°，B1=90°﹣B，C1=90°﹣C，
相加可得：A﹣B﹣C+90°=A1+B1+C1，
解得：A=．
由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：20=8+c2+4c，即：c2+4c﹣12=0，解得：c=2，
∴S△ABC=bcsinA=2．
故答案为：2．
三、解答题：（解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．已知等差数列{an}的首项为a1=1，公差d≠0，其中a2，a5，a14成等比数列．
（I）求数列{an}的通项；
（Ⅱ）设cn=，求数列{cn}的前n项和Tn．
【考点】数列的求和．
【分析】（I）根据等比数列列方程解出公差d即可得出an；
（II）使用列项法求和．
【解答】解：（I）∵an=1+d（n﹣1），∴a2=1+d，a5=1+4d，a14=1+13d，
∵a2，a5，a14成等比数列，
∴（1+4d）2=（1+d）（1+13d），
解得d=0（舍）或d=2．
∴an=2n﹣1．
（II）cn==（），
∴Tn=（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）=．
18．某餐饮业培训学校对男、女各20名学员进行考评，考评成绩（满分100分）如茎叶图所示：
（I）若大于或等于80分为优秀学员，80分以下为非优秀学员，根据茎叶图填写2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为学员的优秀与性别有关？
非优秀
优秀
总数
男
20
女
20
总数
40
（Ⅱ）若从考评成绩95分以上（包括95分）的学员中任选两人代表学校参加上一级单位举办的服务比赛，求至少有一名男学员参加的概率．
下面的临界值表供参考：
P（K2≥k）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
（参考公式：K2=）n=a+b+c+d．
【考点】独立性检验．
【分析】（I）根据所给数据，可得2×2列联表；求出K2，与临界值比较，即可得到结论；
（Ⅱ）考评成绩95分以上（包括95分）的男学员有2人，女学员有4人，任选两人，有=15种结果，全是女学员，有=6种结果，即可求得至少含1 名男学员的概率．
【解答】解：（I）2×2列联表
非优秀
优秀
总数
男
13
7
20
女
6
14
20
总数
19
21
40
∴K2=≈4.912＞3.841，
∴有95%的把握认为学员的优秀与性别有关；
（Ⅱ）考评成绩95分以上（包括95分）的男学员有2人，女学员有4人，任选两人，有=15种结果，全是女学员，有=6种结果，至少有一名男学员参加的概率为=．
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠DAB=，AC与BD交于点O，BD⊥PC，AB=2；，BC=2，PA=6．
（I）求证：AC⊥BD：
（Ⅱ）若Q为PA上一点，且PC∥平面BDQ，求三棱锥P﹣BDQ的体积．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质．
【分析】（Ⅰ）推导出PA⊥BD，BD⊥PC，从而BD⊥平面PAC，由此能证明AC⊥BD．
（Ⅱ）连结OQ，∵推导出PC∥OQ，AD=6，，由三棱锥P﹣BDQ的体积V=VP﹣ABD﹣VQ﹣ABD，能求出结果．
【解答】证明：（Ⅰ）∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BD，
又∵BD⊥PC，PA∩PC=P，
∴BD⊥平面PAC，
∵AC⊂平面PAC，
∴AC⊥BD．
解：（Ⅱ）连结OQ，∵PC∥平面BDQ，PC⊂平面PAC，
平面PAC∩平面BDQ=OQ，
∴PC∥OQ，
在直角梯形ABCD中，
∵AC⊥BD，AB=2，BC=2，∠ABC=∠DAB=，
∴AC==4，BO===，
OC==1，AO=4﹣1=3，
∵∠ABC=∠DAB=，∴BC∥AD，∴△BCO∽△DAO，
∴，∴AD==6．
∴，∴，
==12，
VQ﹣ABD==9，
∴三棱锥P﹣BDQ的体积V=VP﹣ABD﹣VQ﹣ABD=3．
20．已知椭圆Cl的方程为+=1，椭圆C2的短轴为C1的长轴且离心率为．
（I）求椭圆C2的方程；
（Ⅱ）如图，M、N分别为直线l与椭圆Cl、C2的一个交点，P为椭圆C2与y轴的交点，△PON面积为△POM面积的2倍，若直线l的方程为y=kx（k＞0），求k的值．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．
【分析】（Ⅰ）根据椭圆的方程和离心率的定义，即可求出a，b的值，问题得以解决；
（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），由△PON面积为△POM面积的2倍得|ON|=2|OM|，得到|x1|=2|x2|，即可得到关于k的方程，解得即可．
【解答】解：（Ⅰ）椭圆C1的长轴在x轴上，且长轴长为4，
∴椭圆C2的短轴在x轴上，且短轴长为4，
设椭圆C2的方程为+=1，（a＞b＞0），则有，
∴a=4，b=2，
∴椭圆C2的方程为+=1，
（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），
由△PON面积为△POM面积的2倍得|ON|=2|OM|，
∴|x1|=2|x2|，
联立方程，消去y得x=±，
∴|x1|=，
同理可求得∴|x2|=，
∴=2，
解得k=±3，
由k＞0，得k=3
21．已知函数f（x）=x﹣1+
（I）求f（x）在点（e，f（e））处的切线方程；
（Ⅱ）当0＜x＜l时，若不等式f（x）≤kx﹣1恒成立，求k的取值范围．
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（I）求导数，确定切线斜率、切点坐标，即可求f（x）在点（e，f（e））处的切线方程；
（Ⅱ）当0＜x＜l时，若不等式f（x）≤kx﹣1恒成立，可以转化为k﹣1≥．求出右边的最大值，即可求k的取值范围．
【解答】解：（I）∵f（x）=x﹣1+，
∴f′（x）=1﹣，
∴f′（e）=1﹣，
∵f（e）=e，
∴f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为y﹣e=（1﹣）（x﹣e），即y=（1﹣）x+1；
（Ⅱ）当0＜x＜l时，若不等式f（x）≤kx﹣1恒成立，可以转化为k﹣1≥．
令g（x）=xlnx，则g′（x）=lnx+1，
＜x＜1时，g′（x）＞0，函数单调递增，0＜x＜时，g′（x）＜0，函数单调递减，
∴g（x）的最小值为﹣，
由0＜x＜1，g（x）＜0，可得的最大值为﹣e，
∴k﹣1≥﹣e，
∴k≥1﹣e．
解答题[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，⊙O内接四边形ABCD的两条对角线AC、BD交于点M，AP为⊙O的切线，∠BAP=∠BAC
（I）证明：△ABM≌△DBA；
（II ）若BM=2，MD=3，求BC的长．
【考点】与圆有关的比例线段．
【分析】（I）运用圆的弦切角定理和相似三角形的判定定理：对应角相等，则三角形相似，即可得证；
（II ）由相似三角形的性质和圆的弦切角定理，可得AB=，∠BAP=∠BCA，再由等腰三角形的性质即可得到所求长．
【解答】解：（I）证明：AP为⊙O的切线，
可得∠BAP=∠BDA，又BAP=∠BAC，
则∠BDA=∠BAC，
又∠BAC=∠BDA，
即∠BAM=∠BDA，
在△ABM和△DBA中，∠BAM=∠BDA，∠MBA=∠ABD，
则△ABM～△DBA；
（II ）由△ABM～△DBA，可得
=，
由BM=2，MD=3，
可得AB2=DB•BM=5×2=10，
解得AB=，
AP为⊙O的切线，可得∠BAP=∠BCA，
又∠BAP=∠BAC，
即∠BCA=∠BAC，
则BC=AB=．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．已知在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t是参数，m是常数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C极坐标方程为ρ=asin（θ+），点M的极坐标为（4，），且点M在曲线C上．
（I）求a的值及曲线C直角坐标方程；
（II ）若点M关于直线l的对称点N在曲线C上，求|MN|的长．
【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．
【分析】（I）将M的极坐标代入曲线C的极坐标方程，可得a，由两角和的正弦公式，结合极坐标和直角坐标的关系：x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得曲线C直角坐标方程；
（II ）求得曲线C表示的圆的圆心和半径，由点M关于直线l的对称点N在曲线C上，可得直线l经过圆心，求得m，进而得到直线l的普通方程，运用点到直线的距离公式，可得M到直线l的距离，进而得到所求MN的长．
【解答】解：（I）将点M的极坐标（4，）代入曲线C极坐标方程ρ=asin（θ+），
可得4=asin（+），解得a=4，
由ρ=4sin（θ+）即ρ=4（sinθ+cosθ），
即有ρ2=2ρsinθ+2ρcosθ，即为x2+y2﹣2x﹣2y=0，
即曲线C：（x﹣）2+（y﹣1）2=4；
（II ）曲线C：（x﹣）2+（y﹣1）2=4为圆心C（，1），半径为2，
则点M关于直线l的对称点N在曲线C上，直线l过圆C的圆心，
由，可得m=2，t=﹣，
这时直线l：，消去t，可得x+y﹣2=0，
点M的极坐标为（4，），可得M（2，2），
即有M到直线l的距离为d==，
可得|MN|的长为2．
[选修4-5：不等式选讲]
24．设函数f（x）=|x﹣2|﹣|2x+l|．
（I）求不等式f（x）≤x的解集；
（II ）若不等式f（x）≥t2﹣t在x∈[﹣2，﹣1]时恒成立，求实数t的取值范围．
【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．
【分析】（Ⅰ）根据绝对值的几何运用，分类讨论，求得f（x）≤x的解集．
（Ⅱ）x∈[﹣2，﹣1]时，f（x）=x+3，最小值为1，再根据t2﹣t≤1，求得实数t的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）x≤﹣时，x+3≤x，不成立；
﹣＜x＜2时，﹣3x+1≤x，解得x≥，∴≤x＜2；
x≥2时，﹣x﹣3≤x，∴x≥﹣，∴x≥2，
综上所述，不等式f（x）≤x的解集为[，+∞）；
（II ）x∈[﹣2，﹣1]时，f（x）=x+3，最小值为1．
∵不等式f（x）≥t2﹣t在x∈[﹣2，﹣1]时恒成立，
∴t2﹣t≤1，
∴≤t≤．
2016年12月8日
2015-2016学年安徽省A10联盟高三（下）开学数学试卷（文科）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题分别给出四个选项，只有一个选项符合题意）
1．已知集合A={﹣2，0，，4），B={x|≤1}，则A∩B=（ ）
A．{4} B．{﹣2，4} C．{﹣2，0，4） D．{﹣2， }
2．已知sinα=，且α∈（0，），则sin 2α=（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．
3．已知复数z满足=i，i是虚数单位，则在复平面内z对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．已知双曲线﹣y2=1，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
5．f（x），g（x）是定义在[a，b]上的连续函数，则“f（x）的最大值小于g（x）的最小值”是“f（x）＜g（x）对一切x∈[a，b]成立”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．非充分非必要条件
6．已知||=1，与的夹角是，（ +2）=3，则||的值是（ ）
A．1 B． C．2 D．3
7．已知数列{an}满足a1=1，且anan+1=2n，n∈N*，则数列{an}的通项公式为（ ）
A．an=（）n﹣1
B．an=（）n
C．an=
D．an=
8．某无底仓库的三视图如图所示，则其表面积为（ ）
A．700π B．800π C．1000π D．l600π
9．执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（ ）
A． B． C．0 D．
10．抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，M（2，y0）为抛物线上一点，且|MO|=|MF|，其中O为坐标原点，则p=（ ）
A．2 B．3 C．4 D．8
11．已知实数x，y满足不等式组，z=3x﹣y，则下列结论成立的是（ ）
A．z没有最大值，有最小值为﹣2
B．z的最大值为﹣，没有最小值
C．z的最大值为﹣2，没有最小值
D．z的最大值为，最小值为﹣2
12．已知f（x）=x3﹣ax2+2ax﹣的两个极值点为x1，x2（x1≠x2），且x2=2x1，则f（x）的零点个数为（ ）
A．2 B．3 C．1或2 D．1或3
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．）
13．已知样本3，4，x，7，5的平均数是5，则此样本的方差为 ．
14．已知f（x）=2cos（x+φ）的一个对称中心为（2，0），φ∈（0，π），则φ= ．
15．已知圆C：x2+y2+2x+4y+4=0，直线l：sinθx+cosθy﹣4=0，则直线，与圆C的位置关系为 ．
16．已知△ABC三内角的正弦值等于△A1B1C1的三内角的余弦值，角A、B、C所对应的边为a，b，c，且A为钝角，a=2．b=2，则△ABC的面积为 ．
三、解答题：（解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．已知等差数列{an}的首项为a1=1，公差d≠0，其中a2，a5，a14成等比数列．
（I）求数列{an}的通项；
（Ⅱ）设cn=，求数列{cn}的前n项和Tn．
18．某餐饮业培训学校对男、女各20名学员进行考评，考评成绩（满分100分）如茎叶图所示：
（I）若大于或等于80分为优秀学员，80分以下为非优秀学员，根据茎叶图填写2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为学员的优秀与性别有关？
非优秀
优秀
总数
男
20
女
20
总数
40
（Ⅱ）若从考评成绩95分以上（包括95分）的学员中任选两人代表学校参加上一级单位举办的服务比赛，求至少有一名男学员参加的概率．
下面的临界值表供参考：
P（K2≥k）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
（参考公式：K2=）n=a+b+c+d．
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠DAB=，AC与BD交于点O，BD⊥PC，AB=2；，BC=2，PA=6．
（I）求证：AC⊥BD：
（Ⅱ）若Q为PA上一点，且PC∥平面BDQ，求三棱锥P﹣BDQ的体积．
20．已知椭圆Cl的方程为+=1，椭圆C2的短轴为C1的长轴且离心率为．
（I）求椭圆C2的方程；
（Ⅱ）如图，M、N分别为直线l与椭圆Cl、C2的一个交点，P为椭圆C2与y轴的交点，△PON面积为△POM面积的2倍，若直线l的方程为y=kx（k＞0），求k的值．
21．已知函数f（x）=x﹣1+
（I）求f（x）在点（e，f（e））处的切线方程；
（Ⅱ）当0＜x＜l时，若不等式f（x）≤kx﹣1恒成立，求k的取值范围．
解答题[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，⊙O内接四边形ABCD的两条对角线AC、BD交于点M，AP为⊙O的切线，∠BAP=∠BAC
（I）证明：△ABM≌△DBA；
（II ）若BM=2，MD=3，求BC的长．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．已知在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t是参数，m是常数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C极坐标方程为ρ=asin（θ+），点M的极坐标为（4，），且点M在曲线C上．
（I）求a的值及曲线C直角坐标方程；
（II ）若点M关于直线l的对称点N在曲线C上，求|MN|的长．
[选修4-5：不等式选讲]
24．设函数f（x）=|x﹣2|﹣|2x+l|．
（I）求不等式f（x）≤x的解集；
（II ）若不等式f（x）≥t2﹣t在x∈[﹣2，﹣1]时恒成立，求实数t的取值范围．
2015-2016学年安徽省A10联盟高三（下）开学数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题分别给出四个选项，只有一个选项符合题意）
1．已知集合A={﹣2，0，，4），B={x|≤1}，则A∩B=（ ）
A．{4} B．{﹣2，4} C．{﹣2，0，4） D．{﹣2， }
【考点】交集及其运算．
【分析】先解不等式化简B，再根据交集的定义求出即可．
【解答】解：B={x|≤1}={x|x＜0或x≥1}，
∵A={﹣2，0，，4），
∴A∩B={﹣2，4}，
故选：B
2．已知sinα=，且α∈（0，），则sin 2α=（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．
【考点】二倍角的正弦．
【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα的值，进而利用二倍角的正弦函数公式即可计算得解．
【解答】解：∵sinα=，且a∈（0，），
∴cosα==，
∴sin 2α=2sinαcosα=2×=．
故选：D．
3．已知复数z满足=i，i是虚数单位，则在复平面内z对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】复数的代数表示法及其几何意义．
【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．
【解答】解：复数z满足=i，∴z=i（4+2i）=﹣2+4i，
则在复平面内z对应的点（﹣2，4）在第二象限．
故选：B．
4．已知双曲线﹣y2=1，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】根据双曲线的方程，求出a，b，c，即可求出双曲线的离心率．
【解答】解：由双曲线的方程可知a2=4，b2=1，
则c2=a2+b2=4+1=5，
则a=2，c=，
即双曲线的离心率e==．
故选C．
5．f（x），g（x）是定义在[a，b]上的连续函数，则“f（x）的最大值小于g（x）的最小值”是“f（x）＜g（x）对一切x∈[a，b]成立”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．非充分非必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】根据函数最值之间的关系，结合充分条件和必要条件的定义 进行判断即可．
【解答】解：若“f（x）的最大值小于g（x）的最小值”是“f（x）＜g（x）对一切x∈[a，b]成立，即充分性成立，
反之不一定成立，比如g（x）=|x|+1，和f（x）=|x|，则不成立，
即“f（x）的最大值小于g（x）的最小值”是“f（x）＜g（x）对一切x∈[a，b]成立”的充分不必要条件，
故选：A．
6．已知||=1，与的夹角是，（ +2）=3，则||的值是（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】根据所给条件进行向量数量积的运算即可得出，这样显然可以求出的值．
【解答】解：根据条件：
=
=
=3；
∴．
故选：C．
7．已知数列{an}满足a1=1，且anan+1=2n，n∈N*，则数列{an}的通项公式为（ ）
A．an=（）n﹣1
B．an=（）n
C．an=
D．an=
【考点】数列递推式；数列的概念及简单表示法．
【分析】根据数列的递推关系得到=2，即所有的奇数项和偶数项分别为等比数列，根据等比数列的通项公式进行求解即可．
【解答】解：∵数列{an}满足a1=1，且anan+1=2n，n∈N*，
∴an+1an+2=2n+1，
两式相比得=2，即数列中的奇数项是以1为首项，2为公比的等比数列，
即当n是奇数时，an=（）n﹣1，
偶数项是以a2=2为首项，2为公比的等比数列，
则当n是偶数时，an=2（）n﹣1=（）n，
故数列的通项公式an=，
故选：D．
8．某无底仓库的三视图如图所示，则其表面积为（ ）
A．700π B．800π C．1000π D．l600π
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由题意，几何体为圆柱上面放一半球，利用圆柱、球的面积公式可得结论．
【解答】解：由题意，几何体为圆柱上面放一半球，其表面积为S==800π．
故选：B．
9．执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（ ）
A． B． C．0 D．
【考点】程序框图．
【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【解答】解：当i=1时，执行完循环体后：S=，满足继续循环的条件，故i=2；
当i=2时，执行完循环体后：S=，满足继续循环的条件，故i=3；
当i=3时，执行完循环体后：S=，满足继续循环的条件，故i=3；
当i=4时，执行完循环体后：S=，满足继续循环的条件，故i=5；
当i=5时，执行完循环体后：S=0，满足继续循环的条件，故i=6；
当i=6时，执行完循环体后：S=0，满足继续循环的条件，故i=7；
当i=7时，执行完循环体后：S=，满足继续循环的条件，故i=8；
当i=8时，执行完循环体后：S=，满足继续循环的条件，故i=9；
当i=9时，执行完循环体后：S=，不满足继续循环的条件，
故输出结果为，
故选：A
10．抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，M（2，y0）为抛物线上一点，且|MO|=|MF|，其中O为坐标原点，则p=（ ）
A．2 B．3 C．4 D．8
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】判断M位置，利用抛物线的性质，求解p即可．
【解答】解：抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，M（2，y0）为抛物线上一点，且|MO|=|MF|，
可知M在OF的垂直平分线上，∴|OF|=4，∴，可得p=8．
故选：D．
11．已知实数x，y满足不等式组，z=3x﹣y，则下列结论成立的是（ ）
A．z没有最大值，有最小值为﹣2
B．z的最大值为﹣，没有最小值
C．z的最大值为﹣2，没有最小值
D．z的最大值为，最小值为﹣2
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，结合数形结合即可得到结论．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由z=3x﹣y得y=3x﹣z，
平移直线y=3x﹣z由图象可知当直线y=3x﹣z经过点A时，直线y=3x﹣z的截距最大，
此时z最小．
由，解得，
即A（0，2），
此时z=0﹣2=﹣2，无最小值
故选：C．
12．已知f（x）=x3﹣ax2+2ax﹣的两个极值点为x1，x2（x1≠x2），且x2=2x1，则f（x）的零点个数为（ ）
A．2 B．3 C．1或2 D．1或3
【考点】利用导数研究函数的极值．
【分析】利用条件求出a=1时，f（x）的极值点为1，2，f（x）的极大值f（1）=＞0，极小值f（2）=0，即可得出结论．
【解答】解：由题意，f′（x）=x2﹣3ax+2a=0，可得△=9a2﹣8a＞0，∴a＜0或a＞
∵x1+x2=3a，x1x2=2a，x2=2x1，∴a=1．
a=1时，f（x）的极值点为1，2，f（x）的极大值f（1）=＞0，极小值f（2）=0，
∴f（x）有2个零点．
故选：A．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．）
13．已知样本3，4，x，7，5的平均数是5，则此样本的方差为 2 ．
【考点】极差、方差与标准差．
【分析】根据平均数求出x的值，从而求出样本的方差即可．
【解答】解：由题意得：
=5，
解得：x=6，
∴s2==2，
故答案为：2．
14．已知f（x）=2cos（x+φ）的一个对称中心为（2，0），φ∈（0，π），则φ= ．
【考点】余弦函数的对称性．
【分析】将（2，0），代入y=2cos（x+φ），求得x+φ=kπ+，k∈Z，由0＜φ＜π，即可求得φ的值．
【解答】解：依题意得，当x=2时， x+φ=kπ+，即+φ=kπ+，
∵φ∈（0，π），
∴φ=．
故答案是：．
15．已知圆C：x2+y2+2x+4y+4=0，直线l：sinθx+cosθy﹣4=0，则直线，与圆C的位置关系为 相离 ．
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】根据圆的标准方程求出圆心坐标和圆半径，代入点到直线距离公式，与半径比较后，可得直线与圆的位置关系．
【解答】解：由圆C：x2+y2+2x+4y+4=0的标准方程（x+1）2+（y+2）2=1可得
圆心坐标为C（﹣1，﹣2），半径r=1
∴圆心到直线的距离d=|sinθ+cosθ+4|=sin（θ+α）+4∈[4﹣，4+]，
∵r=1，∴相离．
故答案为相离．
16．已知△ABC三内角的正弦值等于△A1B1C1的三内角的余弦值，角A、B、C所对应的边为a，b，c，且A为钝角，a=2．b=2，则△ABC的面积为 2 ．
【考点】正弦定理．
【分析】设：sinA=cosA1，sinB=cosB1，sinC=cosC1，可得A1，B1，C1 都为锐角，又A为钝角，则B，C为锐角，结合诱导公式及三角形内角和定理可知：A=A1=A﹣90°，B1=90°﹣B，C1=90°﹣C，
相加可解得A=，利用余弦定理可得c2+4c﹣12=0，解得c，利用三角形面积公式即可得解．
【解答】解：∵△ABC三内角的正弦值等于△A1B1C1的三内角的余弦值，
∴不妨设：sinA=cosA1，sinB=cosB1，sinC=cosC1，
∵cosA1＞0，cosB1＞0，cosC1＞0，
∴A1，B1，C1 都为锐角，
又A为钝角，则B，C为锐角，结合诱导公式及三角形内角和定理可知：A=A1=A﹣90°，B1=90°﹣B，C1=90°﹣C，
相加可得：A﹣B﹣C+90°=A1+B1+C1，
解得：A=．
由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：20=8+c2+4c，即：c2+4c﹣12=0，解得：c=2，
∴S△ABC=bcsinA=2．
故答案为：2．
三、解答题：（解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．已知等差数列{an}的首项为a1=1，公差d≠0，其中a2，a5，a14成等比数列．
（I）求数列{an}的通项；
（Ⅱ）设cn=，求数列{cn}的前n项和Tn．
【考点】数列的求和．
【分析】（I）根据等比数列列方程解出公差d即可得出an；
（II）使用列项法求和．
【解答】解：（I）∵an=1+d（n﹣1），∴a2=1+d，a5=1+4d，a14=1+13d，
∵a2，a5，a14成等比数列，
∴（1+4d）2=（1+d）（1+13d），
解得d=0（舍）或d=2．
∴an=2n﹣1．
（II）cn==（），
∴Tn=（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）=．
18．某餐饮业培训学校对男、女各20名学员进行考评，考评成绩（满分100分）如茎叶图所示：
（I）若大于或等于80分为优秀学员，80分以下为非优秀学员，根据茎叶图填写2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为学员的优秀与性别有关？
非优秀
优秀
总数
男
20
女
20
总数
40
（Ⅱ）若从考评成绩95分以上（包括95分）的学员中任选两人代表学校参加上一级单位举办的服务比赛，求至少有一名男学员参加的概率．
下面的临界值表供参考：
P（K2≥k）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
（参考公式：K2=）n=a+b+c+d．
【考点】独立性检验．
【分析】（I）根据所给数据，可得2×2列联表；求出K2，与临界值比较，即可得到结论；
（Ⅱ）考评成绩95分以上（包括95分）的男学员有2人，女学员有4人，任选两人，有=15种结果，全是女学员，有=6种结果，即可求得至少含1 名男学员的概率．
【解答】解：（I）2×2列联表
非优秀
优秀
总数
男
13
7
20
女
6
14
20
总数
19
21
40
∴K2=≈4.912＞3.841，
∴有95%的把握认为学员的优秀与性别有关；
（Ⅱ）考评成绩95分以上（包括95分）的男学员有2人，女学员有4人，任选两人，有=15种结果，全是女学员，有=6种结果，至少有一名男学员参加的概率为=．
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠DAB=，AC与BD交于点O，BD⊥PC，AB=2；，BC=2，PA=6．
（I）求证：AC⊥BD：
（Ⅱ）若Q为PA上一点，且PC∥平面BDQ，求三棱锥P﹣BDQ的体积．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质．
【分析】（Ⅰ）推导出PA⊥BD，BD⊥PC，从而BD⊥平面PAC，由此能证明AC⊥BD．
（Ⅱ）连结OQ，∵推导出PC∥OQ，AD=6，，由三棱锥P﹣BDQ的体积V=VP﹣ABD﹣VQ﹣ABD，能求出结果．
【解答】证明：（Ⅰ）∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BD，
又∵BD⊥PC，PA∩PC=P，
∴BD⊥平面PAC，
∵AC⊂平面PAC，
∴AC⊥BD．
解：（Ⅱ）连结OQ，∵PC∥平面BDQ，PC⊂平面PAC，
平面PAC∩平面BDQ=OQ，
∴PC∥OQ，
在直角梯形ABCD中，
∵AC⊥BD，AB=2，BC=2，∠ABC=∠DAB=，
∴AC==4，BO===，
OC==1，AO=4﹣1=3，
∵∠ABC=∠DAB=，∴BC∥AD，∴△BCO∽△DAO，
∴，∴AD==6．
∴，∴，
==12，
VQ﹣ABD==9，
∴三棱锥P﹣BDQ的体积V=VP﹣ABD﹣VQ﹣ABD=3．
20．已知椭圆Cl的方程为+=1，椭圆C2的短轴为C1的长轴且离心率为．
（I）求椭圆C2的方程；
（Ⅱ）如图，M、N分别为直线l与椭圆Cl、C2的一个交点，P为椭圆C2与y轴的交点，△PON面积为△POM面积的2倍，若直线l的方程为y=kx（k＞0），求k的值．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．
【分析】（Ⅰ）根据椭圆的方程和离心率的定义，即可求出a，b的值，问题得以解决；
（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），由△PON面积为△POM面积的2倍得|ON|=2|OM|，得到|x1|=2|x2|，即可得到关于k的方程，解得即可．
【解答】解：（Ⅰ）椭圆C1的长轴在x轴上，且长轴长为4，
∴椭圆C2的短轴在x轴上，且短轴长为4，
设椭圆C2的方程为+=1，（a＞b＞0），则有，
∴a=4，b=2，
∴椭圆C2的方程为+=1，
（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），
由△PON面积为△POM面积的2倍得|ON|=2|OM|，
∴|x1|=2|x2|，
联立方程，消去y得x=±，
∴|x1|=，
同理可求得∴|x2|=，
∴=2，
解得k=±3，
由k＞0，得k=3
21．已知函数f（x）=x﹣1+
（I）求f（x）在点（e，f（e））处的切线方程；
（Ⅱ）当0＜x＜l时，若不等式f（x）≤kx﹣1恒成立，求k的取值范围．
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（I）求导数，确定切线斜率、切点坐标，即可求f（x）在点（e，f（e））处的切线方程；
（Ⅱ）当0＜x＜l时，若不等式f（x）≤kx﹣1恒成立，可以转化为k﹣1≥．求出右边的最大值，即可求k的取值范围．
【解答】解：（I）∵f（x）=x﹣1+，
∴f′（x）=1﹣，
∴f′（e）=1﹣，
∵f（e）=e，
∴f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为y﹣e=（1﹣）（x﹣e），即y=（1﹣）x+1；
（Ⅱ）当0＜x＜l时，若不等式f（x）≤kx﹣1恒成立，可以转化为k﹣1≥．
令g（x）=xlnx，则g′（x）=lnx+1，
＜x＜1时，g′（x）＞0，函数单调递增，0＜x＜时，g′（x）＜0，函数单调递减，
∴g（x）的最小值为﹣，
由0＜x＜1，g（x）＜0，可得的最大值为﹣e，
∴k﹣1≥﹣e，
∴k≥1﹣e．
解答题[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，⊙O内接四边形ABCD的两条对角线AC、BD交于点M，AP为⊙O的切线，∠BAP=∠BAC
（I）证明：△ABM≌△DBA；
（II ）若BM=2，MD=3，求BC的长．
【考点】与圆有关的比例线段．
【分析】（I）运用圆的弦切角定理和相似三角形的判定定理：对应角相等，则三角形相似，即可得证；
（II ）由相似三角形的性质和圆的弦切角定理，可得AB=，∠BAP=∠BCA，再由等腰三角形的性质即可得到所求长．
【解答】解：（I）证明：AP为⊙O的切线，
可得∠BAP=∠BDA，又BAP=∠BAC，
则∠BDA=∠BAC，
又∠BAC=∠BDA，
即∠BAM=∠BDA，
在△ABM和△DBA中，∠BAM=∠BDA，∠MBA=∠ABD，
则△ABM～△DBA；
（II ）由△ABM～△DBA，可得
=，
由BM=2，MD=3，
可得AB2=DB•BM=5×2=10，
解得AB=，
AP为⊙O的切线，可得∠BAP=∠BCA，
又∠BAP=∠BAC，
即∠BCA=∠BAC，
则BC=AB=．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．已知在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t是参数，m是常数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C极坐标方程为ρ=asin（θ+），点M的极坐标为（4，），且点M在曲线C上．
（I）求a的值及曲线C直角坐标方程；
（II ）若点M关于直线l的对称点N在曲线C上，求|MN|的长．
【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．
【分析】（I）将M的极坐标代入曲线C的极坐标方程，可得a，由两角和的正弦公式，结合极坐标和直角坐标的关系：x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得曲线C直角坐标方程；
（II ）求得曲线C表示的圆的圆心和半径，由点M关于直线l的对称点N在曲线C上，可得直线l经过圆心，求得m，进而得到直线l的普通方程，运用点到直线的距离公式，可得M到直线l的距离，进而得到所求MN的长．
【解答】解：（I）将点M的极坐标（4，）代入曲线C极坐标方程ρ=asin（θ+），
可得4=asin（+），解得a=4，
由ρ=4sin（θ+）即ρ=4（sinθ+cosθ），
即有ρ2=2ρsinθ+2ρcosθ，即为x2+y2﹣2x﹣2y=0，
即曲线C：（x﹣）2+（y﹣1）2=4；
（II ）曲线C：（x﹣）2+（y﹣1）2=4为圆心C（，1），半径为2，
则点M关于直线l的对称点N在曲线C上，直线l过圆C的圆心，
由，可得m=2，t=﹣，
这时直线l：，消去t，可得x+y﹣2=0，
点M的极坐标为（4，），可得M（2，2），
即有M到直线l的距离为d==，
可得|MN|的长为2．
[选修4-5：不等式选讲]
24．设函数f（x）=|x﹣2|﹣|2x+l|．
（I）求不等式f（x）≤x的解集；
（II ）若不等式f（x）≥t2﹣t在x∈[﹣2，﹣1]时恒成立，求实数t的取值范围．
【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．
【分析】（Ⅰ）根据绝对值的几何运用，分类讨论，求得f（x）≤x的解集．
（Ⅱ）x∈[﹣2，﹣1]时，f（x）=x+3，最小值为1，再根据t2﹣t≤1，求得实数t的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）x≤﹣时，x+3≤x，不成立；
﹣＜x＜2时，﹣3x+1≤x，解得x≥，∴≤x＜2；
x≥2时，﹣x﹣3≤x，∴x≥﹣，∴x≥2，
综上所述，不等式f（x）≤x的解集为[，+∞）；
（II ）x∈[﹣2，﹣1]时，f（x）=x+3，最小值为1．
∵不等式f（x）≥t2﹣t在x∈[﹣2，﹣1]时恒成立，
∴t2﹣t≤1，
∴≤t≤．
2016年12月8日
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