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2023-2024学年安徽省A10联盟高一（下）开学数学试卷(含解析）
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这是一份2023-2024学年安徽省A10联盟高一（下）开学数学试卷(含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设全集U=R，集合A={x|2x<1}，B={x|(x+1)(x−2)≥0}，则∁U(A∪B)=( )
A. {x|x≥2}B. {x|0≤x<2}C. {x|02.若a25=425(a>0)，则lga25=( )
A. 254B. 2C. 15D. 5
3.已知正实数x，y满足2x+y=xy，则xy的最小值为( )
A. 2 2B. 4C. 4 2D. 8
4.点P从(−12, 32)出发，沿着单位圆顺时针运动11π6到达点Q，则点Q的坐标为( )
A. ( 32,12)B. (12, 32)C. (− 32,12)D. (−12, 32)
5.若a=(12)23，b=(23)12，c=lg2312，则a，b，c的大小关系为( )
A. a>c>bB. b>c>aC. c>a>bD. c>b>a
6.已知角α，β满足tanαtanβ=−3,cs(α+β)=12，则cs(α−β)=( )
A. −14B. −1C. 38D. 18
7.已知函数f(x)=lgax−12,0A. (0,1)B. (1,3]C. (1,72]D. (1,4]
8.如图，在扇形OAB中，∠AOB=π2，OA=1，点P在弧AB上(点P与点A，B不重合)，分别在点P，B作扇形OAB所在圆的切线l1，l2，且l1，l2交于点C，l1与OA的延长线交于点D，则2BC+CD的最小值为( )
A. 2B. 5C. 6D. 2 2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列计算中正确的是( )
A. sin105°cs75°=12
B. sin20°cs40°+cs160°sin220°= 32
C. 1−2cs2π12=− 32
D. tan7π12=2+ 3
10.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则( )
A. f(x)=3sin(2x+π6)
B. f(x)的图象向右平移2π3个单位长度后得到的新函数是奇函数
C. f(x)的图象关于点(−4π3,0)对称
D. 若方程f(x)=32在(0,m)上有且只有6个根，则m∈(3π,10π3]
11.已知f(x)是定义在R上的偶函数，若∀x1，x2∈[0,+∞)，且x1x22−x12恒成立，且f(1)=2，则满足f(m−1)+m2<2m+2的实数m的值可能为( )
A. −2B. −1C. 1D. 3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知幂函数f(x)过点(3, 33)，则f(8)= ______．
13.函数y=2sinxsinx+2的值域为______．
14.中国茶文化源远流长，博大精深，茶水的口感与茶叶的类型和水的温度有关，某种绿茶用90℃的水泡制，再等到茶水温度降至50℃时饮用，可以产生最佳口感.为了控制水温，某研究小组联想到牛顿提出的物体在常温下的温度变化冷却规律：设物体的初始温度是T0，经过tmin后的温度是T，则T−Tα=(T0−Tα)e−th(e≈2.71828⋯)，其中Tα表示环境温度，h为常数.该研究小组经过测量得到，刚泡好的绿茶水温度是90℃，放在10℃的室温中，10min以后茶水的温度是70℃，在上述条件下，大约需要再放置______min能达到最佳饮用口感.(结果精确到0.1，参考数据：ln2≈0.7，ln3≈1.1)
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知集合A={x|m−1(1)求实数a的取值集合B；
(2)在(1)的条件下，若“x∈A”是“x∈B”成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
16.(本小题15分)
近年来，我国逐渐用风能等清洁能源替代传统能源，目前利用风能发电的主要手段是风车发电.如图，风车由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为2π3，现有一座风车，塔高100米，叶片长40米.叶片按照逆时针方向匀速转动，并且每5秒旋转一圈，风车开始旋转时某叶片的一个端点P在风车的最低点(此时P离地面60米).设点P转动t(秒)后离地面的距离为S(米)，则S关于t的函数关系式为S(t)=Asin(ωt+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|<π)．
(1)求S(t)的解析式；
(2)求叶片旋转一圈内点P离地面的高度不低于80米的时长．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=lga(ax+t)(a>0且a≠1)．
(1)若a=2，且t=1，求函数g(x)=f(x)−1的零点；
(2)若a>1，函数f(x)的定义域为I，存在[m,n]⊆I，使得f(x)在[m,n]上的值域为[2m,2n]，求实数t的取值范围．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=sin(x+32π)⋅cs(32π−x)⋅tan2(π−x)sin(π+x)⋅cs(π2−x)．
(1)若f(θ)=12，求sin2θ的值；
(2)设g(x)=−cs2x⋅f(2x)，若不等式|g(x+π12)−cs2x−m|<1在(0,π3)上恒成立，求实数m的取值范围．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)的定义域为(−1,1)，f(x)+f(y)=f(x+y1+xy)，且当x∈(−1,0)时，f(x)>0．
(1)判断f(x)的奇偶性，并说明理由；
(2)解不等式：f(2x−1)>f(x)；
(3)已知f(−13)=1，g(x)=x2+bx+1，若对∀x1∈[−13,13]，∃x2∈[−1,2]，使得f(x1)>g(x2)成立，求实数b的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：根据题意，可得A={x|2x<1}={x|x<0}，B={x|(x+1)(x−2)≥0}={x|x≤−1或x≥2}，
∴A∪B={x|x<0或x≥2}，可得∁U(A∪B)={x|0≤x<2}．
故选：B．
根据指数函数的性质，化简得A={x|x<0}，根据二次不等式的解法算出B={x|x<0或x≥2}，然后利用并集与补集的法则算出答案．
本题主要考查指数不等式与一元二次不等式的解法、并集与补集的运算法则等知识，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：由题意得lga425=25，
∴2lga25=25，
∴lga25=15．
故选：C．
由已知结合指数与对数的转化及对数运算性质即可求解．
本题主要考查了指数与对数的转化公式的应用，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：∵2x+y=xy，x>0，y>0，
∴2x+y≥2 2xy，即xy≥2 2xy，当且仅当y=2x，即x=2，y=4时取等号，
∴xy≥8，即xy的最小值为8．
故选：D．
由已知结合基本不等式即可求解．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：点P从(−12, 32)出发，沿着单位圆顺时针运动11π6到达点Q，
则(−12, 32)=(cs2π3,sin2π3)，2π3−11π6=−7π6，
故点Q的坐标为(cs(−7π6),sin(−7π6))=(− 32,12)．
故选：C．
根据已知条件，结合任意角的三角函数的定义，即可求解．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：因为12因为23又因为(12)23<(12)12<(23)12，所以a因为c=lg2312>lg2323=1，所以c>1．
综上可得：c>b>a．
故选：D．
利用指数函数的单调性可判断121，结合幂函数的单调性即可判断a，b的大小关系，进而得出结论．
本题考查指数式和对数式比较大小，考查学生的逻辑思维能力，属中档题．
6.【答案】A
【解析】解：∵tanαtanβ=−3，
∴sinαsinβ=−3csαcsβ，
∵cs(α+β)=csαcsβ−sinαsinβ=4csαcsβ=12，
∴csαcsβ=18，
∴cs(α−β)=csαcsβ+sinαsinβ=−2csαcsβ=−14．
故选：A．
由已知结合同角基本关系及和差角公式进行化简即可求解．
本题主要考查了同角基本关系及和差角公式的应用，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：函数f(x)=lgax−12,0则a>1a4≤1lga1−12≤2−a+1，解得1故选：C．
根据已知条件，列出不等式组，即可求解．
本题主要考查分段函数的应用，属于中档题．
8.【答案】B
【解析】解：连接OP，OC.如图所示：
设∠POD=θ，θ∈(0,π2)，在Rt△OPD中，PD=tanθ，
由Rt△OBC≅Rt△OPC得∠COP=12∠BOP=π4−θ2，CB=CP．
在Rt△COP中，CP=tan(π4−θ2)，∴CD=tanθ+tan(π4−θ2)，
∴2BC+CD=3tan(π4−θ2)+tanθ．
令α=π4−θ2，则θ=π2−2α，且α∈(0,π4)，
则2BC+CD=tan(π2−2α)+3tanα=1−tan2α2tanα+3tanα=52tanα+12tanα≥2 12tanα⋅5tanα2= 5，
当且仅当tanα= 55时取等号．
故选：B．
直接利用三角函数的关系式的变换和基本不等式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
9.【答案】BC
【解析】解：sin105°cs75°=sin75°cs75°=12sin150°=14，故A错误；
sin20°cs40°+cs160°sin220°=sin20°cs40°+cs20°sin40°=sin60°= 32，故B正确；
1−2cs2π12=−csπ6=− 32，故C正确；
tan7π12=tan(π3+π4)= 3+11− 3=−2− 3，故D错误．
故选：BC．
由已知结合和差角公式及二倍角公式检验各选项即可判断．
本题主要考查了和差角公式及二倍角公式的应用，属于基础题．
10.【答案】AD
【解析】解：由已知函数f(x)的部分图象可得：A=3，f(0)=3sinφ=32，即sinφ=12，
又因为|φ|<π2，所以φ=π6，所以f(x)=3sin(ωx+π6)．
因为f(x)的图象过点(5π12,0)，所以3sin(5π12ω+π6)=0，即5π12ω+π6=π+2kπ(k∈Z)，
解得ω=2+245k(k∈Z)，
由已知函数f(x)的部分图象可可知：T2>5π12，即2π2ω>5π12，即0<ω<125，
所以ω=2，故f(x)=3sin(2x+π6)，故A正确；
将f(x)的图象向右平移2π3个单位长度后得到的新函数是y=f(x−2π3)=3sin(2x−4π3+π6)=3sin(2x−7π6)，
显然该函数为非奇非偶函数，故B错误；
因为f(−4π3)=3sin(−5π2)=−3≠0，所以点(−4π3,0)不是函数f(x)的对称点，故C不正确；
因为f(0)=f(π3)=f(π)=f(4π3)=f(2π)=f(7π3)=f(3π)=f(10π3)=32，
若方程f(x)=32在(0,m)上有且只有6个根，则m∈(3π,10π3]，故D正确．
故选：AD．
根据已知图象及特殊点的坐标得出函数f(x)的解析式，进而判断选项A的正误；根据函数的平移变换可得出新函数的解析式，进而判断选项B的正误；将点(−4π3,0)代入函数f(x)的解析式验证即可判断选项C的正误；结合三角函数的图象与性质可判断实数m的取值范围即可判断选项D的正误．
本题考查由三角函数的部分图象求函数的解析式、三角函数的图象与性质，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．
11.【答案】ABD
【解析】解：若∀x1，x2∈[0,+∞)，且x1x22−x12恒成立，
等价于f(x1)+x12>f(x2)+x22，
令g(x)=f(x)+x2，则g(x1)>g(x2)，
所以函数g(x)在[0,+∞)上单调递减．
因为f(x)是偶函数，所以f(−x)=f(x)，
故g(−x)=g(x)，且g(1)=f(1)+12=3．
因为f(m−1)+m2<2m+2，即f(m−1)+m2−2m+1<3，即g(m−1)所以m−1<−1或m−1>1，解得m<0或m>2．
故选：ABD．
构造函数g(x)=f(x)+x2，结合已知判断g(x)的单调性及奇偶性，然后结合单调性及奇偶性即可求解m的范围，进而可求解．
本题主要考查了函数的奇偶性及单调性在不等式求解中的应用，属于中档题．
12.【答案】 24
【解析】解：设f(x)=xα，
幂函数f(x)过点(3, 33)，
则f(3)=3α= 33=1 3，解得α=−12，
所以f(x)=1 x，则f(8)=1 8= 24．
故答案为： 24．
设出幂函数的解析式，再将点代入解析式，并将x=8代入解析式，即可求解．
本题主要考查幂函数的概念，属于基础题．
13.【答案】[−2,23]
【解析】解：方法1：分类变量法
因为y=2sinxsinx+2=2(sinx+2)−4sinx+2=2−4sinx+2，
因为−1≤sinx≤1，所以1≤sinx+2≤3，
所以13≤1sinx+2≤1，43≤4sinx+2≤4，
所以−2≤2−4sinx+2≤23，即函数的值域为[−2,23]．
方法2：函数的性质法．
因为−1≤sinx≤1，所以y(sinx+2)=2sinx，
即(2−y)sinx=2y，
若y=2，则0=4不成立，所以y≠2．
所以sinx=2y2−y，
因为−1≤sinx≤1，所以|2y2−y|≤1，
解得−2≤y≤23，即函数的值域为[−2,23]．
利用分类变量法或利用三角函数的有界性求值域．
本题主要考查了函数的值域求法，利用三角函数的有界性是解决本题的关键，要求熟练掌握求函数值域的几种常见方法．
14.【答案】13.3
【解析】解：由题意得，把T=70，T0=90，Tα=10，t=10代入公式，
得70−10=(90−10)e−10h，即e−10h=34，解得10h=2ln2−ln3．
设大约需要再放置tmin能达到最佳饮用口感，则50−10=(90−10)e−t+10h，即e−t+10h=12，
则t+10h=ln2，所以10t+10=2ln2−ln3ln2，
解得t=10ln3−10ln22ln2−ln3=10×1.1−10×0.72×0.7−1.1=403≈13.3，
所以，大约需要再放置13.3min能达到最佳饮用口感．
把T=70，T0=90，Tα=10，t=10代入公式，化简求出10h，再求T=50时所需要的时间t的值．
本题考查了指数函数与对数函数模型应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
15.【答案】解：(1)命题“∃x∈R，ax2+ax+1<0”的否定为：“∀x∈R，ax2+ax+1≥0”，
因为原命题为假命题，则其否定为真命题，
当a=0时，1≥0恒成立，满足题意；
当a≠0时，只需a>0Δ=a2−4a≤0，解得0所以实数a的取值集合为B=[0,4]．
(2)因为“x∈A”是“x∈B”成立的充分不必要条件，
所以A是B的真子集，而A不为空集，
所以m−1≥0m+1≤4，1≤m≤3，
因此m的取值范围为：[1,3]．
【解析】(1)根据特称命题的否定为真，根据分类讨论思想以及一元二次不等式恒成立，可得答案；
(2)根据充分不必要条件的集合表示，建立不等式组，可得答案．
本题主要考查充分条件和必要条件，属于中档题．
16.【答案】解：(1)如图，建立平面直角坐标系，
当t=0时，风车开始旋转时某叶片的一个端点P在风车的最低点，设为P0，则P0(0,60)，
由题意得，ω=2π5，且A+B=100+40−A+B=100−40S(0)=Asinφ+B=60，
解得A=40B=100φ=−π2，
所以S(t)=40sin(2π5t−π2)+100；
(2)令S(t)≥80，则S(t)=40sin(2π5t−π2)+100≥80，
即cs2π5t≤12，
所以2kπ+π3≤2π5t≤2kπ+5π3(k∈Z)，解得56+5k≤t≤256+5k(k∈Z)，
当k=0时，56≤t≤256,256−56=103，
所以叶片旋转一圈内点P离地面的高度不低于80米的时长为103秒．
【解析】(1)建立平面直角坐标系，根据题意列出方程组，求出A，B，φ的值，得到S(t)的解析式；
(2)令S(t)≥80，则S(t)=40sin(2π5t−π2)+100≥80，再结合正弦函数的性质求解．
本题主要考查了三角函数的应用，考查了正弦函数的图象和性质，属于中档题．
17.【答案】解：(1)若a=2，t=1，则f(x)=lg2(2x+1)，
令g(x)=0，则lg2(2x+1)−1=0，得x=0，
即g(x)=f(x)−1的零点为0．
(2)∵a>1，∴函数p(x)=ax+t在定义域内单调递增，
函数y=lgaP在定义域内单调递增，
∴函数f(x)在定义域内单调递增．
∵函数f(x)的定义域为I，存在[m,n]⊆I，使得f(x)在[m,n]上的值域为[2m,2n]，
故f(n)=2nf(m)=2m，
∴关于x的方程lga(ax+t)=2x有两个不同的根，
∴ax+t=a2x，即(ax)2−ax−t=0有两个不同的根．
令ax=λ，则λ>0，关于λ的方程λ2−λ−t=0有两个不同的正实数根λ1，λ2，
∴λ1+λ2=1>0λ2λ1=−tΔ=1+4t>0，
解得−14【解析】(1)由题意lg2(2x+1)−1=0，解得函数的零点为0．
(2)根据复合函数的单调性和根的分布可得结果．
本题主要考查对数函数的性质，属于中档题．
18.【答案】解：(1)f(x)=(−csx)⋅(−sinx)⋅tan2x(−sinx)⋅sinx=−csx⋅sin2xcs2xsinx=−tanx，
若f(θ)=12，则−tanθ=12，解得tanθ=−12，
所以sin2θ=2sinθcsθ=2sinθcsθsin2θ+cs2θ=2tanθtan2θ+1=2×(−12)(−12)2+1=−45．
(2)由题意得，g(x)=(−cs2x)⋅(−tan2x)=sin2x，
因为x∈(0,π3)，所以2x−π6∈(−π6,π2)，所以sin(2x−π6)∈(−12,1)．
由题意可知不等式|sin(2x−π6)−m|<1在π3上恒成立，
即m−1所以m−1≤−12m+1≥1，
解得0≤m≤12，
即实数m的取值范围为[0,12]．
【解析】(1)直接利用三角函数的关系式的变换求出结果；
(2)首先利用三角函数的关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用恒成立问题的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质，主要考察学生的运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)f(x)为奇函数，理由如下：
令x=y=0，则f(0)+f(0)=f(0)，解得f(0)=0．
令y=−x，则f(x)+f(−x)=f(0)=0，即f(−x)=−f(x)，
∴f(x)为奇函数．
(2)令−1∵−10，−10，
∵x2−x1−(1−x1x2)=x1x2−x1+x2−1=(x1+1)(x2−1)<0，∴0∵当x∈(−1,0)时，f(x)>0，f(x)为奇函数，
∴当x∈(0,1)时，f(x)<0，∴f(x2−x11−x1x2)<0，即f(x2)∴f(x)在(−1,1)为减函数．
∵f(2x−1)>f(x)，∴−1<2x−1即不等式的解集为(0,1)．
(3)∵∀x1∈[−13,13]，∃x2∈[−1,2]，使得f(x1)>g(x2)成立，
∴f(x1)min>g(x2)min，即g(x2)min<−1．
∵g(x)=x2+bx+1的对称轴为x=−b2，x∈[−1,2]．
当−b2≤−1，即b≥2时，g(x)在[−1,2]上单调递增，
则g(x2)min=g(−1)=2−b，∴2−b<−1，解得b>3，∴b>3；
当−b2≥2，即b≤−4时，g(x)在[−1,2]上单调递减，
则g(x2)min=g(2)=5+2b，∴5+2b<−1，解得b<−3，∴b≤−4；
当−4则g(x2)min=g(−b2)=1−b24，∴1−b24<−1，
解得b<−2 2或b>2 2，∴−4综上所述，实数b的取值范围是(−∞,−2 2)∪(3,+∞)．
【解析】(1)f(x)为奇函数，利用赋值法即可求解；
(2)利用单调性的定义判断函数的单调性，从而可解不等式；
(2)由题意可得f(x1)min>g(x2)min，即g(x2)min<−1，对b分类讨论，求出g(x)的最小值，从而可得b的取值范围．
本题主要考查函数奇偶性与单调性，不等式恒成立问题，考查运算求解能力，属于中档题．
1.设全集U=R，集合A={x|2x<1}，B={x|(x+1)(x−2)≥0}，则∁U(A∪B)=( )
A. {x|x≥2}B. {x|0≤x<2}C. {x|0
A. 254B. 2C. 15D. 5
3.已知正实数x，y满足2x+y=xy，则xy的最小值为( )
A. 2 2B. 4C. 4 2D. 8
4.点P从(−12, 32)出发，沿着单位圆顺时针运动11π6到达点Q，则点Q的坐标为( )
A. ( 32,12)B. (12, 32)C. (− 32,12)D. (−12, 32)
5.若a=(12)23，b=(23)12，c=lg2312，则a，b，c的大小关系为( )
A. a>c>bB. b>c>aC. c>a>bD. c>b>a
6.已知角α，β满足tanαtanβ=−3,cs(α+β)=12，则cs(α−β)=( )
A. −14B. −1C. 38D. 18
7.已知函数f(x)=lgax−12,0
8.如图，在扇形OAB中，∠AOB=π2，OA=1，点P在弧AB上(点P与点A，B不重合)，分别在点P，B作扇形OAB所在圆的切线l1，l2，且l1，l2交于点C，l1与OA的延长线交于点D，则2BC+CD的最小值为( )
A. 2B. 5C. 6D. 2 2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列计算中正确的是( )
A. sin105°cs75°=12
B. sin20°cs40°+cs160°sin220°= 32
C. 1−2cs2π12=− 32
D. tan7π12=2+ 3
10.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则( )
A. f(x)=3sin(2x+π6)
B. f(x)的图象向右平移2π3个单位长度后得到的新函数是奇函数
C. f(x)的图象关于点(−4π3,0)对称
D. 若方程f(x)=32在(0,m)上有且只有6个根，则m∈(3π,10π3]
11.已知f(x)是定义在R上的偶函数，若∀x1，x2∈[0,+∞)，且x1
A. −2B. −1C. 1D. 3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知幂函数f(x)过点(3, 33)，则f(8)= ______．
13.函数y=2sinxsinx+2的值域为______．
14.中国茶文化源远流长，博大精深，茶水的口感与茶叶的类型和水的温度有关，某种绿茶用90℃的水泡制，再等到茶水温度降至50℃时饮用，可以产生最佳口感.为了控制水温，某研究小组联想到牛顿提出的物体在常温下的温度变化冷却规律：设物体的初始温度是T0，经过tmin后的温度是T，则T−Tα=(T0−Tα)e−th(e≈2.71828⋯)，其中Tα表示环境温度，h为常数.该研究小组经过测量得到，刚泡好的绿茶水温度是90℃，放在10℃的室温中，10min以后茶水的温度是70℃，在上述条件下，大约需要再放置______min能达到最佳饮用口感.(结果精确到0.1，参考数据：ln2≈0.7，ln3≈1.1)
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知集合A={x|m−1
(2)在(1)的条件下，若“x∈A”是“x∈B”成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
16.(本小题15分)
近年来，我国逐渐用风能等清洁能源替代传统能源，目前利用风能发电的主要手段是风车发电.如图，风车由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为2π3，现有一座风车，塔高100米，叶片长40米.叶片按照逆时针方向匀速转动，并且每5秒旋转一圈，风车开始旋转时某叶片的一个端点P在风车的最低点(此时P离地面60米).设点P转动t(秒)后离地面的距离为S(米)，则S关于t的函数关系式为S(t)=Asin(ωt+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|<π)．
(1)求S(t)的解析式；
(2)求叶片旋转一圈内点P离地面的高度不低于80米的时长．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=lga(ax+t)(a>0且a≠1)．
(1)若a=2，且t=1，求函数g(x)=f(x)−1的零点；
(2)若a>1，函数f(x)的定义域为I，存在[m,n]⊆I，使得f(x)在[m,n]上的值域为[2m,2n]，求实数t的取值范围．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=sin(x+32π)⋅cs(32π−x)⋅tan2(π−x)sin(π+x)⋅cs(π2−x)．
(1)若f(θ)=12，求sin2θ的值；
(2)设g(x)=−cs2x⋅f(2x)，若不等式|g(x+π12)−cs2x−m|<1在(0,π3)上恒成立，求实数m的取值范围．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)的定义域为(−1,1)，f(x)+f(y)=f(x+y1+xy)，且当x∈(−1,0)时，f(x)>0．
(1)判断f(x)的奇偶性，并说明理由；
(2)解不等式：f(2x−1)>f(x)；
(3)已知f(−13)=1，g(x)=x2+bx+1，若对∀x1∈[−13,13]，∃x2∈[−1,2]，使得f(x1)>g(x2)成立，求实数b的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：根据题意，可得A={x|2x<1}={x|x<0}，B={x|(x+1)(x−2)≥0}={x|x≤−1或x≥2}，
∴A∪B={x|x<0或x≥2}，可得∁U(A∪B)={x|0≤x<2}．
故选：B．
根据指数函数的性质，化简得A={x|x<0}，根据二次不等式的解法算出B={x|x<0或x≥2}，然后利用并集与补集的法则算出答案．
本题主要考查指数不等式与一元二次不等式的解法、并集与补集的运算法则等知识，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：由题意得lga425=25，
∴2lga25=25，
∴lga25=15．
故选：C．
由已知结合指数与对数的转化及对数运算性质即可求解．
本题主要考查了指数与对数的转化公式的应用，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：∵2x+y=xy，x>0，y>0，
∴2x+y≥2 2xy，即xy≥2 2xy，当且仅当y=2x，即x=2，y=4时取等号，
∴xy≥8，即xy的最小值为8．
故选：D．
由已知结合基本不等式即可求解．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：点P从(−12, 32)出发，沿着单位圆顺时针运动11π6到达点Q，
则(−12, 32)=(cs2π3,sin2π3)，2π3−11π6=−7π6，
故点Q的坐标为(cs(−7π6),sin(−7π6))=(− 32,12)．
故选：C．
根据已知条件，结合任意角的三角函数的定义，即可求解．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：因为12
综上可得：c>b>a．
故选：D．
利用指数函数的单调性可判断12
本题考查指数式和对数式比较大小，考查学生的逻辑思维能力，属中档题．
6.【答案】A
【解析】解：∵tanαtanβ=−3，
∴sinαsinβ=−3csαcsβ，
∵cs(α+β)=csαcsβ−sinαsinβ=4csαcsβ=12，
∴csαcsβ=18，
∴cs(α−β)=csαcsβ+sinαsinβ=−2csαcsβ=−14．
故选：A．
由已知结合同角基本关系及和差角公式进行化简即可求解．
本题主要考查了同角基本关系及和差角公式的应用，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：函数f(x)=lgax−12,0
根据已知条件，列出不等式组，即可求解．
本题主要考查分段函数的应用，属于中档题．
8.【答案】B
【解析】解：连接OP，OC.如图所示：
设∠POD=θ，θ∈(0,π2)，在Rt△OPD中，PD=tanθ，
由Rt△OBC≅Rt△OPC得∠COP=12∠BOP=π4−θ2，CB=CP．
在Rt△COP中，CP=tan(π4−θ2)，∴CD=tanθ+tan(π4−θ2)，
∴2BC+CD=3tan(π4−θ2)+tanθ．
令α=π4−θ2，则θ=π2−2α，且α∈(0,π4)，
则2BC+CD=tan(π2−2α)+3tanα=1−tan2α2tanα+3tanα=52tanα+12tanα≥2 12tanα⋅5tanα2= 5，
当且仅当tanα= 55时取等号．
故选：B．
直接利用三角函数的关系式的变换和基本不等式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
9.【答案】BC
【解析】解：sin105°cs75°=sin75°cs75°=12sin150°=14，故A错误；
sin20°cs40°+cs160°sin220°=sin20°cs40°+cs20°sin40°=sin60°= 32，故B正确；
1−2cs2π12=−csπ6=− 32，故C正确；
tan7π12=tan(π3+π4)= 3+11− 3=−2− 3，故D错误．
故选：BC．
由已知结合和差角公式及二倍角公式检验各选项即可判断．
本题主要考查了和差角公式及二倍角公式的应用，属于基础题．
10.【答案】AD
【解析】解：由已知函数f(x)的部分图象可得：A=3，f(0)=3sinφ=32，即sinφ=12，
又因为|φ|<π2，所以φ=π6，所以f(x)=3sin(ωx+π6)．
因为f(x)的图象过点(5π12,0)，所以3sin(5π12ω+π6)=0，即5π12ω+π6=π+2kπ(k∈Z)，
解得ω=2+245k(k∈Z)，
由已知函数f(x)的部分图象可可知：T2>5π12，即2π2ω>5π12，即0<ω<125，
所以ω=2，故f(x)=3sin(2x+π6)，故A正确；
将f(x)的图象向右平移2π3个单位长度后得到的新函数是y=f(x−2π3)=3sin(2x−4π3+π6)=3sin(2x−7π6)，
显然该函数为非奇非偶函数，故B错误；
因为f(−4π3)=3sin(−5π2)=−3≠0，所以点(−4π3,0)不是函数f(x)的对称点，故C不正确；
因为f(0)=f(π3)=f(π)=f(4π3)=f(2π)=f(7π3)=f(3π)=f(10π3)=32，
若方程f(x)=32在(0,m)上有且只有6个根，则m∈(3π,10π3]，故D正确．
故选：AD．
根据已知图象及特殊点的坐标得出函数f(x)的解析式，进而判断选项A的正误；根据函数的平移变换可得出新函数的解析式，进而判断选项B的正误；将点(−4π3,0)代入函数f(x)的解析式验证即可判断选项C的正误；结合三角函数的图象与性质可判断实数m的取值范围即可判断选项D的正误．
本题考查由三角函数的部分图象求函数的解析式、三角函数的图象与性质，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．
11.【答案】ABD
【解析】解：若∀x1，x2∈[0,+∞)，且x1
等价于f(x1)+x12>f(x2)+x22，
令g(x)=f(x)+x2，则g(x1)>g(x2)，
所以函数g(x)在[0,+∞)上单调递减．
因为f(x)是偶函数，所以f(−x)=f(x)，
故g(−x)=g(x)，且g(1)=f(1)+12=3．
因为f(m−1)+m2<2m+2，即f(m−1)+m2−2m+1<3，即g(m−1)
故选：ABD．
构造函数g(x)=f(x)+x2，结合已知判断g(x)的单调性及奇偶性，然后结合单调性及奇偶性即可求解m的范围，进而可求解．
本题主要考查了函数的奇偶性及单调性在不等式求解中的应用，属于中档题．
12.【答案】 24
【解析】解：设f(x)=xα，
幂函数f(x)过点(3, 33)，
则f(3)=3α= 33=1 3，解得α=−12，
所以f(x)=1 x，则f(8)=1 8= 24．
故答案为： 24．
设出幂函数的解析式，再将点代入解析式，并将x=8代入解析式，即可求解．
本题主要考查幂函数的概念，属于基础题．
13.【答案】[−2,23]
【解析】解：方法1：分类变量法
因为y=2sinxsinx+2=2(sinx+2)−4sinx+2=2−4sinx+2，
因为−1≤sinx≤1，所以1≤sinx+2≤3，
所以13≤1sinx+2≤1，43≤4sinx+2≤4，
所以−2≤2−4sinx+2≤23，即函数的值域为[−2,23]．
方法2：函数的性质法．
因为−1≤sinx≤1，所以y(sinx+2)=2sinx，
即(2−y)sinx=2y，
若y=2，则0=4不成立，所以y≠2．
所以sinx=2y2−y，
因为−1≤sinx≤1，所以|2y2−y|≤1，
解得−2≤y≤23，即函数的值域为[−2,23]．
利用分类变量法或利用三角函数的有界性求值域．
本题主要考查了函数的值域求法，利用三角函数的有界性是解决本题的关键，要求熟练掌握求函数值域的几种常见方法．
14.【答案】13.3
【解析】解：由题意得，把T=70，T0=90，Tα=10，t=10代入公式，
得70−10=(90−10)e−10h，即e−10h=34，解得10h=2ln2−ln3．
设大约需要再放置tmin能达到最佳饮用口感，则50−10=(90−10)e−t+10h，即e−t+10h=12，
则t+10h=ln2，所以10t+10=2ln2−ln3ln2，
解得t=10ln3−10ln22ln2−ln3=10×1.1−10×0.72×0.7−1.1=403≈13.3，
所以，大约需要再放置13.3min能达到最佳饮用口感．
把T=70，T0=90，Tα=10，t=10代入公式，化简求出10h，再求T=50时所需要的时间t的值．
本题考查了指数函数与对数函数模型应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
15.【答案】解：(1)命题“∃x∈R，ax2+ax+1<0”的否定为：“∀x∈R，ax2+ax+1≥0”，
因为原命题为假命题，则其否定为真命题，
当a=0时，1≥0恒成立，满足题意；
当a≠0时，只需a>0Δ=a2−4a≤0，解得0
(2)因为“x∈A”是“x∈B”成立的充分不必要条件，
所以A是B的真子集，而A不为空集，
所以m−1≥0m+1≤4，1≤m≤3，
因此m的取值范围为：[1,3]．
【解析】(1)根据特称命题的否定为真，根据分类讨论思想以及一元二次不等式恒成立，可得答案；
(2)根据充分不必要条件的集合表示，建立不等式组，可得答案．
本题主要考查充分条件和必要条件，属于中档题．
16.【答案】解：(1)如图，建立平面直角坐标系，
当t=0时，风车开始旋转时某叶片的一个端点P在风车的最低点，设为P0，则P0(0,60)，
由题意得，ω=2π5，且A+B=100+40−A+B=100−40S(0)=Asinφ+B=60，
解得A=40B=100φ=−π2，
所以S(t)=40sin(2π5t−π2)+100；
(2)令S(t)≥80，则S(t)=40sin(2π5t−π2)+100≥80，
即cs2π5t≤12，
所以2kπ+π3≤2π5t≤2kπ+5π3(k∈Z)，解得56+5k≤t≤256+5k(k∈Z)，
当k=0时，56≤t≤256,256−56=103，
所以叶片旋转一圈内点P离地面的高度不低于80米的时长为103秒．
【解析】(1)建立平面直角坐标系，根据题意列出方程组，求出A，B，φ的值，得到S(t)的解析式；
(2)令S(t)≥80，则S(t)=40sin(2π5t−π2)+100≥80，再结合正弦函数的性质求解．
本题主要考查了三角函数的应用，考查了正弦函数的图象和性质，属于中档题．
17.【答案】解：(1)若a=2，t=1，则f(x)=lg2(2x+1)，
令g(x)=0，则lg2(2x+1)−1=0，得x=0，
即g(x)=f(x)−1的零点为0．
(2)∵a>1，∴函数p(x)=ax+t在定义域内单调递增，
函数y=lgaP在定义域内单调递增，
∴函数f(x)在定义域内单调递增．
∵函数f(x)的定义域为I，存在[m,n]⊆I，使得f(x)在[m,n]上的值域为[2m,2n]，
故f(n)=2nf(m)=2m，
∴关于x的方程lga(ax+t)=2x有两个不同的根，
∴ax+t=a2x，即(ax)2−ax−t=0有两个不同的根．
令ax=λ，则λ>0，关于λ的方程λ2−λ−t=0有两个不同的正实数根λ1，λ2，
∴λ1+λ2=1>0λ2λ1=−tΔ=1+4t>0，
解得−14
(2)根据复合函数的单调性和根的分布可得结果．
本题主要考查对数函数的性质，属于中档题．
18.【答案】解：(1)f(x)=(−csx)⋅(−sinx)⋅tan2x(−sinx)⋅sinx=−csx⋅sin2xcs2xsinx=−tanx，
若f(θ)=12，则−tanθ=12，解得tanθ=−12，
所以sin2θ=2sinθcsθ=2sinθcsθsin2θ+cs2θ=2tanθtan2θ+1=2×(−12)(−12)2+1=−45．
(2)由题意得，g(x)=(−cs2x)⋅(−tan2x)=sin2x，
因为x∈(0,π3)，所以2x−π6∈(−π6,π2)，所以sin(2x−π6)∈(−12,1)．
由题意可知不等式|sin(2x−π6)−m|<1在π3上恒成立，
即m−1
解得0≤m≤12，
即实数m的取值范围为[0,12]．
【解析】(1)直接利用三角函数的关系式的变换求出结果；
(2)首先利用三角函数的关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用恒成立问题的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质，主要考察学生的运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)f(x)为奇函数，理由如下：
令x=y=0，则f(0)+f(0)=f(0)，解得f(0)=0．
令y=−x，则f(x)+f(−x)=f(0)=0，即f(−x)=−f(x)，
∴f(x)为奇函数．
(2)令−1
∵x2−x1−(1−x1x2)=x1x2−x1+x2−1=(x1+1)(x2−1)<0，∴0
∴当x∈(0,1)时，f(x)<0，∴f(x2−x11−x1x2)<0，即f(x2)
∵f(2x−1)>f(x)，∴−1<2x−1
(3)∵∀x1∈[−13,13]，∃x2∈[−1,2]，使得f(x1)>g(x2)成立，
∴f(x1)min>g(x2)min，即g(x2)min<−1．
∵g(x)=x2+bx+1的对称轴为x=−b2，x∈[−1,2]．
当−b2≤−1，即b≥2时，g(x)在[−1,2]上单调递增，
则g(x2)min=g(−1)=2−b，∴2−b<−1，解得b>3，∴b>3；
当−b2≥2，即b≤−4时，g(x)在[−1,2]上单调递减，
则g(x2)min=g(2)=5+2b，∴5+2b<−1，解得b<−3，∴b≤−4；
当−4
解得b<−2 2或b>2 2，∴−4
【解析】(1)f(x)为奇函数，利用赋值法即可求解；
(2)利用单调性的定义判断函数的单调性，从而可解不等式；
(2)由题意可得f(x1)min>g(x2)min，即g(x2)min<−1，对b分类讨论，求出g(x)的最小值，从而可得b的取值范围．
本题主要考查函数奇偶性与单调性，不等式恒成立问题，考查运算求解能力，属于中档题．
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