沪教版五四制数学九年级上册26.3 《二次函数y=ax2+bx+c的图像》（第5课时）精品教学课件+作业（含答案）

26.3 二次函数y=ax2+bx+c的图像（第5课时）沪教版五四制数学九年级上册目录学习目标1.用一般式(三点式)确定二次函数表达式2.用顶点式确定二次函数表达式3.用交点式确定二次函数表达式（重点、难点）1.一次函数y=kx+b(k≠0)有几个待定系数？通常需要已知几个点的坐标求出它的表达式？2.求一次函数表达式的方法是什么？它的一般步骤是什么？2个2个待定系数法(1)设：（表达式）(2)代：（坐标代入）(3)解：方程（组）(4)还原：（写表达式）如果要求二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的表达式，又需要几个条件呢？ 情景引入例题8、 已知函数（1）指出这个函数图像的开口方向、顶点坐标和对称轴；（2）画出这个函数的图像.课本102页例1 已知二次函数y＝ax2 ＋ c的图象经过点(2,3)和(－1,－3)，求这个二次函数的表达式． 解:∵该图象经过点(2,3)和(－1,－3)， 3=4a+c，－3=a+c，∴所求二次函数表达式为 y=2x2－5.∴{a =2，c =－5.解得:{一.特殊条件的二次函数的表达式探究新知1.已知二次函数y＝ax2 ＋ bx的图象经过点(－2, 8)和(－1，5)，求这个二次函数的表达式． 解:∵该图象经过点(－2,8)和(－1,5) ,解得: a=－1,b=－6.∴ 这个二次函数的表达式y=－x2－6x.练一练例2 已知二次函数的顶点是(－2, 1),且函数图象过点(1，－8)，求这个二次函数的表达式.解:设这个二次函数的表达式是y=a(x－h)2+k(a≠0),∴ y=a(x+2)2+1， ∴ a(1+2)2+1=－8，解得: a =－1.∴所求二次函数的表达式是y=－(x+2)2+1或y=－x2－4x－3.二.顶点法求二次函数的表达式∵ 这个二次函数的顶点是(－2, 1),∵ 函数图象过点(1, －8)，顶点法求二次函数的表达式的步骤①设函数表达式是y=a(x－h)2+k (a≠0)；②先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程；③将另一点的坐标代入原方程求出a值；④a用数值换掉，写出函数表达式.(函数表达式的结果可以用顶点式或一般式表示)归纳总结例3 一个二次函数的图象经点 (0, 1),它的顶点坐标为(8,9),求这个二次函数的表达式.解: ∵这个二次函数的图象的顶点坐标为(8,9)，∴ 设函数的表达式为y=a(x－8)2+9(a≠0).又∵ 函数的图象经过点(0 ,1)，∴ 0=a(0－8)2+9.解得:a= .∴所求的二次函数的表达式是2.抛物线的顶点在原点,且抛物线经过点(2,8),求它的表达式.解：∵抛物线的顶点在原点,∴ 设它的表达式为y=ax2(a≠0).∵ 抛物线经过点(2,8),∴ 8=a×22，∴ a=2.∴ 所求抛物线的表达式为y=2x2.练一练3.抛物线的顶点坐标为(－1,－2),且抛物线经过点(1,10),求该抛物线的表达式.解: ∵抛物线的顶点坐标为(－1,－2)，∴ 设该抛物线的表达式为y=a(x+1)2－2(a≠0).∵ 抛物线经过点(1,10),∴ 10=a(1+1)2－2.解得:a=3.∴ 该抛物线的表达式为y=3(x+1)2－2.即 y=3x2+6x+1.三.一般式法求二次函数的表达式例4 一个二次函数的图象经过(0，1)、(2，4)、(3，10)三点，求这个二次函数的表达式.解:设所求二次函数的表达式为y=ax2+bx+c，∵ 函数的图象经过(0，1)、(2，4)、(3，10)三点，解得:a= ,b= ,c= .1∴ 所求二次函数的表达式为例9：已知二次函数的图象过(0，1)，(1，3)和(-1，1)三点，求这个二次函数解析式。课本102页④把待定系数a,b,c用数字换掉,写出函数的表达式.一般式法求二次函数的表达式的步骤①设函数的表达式为y=ax2+bx+c (a≠0) ；②把已知点的坐标代入所设的表达式，得到一个三元一次方程组；③解方程组得到a,b,c的值；归纳总结4.已知抛物线y=ax2+bx+c经过三点:(－1,－1),(1,1),(0,－2),求这条抛物线所对应的二次函数的表达式.解:设所求二次函数的表达式为y=ax2+bx+c，依题意得:解得:a= ,b= ,c= .－221∴ 所求二次函数的表达式为y=2x2+x－2.练一练5.已知二次函数的图象经过(0, 3), (－2,－5), (1, 4),求这个二次函数的表达式.解:设所求二次函数的表达式为y=ax2+bx+c，依题意得:解得:a= ,b= ,c= .3－12∴ 所求二次函数的表达式为y=－x2+2x+3.交点法求二次函数的表达式的步骤其步骤是：①设函数的表达式是y=a(x－x1)(x－x2) (其中x1、x2为抛物线与x轴交点的横坐标；②先把两交点的横坐标x1,x2代入到表达式中，得到关于a的一元一次方程；③将已知的另一个条件代入方程求出a的值;④a用数值换掉，写出函数表达式. 知道抛物线与x轴的交点，求抛物线的表达式的方法叫做交点法.归纳总结例5 已知抛物线与x轴交于点A(－3，0)、B(5，0)，且与y轴交于点C(0, －15)，求抛物线的解析式.解:设所求抛物线的解析式是y=a(x+3)(x－5)，把点(0, －3)代入上式得:a(0+3)(0－5)=－15，解得:a= ，1∴ 所求抛物线的表达式为y=(x+3)(x－5),即 y=x2－2x－15.已知图象上任意三点已知顶点坐标、对称轴、最值和其他条件.已知抛物线与x轴的两个交点坐标和任一个点的坐标 二次函数的表达式的三种形式用待定系数法求二次函数表达式的步骤：(1)设出适当的二次函数表达式的形式；(2)代入点的坐标得到方程(组)；(3)解方程(组)求出待定系数的值；(4)写出所求二次函数的表达式式并化为一般形式.归纳总结课本练习1、指出下列函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标：（1） （2） （2）2、已知一个二次函数的图象过（-1，0）、（3，0）、（1，-5）三点，求这个二次函数的解析式.随堂检测 1.如图 26.2-20， 抛 物 线 y=ax2+bx+c 经 过 A（ -1，0），B（ 0， -3）， C（3，0）三点 . （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）若该抛物线的顶点为 D，求 sin ∠ BOD的值 .(1) ∵抛物线经过 A（ -1， 0）， B（ 0， -3）， C（ 3， 0）三点，∴将 A， B， C 三点的坐标代入 y=ax2+bx+c 中，得解：∴该抛物线对应的函数表达式为 y=x2-2x-3.(2) ∵ y=x2-2x-3=（ x-1） 2-4，∴抛物线的顶点坐标为（ 1， -4） .如图 26.2-20，过点 D 作 DH ⊥ y 轴于点 H.在 Rt △ ODH 中，∵ DH=1， OH=4，∴由勾股定理，得∴sin∠ BOD=2.已知一个二次函数图象的顶点坐标为 且经过点(－2，0)．求该二次函数的表达式． 由于已知顶点坐标为 故可设顶点式 y＝a(x－h)2＋k，从而代入得y＝a(x－1)2－ 再将(－2，0)代入求出a的值．分析： 设二次函数的表达式为y＝a(x－h)2＋k.∵顶点坐标为∴y＝a(x－1)2－ 把(－2，0)代入得：0＝a·(－2－1)2－ 解得a＝∴该二次函数的表达式为y＝ (x－1)2－ 即y＝ x2－x－4.解： 3. 已知抛物线与 x 轴的交点是 A（ -2，0）， B（1， 0） ，且抛物线经过点 C（2，8） . 求该抛物线对应的函数表达式 .紧扣交点式的函数表达式以及需要的条件，利用待定系数法求函数表达式 .分析：∵抛物线与 x 轴的交点是 A（ -2， 0）， B（ 1， 0），∴可设抛物线对应的函数表达式为 y=a（ x+2）（ x-1） .又∵抛物线经过点 C（ 2， 8），∴把点 C 的坐标代入 y=a（ x+2）（ x-1）中，得 8=a（ 2+2）×（ 2-1），∴ a=2.∴抛物线对应的函数表达式为 y=2（ x+2）（ x-1），即 y=2x2+2x-4.解：4.已知：二次函数的图像经过点A(–1，6)、B(3，0)、C(0，3)，求这个函数的解析式。解：设所求函数解析式为y=ax²+bx+c .由已知函数图象过(-1,6),(3,0),(0,3)三点，得 解这个方程组，得a= 0.5，b= – 2.5，c=3 ∴所求得的函数解析式为y=0.5x² – 2.5x+35.已知：二次函数的图像的对称轴为直线x= –3，并且函数有最大值为5，图像经过点(–1,–3)，求这个函数的解析式。 解：由题意可知，该函数的顶点的坐标是（－3，5）， 所以设y=a(x+3)²＋5又抛物线经过点（－1，－3），得 －3=a(－1+3)²＋5 ∴a=－2∴所求的函数解析式为y= –2(x+3)²＋5即y= –2x²–12x–13 6.一个二次函数的图象过点（0,1）,它的顶点坐标是（8,9）,求这个二次函数的关系式。①已知三点坐标②已知顶点坐标或对称轴或最值③已知抛物线与x轴的两个交点已知条件所选方法用一般式法：y=ax2+bx+c用顶点法：y=a(x－h)2+k用交点法:y=a(x－x1)(x－x2) (x1,x2为交点的横坐标）待定系数法求二次函数解析式课堂小结